CC BY
44
В. В. Сахаров,
д-р техн. наук, проф., СПГУВК
ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ КОМПЕНСАТОРОВ РЕАКТИВНОЙ МОЩНОСТИ МЕТОДОМ ПСЕВДОИНВЕРСИИ МУРА-ПЕНРОУЗА
ESTIMATION OF PARAMETERS OF REACTIVE POWER COMPENSATORS USING THE MOOR-PENROSE PSEUDOINVERSE METHOD
В статье предлагаются алгоритм и компьютерная программа для оценки параметров компенсатора реактивной мощности в трехфазных цепях. Оценка оптимальных параметров статического компенсатора основывается на концепции псевдоинверсии Мура-Пенроуза. Для параметрической оценки представляется программа, составленная в кодах MatLAB.
In this paper we suggest algorithm and a computer program to estimate the parameters of reactive power compensators for 3-phase circuits. Optimal parameters estimation for static compensator is based on the MoorePenrose pseudoinverse concept. The MatLAB codes are used for solving this problem.
Ключевые слова: компенсаторы реактивной мощности, реактивные токи, псевдоинверсия, метод Мура-Пентроуза
Key words: reactive power compensators, reactive currents, pseudoinversion, Moor-Penrose method
И
m
СПОЛЬЗОВАНИЕ на судах статических преобразователей различного назначения с нелинейными элементами и накопителями энергии, а также потребителей электроэнергии, создающих несимметричную на грузку по фазам трехфазной системы с линейными токами, содержащими в своем составе, кроме основной гармоники, ряд высших гармоник, связано с необходимостью улучшения рабочих параметров сети [1]. Наличие повышенных значений токов электрической сети, вызванных реактивным характером нагрузки, приводит к увеличению плотности тока и, как следствие, к повыше -нию вероятности возникновения локальных источников нагрева в местах контактных соединений и повреждений сети.
Реактивные токи могут быть существенно уменьшены за счет компенсаторов реактивной мощности, фактически представляющих собой параметрические оптимизаторы, содержащие реактивные элементы, величины которых должны выбираться в зависимости от конкретного стационарного режима [1; 2].
Наиболее просто статический компенсатор может быть выполнен в виде соединения реактивных элементов по схеме «треугольник». В этом случае процесс оптимизации должен состоять в оценке величин трех элементов,
доставляющих минимум целевой функции (критерий качества) в форме суммы квадратов линейных токов трехфазной системы.
Остановимся на данном вопросе более детально. Рассмотрим трехфазную систему, представленную на рис. 1.
Токи нагрузки 1А , 1В и 1С, кроме основной гармоники, содержат высшие гармоники и могут быть представлены уравнениями:
iA iA1 + ^ iAk,
k-2
n
iB - +x ^,
k-2
p
iC - iCX + ^ iCk, k-2
(1)
(2)
где m, n, и p — целые числа.
m
С учетом токов через элементы компенсатора (рис. 1), линейные токи можно представить системой уравнений:
IАХ = IА + САВ “ТТ (АВ )_ "ГГ ССА (СА ), (4)
ш т
d ( \ d dt (BC )— dt
dd dt (CA )— dt
iBX i-B + CBC ^ (uBC) 1^CAB (uAB)’ (5)
i-CX iC + CCA ^ (uCA) Cbc (uBC)' (6)
Получив мгновенные значения линейных токов с помощью системы уравнений (3, 4, 5), мы можем вычислить их квадраты в любой момент времени и ввести интегральный
квадратичныи критерии качества:
T J(iAX + *BX + iCX)dt T 0
(7)
отнесенный к периоду основной гармоники.
Очевидно, независимо от формы кривых токов i , iBX и iCX , мы можем выбрать такие значения емкостей (индуктивностей) компенсатора, которые доставляют минимум (7).
