CC BY
112
Геодезия
УДК 528.1:629.7
ОЦЕНКА ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ОШИБКИ МАТРИЦЫ ИЗОХРОННЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
Владимир Иванович Дударев
Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, кандидат технических наук, профессор кафедры геодезии СГГА, тел. (383)344-36-60, e-mail: leodvi@rambler.ru
Рассмотрены различные методы расчета матрицы изохронных производных и выполнена оценка их относительных ошибок для нескольких видов орбит космических аппаратов.
Ключевые слова: динамическая система, измерительная задача, космический аппарат, частные производные.
ESTIMATION OF THE ISOCHRONOUS DERIVATIVE MATRIX RELATIVE ERROR
Vladimir I. Dudarev
Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., Ph.D., Prof., Department of Geodesy, tel. (383)344-36-60, e-mail: leodvi@rambler.ru
Various methods of calculation of a matrix private derivatives are considered and the estimation of their relative mistakes for several kinds of orbits of space satellite is executed.
Key words: dynamic system, measuring problem, space satellite, private derivatives.
Задача дифференциального уточнения орбит космических аппаратов (КА) относится к классу измерительных задач (задач оценивания), в которых по результатам измерений требуется определить состояние конкретной нелинейной динамической системы на конечном интервале времени T = [t0, tk]. На одном из этапов выполнения этой задачи формируется система нелинейных уравнений, которая решается итерационными методами. Наибольшее распространение получил метод последовательных приближений Гаусса - Ньютона. Этот метод предусматривает последовательное выполнение ряда линейных задач до достижения принятого критерия окончания итеративного процесса.
При решении системы линейных уравнений поправок на число итераций существенное влияние оказывает точность вычисления матрицы коэффициентов. Она состоит из градиентной матрицы и матрицы частных производных, которая иначе называется матрицей изохронных производных, или матрицантом. По исследованиям автора относительная ошибка расчета элементов градиентной матрицы находится в пределах от 2 ■ 10-7 до 7 ■ 10-5. Величина относительной ошибки матрицы изохронных производных зависит от метода расчета элементов этой матрицы. Далее такую относительную ошибку будем называть относительной методической ошибкой. Ниже изложим методику оценки относительной методической ошибки матрицанта, а также приведем ее численные значения для некоторых типов орбит, характерных для геодезических спутников.
7
Геодезия
Для анализа выберем матрицант M в прямоугольных координатах
м = дХ
дХА
(1)
где X - шестимерный вектор-столбец фазовых координат КА на текущий момент времени te T; X0 - шестимерный вектор-столбец фазовых координат КА на начальный момент времени t0 e T.
Этот матрицант универсален в применении. Например, в случае оценива-
ния другого набора S элементов орбиты КА, матрица коэффициентов
о
системы линейных уравнениях поправок может быть получена по формуле [1]
дУ = дУ дХ дХ0
ds0 = дХ ”дХ0 'as/
где у - измеряемая функция; S0 - вектор других элементов орбиты КА в момент времени t0 e T.
В современных алгоритмах дифференциального уточнения орбит спутников используются как аналитические, так и численные методы расчета матри-цанта M. Аналитические методы, даже учитывающие вековые возмущения первого порядка от второй зональной гармоники геопотенциала, являются приближенными [2, 3]. Они подвержены ошибкам, обусловленным отличием возмущенного движения КА от невозмущенного. Но затраты машинного времени при реализации аналитических методов расчета матрицантов минимальны. Численные методы, основанные на численном интегрировании дифференциальных уравнений движения КА, требуют больших затрат машинного времени, занимающих иногда до 80 % от общего времени решения измерительной задачи [4].
В целях экономии времени при интегрировании дифференциальных уравнений движения учитывают не все возмущения, что приводит к методическим ошибкам расчета матрицы изохронных производных. Такого рода ошибки возрастают с увеличением отрезка времени T. В результате можно получить смещенные оценки вектора параметров состояния динамической системы, возрастание числа итераций в задаче оценивания и даже отсутствие сходимости итерационного процесса. Для плохо наблюдаемых динамических систем эти явления получают более выраженный характер. По этим причинам на этапе постановки задачи оценивания желательно иметь представление о величине таких ошибок, чтобы для конкретной обрабатываемой орбитальной дуги выбрать наиболее подходящий (в смысле точности и затрат машинного времени) метод расчета матрицанта.
