CC BY
52
2011
Теоретические основы прикладной дискретной математики
№1(11)
УДК 519.1, 519.7
ОЦЕНКА НЕЛИНЕЙНОСТИ КОРРЕЛЯЦИОННО-ИММУННЫХ
_____ «.»
БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ1
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, г. Москва, Россия
Исследуется точность оценки нелинейности булевых функций от п переменных, корреляционно-иммунных порядка т: п1(/) ^ 2п-1 — 2т. Показывается, что для всех пар значений п ^ 512 и 0 < т < п — 1, кроме двух серий т = 2е, п = 2е+1 + 1 и т = 2е + 1, п = 2е+1 + 2 при в ^ 0, эту оценку можно улучшить до п1(/) ^ 2п-1 — 2т+1. Справедливость результата для п < 512, 0 < т < п — 1 проверена на компьютере.
Ключевые слова: булевы функции, нелинейность, корреляционная иммун-
Булевы функции активно применяются при построении быстрых блочных и поточных шифров. Стойкость получающихся шифров напрямую зависит от характеристик этих булевых функций. Наиболее важными из них являются корреляционная иммунность, нелинейность, устойчивость, алгебраическая иммунность. Отсюда вытекает сложная задача построения функций с наилучшими значениями этих параметров. Большинство вопросов в этой области по-прежнему остаются открытыми.
В частности, не известна точная граница нелинейности для корреляционно-иммунных порядка т функций от п переменных. В работах [1-3] независимо друг от друга была доказана оценка п1(/) ^ 2п-1 — 2т. При 0 < т ^ п/2 — 1 лучшую оценку дает равенство Парсеваля, из которого следует п1(/) ^ 2п-1 — 2п/2-1. При этом равенство п1(/) = 2п-1 — 2п/2-1 достигается лишь для бент-функций, которые не бывают корреляционно-иммунными. Установлено, что при т > п/2 — 1 из равенства п1(/) = 2п-1 — 2т следует комбинаторное соотношение для п и т, которое будет дано далее. Единственными известными значениями параметров п и тах(0, п/2 — 1) < т < п—1, при которых оно выполняется, являются серии т = 2е, п = 2е+1 + 1 и т = 2е + 1, п = 2е+1 + 2 при в ^ 0. Следует отметить, что для малых значений в функции с этими параметрами действительно существуют. В частности, легко построить функции для п = 3, 5, 6 (примеры можно найти в статье [4]), а в работе [5] построены примеры функций для п = 9,10. Однако доказать отсутствие других подходящих пар значений п и т долгое время не удавалось. Ближе всего к этому вопросу удалось подобраться в работе [6], где было доказано соотношение
хРабота поддержана грантом РФФИ (проект 08-01-00863), грантом ведущих научных школ РФ (проект НШ-4437.2010.1) и программой фундаментальных исследований ОМН РАН «Алгебраические и комбинаторные методы математической кибернетики и информационные системы нового поколения».
А. В. Халявин
E-mail: [email protected]
ность.
Введение
В данной работе докажем, что при n ^ 512 никаких других подходящих пар, кроме указанных двух серий, не существует. Значения n < 512 легко проверить на компьютере.
1. Основные определения
Пусть F2 = {0,1} — поле из двух элементов. Под булевыми функциями будем понимать отображения f : F2 М F2. Весом wt(u) набора u Е FT назовём количество единиц в нём. Весом wt(f) булевой функции f будем называть число её единичных значений. Расстояние между булевыми функциями — это число наборов, значения функций на которых различаются. Нелинейностью nl(f) булевой функции f назовём расстояние до ближайшей к ней аффинной функции. Будем говорить, что набор x Е F21 мажорируется набором у Е Fn и обозначим это x у, если Xj ^ у* для всех i = 1,... , n. Подфункцией булевой функции f назовем функцию, полученную из неё подстановкой констант вместо некоторых аргументов. Булева функция f от n переменных называется корреляционно-иммунной порядка m, 1 ^ m ^ n, если для всех её подфункций f' от n — m переменных выполняется соотношение wt(f;) = wt(f)/2m. Для изучения корреляционно-иммунных функций активно используется преобразование Уолша
W(u) = Е (—1)f(x)+(x>u),
где (x,u) — скалярное произведение векторов x и u. Числа Wf (u) называются коэффициентами Уолша и обладают множеством замечательных свойств. Сформулируем некоторые из них.
Равенство Парсеваля:
£ Wf(u) = 22n.
Равенство Саркара:
£ Wf (u) = 2n — 2wt(w)+1wt(fw),
где fw —подфункция f, полученная подстановкой нулей вместо аргументов xj для всех таких i, что Wj = 1.
Многие свойства булевой функции f могут быть выражены в терминах коэффициентов Уолша. В частности, уравновешенность равносильна Wf (0) = 0, а корреляционная иммунность порядка m — условию Wf (u) = 0 при 1 ^ wt(u) ^ m [7]. Кроме того,
нелинейность булевой функции выражается равенством nl(f) = 2n-1------max |Wf (u)|.
2
Корреляционно-иммунную порядка m > 0 функцию f от n переменных будем называть экстремальной, если nl(f) = 2n-1 — 2m.
2. Строение спектра экстремальных функций
Рассмотрим корреляционно-иммунную порядка m, 0 <m<n — 1, булеву функцию f от n переменных. Известно [1, 4], что все её коэффициенты Уолша Wf (u) делятся на 2m+1.
Отсюда следует, что найдется коэффициент Уолша, по модулю не меньший 2m+1,
а значит, nl(f) = 2n-1--max |Wf (u)| ^ 2n-1 — 2m. Кроме того, если неравенство стро-
2 «eFJ
гое, то есть коэффициент Уолша, который по модулю не меньше чем 2m+2, а значит, выполнено nl(f) ^ 2n-1 — 2m+1.
Если m < (n — 1)/2, то, с учётом равенства Парсеваля, имеем nl(f) ^ 2n—1 — 2n/2-1 ^ ^ 2n—1 — 2m. Равенство nl(f) = 2n—1 — 2n/2—1 возможно только на бент-функциях, которые не обладают свойством корреляционной иммунности. Значит, экстремальные функции могут существовать только при m ^ (n — 1)/2. Изучим строение спектра таких функций более подробно.
Теорема 1. Если корреляционно-иммунная порядка m булева функция f от n переменных, m ^ n — 2, имеет нелинейность 2n—1 — 2m, то для всех u Е F2 выполнено условие
Wf (u) = nwt(u)2m+1 (mod 2m+2),
i — 1
где no = 1, п1 = п2 = • • • = nm = 0, ni = £ n j mod 2 при i > m.
j=o j
Доказательство. В силу корреляционной иммунности функции f имеет место Wf (u) = 0 при 0 < wt(u) ^ m.
Как уже отмечено, Wf (0) делится на 2m+1. Предположим, что Wf (0) делится на 2m+2. Докажем индукцией по wt(u), что в таком случае все коэффициенты Wf (u) также делятся на 2m+2. База для wt(u) ^ m очевидна. Докажем переход. Пусть wt(u) > m. По равенству Саркара £ Wf(v) = 2n — 2wt(u)+1 wt(fM). Правая часть де-
v^u
лится на 2m+2. Кроме того, все слагаемые в сумме, кроме Wf(u), делятся на 2m+2 по предположению индукции. Значит, и Wf (u) делится на 2m+2. Переход доказан. Из того, что все коэффициенты Уолша делятся на 2m+2, получаем противоречие:
nl(f) = 2n—1 — 1 max |Wf (u)| ^ 2n—1 — 2m+1. Следовательно, Wf (0) = 2m+1 (mod 2m+2).
2 u
Докажем теперь утверждение теоремы при wt(u) > m индукцией по wt(u). Как и раньше, получаем, что £ Wf (v) = 0 (mod 2m+2). С другой стороны, по предположе-
v^u
нию индукции
wt(u) — 1
£ Wf (v) = Y— (wt (“Л n2”'+1 + Wf (u) = nw,(„)2m+1 + Wf (u) (mod 2m+2),
v^u j=0 ' J /
откуда ввиду 2m+1 = — 2m+1 (mod 2m+2) получаем требуемое. Переход доказан. ■
Заметим теперь, что из nl(f) = 2n—1 — - max |Wf (u)| = 2n—1 — 2m следует |Wf (u)| ^
2u
^ 2m+1, а значит, |Wf (u)| = nwt(u)2m+1. Применяя равенство Парсеваля, получаем следующую теорему.
Теорема 2. Если существует корреляционно-иммунная порядка m булева функция от n переменных, m ^ n — 2, с нелинейностью 2n—1 — 2m, то выполнено
jr ("'к = 22n—2m—(1)
j=0
Далее покажем в лемме 7, что равенство (1) выполнено при n = 2s+1 + 1, m = 2s и n= 2s+1 + 2, m = 2s + 1, где s ^ 0. Однако ранее оставался открытым вопрос о возможности выполнения равенства для других значений n и m. Последующие разделы посвящены доказательству того, что других подходящих пар при n — 2 ^ m ^ (n —1)/2, n ^ 512 не существует.
3. Остатки биномиальных коэффициентов по модулю 2k
Известно, что двоичная запись чисел n и m тесно связана с остатком (m) по моду-
X- 1
лю 2k. Покажем, как именно устроена эта связь. Обозначим F(1) = 1, F(x) = П (2i + 1)
i=1
o
при x > 1, F(x) = 1/ П (2i + 1) при x ^ 0. Поскольку все множители нечётны, то мож-
i=X
но говорить о значении F(x) по модулю 2k для всех целых x. Кроме того, легко видеть, что F(x) = (2x)!/x! при x ^ 0.
Лемма 1. F(x + 2k-1) = cF(x) (mod 2k) для некоторого c, зависящего только от k.
x+2fc-1-1 2fc-1-1
Доказательство. F(x + 2k-1)/F(x) = Д (2i + 1) = Ц (2i + 1) (mod 2k).
i=x i=0
Последнее равенство выполнено потому, что в обеих частях стоит произведение всех нечётных остатков по модулю 2k. Таким образом, утверждение теоремы будет выпол-
2k-1-1
нено, если в качестве c взять П (2i + 1).-
i=0
F (x)
Введем еще одну функцию G(x, y) = .
F (y)F (x — y)
Лемма 2. G(x,y) (mod 2k) периодична с периодом 2k-1 по обоим аргументам. Доказательство.
G(x, y + 2k-1) =
,k- 1Л_ F (x) _ F (x) _ F (x)
F (y + 2k-1)F (x — y — 2k-1) cF (y)c-1F (x — y) F (y)F (x — y)
= G(x, y) (mod 2k). Отсюда следует периодичность по второму аргументу. Для первого аргумента выкладки аналогичны:
G(x + 2k-1 y) = F (x + 2k-1) - cF (x) - F (x) =
, F (y)F (x — y + 2k-1) F (y)cF (x — y) F (y)F (x — y)
= G(x,y) (mod 2k). ■
^ / 2n \ / n \
Лемма 3. = G(n, m).
2m m
Доказательство. Если m > n, то обе части равны нулю. В противном случае 2n\ 2n! (2n)!m!(n — m)! n! F (n) /n'
2my 2m!(2n — 2m)! n!(2m)!(2n — 2m)! m!(n — m)! F(m)F(n — m) \m
) G(n, m). ■
m
0 /2n + 1\ / 2n \ 2n +1 / 2n \ / 2n \ 2n — 2m
Заметим, чт^ = -, = ^ -,
\ 2m у \2mJ 2n — 2m +1 \2m +V \2mJ 2m +1
2n + 1 2n 2n + 1 k
Рассмотрев эти равенства по модулю 2k, получаем сле-
2m + 1 2m 2m + 1
дующую теорему.
