CC BY
29
Lyudmila Vladimirovna Grakholskaya,
PhD in Economics,
associate professor of the department of applied mathematics and computer science, Saratov socio-economic institute (branch) of Plekhanov Russian University of Economics
Olga Svyatoslavovna Kuznetsova,
PhD in Physics and Mathematics, associate professor of the department of applied mathematics and computer science, Saratov socio-economic institute (branch) of Plekhanov Russian University of Economics
Людмила Владимировна Грахольская,
кандидат экономических наук, доцент кафедры прикладной математики и информатики, Саратовский социально-экономический институт (филиал)
РЭУ им. Г.В. Плеханова
graholskayalv@ya.ru
Ольга Святославовна Кузнецова,
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики и информатики, Саратовский социально-экономический институт (филиал)
РЭУ им. Г.В. Плеханова
astra1987.mail.ru
Anna Vladimirovna Mendel,
PhD in Economics,
associate professor of the department of statistics, Saratov socio-economic institute (branch) of Plekhanov Russian University of Economics
УДК 330.4
Анна Владимировна Мендель,
кандидат экономических наук, доцент кафедры статистики, Саратовский социально-экономический институт (филиал)
РЭУ им. Г.В. Плеханова
4ааЬ mendel_av@ssea.runnet.ru
ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛИ БЛЭКА - ШОуЛЗА
Работа посвящена оценке параметров модели Блэка - Шоулза для европейских опционов. Обосновываются условия для аналитического определения стоимости опциона call. Показывается, что для аналитического нахождения стоимости опционов на покупку и продажу требуется: во-первых, обосновать соответствие характеристик рынка классическим предположениям модели Блэка - Шоулза; во-вторых, показать, что цена актива представляет собой геометрическое броуновское движение, и, наконец, спрогнозировать цену базового актива на дату погашения. На ретроспективных данных по закрытию недельных торгов на опцион на индекс 1МОЕХ проиллюстрировано построение интервальных оценок прогнозных значений стоимости опциона.
Ключевые слова: задачи со свободными границами, европейский опцион, уравнение Блэка - Шоулза, оценка параметров.
190 ♦-
Вестник СГСЭУ. 2019. № 3 (77) -♦
ASSESSMENT OF THE PARAMETERS OF THE BLACK-SCHOLES MODEL
The article examines the assessment of the parameters of the Black-Scholes model for European options. The authors identify the conditions for analytical determination of the call option value and show that for analytical determination of the value of buy and sell options it is required: first, to establish that the market conforms to the classical assumptions of the Black-Scholes model; secondly, to show that the asset price is in a geometric Brownian motion, and, finally, to forecast the price of the base asset at the date of maturity. The authors use the retrospective data on the weekly trading on the IMOEX index option to illustrate how to construct interval estimates of the forecast values of the option value.
Keywords: free-boundary problems, European option, Black-Scholes equation, parameter assessment.
Процессы диджитализации всех сфер общественной жизни определяют важность и нужность междисциплинарного взаимодействия, а также порождают совершенно новые, вчера еще казавшиеся нереальными методологии междисциплинарных связей. Тот факт, что в цифровой экономике многие явления и процессы могут быть описаны с помощью законов физики, уже определен в современной науке. Бакалавры физики и математики становятся лауреатами Нобелевской премии по экономике: Пол Ромер - 2019 г. (бакалавр математики), Оливер Харт - 2016 г. (бакалавр математики), Бенет Хольмстрем - 2016 г. (бакалавр математики), Хан Тироль - 2014 г. (доктор наук по дискретной математике), Ларс Петор Хансен - 2013 г. (эконо-метрист), Ллойд Шекли - 2012 г. (математик), Роберт Эти - 2003 г. (физик). В 1997 г. на конференции в г. Будапешт появился термин «экономизика».