Заметим, что в систему уравнений (3, 4, 5) параметры CAB, CBC и CCA входят линейно и, следовательно, могут быть оценены по экспериментальным данным с помощью статистических методов оценки. Поскольку задача параметрической оптимизации не содержит ограничений на переменные состояния, она может быть решена путем взятия частных производных от (7) по переменным CAB, CBC и CCA и приравнивания их к нулю. После преобразований результирующие уравнения для оценки численных значений емкостей будут равны:
^Vm (4CAB + CBC + CCA )= _(3lAlm Sin Wl —
- lA1m COS Wl + ^3IBlm Sin Wl + 1 Blm COS Wl ^ (8)
®Vm (CAB + 4CBC + CCA )= -(3lBlm Sin Wl —
- 1 Blm COSWl + V3IClm Sin Wl + 1 Clm COSWl ), (9)
^Vm (C AB + CBC + 4CCA )= (F31 Clm SinWl —
- 1 Clm COS Wl + S1 Alm Sin Wl + 1 Alm COS Wl ), (10)
где 1 Alm , IB1m и IC1m — амплитудные зна-
чения токов первых гармоник токов нагрузки IА, 1В и ¡С соответственно;
¥ l, ¥ 2 и у 3 — фазовые углы между векторами токов и векторами соответствующих напряжений.
Решение системы уравнений (8, 9, 10) относительно искомых параметров может быть получено средствами символьной математики и имеет вид:
C =--
C AB
l
CoV_
l Т ■
^31 Alm SinWl - 1 Alm COS Wl +
+ V3 1 Blm Sln^l + 1 Blm COSWl
(11)
C =-
CBC
l
CoV„
l i- ■
1 Blm SinWl - 1 Blm COSWl +
+ ^ß 1 Clm SinWl + 1 Clm COSWl
(12)
C = -
CCA
l
CoVm
^3 1 Clm SinWl - 1 Clm COS Wl +
+ 73 1 Alm SlnWl + 1 Alm COS Wl
(13)
Если любая из оцениваемых с помощью системы уравнений (11, 12, 13) величин будет иметь отрицательные значения, это означает, что в качестве соответствующего элемента компенсатора должна использоваться индуктивность.
Если теперь рассчитанные по уравнениям (11, 12, 13) емкости установить между линейными проводами (рис. 2), можно получить линейные токи исследуемой трехфазной системы:
iAX = 1 cm )
iBX = 1 cm Sin
iCX = 1 cm Sin
' C ^
cot —n
У 3 J
' C '
ot + — n
У
3
(14)
(15)
(16)
J
где Icm = 3 (lAlm C0S ¥l + IB1m C0S ¥2 + 1 C1m C0S ¥3 )•
Представляет интерес процедура минимизации критерия качества (7), основанная на
l
Выпуск 1
последовательном анализе тока каждой линии. С этой целью основная задача подразделяется на ряд простых подзадач, решение которых сопряжено с меньшим объемом вычислений, что важно для реализации компьютерного управления судовым электроэнергетическим комплексом. Значения искомых параметров компенсатора на конечном этапе вычислений определяются по промежуточным расчетам с помощью простых соотношений.
Рассмотрим трехфазную систему с раздельной компенсацией линейных токов, представленную на рис. 2. Такое разделение возможно согласно соотношениям (11, 12, 13). Исходя из рис. 2, а и уравнений (1, 2, 3), линейный ток ? :
IАХ = А + ^ ^Ак + САВ~Г (КаВ ) — ССА~Г (КсА ). (17)
к-2 Ш Ш
т
106]
Рис. 2. Трехфазная система с раздельными компенсаторами токов нагрузки
Предположим, напряжения УАВ, УВС и УСА равны:
УАВ =У>п(С0Г +ф! ) (18)
УВС =У^п(&1 + ф2 ) (19)
УСА =УмЫп(Р1 +ф3 ) (20)
Тогда параметрическая минимизация квадрата тока (17) приводит к необходимости решения следующей системы уравнений:
оУ„ (2САв + С"а )= -2/а1„5!п (<Р1 - Ф1) (20
оУ. Сав + 2ССа )= -2/а1„=!п(<Р1 - ф,) (22)
Пусть ф1 - 30°, ф2 --90° и ф3 - 150°. Тогда составляющие компенсатора можно записать следующим образом:
С = -
САВ
С = -
ССА
А1т
соУ„ I
т V
с
А1 т
Тз
81П у/1 - 008 /
оУт
V
л/3
(23)
(24)
Если теперь подключить С'АВ и С''СА согласно рис. 2, а, нетрудно убедиться в равенстве нулю первой гармоники х .
