CC BY
49
УДК 621.383
ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ ТРАЕКТОРИЙ ДВИЖЕНИЯ ТОЧЕЧНОГО ОБЪЕКТА НА ПЛОСКОСТИ
А.Ю. Андросов, А.А. Аршакян
Исследуется проблема регистрации точечного источника в распределенной системе пеленгации. Приводятся зависимости для расчета координат источника в различных точках траектории. Определены параметры траектории при ее кусочно-линейной интерполяции. Показана возможность подбора оптимальной кривой для аппроксимации траектории движения точечного источника.
Ключевые слова: точечный источник, траектория, система пеленгации, кусочно-линейная интерполяция, аппроксимация.
Задача определения параметров траекторий движения точечного источника является актуальной [1, 2, 3]. Ее решение может быть использовано при отслеживании целей, трассировке движений спортсмена и т.д. В системах исследуемого класса точечный источник [4, 5, 6, 7] наблюдается, в n-е моменты времени tn, 1 £ n £ N, как минимум, с двух пунктов наблюдения, имеющих номера 1,..., к, ..., l, ..., K > 2. Количество пунктов наблюдения определяется требованиями по точности оценки параметров траектории движения, а также условиями наблюдения, например, наличием или отсутствием по траектории загораживающих предметов. При пеленгации точечного источника по одной координате стоит задача определения его последовательных местоположений на плоской сцене, а также оценки составляющие скорости на различных участках траектории [8, 9]. Местоположение определяется по координатам максимального значения сигнала источника [10, 11, 12, 13].
Геометрические построения, необходимые для получения формул расчета координат точечного источника по углам направления на него, определенных для двух точек наблюдения, к и l, приведены на рис. 1, где показаны:
xOy - Земная, или абсолютная система координат, в которой наблюдается точечный источник;
пункты наблюдения к и l, имеющие координаты (хк, ук) и (xl, yl) соответственно;
угол ориентации ук главной оси пеленгации к-го пеленгатора;
точки, в которых точечный источник наблюдается в моменты времени t1, ..., tn-1, tn, ..., tN;
углы пеленга ynk, где первый индекс определяет номер момента времени, в который проводилось наблюдение, а второй индекс - номер пункта наблюдения, с которого проводился пеленг.
34
Рис. 1. А* определению координат точечного источника
Будем считать за положительные величины углов те значения, которые откладываются против часовой стрелки. Поэтому в Земной системе координат направление из k-то пункта наблюдения на точечный источник в п-й момент времени определяется в виде:
<4*=v*+v,tjt- 0)
Уравнение прямой, проходящей через координаты k-то пункта наблюдения и центр точечного источника, имеет вид:
(x-xk)- sinапк -(у-ук)- cosапк = О, (2)
где ап к - измеренный угол между осью Ох и направлением на точечный источник из к-то пункта наблюдения в момент времени tn .
Любые две прямые, проведенные из к-то и /-го пунктов наблюдения дают координату точечного источника:
\xn{kj)'xk)'sinan,k-(Уг,{к,1)-УкУсо*аг1,к=0>
где \х71{^к i),yn(k /)J - координаты точечного источника, полученные по результатам наблюдения с к-то и /-го пунктов в момент времени tn .
Всего для определения координат должно быть решено М =
(К-\)К „ (К-\)К =--- систем уравнении и получено -^- значении координат
точечного источника в момент времени tn.
35
Истинные значения координат точечного источника могут быть получены через усреднение значений ¡у уп^91)\:
2 К-1 К 1Д -I)' К к=11=к+1
- '
А-=1/=А-+1 2 К~1 К
Уп = (г I 1^,/)- (5)
Среднеквадратичное отклонение измеренных значений координат определяется по следующей зависимости (рис. 2):
о =
АГ-1 А:
I IКхя(А:,/)+ (уп{к,1) ~ У п?.
(6)
Рис. 2. Определение среднеквадратичного отклонения
Для решения ряда практических задач трассировки необходимо интерполировать множество точек хп,уп, \<п < N, какой-либо линией, в первом приближении это может быть кусочно-линейная интерполяция. Уравнение прямой, связывающей две соседние точки, имеет вид
у = ~ У» х + ~~ У "+1 , \ <п < N-I. (7)
хп+1 ~ хп хп+1 ~~ хп
Средняя скорость движения точечного источника на этом отрезке
_ д/(*;н-1 ~*п)2 + (Уп+1 ~ЯтУ
" t —Г
1П+1 77
Составляющие скорости и ускорения по координатам
_ **77+1 ~ **77 .
(8)
Ъу» =
1
™хп _
_ 2к
Ух, п Ух,п+1,
™уп
/ п+2 п \ 2(ух,п - Ух,п+1)
(10)
^п+2 Iп
Угол между соседними отрезками
ф (п, п +1) _ arctg уп+2 ~ уп+1 - аг^ уп+1 ~ уп . (11)
хп+2 — хп+1 хп+1 — хп
Полученные зависимости позволяют рассчитать параметры движения точечного источника, такие, как скорость и ускорение в разных точках траектории и углы между сопряженными отрезками, интерполирующими траекторию движения.
Рассмотрим случай, когда априорно известна параметрическая зависимость, которой может быть описана наблюдаемая траектория,
У _ / (х,«), (12)
где а _(«!,...,ат,...,ам) - вектор параметров.
