Оценка модуля характеристической функции виброакустичесго сигнала при заданном параметре для предельных состояний объекта диагностирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

7. Fox I. J., Claypole T. C. , Gethin D. T. An experimental investigation into ink transfer using a roller squeegee in high-speed screen printing. Proc Instn Mech. Engrs // J. Process Mechanical Engineering. Part E, April 2003. Vol. 217 Р. 307-320.

8. Литунов С. Н. Методы расчета печатных аппаратов трафаретных машин: моногр. Омск: ОмГТУ, 2007. С. 132-137.

9. Пат. 70198 Российская Федерация, МПК В 41 F 15/42. Красочный аппарат для трафаретной печати / Литунов С. Н. № 2006107089/22; заявл. 06.03.06; опубл. 20.01.08, Бюл. № 2.

10. Литунов С. Н., Батищева М. В., Скитченко В. В., Сердюк О. Е. Особенности заполнения пастой отверстий в заготовках LTC-микросхем // Омский научный вестник. Сер. Приборы, машины и технологии. 2015. № 2. С. 126-129.

УДК 534.647:621.432 (001.8)

ОЦЕНКА МОДУЛЯ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ ВИБРОАКУСТИЧЕСГО СИГНАЛА ПРИ ЗАДАННОМ ПАРАМЕТРЕ ДЛЯ ПРЕДЕЛЬНЫХ СОСТОЯНИЙ ОБЪЕКТА ДИАГНОСТИРОВАНИЯ

В. Н. Костюков1, А. П. Науменко2, И. С. Кудрявцева2

1ООО «НПЦ «Динамика», г. Омск, Россия 2 Омский государственный технический университет, г. Омск, Россия

DOI: 10.25206/2310-9793-2017-5-4-239-245

Аннотация - Совершенствование совокупностей и систем определяющих критериев неисправностей машин и механизмов по параметрам виброакустических сигналов является актуальной проблемой технической диагностики. Целью работы является оценка методами теории принятия статистических решений и рисков нормативных величин модуля характеристической функции мгновенных значений виброакустического сигнала при фиксированном параметре характеристической функции, соответствующих различным состояниям объекта диагностирования, которые используются в качестве диагностических признаков в системах вибродиагностического мониторинга. С использованием таких статистических методов принятия решений, как метод минимального риска, минимального числа ошибочных решений, наибольшего правдоподобия, минимакса, Неймана-Пирсона, проведены расчеты по определению предельных величин модуля характеристической функции при заданном параметре, разделяющих технические состояния объекта диагностирования.

Ключевые слова: характеристическая функция, диагностика, техническое состояние, диагностический признак, виброакустический сигнал.

I. Введение

Разработка системы определяющих критериев неисправностей на основе совокупностей параметров диагностических сигналов, позволяющей однозначно, надежно и достоверно определить техническое состояние объекта и причины его изменения [1, 2, 3], являлась и является актуальной задачей технической диагностики. Неотъемлемой частью диагностики является разделение возможных технических состояний (диагнозов). В частном случае необходимо провести выбор одного из двух диагнозов (дифференциальная диагностика или дихотомия), например, «исправное состояние» (состояние «Допустимо» (Д) или «Требует принятия мер» -ТПМ) и «неисправное состояние» (состояние «Недопустимо» - НДП) [4, 5, 6]. Решение данной задачи сегодня всё чаще основывается на использовании теории принятия статистических решений.

Целью работы является оценка методами теории принятия статистических решений и рисков нормативных величин параметров ХФ [7, 8, 9, 10, 11, 12], используемых в качестве диагностических признаков в системах вибродиагностического мониторинга [13, 14].

II. Постановка задачи

Один из подходов к диагностированию заключается в использовании так называемых статистических решений [4, 15, 16, 18]. При этом решающее правило выбирается исходя из некоторых условий оптимальности.