Теорема 3. ( 2n + ^ ) = ( n )H((2n + a) mod 2k, (2m + b) mod 2k) (mod 2k), где
\2m + о/ \my
2x + 1
a,b G {0, ^ H(2x, 2y) = G(^ y), H(2x + 1, 2y) = G(x,y)2x —2y + 1, H(2x, 2y + 1) =
2x 2y 2x + 1
= G(x,y)^—y, H(2x +1, 2y + 1) = G(x, y)- ++--.
2y + 1 2y + 1
Обозначим Mk матрицу значений функции H по модулю 2k
Mk
H(О, О) mod 2k
H(2k — 1, О) mod 2k
H(О, 2k — 1) mod 2k
H(2k — 1, 2k — 1) mod 2k
Элемент этой матрицы в (i + 1)-й строке и (j + 1)-м столбце будем записывать как Mk (i, j) = H(i, j) mod 2k. Матрицы с маленькими индексами имеют следующие значения:
M1 =
10
11
M2 =
1ОЗ2
1111
121О
1ЗЗ1
M3
1ОТб14Т2 1 1 1 5 5 5 5 1
1 2 1 О 5 б 5 4
1ЗЗ11ЗЗ1 14З21ОЗб 1 5 5 5 5 1 1 1
1б54521О 1ТТ11ТТ1
Пусть ша = а8_і... а^0 и шЬ = 68-і... Ь^0 —два двоичных слова. Обозначим
£_ ^ I ^_ 1 ^_ 1 \
Пк(ша, шЬ) = П мЛ £ аі+і2^, £ Ьі+І2^ І.
І=0 \і=0 і=0 у
£— 1 £— 1
Для чисел а = £ а^ 2^ и Ь = £ Ь^- 2^, последовательно применяя теорему 3 вместе і=о і=о
с определениями Мк и Пк, получим следующее утверждение.
/ к_2 \
1 £Ьв_к+1+,-2^ ' і=0 к_2
а«_й+1+^'2
і=0
Для каждой матрицы М = {т^} размера 2к х 2к введём функцию М(ша,шЬ) = = т1+[а/2з-к],1+[ь/2а-к]. Аналогично для строки или столбца {т^} размера 2к введём функцию М(ша) = т1+[а/2з-к]. Определим семейство матриц
Лемма 4.
= nk (wb, wa)
V
(mod 2k).
/
M* =
2 — 1
0
2k — 1
2k — 1 2k — 1
Для маленьких k получаем M0* = [1], M* =
10
11
M*
. Тогда бино-
10 0 0 110 0 12 10 13 3 1
миальные коэффициенты можно полностью выразить через функции от их двоичных записей:
= nk(wb, wa)M*_ 1(wb, wa) (mod 2k).
b
a
4. Делимость сумм биномиальных коэффициентов
Для начала выведем более простую формулу для п*.
Лемма 5. При г > т выполнено
£ (т)С)-(т) (т°й2).
Доказательство. Из строения матрицы М1 видно, что биномиальный коэффициент отличен от 0 по модулю 2 тогда и только тогда, когда двоичная запись а мажорирует двоичную запись Ь. Поэтому если двоичная запись г не мажорирует двоичную запись т, то правая часть чётна; левая часть также чётна, поскольку в силу транзитивности мажорирования хотя бы один из множителей в каждом слагаемом будет чётным. Если же двоичная запись г мажорирует двоичную запись т ив ней на к единичных бит больше, то в левой части будет 2к — 1 нечётных слагаемых. Поскольку г = т, то к > 0; значит, левая часть будет нечётной. ■
Лемма 6. При г > т выполнено
П * (г ^ (т°а 2). т
Доказательство. Докажем это утверждение индукцией по г. База г = т + 1: Пт+1 = 1 = (т). Докажем переход:
"=■*,£,•■ С)='+£ 1(,т ЭД='+,|„('т ‘)('—')+ +,£('т ОС—!)=■+.Ё;- (‘—‘)+С т 2)С—1)+
* £ ^)(' - ') " * (’т 2) * £ (т )С - ') • (■ 2) * (‘ т О*
+£(,;,)С—')• £(т)С—')*(,,т‘) “»■
Здесь последнее равенство следует из леммы 5 ввиду г > т + 1. ■
Используя лемму 6, условие (1) можно преобразовать к виду
П ' 2т-2
1+ Z i +
Ki +1 (m )Ei<mod 2 )
Лемма 7. Равенства (1) и (3) верны при n = 2s+1 + 1, m = 2s и n = 2s+1 + 2, m = 2s + 1, где s ^ 0.
Доказательство. Воспользуемся тем, что (Д) = 1 (mod 2) тогда и только тогда, когда двоичная запись i мажорирует двоичную запись m. В случае n = 2s+1 +1, m = 2s
сумма равна
В случае же n = 2s+1 + 2, m = 2s + 1 сумма равна
Лемма доказана. ■
Выразим теперь условие суммирования в (3) в терминах слов. Пусть s = = [log2 max(n,m)] + 1, wn и wm — двоичные записи длины s чисел n и m соответственно. Если i = 2s — 1, то i + 1 = 2s > n, а значит, Q+J = 0. Поэтому значение
i = 2s — 1 можно исключить из суммирования. Используя теперь (2), получаем, что
■+.? (.+.)■
(m)=l(mod 2 )
■ 1+ П (wn, wi + 1)Mk-1(wn, wi + 1) (mod 2k),
wi=11...1,
где под wi + 1 понимается слово той же длины s, представляющее двоичную запись числа i + 1 (mod 2s). Поскольку i < 2s — 1, это слово всегда представляет число i + 1. Обозначим w — натуральное число, соответствующее слову w; |w| —длина слова w. Лемма 8. Пусть wm < wn. Тогда
Е ni (wn, wi + 1) ■ 1 (mod 2).
wi=11...1,
wm^wi
Доказательство. Будем доказывать это утверждение индукцией по длине слов. Если |wn| = 1, то wn = 1, wm = 0. В сумме оказывается только одно слагаемое, соответствующее wi = 0: П1(1,1) = 1. База индукции доказана. Докажем переход. Пусть утверждение верно для |wm| = |wn| ^ k; докажем его для |wm| = |wn| = k + 1. Пусть wm = 1w1, wn = 1w2, w < w2. Получаем
£ n1(1w2,wi + 1) = £ П1 (1 w2, 1(wi + 1)) = £ П1 (w2, wi + 1).
wi=11...1, wi=11...1, wi=11...1,
1w1^wi w^^wi w1 ^wi
Последнее выражение равно 1 по модулю 2 в силу предположения индукции.
Пусть ют = 0и>1, шп = 1ш2. Получаем
£ П1(1ш2,шг + 1) = П1(1ш2,100 ... 0) + £ П1(1ш2, 0(шг + 1)) +
№г=11...1, 0^1 =^№г
№г = 11...1, №1 =^№г
+ Е П1 (1^2, 1(шг + 1)) = 1 + £ (П1(^2,шг + 1) + П1(ш2,шг + 1)) = 1 (шоё 2).
№г=11...1, № 1
№г=11...1, № 1
Пусть шт = 0ш1; шп = 0ш2, ш1 < ш2. Получаем
£ П1(0ш2,шг + 1) = П1(0ш2,100 ... 0) + £ П1(0ш2, 0(шг + 1)) +
№г=11...1,
0№1
№г = 11...1, № 1
+ Е П1(0Ш2,1(шг + 1)) = 0+ £ (П1(^2,шг + 1) + П1(ш2,шг + 1) ■ 0)
№г=11...1,
№1
№г=11...1, №1 ^адг
£ П1(ш2 ,шг + 1) = 1 (шоё 2).
№г=11...1, № 1 ^адг
Последнее сравнение верно в силу предположения индукции. Переход доказан. Лемма 9. Пусть тот < шп. Тогда
1
0
(шп) + Е П2 (шп, шг + 1)
№г=11...1,
01
11
(шп,шг + 1) = 1 (mod 2).
Доказательство. Если длина слов шт и шп равна 1, то шп = 1, шт = 0. Первое слагаемое получается равным нулю, а в сумме оказывается только одно слагаемое,
0 1 (1,1) = 1 ■ 1 = 1. Равенство доказано.
соответствующее шг = 0: П2(1,1)
11
Пусть теперь длина слов больше 1. Пусть шт = 1ш1, шп = 1ш2, ш1 < ш2. Получаем
1
0
(1ш2) + £ П2(1ш2,шг + 1)
№г=11...1, 1 № 1 ^адг
01
11
(1ш2, шг + 1) =
= £ П1(ш2,шг + 1) (шod 2).
№г=11...1, № 1 ^адг
К последнему выражению применяем лемму 8 и получаем требуемое. Пусть шт = 0ш1, шп = 1ш2. Получаем
1
0
(1ш2) + £ П2(1ш2,шг + 1)
№г=11...1, 0№ 1 ^адг
01
11
(1ш2, шг + 1) =
П2(1ш2,100... 0)
01
11
(1ш2,100 ... 0) + £ П2 (1ш2, 0(шг + 1)) +
№г=11...1,
№ 1 ^адг
+ Е П2 (1ш2, 1(шг + 1)) = Щ(ш2, 00 ... 0) + £ (П1(ш2,шг + 1) + П1(ш2,шг + 1))
№г=11...1, №г=11...1,
= 1 (mod 2).
Утверждение доказано.
Пусть, наконец, шт = 0ш1, шп = 0ш2, ш1 < ш2. Получаем
1
0
(0ш2) + £ П2(0ш2,шг + 1)
№г=11...1, 0№ 1 ^адг
01
11
(0ш2, шг + 1)
1 + П2(0ш2,100 ... 0)
01
11
(0ш2,100 ... 0) + £ П2(0ш2, 0(шг + 1)) ■ 0+
№г = 11...1, № 1 ^адг
+ Е П2(0ш2,1(шг + 1)) ■ 1 = 1 + Щ(ш2, 00 ... 0) ■ 1+ £ П1(ш2,шг + 1) =
№г=11...1, № 1 ^адг
№г=11...1, № 1 ^адг
= £ П1(ш2,шг + 1) (шod 2).
№г=11...1, №1 ^адг
К последнему выражению применяем лемму 8 и получаем требуемое. ■
Лемма 10. Пусть шп ^ шт. Тогда
£ П1(шп,шг + 1) = 0 (шod 2).
№г=11...1,
Доказательство. Докажем это утверждение индукцией по длине слов шт и шп. Для слов длины 1 в сумме есть слагаемые лишь при шт = 0, а значит, и шп = 0. В этом случае единственное слагаемое равно П1(0,1) = 0. База индукции доказана.
Докажем переход. Пусть утвеждение доказано для слов длины не больше к, докажем его для слов длины к + 1.
Пусть шт = 1ш1, шп = 1ш2. Тогда Щ ^ Щ^. Получаем
£ П1(1ш2,шг + 1) = £ П1(1ш2,1(шг + 1)) = £ П1(ш2,шг + 1).
№г=11...1, 1^1 ^адг
№г=11...1, № 1 ^адг
№г=11...1, № 1 ^адг
По предположению индукции это выражение сравнимо с 0 по модулю 2. Пусть шт = 1ш1, шп = 0ш2. Получаем
£ П1(0ш2,шг + 1) = £ П1(0ш2,1(шг + 1)) = 0.
г=11... 1,
г=11... 1,
Утверждение доказано.
Пусть шт = 0ш1, шп = 0ш2. Тогда ^ Щ. Получаем
£ П1(0ш2,шг + 1) = П1(0ш2,100 ... 0) + £ П1(0ш2, 0(шг + 1)) +
№г=11...1, 0№ 1 ^адг
№г = 11...1, № 1 ^адг
+ Е П1(0ш2,1(шг + 1)) = 0+ £ (П1(ш2,шг + 1) + П1(ш2,шг + 1) ■ 0)
г=11... 1,
г=11... 1,
£ П1 (ш2,шг + 1).