Для оценивания относительных методических ошибок матрицанта на отрезке времени T необходимо иметь его точные значения в моменты ti e T (i = 1, 2, ..., n;
8
Геодезия
n - число моментов). Точные значения матрицантов, которые будем называть эталонами Э (т. е. точность расчета эталонного матрицанта на один-два порядка выше точности расчета матрицанта M), будем получать методом односторонних конечных разностей с учетом возмущений от несферичности Земли (все гармоники до 16 порядка), притяжения Луной, Солнцем и прямого светового давления. Для получения фазовых координат X на текущие моменты времени будет выполняться численное интегрирование дифференциальных уравнений движения КА. Элементы матрицанта M, полученные по формуле (1) на те же моменты времени каким-либо другим методом, можно сравнить с соответствующими элементами эталонного матрицанта. После чего можно оценить методическую относительную ошибку расчета каждого элемента матрицы M.
Матрица изохронных производных имеет размерность 6 х 6 и содержит 36 элементов. С точки зрения технической реализации этот факт усложняет анализ изменения во времени методической относительной ошибки каждого элемента матрицанта. Поэтому удобнее использовать некоторую обобщенную характеристику ошибок расчета всех элементов матрицы.
За такую оценку примем отношение 5 евклидовых норм двух матриц [5]
8 = 1М - Э|| у| |Э|| Е; (3)
М - Э
(£ £к-э у) у
K=1j=1
6 6 О 1/
(£ £(эkj)2)/2 , K=1j=1
(4)
где mkj и эк - элементы матриц M и Э, стоящие на пересечении строки К и столбца j.
Параметр 5, определяемый отношением (3), будем называть относительной методической ошибкой расчета матрицы изохронных производных M. Если же M будет сравниваться с матрицантом, полученным другим методом, то параметр 5 будем называть относительной разностью двух матрицантов.
Для вычисления параметра 5 для заданной последовательности моментов ti выполнялось численное интегрирование методом Эверхарта дифференциальных уравнений движения. На эти же моменты времени методом односторонних конечных разностей рассчитывались элементы матрицы изохронных производных. Численные значения элементов матрицанта M на моменты ti определялись аналитическим методом.
Для исследований выбраны четыре модельные орбиты С, Т, Л и И, которые по своим параметрам близки к орбитам геодезических КА. Их начальные условия, заданные в виде кеплеровых элементов, а также период обращения р представлены в табл. 1.
9
Геодезия
Таблица 1
Начальные условия модельных орбит КА
Кеплеровы элементы С Т Л И
a 7 320 000 м 8 000 000 м 12 266 554 м 42168000 м
e 0,02 0,01 0,0042 0,00031
i 49,8° 90,0° 109,0° 1,0°
П 0,0 0,0 221,1 0,0
ю 0,0 0,0 279,3 0,0
v 0,0 0,0 192,0 0,0
p 1,73h 1,99h 3,76h 23,94h
Моменты времени ti, на которые рассчитывались матрицанты, подбирались так, чтобы на одном обороте КА было десять точек с интервалом в 0,1 р. В этом случае два исходных положения КА в пределах одного оборота находятся на угловом расстоянии примерно в 36°. Кроме того, моменты времени вычислялись не на каждом обороте, а с некоторым пропуском целого числа оборотов. Время полета КА, длина дуги орбиты, число пропускаемых оборотов и общее число n моментов времени для каждой исследуемой орбиты приведены в табл. 2.
Таблица 2
Характеристика модельных орбитальных дуг
Характеристика дуги С Т Л И
Время полета КА (час) 240,6 237,4 236,6 239,4
Длина дуги (обороты) 139 120 64 10
Число пропускаемых оборотов 5 4 2 0
Общее число моментов времени 240 250 220 100
Эталонные значения матрицантов были получены дважды: со значениями
о
приращений ДХ к начальным условиям движения X0, равными ДХ = Х0 ■ 10' и ДХ = Х0 ■ 10-9. При этом интегрирование уравнений движения выполнялось с относительной ошибкой 10-10 и с учетом указанных выше возмущений. Относительная разность этих двух эталонов принята в качестве относительной ошибки расчета эталона Э, полученного с приращениями к начальным условиям ДХ = Х0 ■ 10-9. Значения этой ошибки приведены в табл. 3.
10
Геодезия
Таблица 3
Относительная ошибка эталонных матрицантов (х 10-6)
Время полета КА (час) С Т Л И
48 3,0 2,6 1,2 1,7
120 6,0 6,1 2,7 4,1
240 11,9 11,0 4,9 8,2
Матрицы изохронных производных M для каждой модельной орбиты КА рассчитывались на заданные моменты времени ti различными методами и с учетом различных возмущений. В табл. 4 приведено описание условий формирования исследуемых матрицантов.