Задача состоит в выборе значения х0 параметра х, который является диагностическим признаком неисправности и характеризует ХФ, в частности, является модулем ХФ при заданном параметре ХФ таким образом, что

при х<Л;о следует принимать решение о прекращении эксплуатации объекта диагностирования, а при х>х0 допускать дальнейшую эксплуатацию. Разделение производится на два класса: В - исправное состояние, Б2 - наличие дефекта. Тогда указанное решающее правило означает:

х е D при x > хо, x е D2 при х < x0.

(1)

Плотность распределения вероятностей параметра х для различных состояний объекта показана на рис. 1. Области исправного (01) и дефектного (В2) состояний пересекаются и поэтому принципиально невозможно выбрать значение х0, при котором не было бы ошибочных решений. Задача состоит в том, чтобы выбор х0 был в некотором смысле оптимальным, например, давал бы наименьшее число ошибочных решений.

Рис. 1. Распределение плотности вероятностей диагностического признака x для исправного D1 и неисправного D2 состояний; x0 min, x0 max - точки экстремумов среднего риска ошибочных решений;

Рп.д. и РЛТ - соответственно вероятности пропуска дефекта и ложной тревоги

III. Теория

Возможными ошибками при принятии решений являются: ложная тревога (ошибка первого рода): исправный объект признается неисправным (вместо Di считают, что имеет место D2), и пропуска неисправности или отказа (ошибка второго рода): объект, имеющий неисправность, признается исправным (вместо D2 признается Di).

Обозначим через Ну (ij = 1, 2) возможные решения по правилу (гипотезы), где индекс i соответствует принятому диагнозу, j - действительному диагнозу. Тогда:

H21 - ложная тревога (ошибка первого рода);

H12 - пропуск неисправности (ошибка второго рода);

H11 - правильный диагноз (исправное состояние);

H22 - правильный диагноз (неисправное состояние).

Вероятность ложной тревоги равна вероятности произведения двух событий: наличия исправного состояния и значения x<x0 для исправного состояния определяется как

P(H21) = P(D) ■P(х < xj D) = P ■ J f (x/ D) dx = P ■ [ 1 -F(xj D)]:

—да

а вероятность пропуска дефекта:

P(H 12) = P(D2) ■ P(x > xj D2) = P2 ■ J f (x/D) dx = P2 ■ F(xjD),

(1)

(2)

где f (x/Dj) - плотность вероятности признака для исправного состояния; f (x/D2) - плотность вероятности признака для неисправного состояния; Pi = P(Di) и P2 = P(D2) - априорные вероятности соответственно диагнозов Dj (исправное состояние) и D2 (неисправное состояние), которые считаются известными на основании предварительных статистических данных: в данном случае это вероятности состояний при наличии

признака х заданной величины

хо [1]; F(x0 /D)=J f (x/D) dx и F(x0 /D2)= J f (x/D2) dx - вероятности

соответственно исправного и неисправного состояний объекта диагностирования на соответствующих интервалах от -да до х0 и от х0 до да [4, 15, 16, 18].

Вероятность принятия ошибочного решения обусловлена вероятностями ложной тревоги и пропуска неисправности. Если приписать «цены» этим ошибкам и принять, что цены правильных решений есть Сп и С22, то получим выражение для среднего риска (ожидаемая величина потери) [4, 15, 16, 18]:

x

Я = СР | /(х/ Ц + С21Р, | /(х/ Ц )с& + | /(х/ Ц+ ^^^^^ | /(х/ Ц)с& ,

(3)

где С21 - цена ложной тревоги; С12 - цена пропуска дефекта (первый индекс - принятое состояние, второе -действительное), обычно С12>> С21.

С учетом «цен» правильных решений С11=С22=0 получается выражение для среднего риска:

Я = С12Г(И12) + С21Р(И21) = С12р2 [Р(х0/Д2)] + С2р [1 -Р(х0/Ц)] .

(4)

Величина х - текущее (измеренное) значение диагностического признака, - является случайной и потому приведенное равенства представляют собой среднее значение (математическое ожидание) риска.