№г=11...1, № 1 ^адг
По предположению индукции это выражение сравнимо с 0 по модулю 2. Переход доказан. ■
Теорема 4. Пусть для некоторых непустых слов ш1 и ш2 выполнено шт = 10ш1, шп = 11ш2 и > шГ; или шт = 01ш1, шп = 10ш2 и ^ шТ. Тогда
1+ £ П2(шп,шг + 1)М1*(шп,шг + 1) = 2 (шod 4).
№г=11...1,
№
№
1№1
№
№
Доказательство. Рассмотрим первый случай: шт = 10ш1, шп = 11ш2 и ш2 > ш1. Поскольку шт начинается с 1, то и шг начинается с 1. Получаем
1+ £ П2(шп,шг + 1)М1*(шп, шг + 1) =
№г=11...1,
1+ £ П2(11ш2, 1(шг + 1))
№г=11...1, 0^1 ^адг
10
11
(11ш2,1(шг + 1))
1+ £ П2 (1ш2 ,шг + 1) [ 3 1 ] (шг + 1) ■ 1.
№г=11...1, 0№ 1 ^адг
Выделяем слагаемое шг = 011... 1, а остальные слагаемые разбиваем на две суммы: 1+ £ П2(1ш2,шг + 1) [ 3 1 ] (шг + 1) =
№г=11...1,
0^1 ^адг
1 + П2(1ш2,100 ... 0) ■ 1 + £ П2(1ш2, 0(шг + 1)) ■ 3 + £ П2(1ш2, 1(шг + 1)) ■ 1 =
№г=11...1, №1 ^адг
№г=11...1, №1 ^адг
1+
1
3
(^2) + £ П2(ш2,шг + 1) ■ 3
№г=11...1,
№ 1 ^адг
+ £ П2(ш2,шг + 1)
12
13
№г = 11...1, № 1 ^адг
10
31
2
0
(ш2) + £ П2(ш2,шг + 1)
№г=11...1, № 1 ^адг
02
22
(ш2, шг + 1) + (ш2, шг + 1) =
(ш2,шг + 1) (шod 4).
Сокращая на 2, получаем, что утверждение теоремы преобразуется к виду
1
0
(^2) + £ П2(ш2,шг + 1)
№г=11...1, № 1 ^адг
01
11
(ш2,шг + 1) = 1 (шod 2),
который в точности совпадает с леммой 9.
Рассмотрим теперь случай шт = 01ш1, шп = 10ш2 и ^ ш1:
1+ £ П2(шп,шг + 1)М’1*(шп, шг + 1) =
№г=11...1,
1+ £ П2 (10ш2,шг + 1)
№г=11...1, 01^1 ^адг
10
11
(10ш2, шг + 1)
1 + £ П2(10ш2, шг + 1) ■ 1 = 1 + П2(10ш2,100 ... 0) +
г=11... 1,
+ Е П2(10ш2, 0(шг + 1)) + £ П2(10ш2, 1(шг + 1))
№г=11...1, 1 № 1 ^адг
№г=11...1, 1 № 1 ^адг
1 + 1 + £ (П2(0ш2, шг + 1) [ 1 2 ] (шг + 1) + Щ(0ш2, шг + 1) [ 1 0 ] (шг + 1))
№г = 11...1, 1^1 ^адг
2+ £ П2(0ш2,шг + 1) [ 2 2 ] (шг + 1) = 2 + 2 £ П2(0ш2,шг + 1).
ш
01№1
Сокращая на 2, получаем, что утверждение преобразуется к виду
£ n2(0w2,wi + 1) ■ 0 (mod 2).
wi=11...1, 1w1^wi
Продолжая преобразования, получаем
£ П2(0w2, wi + 1) = £ П2(0w2, 1(wi + 1)) ■ £ П1 (w2, wi + 1) (mod 2).
wi=11...1, 1w1^wi
wi=11...1, w1 ^wi
wi=11...1, w 1 ^wi
Утверждение теперь непосредственно следует из леммы 10. Лемма 11. При шт — 2|адт|-1 < шп выполнено
0
1
(wn) + £ П2 (wn, wi + 1)
wi=11...1,
wm^wi
1
0
(wn) ■ 1 (mod 2).
Доказательство. Если wn начинается с 1, то
1
0
(wn) = 0, а значит, сумма
равна нулю. Остается лишь
0
1
(wn) = 1, что и требуется доказать.
Пусть теперь шп = 0ш2. Если шт = 1ш1, то получаем ш1 < ш2, а выражение преобразуется к виду
0
1
(0w2)+ £ П2 (0w2, 1(wi+1))
wi=11...1, w 1 ^wi
1
0
(0w2) ■ 0+ £ n1(w2, wi+1)-1 (mod 2).
wi=11...1, w1 ^wi
Применяя лемму 8, получаем требуемое.
Если шт = 0ш1, то выражение преобразуется к виду
0
1
(0w2 )+ £ П2 (0w2,wi + 1)
wi=11...1 0w1^wi
1
0
(0w2)
0 + П2(0w2, 100 ... 0)+ £ П2(0w2, 0(wi + 1)) ■ 1 + £ n2(0w2,1(wi + 1)) ■ 1 ■
wi = 11...1, w1 ^wi
wi=11...1, w1 ^wi
■ n1(w2, 00 ... 0)+ £ n1(w2,wi + 1) + £ n1(w2,wi + 1) ■ 1 (mod 2).
wi=11...1, wi ^wi
wi = 11...1, w1 ^wi
Утверждение доказано. ■
Лемма 12. Обозначим 0* последовательность нулей длины Ь. При шт = 0*0ш1,
wn = 0*1w2, w1 — 2|w1 1 < w2, t ^ 0 имеет место
1+ £ n2(wn,wi + 1)
wi=11...1,
wm^wi
10
11
(wn, wi + 1) ■ 0 (mod 4).
Доказательство. Докажем утверждение индукцией по Ь. Пусть Ь = 0, откуда шт = 0ш1, шп = 1ш2. Преобразуем выражение:
1+ £ П2 (1w2, wi + 1)
wi=11...1, 0w1 ^wi
10
11
(1w2, wi + 1) =
wi=11...1, w 1 ^wi
wi=11...1, w1 ^wi
= 1+ _3_
+ Е П2 (ш2,шг + 1)
(ш)+ £ П2(ш2,шг + 1)
№г = 11...1,
1 2 1 3
(ш2, шг + 1) +
№г=11...1,
^1
10 2
31 0
(^2) + £ П2(ш2,шг + 1)
№г=11...1,
22 0 0
(ш2, шг + 1).
Сокращая на 2 и прибавляя к обеим частям 1, преобразуем утверждение к виду
0
1
(^2) + £ Щ(ш ,шг + 1)
г=11... 1,
1
0
(ш2) = 1 (mod 2),
который совпадает с леммой 11. База индукции доказана.
Пусть утверждение доказано для £ ^ к, докажем его для £ = к +1. Тогда для слов и шп получаем представление = 00к0и>1, п = 00к 1ш2. Преобразуем выражение:
1+ £ П2(00к 1ш2,шг + 1)
№г=11...1,
10
11
1 + П2(00к 1ш2,100 ... 0)
\к 1
10
11
(00к 1ш2, шг + 1) = (00к 1ш2,100 ... 0) +
+ £ П2(00к 1ш2, 0(шг + 1)) ■ 1+ £ Щ(00к 1^2,1(шг + 1)) ■ 0
№г=11...1, №г=11...1,
1+П2(00к 1ш2,100 ... 0) ■ 0+ £ П2(0к 1ш2,шг + 1)
№г=11...1,
0к 0^1
10
11
(0*1ш2, шг + 1).
Последнее выражение сравнимо с 2 по модулю 4 по предположению индукции. ■ Лемма 13. При = 0*0ш1, шп = 0*1ш2, Щ — 2|ад11-1 < Щ, £ ^ 0 выполнено
1
3
(шп) + £ П2 (шп, шг + 1)
№г=11...1,
wm^wi
32
11
(шп,шг + 1) = 2 (mod 4). (4)
Доказательство. Пусть £ = 0, откуда шш = 0ш1, шп = 1ш2. Преобразуем выражение:
(1ш2) + £ П2(1ш2,шг + 1)
г=11...1,
32
11
(1ш2, шг + 1) =
3 + П2 (1ш2,100 ... 0) ■ 1+ £ П2 (1ш2, 0(шг + 1)) ■ 1+ £ Щ(1ш, 1(шг + 1)) ■ 1
™г=11...1,
№1
№г=11...1,
№1
=3+
(ш2) + £ (П2(ш2,шг + 1)
№г=11...1,
№1
12
13
(ш2, шг + 1) +
10
31
+Щ(ш2, шг + 1)
(^2) + £ П2(ш2,шг + 1)
(ш2, шг + 1)) =
22
0 0 (ш2,шг + 1) (mod 4).
№
№
Сокращая на 2, преобразуем утверждение к виду
0
1
(^2) + £ П2(Ш2 ,шг + 1)
і=11... 1,
1
0
(ш2) = 1 (mod 2),
который совпадает с леммой 11.
Пусть теперь £ > 0. Тогда, уменьшая £ на единицу, получаем шш = 00*0ш1, п = 00*1ш2. Преобразуем левую часть (4):
1
3
(00*1^2) + £ П2(00*1^2,шг + 1)
ші = 11...1, 00^0^1^ ші
32
11
(00*1ш2, шг + 1) =
1 + П2(00*1^2,100... 0)
+ Е П2(00* 1^2, 0(шг + 1))
ші=11...1,
0^ 0ш 1 =^ші
+ £ П2(00*1ш2, 1(шг + 1))
ші=11...1, 0^ 0ш 1 =^ші
32 11
32
11
32
11
(00*1^2,100... 0) + (00*1ш2, 0(шг + 1)) +
(00* 1ш2, 1(шг + 1))
1+
(0*1^2) ■ 2+ £ П2(0*1ш2,шг + 1)
ші=11...1, 0^ 0ш 1 =^ші
10
11
(0* 1ш2, шг + 1) ■ 3+
+ £ П2(0*1ш2,шг + 1)
ші=11...1, 0^ 0ш 1 =^ші
32
11
(0*1ш2, шг + 1) ■ 2 =
= 1 + 2+ £ П2(0*1ш2,шг + 1)
ші=11...1,
0^0ш1^ші
10
11
(0*1ш2, шг + 1).
В результате утверждение преобразуется к виду
1+ £ П2(0*1ш2,шг + 1)
ші=11...1, 0^ 0^1^ ші
10
11
(0*1ш2,шг + 1) = 0 (mod 4),
который совпадает с леммой 12. ■
Лемма 14. Пусть шш — 2|адт|-1 < шп ^ шш. Тогда
0
1
(шп) + £ П2 (шп, шг + 1)
ші=11...1,
wm^wi
01
11
(шп,шг + 1) = 1 (mod 2).
Доказательство. Пусть шш = 1ш1, шп = 1ш2, тогда ш2 ^ ш1. Преобразуем выражение:
0
1
(1ш2) + £ Щ(1ш2,шг + 1)
ші=11...1, 1ш 1 ^wi
01
11
(1ш2, шг + 1)
ші=11...1, ^1 ^wi
Ш
Сумма равна 0 по модулю 2 в силу леммы 10, а значит, все выражение сравнимо с 1 по модулю 2, что и требовалось доказать.
