ОЦЕНКА НАПРЯЖЁННОГО СОСТОЯНИЯ ПОЗВОНОЧНЫХ СТОЛБОВ СОБАК НА ОСНОВЕ ДАННЫХ КОМПЬЮТЕРНОЙ ТОМОГРАФИИ

Герасимов Олег Владимирович; Шарафутдинова Карина Рузалиновна; Караман Виктор Сергеевич; Салеева Гульшат Тауфиковна; Саченков Оскар Александрович

Оценка напряжённого состояния позвоночных столбов собак на основе данных компьютерной томографии / О. В. Герасимов, К. Р. Шарафутдинова, В. С. Караман, Г. Т. Салеева, О. А. Саченков // Российский журнал биомеханики. - 2024. - Т. 28, № 1, С. 40-53. DOI 10.155 93/RZhBiomeh/2024.1.03

РОССИИСКИИ ЖУРНАЛ БИОМЕХАНИКИ №1, 2024

RUSSIAN JOURNAL OF BIOMECHANICS

https ://ered.pstu. ru/index.php/rjb

Научная статья

БС! 10.15593/RZhBiomeh/2024.1.03 УДК: 531/534: [57+61]

ОЦЕНКА НАПРЯЖЁННОГО СОСТОЯНИЯ ПОЗВОНОЧНЫХ СТОЛБОВ СОБАК НА ОСНОВЕ ДАННЫХ КОМПЬЮТЕРНОЙ ТОМОГРАФИИ

О.В. Герасимов1, К.Р. Шарафутдинова1, В.С. Караман2, Г.Т. Салеева3, О.А. Саченков1

1 Казанский (Приволжский) федеральный университет, Казань, Российская Федерация

2 Центр ветеринарной неврологии и нейрохирургии «Нейровет», Казань, Российская Федерация

3 Казанский государственный медицинский университет, Казань, Российская Федерация

О СТАТЬЕ

АННОТАЦИЯ

Получена: 02 января 2024 Одобрена: 14 марта 2024 Принята к публикации: 15 марта 2024

Ключевые слова:

многофазные материалы, методы неразрушающего контроля, компьютерная томография, сегментация изображений, численное моделирование, позвоночники собак

механических образцов. На

Актуальной задачей биомеханики выступает изучение влияния внешних нагрузок на опорно-двигательный аппарат человека, одним из основных элементов которого является позвоночный столб. В этом случае проведение исследований предполагает рассмотрение позвоночника в качестве комплексной системы, состоящей из позвонков и сочленяющих их межпозвоночных дисков. На данный момент существует множество работ, посвященных определению причин возникновения различных отклонений в тканевых волокнах между позвонками, что приводит развитию дископатии. Наиболее подверженными к подобным изменениям оказываются собаки в силу их генетической предрасположенности. Таким образом, в данной работе проводились исследования шейного отдела позвоночников трёх животных: йоркширский терьер, русский тойтерьер и метис. В ходе работы выполнялось численное моделирование образцов по данным компьютерной томографии. Вычислительные эксперименты осуществлялись методом конечных элементов и позволяли определять напряжённое состояние с учётом распределения свойств материала. Испытания соответствовали продольному сжатию основе полученных результатов определялось поле сжимающих напряжений, проводилась оценка достоверности значений согласно ошибке энергии, а также расчёт интенсивности напряжений по Мизесу и жёсткости полученной конструкции. Анализ результатов показал, что наибольшие значения напряжений достигаются между позвонками крайних областей шейного отдела. В среднем образец породы Йоркширский терьер предрасположен к возникновению больших нагрузок по сравнению с результатами других собак экспериментальной группы. Наибольшая жёсткость соответствовала метису: в два раза больше относительно среднего значения для карликовых пород. Распределение ошибки энергии по напряжениям показало, что области с наибольшими значениями соответствуют конечным элементам на границе разделения различных фаз среды. Таким образом, полученные в рамках работы результаты позволяют устанавливать характер распределения напряжённого состояния в межпозвоночных дисках, а также выявлять прочностные показатели позвоночных столбов с учётом механических свойств различных биологических тканей.

©ПНИПУ

Эта статья доступна в соответствии с условиями лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License (CC BY-NC 4.0)

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License (CC BY-NC 4.0)

Введение

Исследование заболеваний опорно-двигательного скелета, причин их возникновения и последствий определяет предмет интересов врачей, ветеринаров и научных деятелей [15, 27]. Одним из распространённых физиологических процессов, наблюдаемых в медицинской практике, выступает заболевание межпозвоночных дисков. Такой возрастной дегенеративный процесс позвоночного столба приводит к снижению прочностных свойств основного опорного органа скелета и выступает потенциальной причиной нарушения двигательных способностей пациентов: наиболее тяжёлым случаем клинической практики оказывается повреждение спинного мозга вследствие нарушения целостности межпозвоночных дисков, что характеризуется развитием дископатий в различных отделах позвоночника.

Исследование костных органов скелета предполагает изучение их прочностных показателей в условиях воздействия заданных внешних нагрузок и при наличии различного рода патологий (переломы костных органов, прямое хирургическое вмешательство и пр.). Вопрос оценки механических свойств позвоночника основывается на построении моделей, требующих учёта различных по свойствам структурных элементов. Костная составляющая органа описывается позвонками, определяющими основную жёсткость конструкции. Подвижность обеспечивается

межпозвоночными дисками, действующими в качестве демпфирующих подушек, поглощающих динамические ударные воздействия. Изучение распределения показателей нагруженного состояния может определить области, в первую очередь подверженные деградации и последующему разрушению, приводящих к отклонениям в самочувствии пациентов и, как следствие, снижению качества их жизни.

Наибольшая предрасположенность к образованию изменений в структурных элементах позвоночника наблюдается у собак (в силу их физиологического строения): данный процесс в большей мере проявляется в шейном отделе и может быть описан следующим образом. Заболевание межпозвоночного диска у собак, как правило, связано с генетической предрасположенностью и предполагает дегенерацию структуры пульпозного ядра и его дальнейшую кальцификацию [9, 11, 15]. Данный эффект обуславливает изменение давления в межпозвоночном диске и является причиной возникновения дополнительной нагрузки на фиброзное кольцо, приводящей к разрыву его коллагеновых волокон [15]. Вследствие физиологических процессов фиброзное кольцо утолщается и выступает в канал спинного мозга, что определяет его компрессию и служит причиной изменения амортизирующих свойств межпозвоночного диска. Более того, данный дегенеративный процесс

приводит к нарушению стабильности соединения краниальных, каудальных и поперечных отростков шейных позвонков, обеспечивающих

функциональность шейного отдела позвоночного столба у собак.