IV. Результаты экспериментов Для описания статистических свойств диагностических признаков следует получить эмпирические и теоретические функции распределения их вероятностей для различных состояний объекта диагностирования [1, 11, 17]. Эти исследования являются первым шагом по оценке предельных значений диагностических признаков, разделяющих состояния объекта диагностирования на классы состояний.

Для описания статистических характеристик диагностических признаков использовалось распределение Вейбулла-Гнеденко. Данное распределение достаточно универсально, поскольку при варьировании параметров описывает широкий диапазон случаев изменения вероятностных характеристик различных процессов [1, 17].

Учитывая, что некоторые параметры диагностических признаков имеют закон распределения Вейбулла-Гнеденко [1], поскольку данный закон при различных его параметров трансформируется в другие законы распределения, целесообразно ориентироваться на аппроксимацию ЭФР двухпараметрическим распределением Вейбулла-Гнеденко, поскольку ХФ является четной функцией:

10 ; х < 0,

Р (х) =

1 - ехр 1 -

, х > 0

(5)

а плотность вероятностей

/ (х) =

0 Ь

,х < 0,

, х > 0

(6)

Здесь с > 0 - параметр масштаба, Ь > 0 - параметр формы и х - случайная величина.

С использованием методики [17] аппроксимации функций распределения по экспериментальным выборочным значениям произведена обработка данных и определены теоретические функции распределения (ТФР) и плотности вероятностей параметров характеристических функций мгновенных значений виброакустических сигналов, полученных с таких узлов поршневого компрессора, как всасывающие и нагнетательные клапаны, осевое и радиальное направление цилиндра, кривошипно-ползунный механизм, коренные подшипники, для таких состояний узлов и деталей (табл. 1), как «Недопустимо» (НДП), «Требует принятия мер» (ТПМ) и «Допустимо» (Д).

ТАБЛИЦА 1 ПАРАМЕТРЫ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Параметр ТФР Д ТПМ НДП

Ь -5,050 -5,99 -5,04

c 0,2849 0,1119 0,0415

Граничное значение х0 определяем из уравнения

/ (V Д) _ Р2 • (С12 - С22)

/(х„/ Д2) р • (С21 -Сп)

где X - отношение правдоподобия: порог принятия решения. По формуле (6) имеем

= Я

Ь I X

/ (х0/ Д) = Ь1 Х"

Ь-1

ехр 1

/ (х„/ Ц2) =

ехР 1

(7)

(8)

с

С2 V С2

Под х0 понимается граничное значение диагностического параметра. Подставляя значения плотности вероятности в (7) и принимая Сп-С22=0, получим

к. с1 г х ^ х0 V С1 V к-1 | ехр г х ^ х0 V С1 V [ с с12

К С2 г Х ] V С2 V а2-1 Г ехР I- г Хо" V С2 V с с21

Сформулируем условия методов принятия решений при определении граничного значения х0:

- метод минимального риска - добиваемся минимума среднего риска для отношения правдоподобия

Я = [С -С22)Р2]/[(С21 -СП)Р];

- метод минимального числа ошибочных решений - стоимости пропуска дефекта и ложной тревоги одинаковы тогда Я = [ Р2 ]/[ р ];

- метод наибольшего правдоподобия - стоимость и вероятность пропуска дефекта приблизительно равны стоимости и вероятности ложной тревоги при этом Я = 1;

- метод минимакса - величина риска становится минимальной среди максимальных значений, вызванных «неблагоприятной» величиной Р,, в этом случае Я = [(Сп -С22)(1-Р)]/[(С21 -СП)Р];

- метод Неймана-Пирсона - минимизируется вероятность пропуска дефекта при заданном допустимом

да

уровне А вероятности ложной тревоги: р | / (х / Д)йХ < А .

Хо

Результаты расчетов при заданных априорных величинах Р^0.97, Р2=0.03, С12=1, С21=0.01 для разделения состояний ТПМ и НДП приведены в табл. 2, а для разделения состояний Д и НДП - в табл. 3.