Пусть шш = 1ш1, шп = 0ш2, тогда Щ < ш. Преобразуем выражение:
0
1
(0w2) + £ n2(0w2,wi + 1)
wi=11...1, 1w1
01
11
(0w2, wi + 1)
0+ £ П2 (0w2, 1(wi + 1))
wi=11...1, W1 ^wi
01
11
(0w2,1(wi + 1)) = £ ni(w2,wi + 1) ■ 1.
wi=11...1, w 1 ^wi
По лемме 8 это выражение сравнимо с 1 по модулю 2, что и требовалось доказать. Пусть шш = 0ш1, шп = 0ш2, тогда ш ^ ш1. Преобразуем выражение:
0
1
(0W2) + £ П2 (0w2, wi + 1)
wi=11...1, 0w1^wi
01
11
(0w2, wi + 1)
= 0 + n2(0w2,100 ... 0)
+ £ П2(0w2, 0(wi + 1))
wi=11...1,
01
11
0 1 11
(0W2,100... 0) + (0w2, 0(wi + 1)) +
+ £ П2 (0w2, 1(wi + 1))
wi=11...1, w 1 ^wi
01
11
(0w2, 1(wi + 1)) =
= 0 + n1(w2,00 ... 0) ■ 1+ £ n1(w2,wi + 1) ■ 0+ £ n1(w2,wi + 1) ■ 1
wi=11...1, w 1 ^wi
wi=11...1, w^ ^wi
1+ £ ni(w2,wi + 1).
wi=11...1, w1 ^wi
Рассуждая так же, как и в первом случае, получаем требуемое. ■
Теорема 5. Пусть для некоторых непустых слов w1 и w2 выполнено wm = 010t0w1, wn = 100*1w2, w — 2|w11-1 < w2, t ^ 0; или wm = 01w1, wn = 11w2, W1 — 2|w11-1 < w2 ^ w1. Тогда
1+ £ n3(wn,wi + 1)M2*(wn,wi + 1) = 4 (mod 8).
wi=11...1,
wm^wi
Доказательство. Рассмотрим первый случай:
1+ £ n3(wn,wi +1)M2(wn,wi + 1) =
wi=11...1,
wm^wi
1+ £ n3(100*1w2, wi + 1)
wi=11...1, 010^0w1 ^wi
1000 110 0 1210 13 3 1
(100*1w2, wi + 1)
1+ £ n3(100*1w2,wi + 1) [ 1 2 1 0 ] (wi + 1) = 1 + Пз(100*^2,100 ... 0) ■ 1+
wi=11...1, 010^0wi ^w
+ £ Пз(100*^2,0(wi + 1)) [ 1 2 ] (wi + 1)+
wi=11...1, 10^ 0w 1 ^wi
+ £ Пз(100*1и>2,1(шг + 1))[10](шг + 1) = 1 +
№г = 11...1, 10 ^ 0^1
1
5
(0*1^) +
+ £ Пз(00*1ш2,шг + 1)
№г=11...1, 10^0^1 ^адг
+ £ Пз(00*1ш2,шг + 1)
№г=11...1, 10^0^1 ^адг
1432
1555
16 5 4
17 7 1
10 3 6 5 111 5210 1771
(00*1ш2, шг + 1) [ 1 2 ] (шг + 1) +
(00*1ш2, шг + 1) [ 1 0 ] (шг + 1) =
2
6
(0*1ш2) + £ Пз(00*1ш2,шг + 1)
№г=11...1, 10^0^1 ^адг
+ £ Пз(00*1ш2,шг + 1)
№г=11...1, 10^0^1 ^адг
2
6
(0* 1ш2)+ £ Пз(00*1ш2,шг + 1)
№г=11...1, 10^0^1 ^адг
1464 1522 1620 17 6 2
1000 5100 5200 17 0 0
2464 6622 6020 0062
(00*1ш2, шг
(00*1ш2, шг + 1) =
(00*1ш2,шг + 1) (mod 8).
Сокращая на 2, получаем, что утверждение леммы сводится к виду
1
3
(0*1ш2) + £ Пз(00*1ш2,шг + 1)
№г=11...1, 10^ 0№ 1 ^адг
1232
3311
3010
0031
(00*1ш2 ,шг + 1) = 2 (mod 4).
Преобразуем дальше:
(0*1ш2) + £ Пз(00*1ш2,шг + 1)
№г = 11...1, 10 ^ 0^1 ^адг
1
3
(0*1ш2) + £ Пз(00*1ш2,1(шг + 1))
№г=11...1, 0^ 0№ 1 ^адг
(0*1ш2) + £ П2 (0*1ш2,шг + 1)
№г=11...1, 0^ 0^1 ^адг
1232
3311
3010
0031
1232
3311
3010
0031
32 11
(00*1ш2, шг + 1)
(00*1ш2,1(шг + 1)) =
(0*1ш2, шг + 1).
Последнее выражение сравнимо с 2 по модулю 4 по лемме 13. Рассмотрим второй случай:
1+ £ Пз (шп, шг + 1)М|(шп, шг + 1) =
№г=11...1,
1+ £ Пз(11ш2,шг + 1)
№г=11...1, 01^1 ^адг
1000 110 0 1210 1331
(11ш2, шг + 1)
1 + Пз(11ш2,100 ... 0)
+ £ Пз(11ш2,0(шг + 1))
№г=11...1, 1 № 1 ^адг
1000 110 0 1210 1331
10 0 0 110 0 1210 1331
(11ш2, 100 ... 0) +
(11ш2, 0(шг + 1))+
+ £ Пз(11ш2,1(шг + 1))
№г=11...1, 1^1 ^адг
+ £ Пз (1ш2,шг + 1)
№г=11...1, 1№ 1 ^адг
+ £ Пз(1ш2,шг + 1)
г=11... 1,
1000
1100
1210
1331
14 3 2 1555 1654 1771
1036 5 111 5210 1771
(11ш2,1(шг + 1))
(1ш2, шг + 1)
(1ш2, шг + 1)
12
13
10
31
5
1
(1ш2, шг
(ш^) ■ 3+
(1ш2, шг + 1) =
0
4
(ш)+ £ Пз(1ш2,шг
№г = 11...1,
1464
1522
16 7 4
17 5 3
(1ш2, шг
0
4
+ £ Пз(1ш2,шг + 1)
№г=11...1,
1№ 1 ^адг
(ш2) + £ Пз(1ш2,шг
№г=11...1,
1000 5100 7 6 10 3571
2464 6622 0404
4444
(1ш2, шг + 1) =
(1ш2,шг + 1) (mod 8).
Сокращая на 2, получаем, что утверждение леммы сводится к виду
0
2
(ш2) + £ Пз(1ш2,шг + 1)
№г=11...1, 1 № 1 ^адг
1232 3 3 11 0202 2222
(1ш2,шг + 1) = 2 (mod 4).
Преобразуем дальше:
(^2) + £ Пз(1ш2,шг + 1)
0
2
№г=11...1, 1№ 1 ^адг
0
2
(ш2) + £ Пз(1ш2,1(шг + 1))
г=11...1,
0
2
(ш2) + £ П2(ш2,шг + 1)
№г=11...1, № 1 ^адг
1232
3311
0202
2222
1232 3 3 11 0202 2222
02 22
(1ш2, шг + 1) =
(1ш2,1(шг + 1)) =
(ш2, шг + 1).
Сокращая на 2, получаем, что утверждение леммы сводится к виду
0
1
(^2) + £ П2(ш2,шг + 1)
№г=11...1, №1 ^адг
01
11
(ш2,шг + 1) = 1 (mod 2).
Это выражение в точности совпадает с леммой 14. ■ Лемма 15. Пусть для непустых слов шп ^ шш. Тогда
П2 (шп, шг + 1)
№г=11...1,
10
1
(шп, шг + 1) = 0 (mod 4).
Здесь * обозначает произвольное фиксированное число.
Доказательство. Докажем утвреждение индукцией по длине слов шш и шп. Если шш и шп имеют длину 1, то в сумме есть слагаемые только при шш = 0, а значит, и шп = 0. В этом случае единственное слагаемое равно
П2(0, 1)
10
1
(0,1) = 1 ■ 0 = 0.
База индукции доказана. Докажем переход. Пусть утверждение доказано для длин шш и шп не больше к. Докажем его для |шш| = |шп| = к + 1.
Пусть шш = 1ш1, шп = 1ш2, ш ^ ш. Преобразуем выражение:
£ П2 (1ш2 ,шг + 1)
№г=11...1, 1№ 1 ^адг
10
1
£ П2 (1ш2, 1(шг + 1))
№г=11...1, № 1 ^адг
£ П2 (ш2,шг + 1)
№г=11...1, №1 ^адг
10
31
(1ш2, шг + 1) =
(1ш2,1(шг + 1)) = (ш2,шг + 1) ■ 1 = 0 (mod 4).
10
1
Здесь последнее сравнение следует из предположения индукции.
Пусть шш = 1ш1, шп = 0ш2. Получаем £ П2 (0ш2 ,шг + 1)
№г=11...1, 1№ 1 ^адг
10
1
(0ш2, шг + 1)
£ П2 (0ш2, 1(шг + 1))
№г=11...1, №1 ^адг
10
1
(0ш2,1(шг + 1)) = £ П2(0ш2,1(шг + 1)) ■ 0 = 0.
№г=11...1, № 1 ^адг
Пусть шш = 0ш1, шп = 0ш2, ш2 ^ ш1. Имеем
£ П2(0ш2,шг + 1)
№г=11...1, 0№1 ^адг
10
1
(0ш2, шг + 1) = П2(0ш2,100 ... 0)
10
1
(0ш2,100... 0) +
+ £ П2(0ш2, 0(шг + 1))
№г=11...1, № 1 ^адг
+ £ П2 (0ш2, 1(шг + 1))
№г=11...1, № 1 ^адг
10
* 1
10
1
(0ш2, 0(шг + 1)) +
(0ш2,1(шг + 1))
П2 (0ш2, 100 ... 0) ■ 0+ £ П2 (0ш2, 0(шг + 1)) ■ 1+ £ Щ(0^2,1(шг + 1)) ■ 0
№г=11...1, № 1 ^адг
№г=11...1, №1 ^адг
£ П2(ш2,шг + 1)
№г=11...1, №1 ^адг
10
11
(ш2,шг + 1) = 0 (mod 4),
где последнее сравнение следует из предположения индукции. Переход доказан. Лемма 16. Пусть для непустых слов шш — 2|адт|-1 < шп ^ шш. Тогда
0
2
(шп) + П2 (шп, шг + 1)
№г=11...1,
32
11
(шп, шг + 1) = 2 (mod 4).
Доказательство. Пусть шш = 1ш1, шп = 1ш2. Тогда ш2 ^ ш1. Преобразуем выражение:
0
2
(1ш2) + £ П2(1ш2,шг + 1)
№г=11...1,
1 № 1 ^адг
2+ £ П2 (1ш2, 1(шг + 1))
32
11
№г=11...1, № 1 ^адг
32
11
2+ £ П2(ш2,шг + 1)
№г=11...1, № 1 ^адг
10
31
(1ш2, шг + 1) (1ш2,1(шг + 1)) = (ш2, шг + 1) ■ 1.
Применяя лемму 15, получаем требуемое.
Пусть шш = 1ш1, шп = 0ш2. Тогда ш > Щ. Имеем
0
2
(0ш2) + £ П2(0ш2,шг + 1)
№г=11...1, 1 № 1 ^адг
32
11
(0ш2, шг + 1)
32
11
Сокращая на 2, получаем, что утверждение преобразуется к виду
£ П2(0ш2,1(шг + 1)) = 1 (mod 2),
№г=11...1, №1 ^адг
но
£ П2(0ш2,1(шг + 1)) = £ П1(ш2,шг + 1) (mod 2).
№г = 11...1, №1 ^адг
№г=11...1, №1 ^адг
Утверждение теперь следует из леммы 8.