Таким образом, на данный момент одной из актуальных задач в биомеханике выступает расчёт позвоночного столба скелета человека, в котором изучение возникновения, протекания и предотвращения патологий может быть основано на рассмотрении экспериментальных образцов собак. Недостаточная разработанность исследований в данном направлении определяет необходимость в построении новых вычислительных моделей и в расширении существующих методик для исследования механических свойств костного органа в условиях воздействия внешних нагрузок [12, 18]. Целью работы выступает оценка распределения параметров нагрузки на шейный отдел позвоночного столба собак для выявления областей, подверженных развитию дископатии. Достижение установленной цели выполнялось на основе численного расчёта двигательных сегментов шейного отдела двух образцов позвоночника собак карликовых пород и одного -метиса.

Материалы и методы

Цифровое прототипирование

Множество существующих в настоящее время исследований позвоночных отделов скелета предполагает физическое извлечение образцов из позвоночного столба животных [23, 32], что, в первую очередь, определяет возможность экспериментального установления механических свойств позвонков и межпозвоночных дисков. Данный подход оказывается в значительной степени трудоёмким по отношению к исследованию образцов биологического происхождения и не позволяет изучать их общее состояние: в случае проведения натурных экспериментов над шейным отделом позвоночника не ставится целью установление процесса взаимодействия между позвонками и межпозвоночными дисками.

Другим подходом выступает построение численных моделей образцов на основе их цифровых прототипов, восстановленных по данным с изображений. В отличие от инвазивных методов с участием физического вмешательства такой способ позволяет проводить расчёты без необходимости в разрушении исследуемых образцов и, как следствие, представляет собой один из методов неразрушающего контроля [14, 35, 39]. В данной работе предлагается к рассмотрению методика определения напряжённого состояния объектов на основе данных, полученных путём проведения рентгеновской компьютерной томографии.

В основе такого подхода лежит сегментация исходного изображения относительно показателей проницаемости среды, что позволяет проводить численное моделирование образцов с выделением нескольких фаз материала [33]. Таким образом, построение цифрового прототипа, учитывающего пространственное распределение механических параметров среды по данным с изображений, определяет возможность применения методики в персонализированной медицине [17, 30, 38].

Численное моделирование

Проведение вычислительных экспериментов предполагало применение метода прямого учёта свойств материала по данным компьютерной томографии, представленного в работах [4, 6, 7, 21]. Идея подхода заключается во введении весовой функции (уникальной для каждого изображения), значения которой соответствуют коэффициентам упругости материала в текущем микроэлементе объёма. В трёхмерном случае в качестве такого микроэлемента выбирается один воксел, содержащий усреднённое значение проницаемости среды в занимаемом им объёме, физический размер которого устанавливается разрешающей способностью сканирующего устройства. В изображениях большинства компьютерных томографов каждый воксел имеет геометрию в виде куба, что позволяет проводить сегментацию снимков на основе построения ортогональных сеток. Таким образом, в качестве метода численного моделирования может быть выбран метод конечных элементов, где каждый полученный сегмент изображения соответствует отдельному конечному элементу. В этом случае учёт неоднородного распределения механических свойств материала может быть реализован на основе интегрирования по локальному объёму. С алгоритмической точки зрения наиболее подходящим оказывается метод средних прямоугольников, в котором узлы интегрирования определяются геометрическими центрами вокселов xi, у, zk в глобальной системе координат (х, у, z), координаты точек которой могут быть описаны пространственным вектором г. Таким образом, в качестве шага интегрирования выступали физические размеры вокселов Ах, Ду, Аz, образующие равномерную ортогональную сетку компьютерной томографии. Внося обработанные [33, 34] значения весовой функции под знак интеграла, может быть проведён учёт пространственного распределения упругих свойств материала на основе расчёта каждой локальной матрицы жёсткости согласно данным компьютерной томографии области, занимаемой соответствующим конечным элементом [5]:

= Ж[*(0)! [я№(е)]Ие)| ^, (1)

Vе

где 0 - радиус-вектор локальных координат конечного элемента n, Zk), B(0)] - матрица

дифференцирования, |J(0)| - определитель матрицы Якоби для преобразования координат, а матрица упругости [D(0)] определяется зависимостью от радиус-вектора 0 в следующем виде:

[ D (е)Н D ]®(е). (2)

Здесь [D] - матрица упругости для однородного изотропного материала, ю(0) - весовая функция, определяющая упругость микроэлемента среды.

Проведение компьютерной томографии

В качестве экспериментальных образцов рассматривались шейные отделы позвоночного столба собак трёх пород: две карликовых - йоркширский терьер (гусь) и русский тойтерьер (той), и один -смешанной породы (метис). Протокол экспериментов, включающий анестезию, хирургическое вмешательство, послеоперационный уход, тестирование и эвтаназию, был одобрен Комитетом по уходу за животными Казанского государственного медицинского университета. Все экспериментальные процедуры проводились в соответствии со стандартами, чтобы свести к минимуму страдания животных и размер экспериментальных групп.

Проведение снимков позвоночников выполнялось с использованием медицинского компьютерного томографа Gender CB-500 (США). Полученные изображения среды соответствовали

макроскопическому уровню. Физический размер вокселов составлял 0,2*0,2*0,2 мм, габариты области сканирования - 86,4*86,4x86,4 мм. Разрешение трёхмерных снимков образцов определялось следующими параметрами: гусь и метис - 432*432*432, той - 432*215*315. Исходные данные компьютерной томографии представляли собой массив целых чисел, соответствующих различной проницаемости среды, и подвергались обработке согласно нормализованным гистограммам [3] в программном комплексе Avizo. В табл. 1 представлены диапазоны оптической плотности массива данных для образцов экспериментальной группы: указанные в скобках величины соответствуют пиковым значениям для сегментированных фаз материала.