Методы расчета матрицантов
Таблица 4
Вариант Метод расчета Условия расчета
1 (эталон) конечных разностей Значения приращений ДХ = Х0 ■ 10-9. Учтены возмущения от несферичности Земли (все гармоники до 16-го порядка), притяжения Луной, Солнцем и прямого светового давления. Относительная точность интегрирования уравнений движения 10-10
2 конечных разностей Значения приращений ДХ = Х0 ■ 10-9. Учтено влияние только 2-й зональной гармоники геопотенциала. Относительная точность численного интегрирования уравнений движения 10-10
3 конечных разностей Значения приращений ДХ = Х010-9. Учтено влияние всех гармоник геопотенциала 2-го порядка. Относительная точность численного интегрирования уравнений движения 10-10
4 вариаций С учетом возмущений только от 2-й зональной гармоники геопотенциала в основной и вариационной системах дифференциальных уравнений
5 аналити- ческий По траектории, в которой учтены возмущения от несферичности Земли (все гармоники до 16-го порядка), притяжения Луной, Солнцем и прямого светового давления
6 аналити- ческий По траектории, в которой учтено влияние всех гармоник геопотенциала 2-го порядка
7 аналити- ческий По траектории, возмущенной только 2-й зональной гармоникой геопотенциала
8 аналити- ческий По невозмущенной траектории
11
Геодезия
В качестве аналитического метода реализован метод, который основан на соотношениях невозмущенного движения. Вариационный метод основан на численном интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений в вариациях [6]. Матрицант варианта 1 в табл. 4 принят за эталон Э.
В табл. 5 представлены значения ошибки 5 для сравниваемых с эталоном Э (вариант 1) различных вариантов расчета матрицанта M на интервалах времени полета КА в 48, 120 и 240 часов. В табл. 6 приведены значения относительной разности 5 между некоторыми матрицантами.
Таблица 5
Значения относительной методической ошибки 5 (хЮ-4) расчета матрицанта M для модельных орбит
Сравниваемые Название модельной орбиты
варианты С Т Л И
1-2 34 19 2,4 4,2
82 51 5,8 10,7
160 102 11,3 23,5
1-3 14 11 - -
35 30 - -
68 60 - -
1-4 34 19 2,4 4,2
82 51 5,8 10,7
160 102 11,3 23,5
1-5 47 37 22 2
47 58 23 4
65 91 23 12
1-6 49 39 - 4
55 62 - 11
82 104 - 24
1-7 55 40 23 4
90 70 24 11
167 130 27 24
1-8 3 080 910 583 13
6 900 2 200 1 433 34
12 840 4 350 2 892 68
12
Геодезия
Значения относительной разности матрицантов (х 10-4)
Таблица 6
Сравниваемые варианты Название модельной орбиты
С Т Л И
2-3 16 9 - -
48 22 - -
93 43 - -
2-4 0.017 0.016 - 0.019
0.035 0.019 - 0.047
0.063 0.021 - 0.091
Данные, представленные в табл. 5, дополнительно иллюстрируются графиками. На них показано изменение относительных методических ошибок матрицантов во времени. Обозначение варианта у каждого графика состоит из буквы, соответствующей названий модельной орбиты, и цифр в скобках - номеров сравниваемых вариантов.
Из результатов, представленных в табл. 5, видно, что с увеличением высоты полета КА уменьшается относительная методическая ошибка матрицантов. Это объясняется тем, что с ростом высоты полета КА уменьшается возмущающее действие не учитываемых гармоник геопотенциала. Однако в варианте (1-2) ошибка 5 для орбиты И примерно в два раза больше, чем для орбиты Л. Это обусловлено тем, что при расчете матрицантов M (см. табл. 4, вариант 2) для орбит Л и И не учитывалось притяжение КА Луной и Солнцем, которое растет с увеличением высоты полета.
Из сравнения вариантов (1-2) и (1-3) следует, что учет, кроме 2-й зональной гармоники, еще тессеральных и секториальных гармоник 2-го порядка повышает точность вычисления матриц изохронных производных примерно в два раза.
Данные вариантов (1-4) и (2-4) показывают, что вариационный метод [7] расчета матрицантов с учетом влияния 2-й зональной гармоники в основной и вариационной системах дифференциальных уравнений совпадает по точности с методом конечных разностей, также учитывающим только влияние 2-й зональной гармоники. Но вариационный метод предпочтительнее разностного, так как требует значительно меньших затрат машинного времени.