Пусть шш = 0ш1, шп = 0ш2. Тогда ш ^ ш1. Преобразуем выражение:
0
2
(0ш2) + £ П2(0ш2,шг + 1)
№г=11...1, 0№ 1 ^адг
32
11
(0ш2, шг + 1)
0 + П2(0ш2,100... 0)
+ £ П2(0ш2, 0(шг + 1))
№г=11...1, № 1 ^адг
32
11
32
11
(0ш2,100... 0) + (0ш2, 0(шг + 1)) +
+ £ П2 (0ш2, 1(шг + 1))
№г = 11...1, № 1 ^адг
32
11
(0ш2,1(шг + 1)) =
3
1
(и^) ■ 2+
+ £ П2(ш2,шг + 1)
№г=11...1, № 1 ^адг
10
11
(ш2,шг + 1) ■ 3+ £ Щ(0ш2,1(шг + 1)) ■ 2.
№г=11...1, № 1 ^адг
Заметим, что вторая сумма равна 0 по модулю 4 по лемме 15. Сокращая оставшиеся члены на 2, получаем
3 1
(^2) + £ П2(0^2, 1(шг + 1)) = 1 (mod 2),
№г=11...1, № 1 ^адг
но
(^2) + £ П2(0^2, 1(шг + 1)) = 1+ £ П1(ш2,шг + 1) (mod 2).
№г=11...1, № 1 ^адг
№г=11...1, № 1 ^адг
По лемме 10 получаем требуемое. ■ Лемма 17. Пусть йп > шш. Тогда
1
0
(шп) + П2 (шп, шг + 1)
№г=11...1,
01
11
(шп, шг + 1) = 1 (mod 2).
Доказательство. Если длина шп и шш равна 1, то шш = 0, шп = 1. В этом случае в сумме одно слагаемое, соответствующее шг = 0:
П2(1, 1)
01
11
(1,1) = 1 ■ 1 = 1.
Пусть теперь |шп| = |шш| > 1. Рассмотрим случай шп = 1ш1, шш = 1ш2, откуда ш > ш2. Имеем
1
0
(1ш1) + £ П2(1ш1,шг + 1)
№г=11...1, 1^2 ^№г
01
11
(1ш1, шг + 1)
Применяя лемму 8, получаем требуемое. Пусть шп = 1ш1, шш = 0ш2. Имеем
1
0
(1ш1) + £ П2(1ш1,шг + 1)
№г=11...1, 0^2 ^№г
01
11
(1ш1, шг + 1)
£ П2(1ш1,шг + 1) [ 1 1 ] (шг + 1) = £ П2(1ш1 ,шг + 1)
№г = 11...1, 0^2 ^№г
№г=11...1, 0№2 ^№г
П2 (1ш1, 100 ... 0) + £ П2 (1ш1, 0(шг + 1)) + £ П2 (1ш1, 1(шг + 1)) =
№г=11...1, №2 ^№г
№г=11...1, №2 ^№г
= П1(ш1, 00 ... 0) + £ П1(ш1,шг + 1) + £ П1(ш1,шг + 1) = 1 (mod 2).
№г=11...1, №2 ^№г
№г = 11...1, №2 ^№г
Пусть шп = 0ш1, шш = 0ш2, откуда ш1 > ш2. Имеем
1
0
01
11
(0ш1, шг + 1)
(0ш1) + £ П2(0ш1,шг + 1)
№г=11...1,
0^2 ^№г
= 1 + £ П2(0ш1, шг + 1) [ 0 1 ] (шг + 1) =
№г=11...1,
0^2 ^№г
1 + П2(0ш1,100 ... 0) ■ 1 + £ П2(0ш1,1(шг + 1)) ■ 1 =
№г=11...1, №2 ^№г
= 1 + П1 (ш1, 00 ... 0) + £ П1(ш1,шг + 1) = £ П1(ш1,шг + 1).
№г=11...1, №2 ^№г
№г=11...1, №2 ^№г
Применяя лемму 8, получаем требуемое. ■
Лемма 18. Пусть для £ ^ 0 выполнено шш = 0*01ш1, шп = 0*10ш2, ш — 2|ад1|-:1' < < ш ^ Щ, |ш21 = |ш1| > 0; или шш = 0*100ш1, шп = 0*111ш2, ш > шь Тогда
7 + £№г=11...1, Пз(шп, шг + 1)Мз(шп,шг + 1) = 4 (mod 8).
Доказательство. Докажем утверждение индукцией по £. Пусть £ шш = 01ш1, шп = 10ш2, ш — 2|ад1|-:1' < ш ^ wт. Имеем
0и
7+ £ Пз(10ш2,шг + 1)
№г=11...1, 01^1 ^адг
1000 110 0 1210 1331
(10ш2, шг + 1) = 7+
+ £ Пз (10ш2,шг + 1)[ 12 10 ](шг + 1) = 7 + Пз(10ш2,100 ... 0)[ 1 2 1 0](100 ... 0) +
№г=11...1, 01 № 1 ^адг
+ £ Пз(10ш2,01(шг + 1))[ 1 2 1 0 ](01(шг + 1)) +
№г=11...1, № 1 ^адг
+ £ Пз(10ш2,11(шг + 1))[ 1 2 1 0 ](11(шг + 1))
№г=11...1, № 1 ^адг
1
5
(ш2) ■ 1+ £ Пз(10ш2, 01(шг + 1)) ■ 2+ £ Пз(10ш2,11(шг + 1)) ■ 0 =
№г=11...1, № 1 ^адг
№г=11...1, № 1 ^адг
0
4
(ш2) + £ П2(0ш2, 1(шг + 1)) ■ 2 (mod 8).
Последний переход от Пз к П2 возможен благодаря тому, что все слагаемые в сумме умножены на 2. Сокращая на 2, сводим утверждение леммы к следующему:
0
2
(^2) + £ П2(0^2,1(шг + 1)) = 2 (шоё 4).
№г=11...1, №1 =^№г
Преобразуя левую часть, получим
(^2) + £ П2(0^2,1(шг + 1))
0
2
№г = 11...1, №1
0
2
(^2) + £ Щ^,^ + 1)
№г=11...1,
№1
3 2 11
(и>2,шг + 1) = 2 (шоё 4),
где последнее сравнение следует из леммы 16.
Пусть £ = 0 и ют = 100и>1, шп = 111ш2, ш > ш. Имеем
7 + £ Пз(111ш2,шг + 1)М|(111ш;2, шг + 1)
№г=11...1,
100^1
7+ £ Пз(111ш2,1(шг + 1))
№г=11...1, 00№ 1
7+ £ Пз(11ш2,шг + 1)
№г=11...1, 00№ 1
(11ш2, шг + 1)
7+ £ Пз(11ш2,шг + 1)
№г=11...1,
00^1
7 + Пз(11ш2,100... 0)
+ £ Пз(11ш2,0(шг + 1))
№г=11...1,
0^1 ^адг
+ £ Пз(11ш2,1(шг + 1))
№г=11...1,
0№1 ^адг
+ £ Пз (1ш2,шг + 1)
1000 110 0 1210 1331
1 0 3 6'
5 111 5 2 10 17 7 1
1000 5100 7 6 10 3571
1000 5100 7 6 10 3571
1000 5100 7 6 10 3571
1000 5100 7 6 10 3571
(111ш2, 1(шг + 1)) =
10
31
(11ш2, шг + 1)
(11ш2, шг + 1)
(11^2, 100 ... 0) +
(11^2, 0(шг + 1))+
(11^2,1(шг + 1)) = 7 +
5
1
(^2) ■ 7+
1 4 3 1 2
1 5 5 5 (1ш2, шг + 1) 7 6
1 6 55 4 35
1 7 7 1
(1^2, шг + 1) +
+ £ Пз(1ш2,шг + 1)
№г=11...1, 0^1 ^адг
1036 5 111 5210 1771
(1ш2, шг + 1)
10
71
(1ш2, шг + 1) =
2
6
(^2)+ £ Пз(1ш2,шг + 1)
№г = 11...1, 0^1 ^адг
7424
7366
3214
3535
(1ш2, шг
+ £ Пз(1ш2,шг + 1)
№г=11...1, 0№ 1 ^адг
2
6
(^2) + £ Пз(1ш2,шг
№г=11...1,
1000 5100 3610 7171
0424 4466 6024 2626
(1ш2, шг + 1) =
(1ш2,шг + 1) (шоё 8).
Сокращая на 2, сводим утверждение к виду
(^2) + £ Пз(1ш2,шг + 1)
№г=11...1, 0^1 ^адг
0212
2233
3012
1313
(1ш2,шг + 1) = 2 (mod 4).
Продолжая вычисления, получаем
1
3
(^2) + £ Пз(1ш2,шг + 1)
№г=11...1, 0№ 1 ^адг
1
3
(^2) + Пз(1^2, 100 ... 0)
+ £ Пз(1ш2,0(шг + 1))
№г=11...1, №1 ^адг
+ £ Пз(1ш2,1(шг + 1))
№г=11...1, №1 ^адг
0212 2233 3 0 12 1313
0212 2233 3 0 12 1313
0212 2233 3 0 12 1313
0212 2233 3 0 12 1313
(1ш2, шг + 1) =
(1ш2,100... 0) +
(1^2, 0(шг + 1)) +
(1^2,1(шг + 1)) =
(^2) + П2(^2, 00 ... 0) ■ 1+ £ П2(ш2,шг + 1)
№г=11...1, № 1 ^адг
30
13
(ш2, шг
+ £ П2(ш2,шг + 1)
(ш2, шг + 1) =
(ш2) + 1 + £ П2(ш2 ,шг + 1)
№г=11...1, №1 ^адг
2
0
(ш2) + £ П2(ш2,шг + 1)
№г=11...1, № 1 ^адг
02
22
02
2 2 (^2, шг + 1) =
(ш2,шг + 1) (шod 4).
Сократив на 2, сводим утверждение к виду
1
0
(^2) + £ П2(ш2,шг + 1)
№г=11...1, №1 ^адг
01
11
(ш2,шг + 1) = 1 (шod 2),
который совпадает с леммой 17. База индукции доказана.
Пусть утверждение доказано для £ ^ к, докажем его для £ = к + 1 > 0. Заметим, что ш1 = 0г>1, ш2 = 0г2, где ^1 и г2 удовлетворяют условиям леммы. Имеем
7+ £ Пз (0г>2, шг + 1)
№г=11...1, 0^1 ^адг
7 + Пз(0г2,100 ... 0)
+ £ Пз(0^2,0(шг + 1))
№г=11...1, ^1 ^адг
1000 1100 1210 1331
1000 110 0 1210 1331
1000 110 0 1210 1331
(0г2, шг + 1) =
(0г2,100... 0) +
(0^2, 0(шг + 1)) +
+ £ Пз(0г2,1(шг + 1))
№г=11...1,
+ £ Пз(г2,шг + 1)
№г=11...1, ^1 ^адг
1000 1100 1210 1331
10 7 6 1115 1210 1331
(0г2,1(шг + 1)) = 7 + Пз(0г2,100 ... 0) ■ 0+
(г2, шг + 1)
10
11
(г2, шг + 1) +
+ £ Пз(0г2,1(шг + 1)) ■ 0
№г=11...1,
^адг
7+ £ Пз(г2,шг + 1)
№г=11...1, ^1 ^адг
1000 110 0 1210 1331
(г2,шг + 1) = 4 (шod 8).
Последнее сравнение следует из предположения индукции. Переход доказан. ■
Лемма 19. Пусть для £ ^ 0 выполнено шт = 0*01ш1, шп = 0*10ш2, ш1 — 21™11 1 < < ш ^ шГ; или шт = 0*100ш1, шп = 0*111ш2, Щ > Тогда
(шп,шг + 1) = 4 (шod 8).
Доказательство. Пусть £ = 0 и шт = 01ш1, шп = 10ш2, ш1 — 21™11 1 < ш2 ^ ш1.