Таблица 1

Сегментация исходных данных компьютерной томографии

Собака Межпозвоночный диск Костная ткань

гусь 250-500 (250) 501-2100 (760)

той 150-350 (210) 351-2100 (520)

метис 0-250 (200) 400-2100 (440)

а б в

Рис. 1. Визуализация обработанных данных компьютерной томографии шейного отдела позвоночного

столба собак: а - гусь; б - той; в - метис

а б в

Рис. 2. Восстановление расчётной области: а - гусь; б - той; в - метис

Ранее было отмечено [13, 14], что оптическая проницаемость среды связана не только с физической плотностью сканируемого материала, но и с его механическими свойствами. Таким образом, предполагая однотипное происхождение исследуемых образцов, данное замечание позволяет сделать вывод о наличии корреляции между изменением оптической плотности ткани и вариацией параметров прочности материала.

Сегментация изображений шейного отдела позвоночного столба собак предполагала выделение двух упругих фаз материала, соответствующих механическим свойствам костной ткани и межпозвоночного диска [36, 37], и одной фиктивной фазы, определяющей вещество, не вносящее вклад в увеличение жёсткости конструкции (элементы

пространства с незначительной сопротивляемостью среды внешним воздействиям: пустое пространство вокруг образца и материал в порах). На рис. 1 синим цветом обозначена фаза, соответствующая межпозвоночным дискам, красным - определяющая костную ткань. Подробное описание методики обработки изображений компьютерной томографии представлено в работах [6, 7].

Построение конечно-элементного ансамбля

В качестве элемента сетки использовался трёхмерный гексагональный восьмиузловой

изопараметрический конечный элемент сплошной среды с линейной аппроксимацией [5, 21]. Дискретизация расчётной области выполнялась на

основе построения регулярных ортогональных конечно-элементных сеток. В силу неравномерного пространственного распределения механических свойств среды каждый конечный элемент определялся различной долей материалов, способных оказать влияние на жёсткость получаемой конструкции. Таким образом, восстановление расчётной геометрии образцов предполагало удаление из исходной дискретизации области подобъёмов с относительным низким содержанием упругого материала (менее 5 %), что определяло ступенчатый вид расчётных сеток (рис. 2).

Описанный метод взвешенного интегрирования локальной матрицы жёсткости позволяет выполнять построение конечного элемента сплошной среды на основе кусочно-однородной подынтегральной функции ю(г). В этом случае механические параметры материала в пределах отдельного вокселя соответствуют модели упругого изотропного материала, а анизотропия возникает в силу его неравномерного распределения в пространстве [1, 4, 21]. Ранее было показано [29], что в случае моделирования костной ткани влияние изменения механических свойств в объёме оказывается незначительным по отношению к распределению материала в среде. Таким образом, интегрирование локальной матрицы жёсткости может быть проведено на основе следующих значений весовой функции:

ю(г)= к, Щ е^", (3)

ю(г2 )= к2, Угг еVdisc, (4)

ю(г, ) = кз, У г, еVbon!, (5)

где Уроге - часть объёма, соответствующая пустоте (порам), Уй^с - ткани межпозвоночных дисков и Уьопе - костной структуре. Коэффициенты ^ (, = [1, 3]) определяются относительно механических параметров материала.

Определение механических параметров

В силу изотропии материала в отдельном узле интегрирования (вокселе) матрица упругих постоянных представима как:

Х'+ 2Ц' 0 0 0

Х'+ 0 0 0

\ Х'+ 2Ц' 0 0 0

0 0 0 ь 0 0

0 0 0 0 ь 0

0 0 0 0 0 ь

где X, и ц,- - постоянные Ламэ, определяемые через модуль упругости Юнга Е, и коэффициент Пуассона V,-, соответствующий ,-й фазе среды в виде:

X = У'Е ™

'"(1 + У,)(1 -2У,) , (7)

е

ЦЁ^у <8>

Основываясь на формулах (1)-(2), можно сделать вывод о линейной зависимости компонент локальной (а вместе с тем и глобальной) матрицы жёсткости относительно величины модуля упругости Юнга, что позволяет устанавливать в качестве исходного значения параметр, соответствующий одной из расчётных фаз материала: в силу целочисленного представления массива значений компьютерной томографии в качестве исходного может быть выбран наименьший модуль упругости Юнга, соответствующий упругому материалу. В рамках исследования позвоночного стобла собак модуль упругости ткани межпозвоночных дисков собак Е2 принимался равным 16 МПа [40], костной структуры Е3 - 48 000 МПа [16]. Коэффициент Пуассона принимался равным 0,3 для всех фаз материала.

Устанавливая в формуле (3) коэффициент упругости пустоты ^ равным нулю, матрица (2) принимает вид нулевой матрицы [^], что приводит к исключению вклада элементов интегральной суммы (1) при попадании радиус-вектора 0 в неупругую область (V 0 6 Уроге). Выбрав в качестве исходного значения модуль упругости Юнга Е2, соотношение коэффициентов к2 и kз в формулах (4) и (5) может быть представлено следующим образом:

к3/к2 = 3000 . (9)

Таким образом, обработка исходного массива значений данных компьютерной томографии предполагала сегментацию изображения в соответствии со следующими значениями коэффициентов упругости: Ь = 0, k2 = 1, kз = 3000. В этом случае выбор целочисленных коэффициентов удовлетворяет формату хранения данных компьютерной томографии и позволяет на основе отношения (9) в качестве исходного модуля упругости Юнга выбирать значение, соответствующее ткани межпозвоночных дисков.

