CC BY
71
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ
УДК 519.25
ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ СИСТЕМ ОДНОВРЕМЕННЫХ УРАВНЕНИЙ В МОДЕЛЯХ ПОЖАРНОЙ СТАТИСТИКИ А. В. Меньших, С. Н. Тростянский
Описана методика оценки коэффициентов структурной и приведённой моделей систем одновременных уравнений; приведены необходимое и достаточное условия определения типа моделей, описаны методы оценки коэффициентов моделей в зависимости от их типа.
Приведен численный пример нахождения явного вида одновременных уравнений пожарной статистики.
Ключевые слова: пожарная статистика, одновременные уравнения, структурная и приведенная модели, идентифицируемость, сверхидентифицируемость, неидентифицируе-мость, оценка коэффициентов, необходимое и достаточное условие.
Введение. Большое значение для принятия управленческих решений в государственной противопожарной службе имеет анализ пожарной статистики [1, 2], который может быть использован как в интересах выявления факторов, влияющих на значения показателей пожарной статистики, так и в интересах прогноза будущих значений этих показателей. Очевидно, что показатели пожарной статистики в той или иной степени связаны между собой. Получение оценок связи этих показателей позволит повысить обоснованность принятия управленческих решений.
Меньших Анастасия Валерьевна, преп. кафедры прикладной математики и инженерной графики, Воронежский институт ГПС МЧС России;
Россия, г. Воронеж, тел.: (473)2363-305, e-mail: [email protected]
Тростянский Сергей Николаевич, д-р техн. наук, доц., проф. кафедры физики,
Воронежский институт ГПС МЧС России;
Россия, г. Воронеж, тел.: (473)2363-305, e-mail: [email protected]
© Меньших А. В., Тростянский С. H., 2013
Пожарная статистика представляет собой совокупность временных рядов, содержащих информацию о значениях показателей за последовательные периоды времени. Разработка методов анализа временных рядов пожарной статистики осуществлялась в [3—8]. В [7], в частности, описаны результаты исследования взаимовлияния количества пожаров и количества противопожарных мероприятий на примере Воронежской области. При этом оказалось, что имеется трехлетний временной лаг влияния противопожарных мероприятий на количество пожаров и двухлетний временной лаг влияния количества пожаров на число противопожарных мероприятий. Это является свидетельством того, что для прогноза пожарной статистики следует характеризующие её показатели оценивать одновременно. Для этого могут быть использованы так называемые одновременные уравнения, где зависимые переменные одних уравнений могут выступать в качестве независимых в других [9].
В работе рассматриваются способы анализа одновременных уравнений.
1. Виды моделей в форме систем одновременных уравнений. Системы одновременных уравнений в общем виде имеют следующий вид, называемый структурной моделью:
у = а10 + bi2y2 + ... + bi„y„ + а11х11 + ... + aimxm +Sl,
У2 = a20 + Ь21У1 + ... + Ky„ + a21X11 + ... + a2mXm + ^
. Уп = an0 + К1У1 + ... + Ьт-1Уп-1 + an1Xn1 + ... + anmXm + Sn
(1)
где уь у2, ... уп — эндогенные (зависимые) переменные, нахождение которых является целью моделирования; х1, х2, ... хт — экзогенные (независимые) переменные; £1, е2, ... еп — случайные остатки.
Использование традиционного метода наименьших квадратов (МНК) для оценки коэффициентов структурной модели даёт смещённые и несостоятельные оценки [9]. Поэтому модель (1) преобразуют в приведённую модель
У1 =810 +811X11 + ... + 81mXm +
У2 = 820 + 821X11 + ... + 82mXm + ^
Уп = 8n0 +8n1 Xn1 + ... + 8nmXm + Un ,
(2)
где и1, и2, ... ип — случайные остатки.
При рассмотрении этих моделей должна быть решена проблема идентифицируемости, позволяющая определить, каким образом соотносятся между собой коэффициенты структурной модели (1) и приведённой модели (2).
2. Условия идентифицируемости моделей. Теоретически возможны три ситуации:
- модель является идентифицируемой, т. е. существует взаимно однозначное соответствие между коэффициентами структурной и приведённой моделей;
- модель является сверхидентифицируе-мой, т. е. по значениям коэффициентов приведённой модели может быть получено более одного значения коэффициентов структурной модели;
- модель является неидентифицируемой, т. е. по значениям коэффициентов приведённой модели не могут быть получены значения коэффициентов структурной модели.
Рассмотрим условия идентифицируемости моделей.
Существуют необходимое и достаточное условия для определения типа модели. При проверке этих условий проверяют идентифицируемость каждого уравнения структурной модели в отдельности и после этого делают вывод об идентифицируемости всей модели. Приведём описание этих условий в соответствии с [9].
Обозначим Н — количество эндогенных переменных в уравнении, D — количество экзогенных переменных, содержащихся в системе, но не входящих в данное уравнение.
Тогда необходимое условие идентифицируемости уравнения имеет вид:
- если D+1 = Н, уравнение идентифицируемо;
- D+1 > Н, уравнение сверхидентифици-
руемо;
- D+1 < H, уравнение неидентифицируемо.