Имеем
1 3 4 6 4
5 (шп) + £ Пз(шп,шг + 1) №г=11...1, 7 7 2 2
7 1 6 1 4
3 5 7 7 5
1
5
7
3
(10^2) + £ Пз (10^2, шг + 1)
№г=11...1, 01 № 1 ^адг
3464
7722
1614
5775
(10ш2, шг + 1) = 7+
№г=11...1, 01^1 ^адг
+ £ Пз(10ш2, шг + 1)[ 1 6 1 4 ] (шг + 1) = 7 + Пз(10ш2,100 ... 0)[ 1 6 1 4 ] (100 ... 0) +
+ Е Пз(10ш2, 01(шг + 1)) [ 1 6 1 4 ] (01(шг + 1)) +
№г=11...1,
№ 1 ^адг
+ Е Пз(10ш2,11(шг + 1)) [ 1 6 1 4 ] (11(шг + 1)) =
№г=11...1, №1 ^адг
7+
1
5
0
4
(^2) ■ 1+ £ Пз(10ш2, 01(шг + 1)) ■ 6+ £ Пз(10ш2,11(шг + 1)) ■ 4 =
№г=11...1, №г=11...1,
(^2) + £ Щ(0^2,1(шг + 1)) ■ 6+ £ П2(0^2,1(шг + 1) ■ 4 =
...1, №г=11...1,
«г №1^адг
(^2) + 2 £ П2(0^2, 1(шг + 1)) (шod 8).
№г=11...1, №1 ^адг
0
4
№г=11...1, №1 ^адг
Переход от Пз к П2 выполнен благодаря тому, что все слагаемые в суммах домно-жены на чётные числа 6 и 4. Сокращая на 2, сводим утверждение к следующему:
0
2
(ш2) + £ П2(0ш^2, 1(шг + 1)) = 2 (mod 4).
№г=11...1,
№ 1 ^адг
Преобразуя левую часть, получим
0
2
0
2
(^2) + £ П2(ш2,шг + 1)
№г=11...1,
№ 1 ^адг
где последнее сравнение следует из леммы 16
(^2) + £ П2 (0^2, 1(шг + 1)) =
(ш2,шг + 1) = 2 (шod 4),
№г = 11...1, № 1 ^адг
32
11
Пусть t
1 5 7
З
0 и wm = 100w1, wn
111w2, w2 > w1. Имеем З4б4
(111W2) М £ П3(111W2, wi М 1)
wi=11...1, lOOw 1 ^wi
7722
1б14
5775
(111w2, wi М 1)
ЗМ £ П3(111w2, 1(wi М 1)) [ 5 7 7 5 ] (1(wi М 1))
wi=11...1, OOwi ^wi
= ЗМ £ Пз(11w2,wi М 1)
wi=11...1, OOwl ^ wi
1оЗб
5111
521о
1771
(11w2, wi М 1) [ 7 5 ] (wi М 1) =
= ЗМ £ П3 (11W2, wi М 1)
wi=11...1, OOw 1 ^wi
7 0 7 б
З755
Зб5о
71З5
(11w2, wi М 1) =
ЗМПз^^, 100... 0)
wi=11...1, Owl^wi
7 0 7 б
З755
Зб5о
71З5
7 0 7 б
З755
Зб5о
71З5
(11W2, 100 ... 0)М
(11w2, 0(wi М 1))М
wi=11...1, Owl^wi
wi=11...1, Ow1^wi
wi=11...1, Owl ^ wi
7 0 7 б
З755 Зб5о _ 7 1 З 5
1 4 З 2 1555 1б54 1771
1оЗб 5 111 521о 1771
5
1
(W2) ■ ЗМ
(1w2, wi М 1)
(1w2, wi М 1)
Зб
71
5о
З5
(1w2, wi
(1w2, wi М 1) =
2
б
(W2 )М £ Пз (1W2, wi
wi = 11...1,
З424
З7бб
7254
7171
(1w2, wi
М E П3 (1w2, wi М 1)
wi=11...1,
Ow1^wi
5ооо
15оо
7б5о
З5З5
(1w2, wi М 1) =
2
б
(W2) М £ П3 (1W2, wi
wi=11...1,
Owl ^ wi
о424
44бб
бо24
2б2б
(mod s).
Это выражение уже получалось в лемме 18, где доказывалось, что оно сравнимо с 4 по модулю 8, как и требуется.
Пусть теперь £ = к + 1 > 0. Обозначим юш = 0^, шп = 0г2, где и г2 удовлетво-
ряют условиям леммы. Имеем
1 3 4 6 4
5 1) + ■ 3 ,2 (0 (3 П3 + )2 (0 7 7 2 2
7 1 6 1 4
3 0vl 5 7 7 5
1
5
(^) + Пз (0г>2,100 ... 0)
+ £ Пз(0г2,0(шг + 1))
юг=11...1, VI юг
3 4 6 4
7 7 2 2
16 14 5 7 7 5
3 4 6 4
7 7 2 2
1614 5775
(0г2, шг + 1)
(0г2,100... 0) +
(0г2, 0(шг + 1)) +
+ £ Пз(0г2,1(шг + 1))
юг=11...1,
VI
СО 4 6 4
7 7 2 2
1 6 1 4
5 7 7 5
(0г2, 1(шг + 1))
1
5
(г2) +
+
1
5
5
1
(г2)
6
2
(г>2) + £ Пз(г2,шг + 1)
юг=11...1,
Vl
1 0 7 6
1 1 1 5
1 2 1 0
1 3 3 1
(г2, шг + 1)
34
77
(г>2, шг + 1) +
+ Е Пз(г2,шг + 1)
юг=11...1,
Vl
1472 5 5 5 1 5654 1331
(г2, шг + 1)
64
22
(г2, шг + 1) =
1
5
(г2 ) +
6
2
(г>2) + Е Пз(г2,шг + 1)
юг=11...1,
Vl
3040 3344 7 6 7 0 7557
(г2, шг + 1) +
+ Е Пз(г2,шг + 1)
юг=11...1,
Vl
= 7+ £ Пз(г2,шг + 1)
юг=11...1,
Vl
6040 6644 2420 2662
1000 110 0 1210 1331
(г2, шг + 1) =
(г2,шг + 1) (mod 8).
Применяя лемму 18, получаем требуемое.
Теорема 6. Пусть для некоторых непустых слов ш и ш2 выполнено = 011ш1, шп = 110ш2, ш — 2|ад11-1 < ш ^ шТ; или = 010*01ш1, шп = 100*10ш2, ш — 2|ад11-1 <
< w2 ^ wi, t ^ 0; или wm = 010*100w1, wn = 100*111w2, w2 > wi, t ^ 0. Тогда i+ E П4 (wn, wi + 1)M|(wn, wi + 1) = 8 (mod 16).
wi=11...1,
Доказательство. Вычисления показывают, что
10 15 6 1 12 15 10 1 8 15 15 1 4 15 2
11 1 5 5 13 13 9 9 9 9 13 13 5 5 1
12 1 0 5 14 13 4 9 10 9 8 13 6 5 12
13 3 1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 3 3 1
14 3 2 1 0 3 6 1 12 3 10 1 8 3 14
15 5 5 5 1 1 9 9 13 13 13 13 9 9 1
16 5 12 5 2 1 0 9 14 13 4 13 10 9 8
M4 = 17 7 1 1 7 7 1 1 7 7 1 1 7 7 1
18 7 14 1 4 7 2 1 0 7 6 1 12 7 10
19 9 5 5 5 5 9 9 1 1 13 13 13 13 1
1 10 9 8 5 6 5 12 9 2 1 0 13 14 13 4
1 11 11 1 1 11 11 1 1 11 11 1 1 11 11 1
1 12 11 10 1 8 11 14 1 4 11 2 1 0 11 6
1 13 13 5 5 9 9 9 9 5 5 13 13 1 1 1
1 14 13 4 5 10 9 8 9 6 5 12 13 2 1 0
1 15 15 1 1 15 15 1 1 15 15 1 1 15 15 1
10 11 1 2 1 3 1 4 1 5 16 1 7
0
0
1
3
6
0
0
0
1
4
10 10
15 4
0
0
0
0
1
5
000
000
000
000
000
100
15 6 1 0
5 3 3 5 7 1
(mod 16).
(5)
Рассмотрим первый случай: wm = 011w1, wn = 110w2, w1 — 2|wi1 1 < w2 ^ w1. Преобразуем левую часть (5):
1+ E П4 (wn, wi + 1)M| (wn, wi + 1) =
wi=11...1,
wm^wi
= 1+ £ П4 (110w2,wi + 1)Mg (110w2, wi + 1) =
wi=11...1,
011w1 ^wi
= 1 + E n4(110w2, wi + 1) [ 1 6 15 4 15 6 1 0 ] (wi + 1)
wi=11...1, 011w 1 ^wi
= 1 + n4(110w2,100 ... 0)[ 1 6 15 4 15 6 1 0 ] (100 ... 0) +
+ £ n4(110w2, 011(wi + 1))[ 1 6 15 4 15 6 1 0](011(wi + 1)) +
wi=11...1, w1 ^ wi
+ £ П4(110w2, 111(wi + 1))[ 1 6 15 4 15 6 1 0] (111(wi + 1)) = 1 +
(w2) ■ 15+
+ £ П4(110ш2, 011(шг + 1)) ■ 4+ £ П4(110ш2,111(шг + 1)) ■ 0 =
№г=11...1,
№г
(ш2) + Е П4(110ш2, 011(шг + 1)) ■ 4 (шоё 16).
№г=11...1, №1 =^№г
0
8
№г=11...1,
№1
Сокращая на 4, получаем, что утверждение теоремы сводится к виду (и’2) + Е П4(110ш2, 011(шг + 1)) = 2 (шоё 4).
0
2
№г=11...1, № 1
Избавляясь от П4, получаем
(^2) + £ П4(110^2, 011(шг + 1)) =
0
2
№г=11...1, № 1
0
2
+ Е П2 (0^2, 1(шг + 1))
№г=11...1, № 1
0
2
(^2) + Е П2(^2,^г + 1)
№г=11...1, № 1 ^адг
(^2) +
" 3 2 11
(и>2, и>г + 1).
Применяя лемму 16, получаем требуемое.
Рассмотрим второй и третий случаи: юш = 01г>1, шп = 10г>2, где VI и г>2 удовлетворяют условию леммы 19. Имеем
1+ Е П4 (шп,шг + 1)М3*(шп,шг + 1) = 1 + £ П4(10г>2,шг + 1)М| (10г>2, шг + 1) =
№г=11...1,
№г=11...1, 01^1 ^адг
= 1 + П4(10г>2,100 ... 0)М*(Ш2,100 ... 0) +
+ Е П4(Ш2, 01(шг + 1))М|(10^2, 01(шг + 1)) +
№г=11...1,
^адг
+ Е П4(10^2,11(шг + 1))Мз*(10г>2,11(шг + 1)) = 1 +
№г=11...1,
^1 ^адг
+ Е П4(0^2,1(шг + 1))М4(10г>2, 01(шг + 1))
1
9
9
1
м
1
5
(^2 ) +
№г=11...1, ^1 ^адг
64 10 10
(^2, шг + 1) +
+ Е П4 (0^2, 1(г + 1))М4(10^2,11(шг + 1))
№г=11...1, ^1 ^адг
00
00
(^2, шг + 1) = 1 +
1
9
13
5
(^2 ) +
+2 £ П з(^2,шг + 1)
№г=11...1, ^1 ^адг
14 7 2
5 5 5 9
5 6 5 12
1 11 11 1
(г>2, шг + 1)
32
55
(^2, шг + 1) =
2
1 3 4 6 4
5 (^) + 2 Е П з(^2,шг + 1) №г=11...1, 7 7 2 2
7 1 6 1 4
3 ^1 ^адг 5 7 7 5
(^2,шг + 1) (шоё 16).
Сокращая на 2, получаем, что нужно доказать
1 00 1 4 6 1 4
5 (^2) + Е п з(^2 ,ті + 1) адг=11...1, 7 7 2 2
7 1 6 1 4
1 3 і VI 5 7 7 5
(г>2, ті + 1) = 4 (шоё 8).