Оценка напряжённо-деформированного состояния

На основе полученных из конечно-элементного решения перемещений может быть вычислено напряжённо-деформированное состояние в узлах сетки [21]. В силу неравномерного пространственного распределения упругого материала оценка достоверности напряжений и деформаций требует их локального усреднения по объёму каждого конечного элемента [8]. В этом случае предполагается аппроксимация напряжённо-деформированного

состояния по узловым значениям и последующее его усреднение методом интегрирования по дискретному объёму данных компьютерной томографии с учётом весовой функции упругости материала ю(г) аналогично формуле (1) для вычисления локальной матрицы

ши

С1

Рис. 3. Схематичное обозначение шейного отдела

позвоночного столба собаки с приложением кинематического нагружения АЬ (осевое сжатие)

Таблица 2

Параметры расчётных сеток

Собака Степень дискретизации О х х Размер конечных элементов, мм 1х х 1У х К

гусь 100x100x100 0,864x0,864x0,864

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

той 100x50x73 0,864x0,86x0,863

метис 100x100x100 0,864x0,864x0,864

Рис. 4. Характерная диаграмма нагружения образца в осях «перемещение -нагрузка» (у-Р): оранжевый и жёлтый участки - полный график нагружения (до разрушения), оранжевый участок (ОА) - область линейной упругости, чёрная линия (ОВ) - график линейной регрессии (аппроксимация значений методом наименьших квадратов), утах и Ртах - максимальные значения перемещения и усилия, полученные при упругом деформировании

жёсткости. Анализ результатов может быть проведён в терминах главных компонент тензора напряжений и деформаций, что позволяет определять интенсивность напряжений по Мизесу, усреднённых по объёму каждого конечного элемента с учётом доли содержания упругого вещества.

Оценка погрешности результатов расчёта может быть проведена на основе вычисления локальной ошибки энергии по напряжениям для каждого конечного элемента сетки: данная процедура также предполагает нормализацию согласно энергии деформации [10]. Таким образом, предложенный метод прямого учёта негомогенных свойств среды позволяет учитывать неравномерное распределение материала в пространстве на основе взвешенного интегрирования расчётных характеристик, а анализ полученного

напряжённо-деформированного состояния может быть проведён в терминах локально-усреднённых значений, достоверность которых определяется согласно нормированной ошибке энергии.

Вычислительные эксперименты

Исходные данные компьютерной томографии позвоночных столбов собак подвергались сегментации на основе построения равномерной ортогональной конечно-элементной сетки: степень дискретизации области сканирования и соответствующий физический размер конечных элементов представлены в табл. 2. Восстановление расчётной геометрии образцов достигалось методом фильтрации согласно заданному порогу [6, 7]: конечные элементы, относительная доля

в

Рис. 5. Напряжённое состояние вдоль оси Ох в межпозвоночных дисках: а - гусь; б - той; в - метис

содержания упругого материала, в которых оказывалось менее 5 %, исключались из исходного ансамбля. Результирующий размер расчётных сеток составил: гусь - 18652, той - 13707 и метис - 46419 конечных элементов, соответственно (рис. 2).

Проведение вычислительных экспериментов соответствовало нагружению на сжатие в направлении продольной оси позвоночного столба: образцы упруго фиксировались нижним торцом седьмого шейного позвонка (рис. 3, С7), к верхнему торцу первого шейного позвонка (рис. 3, С1) прикладывалось перемещение [20].

Таким образом, перемещения узлов нижнего торца седьмого шейного позвонка фиксировались в направлении трёх координатных осей Ох, Оу и Ог:

[и (г)} = 0: Vг е ^ , (10)

к узлам верхнего торца первого шейного позвонка прикладывалось перемещение в направлении вертикальной оси Ох, равное 1 мм:

[и (г)} = {1,0,0}Г : Vг е ^ . (11)

Свободная поверхность образцов соответствовала нулевым статическим граничным условиям:

о 20 да 60 во 100 о 20 да йо во юо

в

Рис. 6. Нормированная ошибка энергии в конечных элементах, соответствующих межпозвоночным дискам: а - гусь; б - той; в - метис

{^} = 0: Vг е 5С , I = 2/7 . (12)

Вычисление реакции на эквивалентную силу выполнялось методом интегрирования усреднённых напряжений по кинематически нагруженной поверхности [6]. Оценка жёсткости образованной конструкции проводилась исходя из графика линейной регрессии: геометрическая интерпретация жёсткости соответствовала тангенсу угла наклона графика а относительно горизонтальной оси прикладываемых перемещений Оу (рис. 4). В силу линейности полученного конечно-элементного решения результаты вычислительных экспериментов находились в пропорциональной зависимости относительно величины прикладываемой кинематической нагрузки.

Результаты

Вычислительные эксперименты

Результаты вычислений, полученные на расчётных сетках, интерполировались по узлам постпроцессорной сетки, соответствующей вокселям изображений компьютерной томографии. В силу исследования

Рис. 7. Интенсивность напряжений по Мизесу в конечных элементах, соответствующих межпозвоночным дискам: а - гусь; б - той; в - метис

причин возникновения дископатии наибольший интерес представляло напряжённо-деформированное состояние в демпфирующем материале межпозвоночных дисков. Таким образом, результаты вычислений отображались согласно сегментированным данным с изображений: улучшение видимости материала межпозвоночных дисков обеспечивалось уменьшением прозрачности при визуализации костной ткани. Основными параметрами исследования выступали: ошибка энергии, напряжённое состояние и жёсткость образцов согласно диаграмме нагружения. Расчёт интенсивности напряжений по Мизесу выполнялся на основе главных компонент тензора напряжений. Полученные значения сопоставлялись для каждого экземпляра в рамках экспериментальной группы.

На рис. 5 представлено распределение значений поля локально усреднённого напряжённого состояния в направлении приложения сжимающей нагрузки. Результаты показывают возникновение концентраторов напряжений в межпозвоночных дисках образца гусь в верхней (отмечено красным эллипсом) и нижней областях (отмечено синим эллипсом). В образце той

Рис. 8. Нормированная ошибка энергии: а - гусь; б - той; в - метис

наибольшие напряжения вдоль оси Ох достигались в нижней части позвоночного столба. Концентраторы продольных напряжений в образце метис располагались в верхней и нижней частях.

На рис. 6 показано распределение значений нормированной ошибки энергии. Наибольшие значения расчётной величины соответствовали центральным областям межпозвоночных дисков, образующим пульпозное ядро (увеличенные области).

Распределение значений интенсивности

напряжений по Мизесу отражено на рис. 7. Аналогично результатам, представленным на рис. 5, наибольшие значения достигались в областях, отмеченных красным и синим эллипсами.

Максимальные по модулю напряжения в областях, определяющих концентраторы, представлены в табл. 3: цветовая дифференциация соответствует обозначениям отмеченных на рис. 5 и 7 участков. В табл. 4 приведены результаты оценки напряжённого состояния в межпозвоночных дисках, не принадлежащих области выделения: значения представлены в сочетании со стандартной ошибкой (СО).