Аналогично можно получить компенсирующие емкости, требуемые для минимизации среднеквадратичных значений токов ¡В и ¡С . Для цепей, представленных на рис. 2, б и 2, с они определяются с помощью формул:
С' _ -
^ ВС
I
В1 т
юУ
вту 2 - сову 2
С' 1В1т
АВ ~ юУ.
а также:
С' _ С1т
СА _
юУ,
С" — С1т
^ВС
юУ
1
73 1
13
—^вту 3 - сову 3 л/ 3
вту 1 - сову 1
вту 3 - сову 3
(25)
(26)
(26)
(27)
Сравнивая уравнения (8)—(10) и (23)-(27), мы видим, что
Сав =Сав + САв)/2,
СВС = (с'вс + СВС)12,
Сса =(С’Са + С'са)/ 2.
(28)
(29)
(30)
1
Эти значения обеспечивают сбалансированность линейных токов трехфазной системы и напряжений, определенных системой уравнений (14)-(16).
Для получения значений параметров (28)-(30) предлагается вычислительный алгоритм оценки оптимальных параметров по результатам измерений (экспериментальным данным). Задача параметрической оптимизации фактически состоит в оценке параметров модели, полученной для переопределенной системы уравнений методом Мура-Пенроуза. Система уравнений составляется следующим образом.
Разделим период основной частоты Т на N интервалов. Тогда интегральный критерий качества (7) для тока г 'АХ может быть представлен в виде суммы:
Л =1 j-i
iA,+ Сав^, (VABj)~ Сса^ (Уса,)
(31)
где под знаком суммы в (31) согласно (17) содержатся значения тока г'АХ в дискретные моменты времени ] = 1, 2, ..., N.
Обратим внимание на то, что i' Aj , V
ABj
CAj
являются известными величинами для
всех ] _ {1, . Кроме того, исключая ] _ 0,
мы можем определить значения производных для напряжений и, таким образом, записать переопределенную систему уравнений в векторно-матричной форме:
иА=d dt
Ua
Ua
- UcAX -Uc
U ABN
Uс
Ca -Cab CCaУ
~A=1
lA\ lA2
*AN
Г.
(32)
(33)
(34)
Тогда IА _ иА • СА и, следовательно, оптимальная оценка СА определится с помощью формулы:
Ca = (UA ■ Uа )-1 ■ ¿~А ■ ~а =
AB
CA
(35)
Аналогично можно записать оценки параметров, относящихся к линейным токам
1 в и 1С :
Cb = (UB ■ ив )-1 ■ UB ■ ~в = Сс = (UC ■ Uc)-1 ■ итс ■ ~с =
C
BC
C
AB .
C
CA
C
BC
(36)
(37)
которые на заключительном этапе позволяют получить параметры компенсатора CAB , CBC и ССА согласно системе уравнений (28)-(30).
Для реализации процедуры оценки параметров компенсатора с помощью соотношений (35)-(37) рассмотрим следующий пример [2]. Предположим, что токи нагрузки равны:
iA = 11,695 ■ sin(t - 86,07°}- sin(5t),
iB = 9,580 ■ sin(t + 154,8°)+ 2 ■ sin(5t + 120°),
iC = 10,999 ■ sin (t + 43,97 °)+ 3 ■ sin (5t -120 )
а напряжения определяются уравнениями:
uAB = 42 *43 ■ sin (t + 30°), uBC = 42 *43 ■ sin(t - 90°) uCA =42 *43 ■ sin (t+150°).