Используя лемму 19, получаем требуемое. ■
5. Оценки сумм биномиальных коэффициентов
Приступим теперь к оценке области возможных значений т и п. В работе [6] доказана
Теорема 7. При п ^ 12 выполнение (3) влечет
п 1 , 1 , / п й/0\ _ _ п — 1
2
2 02 2 02 V 2 ) 2
Далее будем предполагать, что экстремальная функция с параметрами п и т существует, а значит, при п ^ 12 можно использовать неравенство, указанное в теореме.
Вычисления показывают, что 2^ё2 ^ 2"е8/9) = 0,9669 • • • < 1, поэтому будем использовать более удобную оценку — + - 1оё2 п > т.
Пусть п ^ 32. Заметим, что 2п — 2т — 2 > 2п — п — 1оё2 п — 2 = п — 1оё2 п — 2 ^
п + 1
^ 32 — 5 — 2 = 25, поскольку (п + 1) — 1оё2(п + 1) = п — 1оё2 —-— > п — 1оё2 п при п > 1.
Отсюда следует, что левая часть в формуле (3) делится на 225, а значит, все значения т = тт и п = адп ^ 32 из условий теорем 4, 5 и 6 не подходят.
Лемма 20. Если п ^ 32, то двоичная запись п не начинается с 11. Доказательство. Предположим противное, тогда п имеет вид п = 11т2 = = 25+1 + 2" + т2, |т2| = 5 ^ 4. Из теоремы 4 следует, что т ^ /1 = [25+1; 25+1 + т2); из теоремы 5 — т ^ /2 = [2" + т2; шт(25 + 2"-1 + т2, 25+1)); ввиду теоремы 6 для < 2"-1 выполнено т ^ /3 = [2" + 2"-1 + Щ; шт(25 + 2"-1 + 2"-2 + т2, 25+1)). Заметим, что
п — 1 т > —-—
242—+> 2'+2—+т - 1 + (т2 - 2’ + 1) = 2Ч2-+Щ-2-
= 2" + т2. Поскольку т Є /2, то т ^ шіп(2" + 2"-1 + т2, 2"+1). Если т ^ 2"-1, то т ^ 2"+1, а поскольку т Є /1, то т ^ 2"+1 +т2. Если же т < 2"-1, то т ^ 2" + 2"-1+т2, а поскольку т Є /3 для таких т2, то т ^ шіп(2" + 2"-1 + 2"-2 + т2, 2"+1). Если т < 2"-2, то т ^ 2" + 2"-1 + 2"-2 + т2, а если 2"-2 ^ т2 < 2"-1, то т ^ 2"+1, откуда из т Є /1 следует т ^ 2"+1 + т". Получаем, что во всех случаях выполнено по крайней мере
- > 2" + 2"-1 + 2"-2 + т - 2" — 2"-1 - т 2
т ^ 2" + 2"-1 + 2"-2 + т£. Отсюда т - 2 ^ 2" + 2"-1 + 2"-2 + т - 2" - 2"-1 - — =
2" 2 +---2 ^ 2" 2. Но т < — +—к^2 -, значит, - log2 - > 2" 2. С другой стороны
т2
■)5 — 2
-
1
1
2
1 1 1 1 0^+2 в + 2 2 ^2- < 2 ^22 + =
22
2
. Легко видеть, что функция /(5) = 2" 1 - в - 2, в Є Ъ
не убывает при в ^ 1, а f (4) = 8 — 4 — 2 = 2 > 0. Поскольку у нас в ^ 4, то 5 + 2 2"-1 _ 2 ^
—-— < —— = 2 . Получили противоречие. ■
Для удобства далее будем считать, что 2Р-1 ^ п < 2Р (р ^ 6).
2"+к+1 + 2" + т2, М = в ^ 3, к ^ 1. Тогда
Лемма 21. Пусть - = 10к1т2
-
«-з
Доказательство. В предположениях леммы р = в + к + 2. Из теоремы 4 известно, что т ^ /1 = [2Р-2 + 2" + Щ2;2Р-1); по теореме 5 имеет место т ^ /2 = = [2Р-2; шт(2Р-2 + 2"-1 + Щ2, 2Р-2 + 2")); по теореме 6 для Щ < 2"-1 выполнено т £ /3 = [2Р-2 + 2"-1 + Щ;шт(2Р-2 + 2"-1 + 2"-2 + Щ£, 2Р-2 + 2")), а для Щ ^ 2"-1 + 2"-2 —
п _ 1 _ 1
т ^ /4 = [2Р-2 + 2"; 2Р-2 + 2"-2 + Щ2). Замечаем, что т ^ ——— = 2Р-2 + 2"-1 +--— ^
22 ^ 2Р-2 + 2"-1 + т2 - 1 + (т2 - 2 + 1) = 2р-2 + 2"-1 + т - 2"-1 = 2Р-2 + т2. По-
т - 1 + (т - 2" + 1)
скольку т ^ /2, то т ^ шт(2Р 2 + 2" 1 + т2,2Р 2 + 2"). Рассмотрим несколько случаев. Если Щ ^ 3 • 2"-2, то т ^ 2Р-2 + 2", а поскольку т ^ /4, то
т ^ 2Р-2 + 2"-2 + Щ ^ 2Р-2 + 2"-2 + 3 • 2"-3 + Щ п + 2"-3. Если 3 • 2"-2 > Щ ^ 2е-1,
то т ^ 2Р-2 + 2" ^ 2Р-2 + 2" — 3 • 2"-3 + Щ \ + 2"-3. Если 2"-1 > Щ ^ 2"-2,
то т ^ 2Р-2 + 2"-1 + Щ ^ 2Р-2 + 2"-1 + 2"-3 + Щ = п + 2"-3. Если 2"-2 > Щ£, то т ^ 2Р-2 + 2"-1 + Щ, а поскольку т ^ /3, то т ^ шт(2Р-2 + 2"-1 + 2"-2 + Щ2, 2Р-2 + 2") = = 2Р-2 + 2"-1 + 2"-2 + Щ ^ 2Р-2 + 2"-1 + 2"-2 +---2 = —+ 2"-2. Получаем, что во всех
п ч_ 3
случаях т ^ — + 2 . ■
Лемма 22. Выполнены неравенства
9
2Р-1 ^ п < 2Р-1 + 8р, 2Р-2 ^ т < 2Р-2 + -р, т < 2Р-1.
Доказательство. По лемме 20, двоичная запись п не может начинаться с 11. Если п не имеет вида 10к1т2, |щ2| = в ^ 3, то п ^ 2Р-1 + 7 < 2Р-1 +8р. В противном случае
п п 1 п р
применим лемму 21. Получим, что т ^ —+2"- . Но т < —|— 1оё2 п < —|—. Значит,
2 2 2 2 2
2"-3 < р. Получаем, что 2Р-1 ^ п = 2Р-1 + 2" + |щ2| < 2Р-1 + 25+1 < 2Р-1 + 8р. Пер-
п
вое неравенство доказано. Второе неравенство легко следует из первого: 2Р-2 ^ ^
п 1 1 пР-2 9
^ т < — + — 1оё2 п < 2Р + — р. Учитывая, что двоичная запись п не может начи-
п 1 р
наться с 11, получаем, что при р ^ 6 выполнено т < — + — 1оё2 п < 2Р-2 + 2Р-3 + - <
< 2Р-2 + 2Р-3 + 2Р-3 = 2Р-1. ■
Лемма 23. Пусть т = 10кт1, |щ1| = £, к ^ 0, г — число нулей в слове т1, р ^ 9. Тогда
!+ £ і + , > 2
— ' эга-*-2+г
,г + 1
(т )=1(тоа2) Доказательство. Заметим, что
22-1 2—1 --
1+ £ ,■ + ,Н + ££
. . - 1/0
0=0 г=0 4 0
„і + 1 / \т,- + г2* + 1
(т )=1(тоа2)
где т0- обозначает число, полученное из т заменой нулевых битов в слове т1 на биты двоичной записи числа і. При этом биты числа і не могут сдвинуться влево больше,
чем на число единиц в щ1, т. е. на Ь — г позиций. Отсюда получаем, что т7- ^ т + 2* *] а значит, с учётом т7- ^ т ^ п/2 можем записать
22-1 2к-1
1 + ЕЕ
.7=0 *=0
п
т7 + *2* + 1
>
22-1 2—1
ЕЕ
7=0 *=0
п
т + ] 2*-г + *2* + 1
24- 1 2к — 1
> 2""‘ Е Е
7=0 *=0
^2Р-2-1
п
2Р — 1
2
.г—*— 1
т + + *2* + 1
Е (т + 1 + 1) + Е
2— £
*=0
*=0
- 2р-2-1
пп
*=0
"V
А
Обозначим последнее выражение в скобках через А. Тогда А совпадает
П
с Е (™) = 2П, за исключением нескольких недостающих крайних и средних слагае-
*=0 *
мых. Крайних слагаемых по п — т — 2Р ^ п —
п1
2Р
-2
п + 1 2
^ 2Р-2 + 4р - 2Р
4Р
п \ / пе 4
2
4р с каждой из сторон. Каждое из них не превосходит
п пе 4Р 2
()<( — ) < 24р /р4Р. Получаем, что сумма крайних слагаемых не больше
4р 4р
8р24Р /р4Р. Количество средних слагаемых равно 2т +1 — п ^ п + [1оё2 п] + 1 — п = р. Каждое из них, как известно, не превосходит 2П/^/пп/2, а значит, их сумма не больше 2гар2-р/2у/2/п. Таким образом, для того, чтобы получить А > 2П-1, достаточно потребовать 8р24Р2/р4Р < 2п(1/2 — р2-р/2Л/7Г/ п) . Заметим, что при р = 9 выполнено
_Р/2 _9/2 9 9 45 45 3
р2 Р/ =9-2 / = ----= < -------— = ----- < ----= —. При дальнейшем увеличении р
16^2 16 • 7/5 112 105 7 Р * 1
это выражение уменьшается, поскольку (р + 1)/р = 1 + 1/р ^ 1 + 1/9 ^ л/2. Поэтому достаточно доказать неравенство 8р24Р /р4Р < 22Р (1/2 — 3^/2/п/7). Заметим, что 1/2 — 3У2/Л/7 > 1/2 — 3^2/3/7 > 1/2 — 3^49/64/7 = 1/2 — 3/8 = 1/8, поэтому достаточно доказать неравенство 8р24Р /р4Р < 22Р /8. Используя р ^ 9, оцениваем левую часть как 8р24Р2/р4Р = 24р2+3/р4р-1 < 24р2+3/212р-3 = 24р2-12р+6. Неравенство сводится к 4р2 — 12р+6 < 2Р-1 — 3, или (2р—3)2 < 2Р-1, откуда 2р—3 < 2(р-1)/2. При р = 9 неравенство верно, поскольку 2р—3 =15 < 16 = 2(р-1)/2. А для р > 9 оно выполнено, поскольку левая часть растет медленнее правой: (2р — 1)/(2р — 3) = 1 + 2/(2р — 3) ^ 1 + 2/15 < л/2. Таким образом, 2г-*-1А > 2г-*-1 • 2П-1 = 2п-*-2+г. ■
Лемма 24. Пусть р ^ 9. Тогда
2Р-1 ^ п < 2Р-1 + 16, 2Р-2 ^ т < 2Р-2 + 8
Р1
2
Р2
Доказательство. Предположим, что п ^ 2Р-1 + 16. Тогда п = 10к 1и>2 = 2Р-1+2"+ +Щ2, |щ2| = в ^ 4, к ^ 1. Используя лемму 21, получаем т ^ п/2 + 2"-3, откуда 2т — 2"-2 п. Используя же лемму 23, получаем неравенство 22п-2т-2 =
= 1 + £ (*+11) > 2га-*-2+г, откуда п ^ 2т — Ь + г + 1. Из 2т — 2"-2 ^ п ^
) = 1(т°й 2)
^ 2т — Ь + г +1 следует 2"-2 + 1 ^ Ь — г. Заметим, что Ь — г равно количеству единиц в двоичной записи числа т, не считая самой старшей. Значит, выполнено неравенство
т ^ 2Р-2 + 2г-2: — 1. Получаем п + £ — г — 1 ^ 2т ^ 2Р-1 + 2*-г+1 — 2. Оценивая п, получим 2Р-1 + 2*-г+1 — 2 ^ 2Р-1 + 25+1 — 1 + £ — г — 1, откуда 2*-г+1 — (£ — г) ^ 25+1. Поскольку ^ ^ 4, отсюда следует, что £ — г ^ 5. В таком случае 25-2 + 1 ^ £ — г ^ 5, но это неравенство ложно для всех в ^ 4. Получили противоречие, значит, п < 2Р-1 + 16.