Распространение законов физики и использование универсальных природных закономерностей с развитием процессов цифровизации все чаще стали встречаться при изучении динамики развития экономических систем. Принцип наименьшего действия заложен в основу модели потенциальной функции рынка, принцип природного подобия и самоподобия в масштабной инвариантности (скей-линге) в рыночных финансовых системах, методы калибровочной симметрии и закон сохранения электрического заряда в финансах характеризуют взаимодействие между ожиданиями и предпочтениями инвесторов.
Одним из важнейших направлений современной прикладной математики является постановка, решение и исследование различных свойств решений задач со свободными границами (free boundary problem - FBP [3]). К FBP относятся задачи, в которых заранее неизвестная функция в различных частях некоторой области удовлетворяет различным условиям, обусловленным ограничениями, накладываемыми внешней средой [4].
Решение задач FBP сочетает методы математического анализа, геометрии и той науки, которая порождает FBP (физика, экономика и др.). Диапазон задач FBP развивается вместе с науками, дающими объекты для моделирования. Одной из задач современной экономики является задача определения оптимальной цены опциона в модели Блэка - Шо-улза, относящаяся к задачам FBP [1]. Данная работа посвящена оценке параметров модели Блэка -
Шоулза для европейских опционов методом максимального правдоподобия.
Опцион (option) - это финансовый инструмент, являющийся правом, но не обязанностью купить или продать базовый актив по конкретной цене по истечении фиксированного времени. Опцион можно рассматривать как контракт о продаже актива в будущем, заключаемый между двумя партиями. Одна партия - продавец опциона (writer, банк), который определяет условия продажи опциона, вторая партия - держатель опциона (holder), приобретающий право продать (купить) актив в будущем, заплатив в настоящий момент цену опциона, премию (premium). Решение держателя об исполнении опциона зависит от ситуации на рынке и характеристик опциона. Опционы относятся к де-ривативным финансовым инструментам, основным методом определения цены которых является модель Блэка - Шоулза [5].
Дата погашения (expiration date) Т фиксирует временной горизонт. По истечении этого времени (при t > T) опцион обесценивается. Существует два типа европейских опционов: call-опцион дает право держателю купить базовый актив по указанной в контракте цене исполнения K (strike, exercise price) при t = T. Put-опцион дает право держателю продать базовый актив по фиксированной цене K при t = T. Будем считать, что поведение держателя (и продавца) является рациональным, т.е. нацелено на получение максимальной прибыли.
Пусть цена базового актива в момент времени t равна S = S(t), тогда выигрыш (payoff) при t = T будет выражаться функцией:
V-S-T- У = :-.:=v._v - А" 0 ■ = о ■ Г - А" -для европейских call-опционов;
'.'•S-T- У -= - S-Î ■ :•■ = - У - S-T
для европейских put-опционов.
Величина выигрыша при фиксированной цене исполнения и стоимости опциона зависит от параметров рынка, влияющих на цену базового актива: процентной ставки r и волатильности цены базового актива а, а также величины дивидендов в случае дивидендных активов. Для определения величины выигрыша и стоимости опциона будем считать известными начальную цену (initial price) базового актива S(0), страйк опциона K, время истечения срока действия опциона T.
ISSN 1994-5094 ♦-
191 -♦
Предполагается, что могут быть также оценены безрисковая процентная ставка r > 0 (постоянная на время жизни опциона); волатильность фонда а, также постоянная и характеризующая меру колебания цены актива, поэтому являющаяся мерой риска актива.
Поскольку цена опциона в момент времени t е Гявляется примером стохастического процесса, дифференциальное уравнение, моделирующее изменение цены базового актива, имеет вид:
г:5-: ■ = -v : ■ >:\: - т:::1". : : > 0 (1)
или
t > О,
где W(t) - броуновское движение и t - время в годах.
Теорема. Решение уравнения (1) имеет вид:
Лемма. Функция выигрыша (payoff) V(S, t) удовлетворяет уравнению:
Отсюда получается основное уравнение модели Блэка - Шоулза [5]:
при 5 —> оо.