В этом случае определяются значения элементов вектора параметров а _ а ,..., ат,..., ам}, которые обеспечивают оптимальную близость вычисленных координат [хп(к I), уп(к I)] точечного источника параметрической кривой (12). При этом подбираются такие значения * / * * * \ а _ а ,..., ат,..., ам), которые обеспечивают минимум среднеквадратичной ошибки
N К —1 КГ / *\12
е_ II I [Уп(к ,1) — А^к,^ а Я ® тт. (13)
N К—1 Кг (
I I I {у
п _1 к _11 _ к+1
Необходимые условия существования минимума имеют вид
I {уп(к ,1) — f (хп(к,1), а* )}.Щм>а}_ 0,1 < т < м . (14)
п _1 к _11 _ к+1 бат
Система (14) включает М уравнений и содержит М неизвестных. Вычислительная сложность ее решения сильно зависит от вида функции (12), от количества пунктов наблюдения К и от количества наблюдений N. Однако ее решение позволяет строить оптимальные траектории в в области параметрических кривых заданного класса.
Список литературы
1. Ларкин Е.В., Котов В.В., Котова Н.А. Система технического зрения робота с панорамным обзором. Известия Тульского государственного университета. Технические науки. Вып. 2. Ч. 2. Тула: Изд-во ТулГУ, 2009. С. 161 - 166.
2. Горшков А. А., Ларкин Е.В. Расчет наблюдаемой площади в системе с множеством видеокамер / Фундаментальные проблемы техники и технологии. № 4. Орел: ГУ УНПК. 2012. С. 150 - 154.
3. Ларкин Е.В., Тюханов М.Е. Распределение контролирующих телекамер по охраняемой территории // Математические методы в технике и технологиях ММТТ-23. Сб. трудов XXIII Международной научной конференции. Т. 9. Саратов: Изд-во Саратовского гос. техн. ун-та, 2010. С. 123 -124.
4. Аршакян А. А., Ларкин Е.В. Определение соотношения сигнал-шум в системах видеонаблюдения. Известия Тульского государственного университета. Технические науки. Вып. 3. Тула: Изд-во ТулГУ, 2012. С. 168 - 175.
5. Аршакян А.А., Будков С.А., Ларкин Е.В. Эффективность селекции точечных сигналов, сопровождаемых импульсной помехой. Известия Тульского государственного университета. Технические науки. Вып. 12. Ч. 2. Тула: Изд-во ТулГУ, 2012. С. 239 - 244.
6. Аршакян А. А., Ларкин Е.В. Оценка координат точечных источников сигналов. Известия Тульского государственного университета. Технические науки. Вып. 2. Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. С. 3 - 10.
7. Аршакян А.А., Будков С.А., Ларкин Е.В. Математические модели точечных источников сигнала в полярной системе координат. Известия Тульского государственного университета. Технические науки. Вып. 10. 2012. С. 163 - 168.
8. Ларкин Е.В., Воробьев С.А. Оценивание параметров модели структурных кривых с многоэталонным заданием классов в режиме реального времени. Известия Тульского государственного университета. Вычислительная техника. Автоматика. Управление. Т. 2. Вып. 2. Автоматика. Тула: ТулГУ, 1997. С. 59 - 68.
9. Ларкин Е.В., Данилкин Ф.А., Котов В.В. Выделение кривых на круговых диаграммах. Известия Тульского государственного университета. Серия: Математика. Механика. Информатика. Т. 4. Вып. 4, Тула: Изд-во ТулГУ, 1998. С. 21 - 24.
10. Ларкин Е.В., Шаталов И.Е. Вейвлет-анализ сигналов, несущих информацию о наступлении события. Известия Тульского государственного университета. Серия: Математика. Механика. Информатика. Т. 6. Вып. 3. Информатика. Тула: Изд-во ТулГУ, 2000. С. 162 - 166.
11. Ларкин Е.В., Лагун В.В. Классификация как информационный процесс. Известия Тульского государственного университета. Проблемы специального машиностроения. Вып. 4. Ч. 2. Тула: ТулГУ, 2001. С. 21 - 25.
12. Котов В.В., Ларкин Е.В. Поиск целей на тепловизионных изображениях. Известия Тульского государственного университета. Проблемы специального машиностроения. Вып. 4. Ч. 2. Тула: ТулГУ, 2001. С. 25 - 29.
13. Ларкин Е.В., Лагун В.В. Моделирование информационного процесса поиска объекта // Тулаинформ-2001. Проблемы информатизации образования: Материалы Всероссийской научно-практической конференции. Тула: ТулГУ, 2001. С. 97 - 98.
Андросов Алексей Юрьевич, асп., elarkin@,mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Аршакян Александр Агабегович, канд. техн. наук, докторант, elarkin@,mail ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
EVAL UA TION OF PARAMETERS OF TRAJECTORY OF POINT OBJECT ON A PLANE
A. Yu. Androsov, A.A. Arshakyan
The problem of registration of point source with distributed direction-finding system is investigated. Dependencies for computation of source co-ordinates in different pointes of trajectory are obtained. Parameters of trajectory for its piecewise interpolation are defined. It is shown a possibility of selection of optimal curve for approximation of trajectory of movement of point object on a plane.
Key words: point object, trajectory, direct-finding system, point source, trajectory, DF system, piecewise interpolation, approxomation.
Androsov Alexey Yurievich, postgraduate, elarkin@,mail.ru, Russia, Tula, Tula State University,
Arshakyan Alexander Agabegovich, candidate of technical science, postgraduate, elarkin@,mail. ru, Russia, Tula, Tula State University
