CC BY
76
Реннер А.Г.
Оренбургский государственный университет
ОЦЕНКА ПЛАТЕЖЕСПОСОБНОСТИ СТРАХОВОЙ КОМПАНИИ
В настоящей работе предлагается решение задачи оценки платежеспособности страховой компании в классической модели риска в классе таких распределений величины выплат, которые допускают аналитическое представление для интеграла Лапласа.
Определим процесс риска (см. рис. 1) некоторого страхового бизнеса следующим образом:
Rt
Рисунок 1. Процесс риска Rt
Rt = u + c • t-E 5k,
(1)
где u - начальный капитал;
c - скорость(интенсивность) поступления «премий», взносов;
- последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, интерпретируемых как размер выплат страховой компанией клиентам по искам с математическим ожиданием ц и функцией распределения F(x)=P(5i <x), ц = M^i, (F(0) = 0, ц<~)
N = (Nt L - процесс Пуассона, описывающий число выплат за временной промежуток (0, t),
Nt =Е l(Tk < t)
k
l(Tk < t) - число исков предъявляемых страховой компании в момент времени T , равное 0 или 1;
T, T ... - моменты поступления требований к оплате, причем (Tk+1 - Tk )> являются независимыми величинами, имеющими экспоненциальное распределение с параметром А: P(Tk+i - Tk < t) = 1 - e-l\ Rt - капитал страховой компании на момент времени t.
Модель (1) известна как модель Лундбер-га-Крамера [1] Так как
MRt = u + (c - Ац), то, полагая коэффициент нагрузки
р = с/(Ац)-1, получаем, что скорость поступления премий
с = (1 + р)Ад
Ставится задача нахождения или оценки вероятности неразорения компании с начальным капиталом «и»
Ф(и)= Р(я, > 0, Я0 = и, 1 > 0)
Предполагая Д(х) достаточно гладкой, на основании формулы полной вероятности и свойства ординарности пуассоновского процесса, относительно искомой функции Ф(и), легко получить [2] интегро-дифференциальное уравнение
АФ(и)= сФ'(и)+ А)Ф(и - х)(х)1х, (2)
0
где / (х)=Д '(х) - плотность распределения величины выплат.
Считается, что в случае произвольного распределения величины выплат получение аналитического выражения для Ф(и) затруднительно и поэтому для вероятности разорения ^(и) используют неравенство Крамера-Лундберга [1], или получают численное решение уравнения, используя трудоемкий алгоритм Дюфресне и Гербера [3] и его модификации [4].
Однако, для широкого класса достаточно гладких распределений Д(х) покажем принципиальную возможность аналитического решения с помощью преобразования Лапласа.
Заметим, что функции Ф^) и /(Г) по определению удовлетворяют требованиям, предъявляемым к оригиналам:
1)Ф() 0, Г(1 ) = 0 при всех КО;
2)Ф() 0, Г(1) 0 при всех или некоторых I > 0 и являются однозначными, непрерывными или кусочно-непрерывными функциями.
3) Ф(), I (1) являются функциями ограниченного роста.
Применим преобразование Лапласа к (2) и, учитывая его свойства, в частности теорему о свертке, получим:
Аф(р) = с(рф(р)-Ф(0))+Аф(р)у(р), (3)
где
ф(р) = ь(ф(и )}= )Ф(и )-ри1и,
0
У(р) = (х )}=) I (х )-рх1х,
u
0
t
i
2
3
k=1
Реннер А.Г.
Оценка платежеспособности страховой компании
1 u
ф(р)Y(p) = Шф(и - x ) (x )dx
Из (3) выразим ф(^):
ф(р)=(- еФ(0))/(Я- ср -ЯУ(р)) Формально, используя обратное преобразование Лапласа ЬЛ, определим с точностью до постоянного множителя
1 j^+Rep
Ф(и) = -сФ(0)— Д(- сР -ЯУ(р)р (4)
где ] - мнимая единица (/2=-1).
Отметим, что на практике зачастую удается восстановить оригинал Ф(л) без использования выражения (4). Постоянный множитель Ф(0) определим используя очевидное требование Ф(^)=1.
Предложенный подход проиллюстрируем для случая экспоненциального распределения времени выплат. Полагая
f (x ) =
1
—e Д
0,
i
—x Д
x > 0
x < 0,
запишем (2) в виде:
_ 1 __x
ЯФ(и) = сФ (u)+Я|Ф(и - x)-e Д dx
о Д
С помощью преобразования Лапласа полу-
чим:
Я 1 Яф(р) = с(рф(р)- Ф(0))+ -ф(р)--
Д P + 1
Д
Выражение для ф(р) представим в виде:
A
ф(р) = Ф(0)- +
B
р -(Я/ с - V Д)
где
Я
A = -
Д
Я 1 '
B =
Я1
с д с д
Осуществив обратное преобразование Лапласа, найдем вероятность неразорения с точностью до постоянного множителя
Ф(и ) =
Ф(0)
Я-1
с Д
1Я — + — exp Дс
w
Я-1
сД
\ W x
у JJ
В итоге, удовлетворив условию Ф(^)=1, получим оценку платежеспособности страховой компании в зависимости от и, р, д
Ф(и ) = 1 -— exp
Я
1 Д
=1 -
1
1 + Р (1 + р)Д
px
В общем случае безусловной проблемой является построение изображения У(р), но при удачной аппроксимации /(л) эту проблему мож-
но снять.
р
1
x
с
с
Список использованной литературы:
1. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. М.: Фазис, 1998.
2. Мельников А.В., Бойков И.В. Элементы страхового риск-менеджмента. М.: АФЦ, 2000, 87с.
3. DUFRESNEF AND GERBER H.U. (1989) THREE Methods to Calculate the Probability of Ruin. Astin Bulletin, Vol. 19, №1, 71-90.
4. Цициашвили Г.Ш., Скварнин Е.С. Финансово-актуарная математика и смежные вопросы. Труды ФАМ, 2002, Красноярск, ИВМ СО РАН.