Уравнение (3). которому удовлетворяет функция выигрыша 17(5(Г), К), справедливо и допускает аналитическое решение при следующих классических предположениях: отсутствие арбитража; бесконфликтность рынка; цена актива является геометрическим броуновским движением; г и а постоянны при 0 < t < Г; за данный период времени дивиденды не выплачиваются (5 = 0), опцион европейского типа. Аналитическое решение для стоимости европейского put-опциона в произвольный момент времени t имеет вид:
1 Гх 1 2
V 2тг J-oo
Формула паритета опционов на покупку и продажу имеет вид:
где C(S, t) — цена приобретения опциона call.
Из вышесказанного следует, что для аналитического нахождения стоимости опционов на покупку и продажу требуется, помимо соответствия харак-
теристик рынка классическим предположениям, обосновать тот факт, что цена актива может считаться ОБМ. Оценим вид и параметры распределения стоимости базового актива в произвольный момент времени t для набора исторических цен на рисковый актив.
Поскольку 5(0 > 0, уравнение (2) можно логарифмировать:
Перейдем к дискретному времени. Пусть к = 1,2,..., тогда для всех Е справедливо:
Так как < Ед., то
где 22, ..., 2к,...~ независимые случайные значения стандартного нормального распределения. Тогда:
Цад)- 1п(5(с,_:)) ~Л((г - V) (и - Е^),
= {г- \о2){гк - + гк_~2к
Г; ' 'К. (6)
Следовательно, для аналитического расчета 5(1^) по формуле (6) требуется знать цену опциона в предыдущий момент времени, оценки параметров геометрического броуновского движения, а также задать случайную составляющую .
Рассмотрим ретроспективные данные по закрытию недельных торгов Московской биржи на индекс 1МОЕХ. Он является одним из основных индексов, отражающих поведение российского рынка, начало расчета которого приходится на 1997 г. В качестве базового периода возьмем 16.04.2017 по 15.04.2018. На рис. 1 видно, что на летний период времени пришлось снижение стоимости индекса, затем в среднем наблюдается нелинейный рост цены на 1МОЕХ.
Далее был получен ряд * (£ь) еженедельной доходности индекса по формуле
192 ♦-
Вестник СГСЭУ. 2019. № 3 (77) -♦
май июн июл авг сен окт ноя дек 2018 фев мар апр
Рис 1. Динамика цены закрытия 1МОЕХ (с 16.04.2017 по 15.04.2018)
Траектория ряда доходностей насчитывает 52 равноотстоящих значения (Л/ = 52).
Для того чтобы получить аналитические оценки средней доходности индекса и волатильности методом максимального правдоподобия, требуется установить независимость отдельных наблюдений и по возможности указать распределение * (¿ь ). Независимость значений доходности для различных моментов времени основывалась на исследо-
вании автокорреляционной и частной автокорреляционной функций данного ряда X(Г^ ). Поскольку значимые лаги отсутствуют (рис. 2), можно утверждать, что не коррелированы и, значит, статистически независимы.
Проверка критерия согласия Пипсона позволяет утверждать, что значения ряда X ) согласуются с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности (х^ = 0,317 < = 5,991).
ДСБ для х1к
0,3 0,2 0,1 0 -0,1 -0,2 -0,3
+- 1,96/Тл0,5 -
1 1, , . 1
1 1 1 I 1 1 1 1
10 лаг
15
20
РДСБ для х1к
+- 1,96/Тл0,5 -
. 1 1 1
| ■ 1 1 1 ' ' 1 1 ' I '
■ ~
0,3 0,2 0,1 0 -0,1 -0,2 -0,3
10
лаг
15
20
0
5
0
5
Рис 2. Автокорреляционная и частная автокорреляционная функция для доходности 1МОЕХ
ISSN 1994-5094 ♦-
193 -♦
Рис 3. Тест на нормальное распределение доходности 1МОЕХ
Аналитически были получены следующие значения оценок максимального правдоподобия для выборочной средней и выборочной дисперсии
* У,1. ......