ТАБЛИЦА2

РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА ГРАНИЧНОГО ЗНАЧЕНИЯ ПРИЗНАКА (НДП-ТПМ)

Метод Хо РН21) РН12) Я

минимального риска 0.088 0.013 0.000682 0.000814

минимального числа ошибочных решений 0.077 0.000115 0.000126 0.000126

наибольшего правдоподобия 0.084 0.000409 0.000833 0.000874

минимакса 0.119 0.271 0.002259 0.004973

Неймана-Пирсона 0.093 0.049 0.000284 0.000773

ТАБЛИЦА 3

РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА ГРАНИЧНОГО ЗНАЧЕНИЯ ПРИЗНАКА (ТПМ-Д)

Метод Хо РН21) РН12) Я

минимального риска 0,216 0,017 0.000682 0,0007475

минимального числа ошибочных решений 0,186 0,0001875 0.000126 0,0001386

наибольшего правдоподобия 0,206 0,005637 0.000833 0,0008228

минимакса 0,285 0,2 0.001686 0,003688

Неймана-Пирсона 0,227 0,043 0.000284 0,0006358

V. Обсуждение результатов Результаты расчетов (табл. 2, рис. 2, 3) для плотностей вероятностей состояний ТПМ и НДП показывают, что наименьший риск принятия решения (Я), вероятности пропуска неисправности (Р(И12)) и ложной тревоги (Р(Н21)) для модуля характеристической функции 0(0.8) мгновенных значений виброакустического сигнала при выборе состояния между «Недопустимо» и «Требует принятия мер» дает метод минимального числа ошибочных решений. На втором месте находится метод Неймана-Пирсона, который обеспечивает минимальные значения риск принятия решения (Я), вероятность пропуска неисправности (Р(Н12)). Наибольший риск принятия решений (Я), вероятности пропуска неисправности (Р(Н12)) и ложной тревоги (Р(Н21)) дает метод минимак-са. На третьем месте находится метол минимального риска.

При определении граничного значения для состояний ТПМ и Д (табл. 3, рис. 2) выявлено, что наименьший риск принятия решения (Я) и вероятность пропуска неисправности (Р(И12) обеспечивают расчеты методом минимального числа ошибочных решений. Расчеты методом Неймана-Пирсона также дают хорошие результаты, обеспечиваю низкие значения риска принятия решения и вероятность пропуска неисправности. Наихудшие результаты получаются при расчете методом минимакса.

— -Минимального риска

х НДП

,-5 _I----Минимального числа ошибочных

э 1 ¡У! ! I \ ' | I- решений

| И|. I 1 I I , I —■•Наибольшего правдоподобия

©

№

£ чд о

а н и о я н № О

а

о

в -

н и о Я н о

ч

к

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

Модуль характеристической функции, 0(0.8)

Рис. 2. Плотности вероятностей величины модуля ХФ при заданном параметре ХФ для различных состояний объекта диагностирования и граничные значения модуля (х0 из табл. 2 и 3), определенные различными методами принятия решений

Методы

■а н и о Я н № О

а

и «

о о о О О о ао о о О п о

о © II ® ® II ао о о О © II О о ® II О О О ©* II О ©* II о о о' п О ©* II О о О ©* II

к-Г4 ЙЗ а. г) а:4 а< © II о? к-Т4 ЙЗ а. г) £ ® II о? к-Т4 йз а. Г) 1 © II 05 к.? йз а. 1' II 05 к-Г4 а.

Рис. 3. Вероятности пропуска неисправности (Р(Н12)) и ложной тревоги (Р(Н21)), риска принятия решения (Я), полученные различными методами принятия решений при разделении состояний ТПМ и НДП

VI. Выводы и заключение

В результате проведенных исследований показано, что для определения предельных величин модуля характеристической функции мгновенных значений виброакустического сигнала, соответствующих различным состояниям объекта диагностирования, необходимо использовать статистические методы принятия, что позволяет определять пороговые величины диагностических признаков на основе оценки риск принятия решения. Предложена методика расчетов для диагностических призанаков на основе параметров характеристической функции. С использованием статистических методов принятия решений получены граничные значения модуля ХФ при заданном параметре ХФ для разделения состояний ДОПУСТИМО и ТПМ, ТПМ и НДП. В качесте диагностического сигнала использовались виброакустичесий сигнал и характеристическая функция его мгновенных значений.