Разделим период T = 1 на N = 50 равных частей, и для решения задачи составим скрипт-файл sah222.m в среде MatLAB:
% sah222.m
% Parameter estimation for 3-phase circuit compensator.
N=50;
t1=1:N;
t=(2*pi/50)*t1;
% Data for estimation: Ia=11.695*sin(t-86.07*(pi/180))+sin(5*t); Ib=9.580*sin(t+154.8*(pi/ 180))+2*sin(5*t+120*(pi/180));
Ic=10.909*sin(t+43.97*(pi/180))+3*sin(5*t-
120*(pi/180));
I=Ia+Ib+Ic;
plot(t,Ia,t,Ib,t,Ic,t,I,’*’),grid
pause
Vca=sqrt(2)*sqrt(3) *sin(t+150*(pi/180));
Vab=sqrt(2)*sqrt(3)*sin(t+30*(pi/180));
Vbc=sqrt(2)*sqrt(3)*sin(t-90*(pi/180));
% Voltage derivatives: Uca=sqrt(2)*sqrt(3)*cos(t+150*(pi/180));
2
и
T
Выпуск 1
Uab=sqrt(2)*sqrt(3)*cos(t+30*(pi/180));
Ubc=sqrt(2)*sqrt(3)*cos(t-90*(pi/180));
% Параметрическая оценка методом псевдоинверсии Мура-Пенроуза.
L1=[Uab’ -Uca’]; a1=L1\(-Ia’);
L2=[Ubc’ -Uab’]; a2=L2\(-Ib’);
L3=[Uca’ -Ubc’]; a3=L3\(-Ic’);
% Optimal parameters: Cab=(a1(1)+a2(2))/2;
Cbc=(a2(1)+a3(2))/2;
Cca=(a3(1)+a1(2))/2;
% Modeling:
Iax=Ia’+L1*[Cab Cca]’;
Ibx=Ib’+L2*[Cbc Cab]’;
Icx=Ic’+L3*[Cca Cbc]’;
% Graphics:
plot(t,Ia’,’k’,t,Ib’,’k’,t,Ic’,’k’,t,Iax,’k’,t,Ibx,’k’ ,t,Icx,’k’), grid
'42))/N
% Cost before parametric optimization: Jo=(sum(Ia.A2)+sum(Ib.A2)+sum(Ic.A2))/N % Cost after parametric optimization: Jopt=(sum(Iax.A2)+sum(Ibx.A2)+sum(Icx.
i
% Ratio:
K=Jo/Jopt
Величины UAB, UBC и UCA есть производные напряжений VAB, VBC и VCA. Принятые в файле обозначения полностью соответствуют вышеприведенным соотношениям.
В результате расчетов получены следующие параметры: C = 2,5001, C = 1,9987
и CCA= 2,9966.
Кривые токов трехфазной системы приведены на рис. 1.
Критерий качества для системы без компенсации составил J0 _ 180,7779, а для системы с параметрической оптимизацией
'1оРг _ 9,9918 . Отношение к _ J0/ Jopt _18,1.
Параметрическая оптимизация компенсатора
*
о
к
£
к
cd
В
108]
Рис. 3. Токи трехфазной системы без компенсатора (1а, 1Ь, 1с) и с компенсатором (1ах, 1Ьх, 1сх)
Список литературы
1. Арриллага Дж., Брэдли Д., Боджер П. Гармоники в электрических системах: пер. с англ. — М.: Энергоатомиздат, 1990. — 320 с.
2. Гринкевич Я. М., Сахаров В. В. Наблюдатели и оцениватели состояния в судовых системах управления. — СПб.: СПГУВК, 2001. — 193 с.