Для проверки достаточного условия идентифицируемости уравнения строится матрица U из коэффициентов, отсутствующих в уравнении переменных (как эндогенных, так и экзогенных). Уравнение идентифицируемо, если
rank U ^ Нсист - ^
где Нсист — количество эндогенных переменных во всей системе.
Система уравнений идентифицируема, если для всех уравнений выполняются необходимые и достаточные условия идентифицируемости. Система уравнений неидентифицируема, если хотя бы одно уравнение ненеидентифицируемо. В остальных случаях система сверхидентифицируема
3. Методы оценки коэффициентов. Если модель является идентифицируемой, для оценки коэффициентов следует использовать косвенный МНК, суть которого состоит в следующем:
Шаг 1. Выписывается общий вид приведённой модели и для каждого уравнения оцениваются коэффициенты 5у помощью традиционного МНК.
Шаг 2. Коэффициенты приведённой модели преобразуются в коэффициенты структурной модели (это можно сделать единственным образом в силу идентифицируемости модели).
Если модель является сверхидентифицируе-мой, для оценки коэффициентов следует использовать двухшаговый МНК, суть которого состоит в следующем:
Шаг 1. Выписывается общий вид приведённой модели и для каждого уравнения оцениваются коэффициенты 5у помощью традиционного МНК.
Шаг 2. С помощью приведённой модели находятся теоретические значения эндогенных переменных, которые подставляются в правые части уравнений структурной модели вместо фактических значений этих переменных.
Шаг 3. Оцениваются коэффициенты ау и bik структурной модели с помощью традиционного МНК,
Если модель является неидентифицируемой, для оценки коэффициентов следует использовать трёхшаговый МНК, суть которого состоит в следующем:
Шаг 1. С помощью обобщённого МНК [9] исключается корреляция случайных остатков исходной модели.
Шаг 2. Применяется двухшаговый МНК.
4. Пример оценки коэффициентов одной из систем уравнений в пожарной статистике. В качестве примера рассмотрим систему одновременных уравнений, описывающую взаимное влияние количества пожаров EY и количество противопожарных мероприятий En. Наличие трёхлетнего временного лага влияния противопожарной пропаганды на количество пожаров и двухлетнего временного лага обратного влияния количества пожаров на противопожарные мероприятия, а также
присутствие общего временного тренда t [8] можно записать с помощью следующей системы одновременных уравнений:
Ej = ^i + \Е?_з + Cit + Si,
Et = a2 + Ь2 Ej- 2 + C2t + S1.
В этой системе две эндогенные (Ej и Еf) и
три экзогенные (Etf3, Ej2, t) переменные.
Проверка необходимого условия идентифицируемости для каждого уравнения показала, что D = H = 1, следовательно, D+1 > H и уравнение сверхидентифицируемо.
Проверка достаточного условия, показала, что rank U = 1, т. е. rank U > Нист -1 для каждого уравнения, что не выявило неидентифицируемости системы. Поэтому система уравнений в целом является сверхидентифицируемой и для оценки её
Библиографический список
1. Брушлинский, Н. Н. Системный анализ деятельности Государственной противопожарной службы /
Н. Н. Брушлинский. — М.: МИПБ МВД РФ; М.: Юникс, 1998. — 255 с.
2. Акимов, В. А. Введение в статистику экстремальных значений и ее приложения / В. А. Акимов, А. А. Быков, Е. Ю. Щетинин. — М.: ФГУ ВНИИ ГОЧС (ФЦ), 2009. — 524 с.
3. Белозеров, В. В. Модель оптимизации социально-экономических потерь от пожаров / В. В. Белозеров, Е. И. Богуславский, Н. Г. Топольский // Проблемы информационной экономики. Вып. VI. Моделирование инновационных процессов и экономической динамики: сб. науч. тр. / под ред. Р. М. Нижегородова. — М.: Ле-нанд, 2006. — С. 226—246.
4. Тростянский, С. Н. Экономический подход к прогнозированию пожарных рисков на объектах различных форм собственности / С. Н. Тростянский, А. Н. Шут-кин, Г. А. Бакаева // Вестник Воронежского института ГПС МЧС России. — 2011. — № 1 (1). — С. 27—28.
5. Тростянский, С. Н. Математическое моделирование вероятности возникновения пожаров на хозяйственных объектах / С. Н. Тростянский, Ю. Н. Зенин, Г. А. Бакаева // Пожарная безопасность: проблемы и перспективы: сб. ст. по материалам всерос. науч.-практ. конф. с междунар. участием, 20 сент. 2012 г.: в 2 ч. Ч. 1. — Воронеж, 2012. — С. 264—266.
6. Богуславский, Е. И. Прогнозирование, анализ
и оценка пожарной безопасности: учеб. пособие /
Е. И. Богуславский, В. В. Белозеров, Н. Е. Богуславский; под общ. ред. Е. И. Богуславского. — Ростов н/Д: РГСУ, 2004. — 126 с.