Список литературы

1. Науменко А. П. Научно-методические основы вибродиагностического мониторинга поршневых машин в реальном времени: дис. ... д-ра техн. наук / ОмГТУ. Омск, 2012. 423 с.

2. Науменко А. П. Основные принципы технологии диагностирования и мониторинга поршневых машин реальном времени // ХХ Всероссийская конференция по неразрушающему контролю и технической диагностике: докл. конф., 3-6 марта 2014 г. М., 2014. С. 358-362.

3. Костюков В. Н., Науменко А. П. Вибродиагностика поршневых компрессоров // Компрессорная техника и пневматика. 2002. № 3. С. 30.

4. Биргер И. А. Техническая диагностика. М.: Машиностроение, 1978. 240 с.

5. Костюков В. Н., Науменко А. П. [и др.]. Стандарты в области технического состояния оборудования опасных производств // Безопасность труда в промышленности. 2012. № 7. С. 30-36.

6. Костюков В. Н., Науменко А. П. Нормативно-методическое обеспечение диагностики и мониторинга поршневых компрессоров // Безопасность труда в промышленности. 2013. № 5. С. 66-70.

7. Костюков В. Н., Науменко А. П., Сидоренко И. С. Использование характеристической функции для диагностики поршневых машин // Динамика систем, механизмов и машин. 2009. Кн. 2. С. 32-35.

8. Сидоренко И. С., Науменко А. П. Анализ характеристических функций виброакустических сигналов клапанов поршневых компрессоров // Наука, образование, бизнес: материалы регион. науч.-практ. конф., по-свящ. Дню радио. Омск, 2010. С. 259-264.

9. Кудрявцева И. С., Науменко А. П. Оценка возможности использования характеристической функции для диагностики гидроударов // Наука, образование, бизнес: докл. и тез. докл. регион. науч. -практ. конф., посвящ. 50-летию РТФ ОмГТУ. Омск, 2011. С. 215-217.

10. Костюков В. Н., Науменко А. П., Кудрявцева И. С. Диагностика подшипников качения по параметрам характеристической функции // Динамика систем, механизмов и машин. 2014. № 4. С. 142-145.

11. Костюков В. Н., Науменко А. П., Кудрявцева И. С. Характеристическая функция как информативный диагностический признак // Техника и технология нефтехимического и нефтегазового производства: материалы 6-й Междунар. науч.-техн. конф., 26-30 апр. / ОмГТУ. Омск, 2016. С. 113-114.

12. Костюков В. Н. [и др.]. Формирование вектора диагностических признаков на основе характеристической функции виброакустического сигнала // Контроль. Диагностика. 2016. № 8. С. 22-29.

13. Костюков В. Н., Науменко А. П. Проблемы и решения безопасной эксплуатации поршневых компрессоров // Компрессорная техника и пневматика. 2008. № 3. С. 21-28.

14. Костюков В. Н., Науменко А. П. Система контроля технического состояния машин возвратно-поступательного действия // Контроль. Диагностика. 2007. № 3. С. 50-58.

15. Харкевич А. А. Борьба с помехами. 2-е изд. М.: Наука, 1965. 276 с.

16. Богдан Н. В., Жилевич М. И., Красневский Л. Г. Техническая диагностика гидросистем. Минск: Белав-тотракторостроение, 2000. 120 с.

17. Науменко А. П. Методика статистического анализа диагностических признаков // Наука, образование, бизнес: докл. и тез. докл. регион. науч.-практ. конф., посвящ. 50-летию РТФ ОмГТУ. Омск, 2011. С. 188-195.

18. Костюков В. Н., Науменко А. П. Оценка риска выбора нормативных величин диагностических признаков // Динамика систем, механизмов и машин. 2014. № 4. С. 150-154.