б

а

в

О 200 400 600 800 1000 0 200 400 600 800 1000120014001600

в

Рис. 9. Интенсивность напряжений по Мизесу: а - гусь; б - той; в - метис

Совместное распределение значений

нормированной ошибки энергии для костной ткани и межпозвоночных дисков представлено на рис. 8: наибольшие значения для образца гусь достигаются в области ограничения перемещений (нижний торец седьмого шейного позвонка), на граничных участках, аппроксимированных конечными элементами с низким содержанием упругого материала, а также в областях сочленения позвонков, соответствующих разделу фаз среды.

Совокупное отображение интенсивности напряжений по Мизесу для костной ткани и межпозвоночных дисков представлено на рис. 9: максимальные значения достигаются в области приложения кинематического перемещения (верхний торец первого шейного позвонка), а также на уровне фасеточных суставов между верхними и нижними позвонками [36].

На основе результатов проведённых вычислительных экспериментов выполнялся расчёт реакции на эквивалентную силу, согласно значениям которой для соответствующих перемещений проводилось построение диаграммы численного нагружения образцов. На рис. 10 представлены

Таблица 3

Максимальные по модулю значения напряжённого _состояния в выделенных областях, МПа_

Собака Напряжения в направлении оси Ох Напряжения по Мизесу

гусь -1022,5 1036,2

-966,15 812,32

той -460,13 550,81

219,4 298,91

метис -740,93 750,3

-863,99 799,98

Таблица 4 Усреднённые значения напряжённого состояния, исключая выделенные области, МПа ± СО

Собака Напряжения в направлении оси Ох Напряжения по Мизесу

гусь -20,33 ± 0,37 23,22 ± 0,29

той -4,56 ± 0,1 7,95 ± 0,09

метис -3,67 ± 0,04 5,51 ± 0,04

значения жёсткости позвоночных столбов, определённые при кинематическом перемещении, соответствующем 1 мм. Синей линией обозначено среднее арифметическое значение (± СО) по экспериментальной группе.

Обсуждение

Актуальность исследования межпозвоночных дисков позвоночного столба определяется в первую очередь необходимостью в изучении причин возникновения различных патологий, к одной из которых можно отнести дископатию. Наиболее показательными и подходящими для наблюдения и моделирования объектами в этом случае выступают собаки, так как обладают генетической предрасположенностью к подобного рода отклонениям. Недостаточное количество отечественных и зарубежных исследований, направленных на изучение биомеханических показателей шейных столбов собак, предоставляет возможность развития методов моделирования и определяет необходимость решения задач в данной области.

12.0 10.0 8.0 6.0 4.0 2.0 0.0

Гусь Той Метис

Рис. 10. Жёсткость позвоночных столбов собак, кН/мм

9.92

6.53 ±1.78

5.75

3.92

В рамках проведённого в данной работе исследования было определено напряжённое состояние, возникающее в межпозвоночных дисках шейного отдела позвоночника собак двух карликовых пород и одного метиса. Построение цифрового прототипа образцов выполнялось на основе проведения рентгеновской компьютерной томографии. Численное моделирование предполагало сегментацию исходных изображений с выделением трёх фаз материала: двух упругих, соответствующих костной ткани и межпозвоночным дискам, и одной фиктивной, вносящей незначительный вклад в определение жёсткости конструкции. Восстановление расчётной геометрии образцов проводилось с учётом неравномерного распределения упругого материала, что позволяло исключать элементы с низким показателем жёсткости. Учёт негомогенных свойств среды обеспечивался интегрированием локальной матрицы жёсткости каждого конечного элемента по обработанным данным компьютерной томографии, определяющим кусочно-однородные свойства ткани: анизотропия материала возникала в силу его неравномерного распределения в пространстве. Данный метод проведения вычислительных экспериментов можно отнести к методам неразрушающего контроля, что позволяет применять его в пациенто-ориентированной медицине [2, 19, 26, 28].

Исследование оптической плотности материала по полученным снимкам позволило выделить для трёх образцов биологические ткани однотипного происхождения согласно методам, основанным на построении гистограммы изображения [33]. Предполагая линейную зависимость результатов расчёта относительно модуля упругости Юнга материала, было введено три коэффициента упругости, определяющих сопротивляемость фаз среды согласно их рентгеновской проницаемости [22, 25]. Установленная зависимость между заданными коэффициентами позволяла проводить расчёты

образцов из негомогенных материалов на основе метода конечных элементов.

Образцы подвергались численным испытаниям на сжатие в направлении продольной оси. Анализ результатов выполнялся на основе определения локально усреднённых по объёму каждого конечного элемента компонент тензора напряжений. Достоверность результатов проверялась согласно значениям ошибки энергии по напряжениям, учитывающей пространственное распределение материала. Оценка напряжённого состояния также проводилась на основе интенсивности напряжений по Мизесу [36, 37]. Комплексный анализ расчётных параметров выполнялся с учётом всех упругих фаз материала: усреднённые по узлам приложения кинематического нагружения компоненты тензора напряжений использовались для определения жёсткости исследуемых образцов при проведении вычислительных экспериментов.

Анализ распределения поля сжимающих напряжений (рис. 5) и интенсивности напряжений по Мизесу (рис. 7) показал, что максимальные значения возникают в межпозвоночных дисках, соединяющих костные сегменты позвоночного столба в крайних областях, находящихся как вблизи крепления черепа, так и около первого грудного позвонка. Данный эффект может быть обусловлен возникновением концентраторов в силу особенностей сочленения каркаса головы, позвоночника и туловища собак. Рассмотрение общего напряжённого состояния с учётом костной ткани позволило определить, что наибольшие значения достигаются на задней стенке позвоночного столба в области фасеточных суставов [36, 37]. Достоверность полученных результатов

устанавливалась на основе анализа поля распределения ошибки энергии по напряжениям: результаты показали наличие больших величин на границе аппроксимации геометрии и в области приложения кинематических граничных условий, что также подтверждалось при

численном моделировании других образцов костных органов [6, 7]. Уникальным результатом в этом случае оказалось возникновение больших показателей также на границе разделения двух упругих фаз среды (рис. 6), что может быть объяснено существенной разницей в упругих показателях материалов: данный эффект наблюдался на внешней области межпозвоночных дисков, определяющей окрестность пульпозного ядра. Таким образом, исследование комплексного распределения значений ошибки энергии показало преобладание концентраторов в областях сочленения позвонков (рис. 8), расчёт результатов в которых интерполировался конечными элементами,

соответствующими межфазовым свойствам среды.