7. Меньших, А. В. Моделирование структуры
временных рядов пожарной статистики / А. В. Меньших, С. Н. Тростянский // Вестник Воронежского института МВД России. — 2012. — № 4. — С. 97—103.
8. Меньших, А. В. Исследование взаимосвязи показателей пожарной статистики / А. В. Меньших,
С. Н. Тростянский // Вестник Воронежского института МВД России. — 2013. — № 1. — С. 48—53.
9. Эконометрика / под ред. И. И. Елисеевой. — М.: Проспект, 2011. — 288 с.
коэффициентов должен быть использован двухшаговый МНК.
С использованием статистического пакета Excel для данной системы осуществлена реализация двухшагового МНК для данных пожарной статистики по Воронежской области за 2000— 2012 годы, которая позволила получить явный вид модели:
EY = 3579,28 + 0,01E(W3 -64,52/ + е1;
EN = -47545,80 +11,49Ef-2 + 2253,83/ + e1.
Заключение. Использование описанных выше методов позволяет учесть взаимосвязи между показателями пожарной статистики и тем самым значительно уточнить параметры моделей, повысить точность прогноза значений показателей, а следовательно и эффективность принятия управленческих решений.
References
1. Brushlinskij, N. N. Sistemnyj analiz deyatel'nosti Gosudarstvennoj protivopozharnoj sluzhby / N. N. Brushlinskij. — M.: MIPB MVD RF; M.: Yuniks, 1998. — 255 s.
2. Akimov, V. A. Vvedenie v statistiku e'kstrem-al'nyx znachenij i ee prilozheniya / V. A. Akimov, A. A. Bykov, E. Yu. Shhetinin. — M.: FGU VNII GOChS (FC), 2009. — 524 s.
3. Belozerov, V. V. Model' optimizacii social'no-e'konomicheskix poter' ot pozharov / V. V. Belozerov, E. I. Boguslavskij, N. G. Topol'skij // Problemy informacion-noj e'konomiki. Vyp. VI. Modelirovanie innovacionnyx pro-cessov i e'konomicheskoj dinamiki: sb. nauch. tr. / pod red. R. M. Nizhegorodova. - M.: Lenand, 2006. — S. 226— 246.
4. Trostyanskij, S. N. E'konomicheskij podxod k prognozirovaniyu pozharnyx riskov na ob'ektax razlichnyx form sobstvennosti / S. N. Trostyanskij, A. N. Shutkin, G. A. Bakaeva // Vestnik Voronezhskogo instituta GPS MChS Rossii. — 2011. — № 1 (1). — S. 27—28.
5. Trostyanskij, S. N. Matematicheskoe modelirovanie veroyatnosti vozniknoveniya pozharov na xozyajstvennyx ob'ektax / S. N. Trostyanskij, Yu. N. Zenin, G. A. Bakaeva // Pozharnaya bezopasnost': problemy i perspektivy: sb. st. po materialam vseros. nauch.-prakt. konf. s mezhdunar. uchas-tiem, 20 sent. 2012 g.: v 2 ch. Ch. 1. — Voronezh, 2012. — S. 264—266.
6. Boguslavskij, E. 1 Prognozirovanie, analiz i
ocenka pozharnoj bezopasnosti: ucheb. posobie /
E. I. Boguslavskij, V. V. Belozerov, N. E. Boguslavskij; pod obshh. red. E. I. Boguslavskogo. — Rostov n/D: RGSU, 2004. — 126 s.
7. Men'shix, A. V. Modelirovanie struktury vremen-nyx ryadov pozharnoj statistiki / A. V. Men'shix,
S. N. Trostyanskij // Vestnik Voronezhskogo instituta MVD Rossii. — 2012. — № 4. — S. 97—103.
8. Men'shix, A. V. Issledovanie vzaimosvyazi poka-zatelej pozharnoj statistiki / A. V. Men'shix,
S. N. Trostyanskij // Vestnik Voronezhskogo instituta MVD Rossii. - 2013. — № 1. — S. 48-53.
9. E'konometrika / pod red. I. I. Eliseevoj. — M.: Prospekt, 2011. — 288 s.
ESTIMATION OF PARAMETERS OF SYSTEMS OF SIMULTANEOUS EQUATIONS MODELS OF FIRE STATISTICS
Men’shix A. V.,
Lecturer,
Voronezh Institute of State Fire Service of EMERCOM of Russia;
Russia, Voronezh, tel.: (473)2363-305, e-mail: [email protected] Trostyanskij S. N.,
D. Sc. in Engineering, Assoc. Prof.,
Voronezh Institute of State Fire Service of EMERCOM of Russia;
Russia, Voronezh, tel.: (473)2363-305, e-mail: [email protected]
A technique for estimating the coefficients of the structural model and the present system of simultaneous equations, are a necessary and sufficient condition for determining the types of models, the methods of estimating the coefficients of models depending on their type. A numerical example offinding the explicit form of simultaneous equations fire statistics.
Keywords: fire statistics, simultaneous equations, structural and reduced model, identifiability, reidentifiability, unidentifiable, estimation of coefficients, a necessary and sufficient condition.