V = = 0,000395
Также были определены 95% доверительные интервалы оценок параметров нормального распределения:
l,96Vv/
<ti<fi +
1,96 Vv/
/VN
-0,002749 < fl < 0,008060.
VN
Решая систему, получим оценки:
0,002655 = (f-^a2^/52, 0,000395 = 52- d2-,
= 0 = 0
148356, ,143388.
/Хы;0,025 /Хы;0,975
0,000279 <0,000605.
Мы получили, что стоимость индекса 1МОЕХ на данном периоде можно рассматривать как геометрическое броуновское движение со смещением 0,002655 и дисперсией 0,000395. Тогда из (5), зная оценки параметров нормального распределения, можно вычислить оценки «первичных» параметров Г И <7 ;
■■ = 'у -Т'1 - '' = ^ " Г:.-: ">
£к ~ ¿к-1 = ~ = 1/52
Поскольку поведение инвестора рационально, при принятии решения о покупке опциона он опирается на предполагаемое значение цены S(T). Проиллюстрируем формирование траектории будущих цен на IMOEX с использованием формулы (6).
Случайная составляющая Zk была определена методом Монте-Карло. С помощью генератора случайных чисел получены 260 000 случайных чисел, равномерно распределенных на отрезке от 0 до 1. Эти числа были использованы для получения 5000 наборов данных, каждый из которых представляет собой моделируемую траекторию цен на 52 нормальные случайные величины с параметрами, соответствующими оценкам ff и V. По каждой траектории моделируемых иен вычислены оценки «первичных» параметров т и <7. Относительное отклонение моделируемых параметров от истинных оценок на данном промежутке времени составило. Далее траектория цен была продолжена на следующие 4 недели. Интервальные оценки цены представлены в таблице.
Если на временном горизонте Т инвестор предполагает снижение цены на имеющийся у него базовый актив, оптимальным решением будет либо покупка опциона put с датой погашения Т при К больше предполагаемого значения S(T), либо продажа базового актива в текущий момент времени.
194 Вестник СГСЭУ. 2019. № 3 (77)
Интервальные оценки цены
Неделя 22.04.2018 29.04.2018 06.05.2018 13.05.2018
Нижняя граница 95% доверительного интервала 2240,17 2248,556 2257,831 2268,005
Верхняя граница 95% доверительного интервала 2301,49 2289,47 2345,26 2326,94
Если инвестор предполагает рост цены, то рациональным решением станет покупка опциона call с датой погашения Т при /f, меньшем предполагаемого значения S(T ) либо покупка базового актива в текущий момент времени. При этом покупка опциона call требует меньших затрат в начальный момент времени и обеспечивает более высокую доходность капитала, чем покупка базового актива в начальный момент времени.
Несмотря на то что математические модели теории краевых задач со свободными границами уже находят применение в финансовой сфере, в данной работе приведен авторский алгоритм оценки параметров известной модели Блэка -Шоулза, который вполне может быть использован
трейдерами в процессе принятия финансовых решений.
1. Black F., Sholes M. The pricing of option and corporate liabilities, J. Pol. Econ. 81 637-659, 1973.
2. Brigo D., Dalessandro A., Neugebauer M., Triki F. A stochastic process toolkit for risk management: mean reverting processes and jumps // Journal of risk management in financial institutions.2009. Vol. 3. № 4-5. Р. 65-83.
3. Chen G.-Q., ShahgholianH., Vazques J.-L. Free boundary problems: the forefront of current and future developments. Phil. Trans. R. Soc. A373:20140285, 2015.
4. Fridman А. Free boundary problems in science and techn. Not. AMS, 47, 854-861, 2000.
5. WilmottP., Howison S., Dewynne J. The Mathematics of Financial derivatives. Press Syndicate of the University of Cambridge, Cambridge, UK, 1996.