Отдельным показательным параметром расчётов выступала жёсткость позвоночных столбов, находящихся в условиях воздействия внешних сжимающих нагрузок. Сравнительный анализ результатов показал, что наибольшей жёсткостью обладает образец метис (рис. 10), что соответствует физиологии собак данной породы: значение оказалось выше на 105,2 % относительно средней жёсткости для экземпляров карликовых пород (СО внутри подгруппы составила порядка 26,7 %). Другой расчётной характеристикой выступало напряжённое состояние межпозвоночных дисков в областях, исключающих концентраторы. На основе проведённого исследования было установлено, что наибольшие значения сжимающих напряжений и их СО достигаются при численном моделировании образца гусь (табл. 3). Данный результат может быть использован при изучении причин возникновения дископатии у собак породы йоркширский терьер.

В существующих в настоящее время работах показано [24, 31], что дископатии преимущественно подвержены межпозвоночные диски, соответствующие промежуткам между позвонками С2 и С5, что объясняется увеличенной мобильностью данных сегментов. Комплексное исследование подвижности образцов [36, 37] и оценка их напряжённого состояния позволяют определять механические показатели в индивидуальном порядке и предупреждать развитие соответствующих биомеханических изменений. В этом случае актуальным также остаётся вопрос установления степени соответствия расчётных моделей реальным физическим объектам. Представленный в данной работе метод основан на определении напряжённого состояния образцов с учётом пространственного распределения

Список литературы

1. Акифьев К.Н., Стаценко Е.О., Смирнова В.В., Харин Н.В., Большаков П.В., Саченков О.А. Методика исследования пористости образцов с жидкостью рентгеновским компьютерным томографом при одноосном сжатии // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета.

механических свойств материала, что позволяет выполнять множественное моделирование в условиях приложения граничных условий, соответствующих различных внешним нагрузкам. Применение такого метода неразрушающего контроля при расчёте позвоночных столбов собак показало качественное соответствие численных результатов физиологическим параметрам образцов, а также позволило определить области, подверженные влиянию повышенных нагрузок. Дальнейшее изучение проблемы моделирования объектов биологического

происхождения может быть направлено на рассмотрение улучшенных алгоритмов сегментации исходных изображений, а также на исследовании возможности проведения натурных экспериментов и сопоставлении полученных результатов с данными численного моделирования.

Заключение

В работе рассматривалось моделирование и проведение вычислительных экспериментов на позвоночных столбах собак. Построение расчётных моделей выполнялось на основе данных компьютерной томографии. Испытания соответствовали нагружению образцов на продольное сжатие. В качестве расчётных параметров выступали напряжения в направлении приложения перемещений, интенсивность напряжений по Мизесу, а также жёсткость позвоночников, определяемая согласно диаграммам нагружения. Оценка достоверности полученных значений проводилась на основе ошибки энергии по напряжениям. Анализ результатов показал, что максимальные сжимающие напряжения в межпозвоночных дисках достигаются между верхними и нижними группами позвонков, что также соответствует значениям интенсивности напряжений по Мизесу. Наибольшая ошибка энергии соответствовала областям на стыке двух фаз материала с различной проницаемостью среды. Показатели жёсткости позвоночных столбов карликовых пород оказались в два раза меньше величины, полученной для метиса. В дальнейшем представленные в работе данные могут быть использованы для сопоставительного анализа с результатами натурных испытаний, что способно оказать влияние при изучении причин развития дископатии в шейном отделе позвоночника исследуемых объектов.

Механика. - 2023. - Т. 27, № 2. - C. 11-21. DOI: 10.15593/peim.mech/2023.2.02 2. Акифьев К.Н., Харин Н.В., Стаценко Е.О., Саченков О.А., Большаков П.В. Пилотное исследование потери устойчивости на сжатие решетчатого эндопротеза с помощью рентгеновской томографии // Российский

журнал биомеханики. - 2023. - Т. 27, № 4. - С. 40-49. DOI: 10.15593/RzhBiomeh/2023.4.03

3. Андреев Ю.С., Гурьянова О.А., Пухова Е.А. Методы гистограммных преобразований и контроля в процессах полиграфического воспроизведения изображений // Информация: передача, обработка, восприятие. - 2016. -С. 68-80.

4. Воробьёв О.В., Семёнова Е.В., Мухин Д.А., Стаценко Е.О., Балтина Т.В., Герасимов О.В. Конечно-элементная оценка деформированного состояния по данным компьютерной томографии // Вестник ПНИПУ. Механика. - 2021. - № 2. - С. 44-54. DOI: 10.15593/perm.mech/2021.2.05

5. Герасимов О.В., Бережной Д.В., Большаков П.В., Стаценко Е.О., Саченков О.А. Построение механической модели элементов гетерогенной среды на основе численно-цифрового алгоритма обработки данных компьютерной томографии // Российский журнал биомеханики. - 2019. - Т. 23, № 1. - С. 87-97. DOI: 10.15593/RJBiomech/2019.1.10

6. Герасимов О.В., Рахматулин Р.Р., Балтина Т.В., Саченков О.А. Определение механических свойств костной ткани численно-цифровым методом на основе данных компьютерной томографии // Российский журнал биомеханики. - 2023. - Т. 27, № 3. - С. 53-66. DOI: 10.15593/RzhBiomech/2023.3.04

7. Герасимов О.В., Рахматулин Р.Р., Балтина Т.В., Саченков О.А. Определение напряженно-деформированного состояния костей по данным компьютерной томографии // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. - 2023. - Т. 8 № 761. -С. 3-15. DOI: 10.18698/0536-1044-2023-8-3-15

8. Голованов А.И., Бережной Д.В. Метод конечных элементов в механике деформируемых твёрдых тел // Казань: Изд. «ДАС», 2001. - 301 с. - ISBN 5-81850038-1.