Как показывают данные табл. 5, при расчете матрицантов аналитическим методом, основанном на зависимостях кеплерова движения, целесообразно применять элементы орбиты, полученные из интегрирования дифференциальных уравнений движения с учетом полного набора возмущений. При этом аналитический метод сопоставим по точности разностному методу, учитывающему влияние второй зональной гармоники. Этот вывод следует из сравнения вариантов (1-2) и (1-5).
13
Геодезия
Наибольшую относительную методическую погрешность имеют матри-цанты, вычисленные по параметрам невозмущенной орбиты. Это следует из анализа результатов варианта (1-8). Отметим, что во всех вариантах относительная методическая ошибка матрицантов растет вековым образом при увеличении длины орбитальной дуги. Это хорошо видно на представленных графиках изменения ошибки 8 (рис. 1-12).
Обобщая результаты выполненных исследований, можно сделать следующие выводы.
1. При реализации аналитического метода, основанного на зависимостях кеплерова движения, необходимо использовать элементы орбиты, полученные из интегрирования дифференциальных уравнений движения с полным набором возмущений.
2. Аналитический метод расчета матрицанта, основанный на зависимостях невозмущенного движения и использующий элементы орбиты, полученные из интегрирования дифференциальных уравнений движения с полным набором возмущений, совпадает по точности с разностным методом, учитывающим влияние только 2-й зональной гармоники.
3. Относительная методическая ошибка матрицантов уменьшается примерно в два раза, если при их расчете учитывать влияние не только 2-й зональной гармоники геопотенциала, но также тессеральной и секториальной гармоник 2-го порядка.
4. Относительная методическая ошибка матрицантов с увеличением длины орбитальной дуги растет вековым образом. Чтобы уменьшить величину этой ошибки, следует начальную эпоху t0 е T при дифференциальном уточнении орбит выбирать в середине мерного интервала T.
Рис. 1. Изменение ошибки 8, вариант С (1-2)
Рис. 2. Изменение ошибки 8, вариант T (1-2)
14
Геодезия
Рис. 3. Изменение ошибки 5, вариант Л (1-2)
Рис. 4. Изменение ошибки 5, вариант И (1-2)
Рис. 5. Изменение ошибки 5, вариант С (1-5)
Рис. 6. Изменение ошибки 5, вариант Т (1-5)
Рис. 7. Изменение ошибки 5, вариант Л (1-5)
Рис. 8. Изменение ошибки 5, вариант И (1-5)
15
Геодезия
Рис. 9. Изменение ошибки 8, вариант С (1-8)
Рис. 10. Изменение ошибки 8, вариант Т (1-8)
Рис. 11. Изменение ошибки 8, Рис. 12. Изменение ошибки 8,
вариант Л (1-8) вариант И (1-8)
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Жданюк Б.Ф. Основы статистической обработки траекторных измерений. - М.: Сов. радио, 1978. - 384 с.
2. Использование искусственных спутников Земли для построения геодезических сетей / Е.Г. Бойко, Б.П. Кленицкий, И.М. Ландис, Г.А. Устинов. - М.: Недра, 1977. - 376 с.
3. Урмаев М.С. Орбитальные методы космической геодезии. - М.: Недра, 1981. - 256 с.
4. Экспериментальная баллистика космических аппаратов / В.Н. Брандин, А.А. Васильев, А.А.Куницкий. - М.: Машиностроение, 1984. - 264 с.
5. Машинные методы математических вычислений / Д. Форсайт, М. Малькольм, К. Мо-улер; Пер. с англ. Х.Д. Икрамова. - М.: Мир, 1980. - 279 с.
6. Задача определения орбит геодезических ИСЗ и методы расчета изохронных производных / Ю.В. Сурнин, С.В. Кужелев, В.И. Дударев; Новосиб. ин-т инж. геод., аэроф. и карт. - Новосибирск, 1986. - 22 с. - Деп. в ОНТИ ЦНИИГАиК 24.03.86, № 203-гд 86.
7. Кужелев С.В. Вычисление частных производных регулярных элементов эллиптической орбиты ИСЗ по параметрам правых частей уравнений движения на основе экстраполяционного метода численного интегрирования; Новосиб. ин-т инж. геод., аэроф. и карт. - Новосибирск, 1982. - 30 с. - Деп. в ОНТИ ЦНИИГАиК 28.08.82, № 91-гд 82.
Получено 14.04.2011
© В.И. Дударев, 2011
16