Предположим теперь, что т ^ 2Р-2 + 8. Из леммы 23, как доказано выше, следует неравенство п ^ 2т — (£ — г) + 1. При т = 2Р-2 + 8 получаем 2т — (£ — г) + 1 = = 2Р-1 + 16 — 1 + 1 = 2Р-1 + 16. Заметим, что при увеличении числа т на единицу количество единиц в его двоичной записи может возрасти максимум на 1, а 2т при этом увеличивается на 2. Значит, 2т — (£ — г) + 1 ^ 2Р-1 + 16 для всех т ^ 2Р-2 + 8, что противоречит доказанному неравенству п < 2Р-1 + 16. Следовательно, предположение не верно, и т < 2Р-2 + 8. ■
Лемма 25. Пусть р ^ 9, т = 10к^1, |^1| = £ ^ 3, г — число нулей в слове Тогда выполнено
!+ £ С + 0 < *
*.(А ) = 1(т°й 2)
-)П —£+£
Доказательство. Имеем
2Р-‘-2-1 .
п 1 + 2^ V Г п 1 ^
г + 1/ \т +1 + г2*
!+ £ (г + ,) « 1 + 2' £
) = 1(т°й 2)
г=0
< ^(<2‘—ч тв+о+ед :))< 2'"Ч п^к-1
В последнем неравенстве использована оценка 22-Ч ] ^ 2-3 [ / 1 ) > 1* Заме-
[п/2^ Ч[п/2]
гп \ оп оп оп
п ' ' 2 ' 2 ' 2 ' 'лп-г-1
тим, что из р ^ 9 следует неравенство ^ ^ ^ ^ 2п . Значит,
\[п/2]/ у/пп/2 уп 24
2г-^2г ^ + 2п-1^ ^ 2г-г(2г ■ 2п-г-1 + 2п-1) = 2г-г ■ 2п = 2п-г+г, что и требовалось
доказать. ■
Лемма 26. Пусть р ^ 9. Тогда т = 10кад1, |^1| = £ ^ 3 и п = 2т — £ + г + 1, где г — число нулей в слове .
Доказательство. Представимость числа т в указанном виде следует из леммы 24. Применяя леммы 25 и 23, получаем, что выражение
22п-2т-2 = 1 + V’*' ( п
= ^ и + 1
) = 1(т°й 2)
заключено между 2п-г+^-2 и 2п-г+г. Значит, 2п — 2т — 2 = п — £ + г — 1, откуда получаем утверждение леммы. ■
Таким образом, при р ^ 9 для пары (т, п) остаются следующие возможности: (2Р-2, 2Р-1 + 1), (2Р-2 + 1, 2Р-1 + 2), (2Р-2 + 2, 2Р-1 + 4), (2Р-2 + 3, 2Р-1 + 5), (2Р-2 + 4, 2Р-1 + 8), (2Р-2 + 5, 2Р-1 + 9), (2Р-2 + 6, 2Р-1 + 11), (2Р-2 + 7, 2Р-1 +12). Первые две пары удовлетворяют равенству по лемме 7. Из оставшихся пар достаточно проверить
лишь половину, поскольку для четных т выполнено
!+ X
) = 2)
п г + 1
1 +
х
2|*>(т )Еі(ш°а 2)
п
г+1
+
1+
х
(т+О^^ 2)
п
г+1
+
1+
п
г + 2
х
(тг+1)=1(ш°а 2)
1 + х *>(т+1)=1(т°а 2) п +1' г+1
п
г+2
пп
пг + г +п 1
Из пар с нечётным т — (2Р 2 + 3, 2Р 1 + 5), (2Р 2 + 5, 2Р 1 + 9) и (2Р 2 + 7, 2Р 1 + 12) — первые два случая невозможны по теореме 6. Рассмотрим третий случай.
Лемма 27. Для любого к ^ 0 выполнено
3+ Е П2(0к 1100,ш + 1)
эдг=11...1,
0к+1111^тог
10
11
(ок 1100,шг + 1) = 2 (шоа4).
Доказательство. Докажем утверждение по индукции. База: к = 0.
з+ Е П2(1100,шг + 1)
эдг=11...1,
0111^адг
10
11
3 + П2(1100,1000)
10
11
(1100,1000) = 3 + 3 ■ 1 = 2 (шоа4).
Докажем переход. Пусть утверждение верно для к = £, докажем его для к = £ + 1. Поскольку к > 0, то в сумме отличны от нуля лишь слагаемые, у которых юг + 1 начинаются с 0:
3+ Е п2(0*+11100,шг + 1)
эдг=11...1, 0^ + 2111^адг
10
11
(0*+11100,^г +1)
3+ Е П2(0*+11100,0(шг + 1)) ■ 1
эдг=11...1, 0^ + 1111^ адг
3+ Е п2(0*1100,^г + 1)
эдг=11...1, 0і + 1111^тог
10
11
Последнее выражение сравнимо с 2 по модулю 4 по предположению индукции. Переход доказан. ■
Теорема 8. Пусть ют = 010к 111, шп = 10к 1100. Тогда
1+ Е П3(шп,шг + 1)М2*(шп,т + 1) = 4 (шоё 8).
адг=11...1,
wm^wi
Доказательство. Преобразуем выражение:
1+ £ Пз(шп,шг + 1)М2*(шп,шг + 1) = 1 + Пз(10к 1100,100 ... 0)М*(10к 1100,100 ... 0) +
™г=11...1,
wm^wi
+ £ п3(10к 1100, 0(шг + 1))М2*(10к 1100, 0(шг + 1)) +
адг=11...1,
10к111^тог
+ £ п3(10к 1100,1(шг + 1))М2*(10к 1100,1(шг + 1)) = 1 +
адг = 11...1,
10к111^тог
+ £ Пз(0к 1100, шг + 1)
™г=11...1,
10к 111^тог
1432
1555
1654
1771
(0к 1100, шг + 1)
1
5 5 1
12
13
(0к1100)
(0к 1100) +
(0к 1100, шг + 1) +
+ £ Пз(0к 1100, шг + 1)
адг=11...1,
10к111^тог
2
6
0
4
1036 5111 5210 17 7 1
(0к 1100, шг + 1)
10
31
(0к 1100, шг + 1) =
(0к 1100)+ £ П3(0к 1100, шг + 1)
™г=11...1,
10к111^тог
Сократив на 2, получим, что нужно доказать (0к 1100) + £ П3(0к1100,шг + 1)
2464
6622
0404
4444
(0к 1100, шг + 1) (шоё 8).
адг=11...1,
10к111^тог
1232
3311
0202
2222
(0к 1100, шг + 1) = 2 (шоа4).
В случае к = 0 в сумме нет слагаемых, а значит, левая часть равна
что и требуется. Пусть к > 0. Продолжаем вычисления:
1
3
0
2
(1100) = 2,
1
3
0
2
(0к 1100)+ £ П3(0к 1100, шг + 1)
™г=11...1,
10к111^тог
1
3
(0к-11100)+ £ П3(0к 1100,1(шг + 1))
адг=11...1,
0к111^тог
1232 3 3 11 0202 2222
1232
3311
0202
2222
3 2 /0^-1
11
(0к 1100, шг + 1)
(0к 1100,1(шг + 1)) =
В случае к = 1 в сумме одно слагаемое, значит, выражение равно
1
3
(1100) +
+П2(1100,1000)
3 2 11
(1100,1000) = 3 + 3 • 1 = 2 (mod 4), что и требуется. Пусть
к ^ 2. Продолжаем вычисления:
(0fc-11100)+ £ n2(0k-11100,wi + 1)
wi=11...1,
0fc111^-wi
32
11
(0k-11100,wi + 1)
1 + n2(0k-11100,100 ... 0)
32
11
+ E n2(0k-11100,0(wi + 1))
wi=11...1,
0fc-1111^wi
+ E n2 (0k-11100,1(wi + 1))
wi=11...1,
ofc-1111^wi
32
11
32
11
(0k-11100,100... 0) + (0k-11100,0(wi + 1)) +
(0k-11100,1(wi + 1))
1+
3
1
(0k-21100) • 2 + E Щ(0к-21100, wi + 1)
wi=11...1,
0fc-1111^wi
+ E n2(0k-21100,wi + 1)
10
11
wi=11...1,
ofc-1111^wi
32
11
= 3+ E n2(0k-21100,wi + 1)
wi=11...1,
ofc-1111^wi
10
11
(0k-21100,wi + 1) • 3+ (0k-21100,wi + 1) • 2 =
(0k-21100,wi + 1) (mod 4).
Остаётся воспользоваться леммой 27. ■
Таким образом, случай m = 2p-2 + 7, n = 2p-1 + 12 невозможен. Поэтому при p ^ 9 единственными подходящими парами являются пары m = 2p-2, n = 2p-1 + 1 и m = 2p-2 + 1, n = 2p-1 + 2. Отсюда получаем основной результат.
Теорема 9. Если n ^ 512, 0 <m<n — 1 и пара n, m не принадлежит сериям m = 2s, n = 2s+1 + 1 и m = 2s + 1, n = 2s+1 + 2 при s ^ 0, то для корреляционноиммунной порядка m булевой функции f от n переменных выполнено неравенство
nl(f) ^ 2n-1 — 2m+1.
Проверка равенства (1) для n< 512, n — 2 ^ m ^ (n — 1)/2 на компьютере позволяет убрать ограничение n ^ 512 из предыдущей теоремы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Sarkar P. and Maitra S. Nonlinearity bounds and constructions of resilient boolean functions // LNCS. 2000. V. 1880. P. 515-532.
2. Tarannikov Yu. On resilient Boolean functions with maximal possible nonlinearity // LNCS. 2000. V. 1977. P. 19-30.
3. Zheng Y. and Zhang X. M. Improved upper bound on the nonlinearity of high order correlation immune functions // LNCS. 2001. V. 2012. P. 264-274.
4. Таранников Ю. В. О корреляционно-иммунных и устойчивых булевых функциях // Математические вопросы кибернетики. Вып. 11. М.: Физматлит, 2002. С. 91-148.
5. Халявин А. В. Построение 4 корреляционно-иммунных булевых функций от 9 переменных с нелинейностью 240 // Материалы X Междунар. семинара «Дискретная математика и её приложения». Москва, МГУ, 1-6 февраля 2010 г. М.: Изд-во механико-математического факультета МГУ, 2010. С. 534.
6. Ботев А. А. О соотношениях между корреляционной иммунностью, нелинейностью и весом для неуравновешенных булевых функций // Математические вопросы кибернетики. Вып. 11. М.: Физматлит, 2002. С. 149-162.
7. Guo-Zhen X. and Massey J. A. Spectral characterization of correlation-immune combining functions // IEEE Trans. Information Theory. 1988. V. 34. No. 3. P. 569-571.