9. Жарнов А.М., Жарнова О.А. Биомеханические процессы в межпозвонковом диске шейного отдела позвоночника при его движении // Российский журнал биомеханики. -2013. - Т. 17, № 1. - С. 32-40.

10. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике // Москва: Изд. «МИР», 1975. - 542 с.

11. Мерои Е.А., Натали А.Н., Паван П.Г., Скарпа К. Численный анализ механического поведения межпозвонкового диска с учетом структуры коллагеновых волокон // Российский журнал биомеханики. - 2005. - Т. 9, № 1. - С. 36-51.

12. Полянский Р.К. Клинико-экспериментальное обоснование использования межпозвонковых имплантатов из углеситалла в шейном отделе позвоночного столба у собак: дис... канд. вет. наук: 06.02.04. - М., 2016. - 118 с.

13. Саченков О.А., Герасимов О.В., Королева Е.В., Мухин Д.А., Яикова В.В., Ахтямов И.Ф., Шакирова Ф.В., Коробейникова Д.А., Хань Х.Ч. Построение негомогенной конечно-элементной модели по данным компьютерной томографии // Российский журнал биомеханики. - 2018. - Т. 22, № 3. - С. 332-344.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

14. Харин Н.В., Герасимов О.В., Большаков П.В., Хабибуллин А.А., Федянин А.О., Балтин М.Э., Балтина Т.В., Саченков О.А. Методика определения ортотропных свойств костного органа по данным компьютерной томографии // Российский журнал биомеханики. - 2019. - Т. 23, № 3. - C. 460-468.

DOI: 10.15593/RZhBiomeh/2019.3.11

15. Хорошев Д.В., Ильялов О.Р., Устюжанцев Н.Е., Няшин Ю.И. Биомеханическое моделирование межпозвоночного диска поясничного отдела человека -современное состояние проблемы // Российский журнал биомеханики. - 2019. - Т. 23, № 3. - С. 411-422.

16. Allen M.R., Iwata K., Phipps R., Burr D.B. Alterations in canine vertebral bone turnover, microdamage accumulation, and biomechanical properties following 1-year treatment with clinical treatment doses of risedronate or alendronate // Bone. - 2006. - Vol. 39, no. 4. - P. 872-879.

DOI: 10.1016/j.bone.2006.04.028

17. Bagirov A., Suvarly P., Ogaryov E., Yeltsin A., Mininkov D., Tagizade A. Multislice computed tomography in the complex assessment of deformities of long tubular bones of the lower extremities: prospective cohort study // Journal of Traumatology and Orthopedics. - 2023. - Vol. 29. - P. 269277. DOI: 10.17816/vto111559

18. Bergknut N., Smolders L.A., Grinwis G.C.M., Hagman R., Lagerstedt A.S., Hazewinkel H.A.W., Tryfonidou M.A., Meij B.P. Intervertebral disc degeneration in the dog. Part 1: Anatomy and physiology of the intervertebral disc and characteristics of intervertebral disc degeneration // Vet. J. -2013. - Vol. 195, no. 3. - P. 292-299.

19. Bolshakov P., Kuchumov A., Kharin N., Statsenko E., Silberschmidt V. Method of computational design for additive manufacturing of hip endoprosthesis based on basic-cell concept // Int. J. Numer. Method. Biomed. Eng. -2024. - Vol. 40, no. 3. DOI: 10.1002/cnm.3802

20. Friis E.A., Arnold P.M., Goel V.K. Mechanical testing of cervical, thoracolumbar, and lumbar spine implants // Mechanical Testing of Orthopaedic Implants. - 2017. -P. 161-180. - DOI: 10.1016/B978-0-08-100286-5.00009-3

21. Gerasimov O.V., Kharin N.V., Fedyanin A.O., Bolshakov P.V., Baltin M.E., Statsenko E.O., Fadeev F.O., Islamov R.R., Baltina T.V., Sachenkov O.A. Bone Stress-Strain State Evaluation Using CT Based FEM // Front. Mech. Eng. -2021. - Vol. 7. - P. 688474.

DOI: 10.3389/fmech.2021.688474

22. Gupta S., Dan P. Bone geometry and mechanical properties of the human scapula using computed tomography data // Trends Biomater. Artif. Organs. - 2004. - Vol. 17, no. 2. -P. 61-70.

23. Ibarz E., Más Y., Mateo J., Lobo-Escolar A., Herrera A., Gracia L. Instability of the lumbar spine due to disc degeneration. A finite element simulation // Adv. Biosci. Biotechnol. - 2015. - Vol. 4, no. 4. - P. 548-556.

24. Jeong I.-S., Rahman Md.M., Choi G.-C., Seo B.-S., Lee G.-J., Kim S., Kim N.S. A retrospective study of canine cervical disk herniation and the beneficial effects of rehabilitation therapy after ventral slot decompression // Vet. Med. - 2019. - Vol. 64, no. 6. - P. 251-259. DOI: 10.17221/114/2018-vetmed

25. Kaneko T.S., Pejcic M.R., Tehranzadeh J., Keyak J.H. Relationships between material properties and CT scan data of cortical bone with and without metastatic lesions // Med. Eng. Phys. - 2003. - Vol. 25, no. 6. - P. 445-454.

26. Kharin N., Bolshakov P., Kuchumov A. Numerical and experimental study of a lattice structure for orthopedic applications // Materials. - 2023. - Vol. 16, no. 2. -P. 744. DOI: 10.3390/ma16020744

27. Kostenko E., Stonkus R., Sengau J., Maknickas A. Empirical case report of the mechanical properties of three spayed canine lumbar vertebrae // J. Biomed. Mater. Res. Part B Appl. Biomater. - 2022. - Vol. 110, no. 11. - P. 2521-2532.

28. Kurra S.H., Zhang J.M., Pennathur A. Flowchart for basic non-destructive testing technologies in biomaterials //

SBEC. - 2009. - Vol. 24. - P. 35-38. DOI: 10.1007/978-3-642-01697-4_15

29. Maquer G., Musy S.N., Wandel J., Gross T., Zysset P.K. Bone volume fraction and fabric anisotropy are better determinants of trabecular bone stiffness than other morphological variables // JBMR. - 2015. - Vol. 30, no. 6. -P. 1000-1008. DOI: 10.1002/jbmr.2437

30. Maslov L.B., Dmitryuk A.Y., Zhmaylo M.A., Kovalenko A.N. Study of the strength of a hip endoprosthesis made of polymeric material // Russ. J. Biomech. - 2022. - Vol. 26, no. 4. - P. 19-33. DOI: 10.15593/RzhBiomeh/2022.4.02

31. Mj D., Palettas P.N., Mj B. Characteristics of dogs admitted for treatment of cervical intervertebral disk disease: 105 cases // J. Am. Vet. Med. Assoc. - 1992. - Vol. 200, no. 12. - P. 2009-2011.

32. Nerurkar N.L., Elliott D.M., Mauck R.L. Mechanical design criteria for intervertebral disc tissue engineering // J. Biomech. - 2010. - Vol. 43, no. 6. - P. 1017-1030.

33. Nina O., Morse B., Barrett W. A recursive Otsu thresholding method for scanned document binarization // WACV. -2011. - P. 307-314. DOI: 10.1109/WACV.2011.5711519

34. Otsu N. A Threshold Selection Method from Gray-Level Histograms // Trans. Syst. Man Cybern. - 1979. - Vol. 9, no. 1. - P. 62-66. DOI: 10.1109/TSMC.1979.4310076

35. Seibert P., Raßloff A., Kalina K., Ambati M., Kästner M. Microstructure Characterization and Reconstruction in Python: MCRpy // IMMI. - 2022. - Vol. 11. - P. 1-17. DOI: 10.1007/s40192-022-00273-4

36. Szkoda-Poliszuk K., Zak M., Zaluski R., Pezowicz C. Biomechanical Analysis of the Impact of Transverse Connectors of Pedicle-Screw-Based Fixation on Thoracolumbar Compression Fracture // Appl. Sci. - 2023. -Vol. 13. - P. 13048. DOI: 10.3390/app132413048

37. Szkoda-Poliszuk K., Zaluski R. A Comparative Biomechanical Analysis of the Impact of Different Configurations of Pedicle-Screw-Based Fixation in Thoracolumbar Compression Fracture // Appl. Bionics Biomech. - 2022. - P. 3817097. DOI 10.1155/2022/3817097

38. Vanlenthe G., Hagenmuller H., Bohner M., Hollister S., Meinel L., Muller R. Nondestructive micro-computed tomography for biological imaging and quantification of scaffold-bone interaction in vivo // Biomater. - 2007. -Vol. 28, no. 15. - P. 2479-2490.

DOI: 10.1016/j.biomaterials.2007.01.017

39. Zheng X., Chen T.T., Jiang X., Naito M., Watanabe I. Deep learning-based inverse design of three-dimensional architected cellular materials with the target porosity and stiffness using voxelized Voronoi lattices // STAM. - 2022. - Vol. 24. - P. 1-15. DOI: 10.1080/14686996.2022.2157682

40. Zimmerman M.C., Vuono-Hawkins M., Parsons J.R., Carter F.M., Gutteling E., Lee C.K., Langrana N.A. The mechanical properties of the canine lumbar disc and motion segment // Spine. - 1992. - Vol. 17, no. 2. - P. 213-220.

DOI: 10.1097/00007632-199202000-00016

Финансирование. Исследование выполнено при финансовой поддержке, выделяемой Казанскому федеральному университету по государственному заданию в сфере научной деятельности, проект № FZSM-2023-0009. Конфликт интересов. Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

CT-BASED ASSESSMENT OF THE STRESS STATE OF DOG SPINES

O.V. Gerasimov1, K.R. Sharafutdinova1, V.S. Karaman2, G.T. Saleeva3, O.A. Sachenkov1

1 Kazan (Volga region) Federal University, Kazan, Russian Federation

2 Center for Veterinary Neurology and Neurosurgery "Neurovet", Kazan, Russian Federation

3 Kazan State Medical University, Kazan, Russian Federation

ARTICLE INFO ABSTRACT

Received: 02 January 2024 An urgent task of biomechanics is the study of the influence of external loads on the human

Approved: 14 March 2024 musculoskeletal system, one of the main elements of which is the vertebral column. In this case,

Accepted for publication: 15 March research involves considering the spine as a complex system consisting of vertebrae and the

2024 intervertebral discs that articulate them. At the moment, there are many works devoted to

determining the causes of various abnormalities in the tissue fibers between the vertebrae, which ~ ~~ leads to the development of discopathy. Dogs are the most susceptible to such changes due to

Key words. their genetic predisposition. Thus, in this work, studies were carried out on the cervical spine of

multiphase materials, non-destructive three animals: Yorkshire Terrier, Russian Toy Terrier and half-breed. During the work, numerical

testing methods, computed modeling of samples was performed using computed tomography data. Computational

tomography, image segmentation, experiments were carried out using the finite element method and made it possible to determine

numerical modeling, dog spines the stress state taking into account the distribution of the mechanical properties of the material.

The tests corresponded to longitudinal compression of the samples. Based on the results obtained, the compressive stress field was determined, the reliability of the values was assessed according to the energy error, and the von Mises stress intensity and the rigidity of the resulting structure were calculated. Analysis of the results showed that the highest stress values are achieved between the vertebrae of the border sections of the cervical spine. On average, a sample of the Yorkshire Terrier breed is predisposed to experience greater stress compared to the results of other dogs in the experimental group. The highest rigidity corresponded to half-breed: twice as much as the average value for dwarf breeds. The distribution of the energy error showed that the areas with the highest values correspond to finite elements at the boundary between different phases of the medium. Thus, the results obtained in the framework of the study make it possible to establish the nature of the distribution of the stress state in the intervertebral discs, as well as to identify the strength indicators of the vertebral columns, taking into account the mechanical properties of various biological tissues.

©PNRPU

CT–BASED ASSESSMENT OF THE STRESS STATE OF DOG SPINES

Текст научной работы на тему «ОЦЕНКА НАПРЯЖЁННОГО СОСТОЯНИЯ ПОЗВОНОЧНЫХ СТОЛБОВ СОБАК НА ОСНОВЕ ДАННЫХ КОМПЬЮТЕРНОЙ ТОМОГРАФИИ»