ОЦЕНКА КУЧНОСТИ ПРИ СТРЕЛЬБЕ ПО МИШЕНЯМ ИЗ СПОРТИВНОЙ ВИНТОВКИ. ПРИМЕНЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ В ПРАКТИКЕ СТРЕЛКОВОГО СПОРТА Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

СТАТЬИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ

МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ

DOI - 10.32743/UniTech.2024.121.4.17326

ОЦЕНКА КУЧНОСТИ ПРИ СТРЕЛЬБЕ ПО МИШЕНЯМ ИЗ СПОРТИВНОЙ ВИНТОВКИ. ПРИМЕНЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ В ПРАКТИКЕ СТРЕЛКОВОГО СПОРТА

Богословский Владимир Николаевич

д-р техн. наук, РФ, г. Москва E-mail: [email protected]

Кадомкин Виктор Викторович

канд. техн. наук,

доц. кафедры «Информационно-аналитические системы кибербезопасности»,

Российский технологический университет МИРЭА,

РФ, г. Москва

Жуков Игорь Геннадьевич

двукратный чемпион Европы по бенчресту, РФ, г. Новосибирск

ACCURACY ASSESSMENT WHEN SHOOTING AT TARGETS WITH A SPORTS RIFLE. APPLICATION OF STATISTICAL METHODS IN SHOOTING SPORTS PRACTICE

Vladimir Bogoslovskii

Doctor of Technical Sciences, Russia, Moscow

Viktor Kadomkin

Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of the Department of Information Security, Russian Technological University MIREA, Russia, Moscow

Igor Zhukov

Two-time European champion in benchrest, Russia, Novosibirsk

АННОТАЦИЯ

Описан подход и методика оценки кучности при стрельбе из спортивной винтовки по мишеням. Приведены практические примеры использования данных о кучности в тренировочном процессе. Статья полезна спортсменам, занимающимся стрелковым спортом, охотникам, а также всем любителям высокоточной стрельбы из нарезного оружия, хорошо знакомым с теорией вероятности и математической статистикой.

Работа выполнена в интересах спортивного стрелкового сообщества по инициативе и на собственные средства авторов на основе открытых источников информации.

ABSTRACT

The approach and methodology for evaluating accuracy when shooting from a sports rifle at targets are described. Practical examples of using accuracy data in the training process are given. The article is useful for athletes engaged in shooting sports, hunters, as well as all fans of high-precision shooting from rifled weapons.

The work was carried out in the interests of the sports shooting community on the initiative and at the authors' own expense on the basis of open sources of information.

Библиографическое описание: Богословский В.Н., Кадомкин В.В., Жуков И.Г. ОЦЕНКА КУЧНОСТИ ПРИ СТРЕЛЬБЕ ПО МИШЕНЯМ ИЗ СПОРТИВНОЙ ВИНТОВКИ. ПРИМЕНЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ В ПРАКТИКЕ СТРЕЛКОВОГО СПОРТА // Universum: технические науки : электрон. научн. журн. 2024. 4(121). URL: https://7universum.com/ru/tech/archive/item/17326

Ключевые слова: метод оценки кучности спортивной винтовки, показатели кучности, тренировочный процесс. Keywords: the method of evaluating the accuracy of a sports rifle, accuracy indicators, training process.

Незнание кучности своей спортивной винтовки делает бессмысленным участие стрелка в соревнованиях, поскольку он не сможет определить, на какой результат рассчитывать, не сможет понять, вызваны ошибки в стрельбе плохой кучностью винтовки, собственными ошибками или другими факторами. Известно, что для оценки кучности нужно отстрелять в соответствующих условиях определенное количество выстрелов в одну мишень с одной точкой прицеливания или определенное количество групп в разные мишени с каким-то количеством выстрелов в каждой группе [1, 9]. Опираясь на правильно полученную оценку кучности при обработке координат пробоин на мишени, можно быть уверенными в том, что она повторится в будущих тренировках и соревнованиях, и наоборот, ошибочная или неполная оценка наверняка приведет к непредсказуемым результатам. Однако не все спортсмены понимают, какими показателями, какими их параметрами и по какому алгоритму оценивать полную характеристику кучности, чтобы надежно прогнозировать результаты стрельбы на ее основе. При всей видимой очевидности и большой практике в этом вопросе достаточно нюансов.

Предметом наших исследований являлось обоснование выбора показателей кучности для разных целей, оптимального количества групп и количества выстрелов в группе, необходимых для оценки кучности, схем и алгоритмов оценки кучности, а также изучение способов использования полученных данных о кучности на тренировках и в соревнованиях.

Практикой определились оптимальные группы для различных задач оценки кучности. К ним относятся настройка спортивной винтовки на экстремальную кучность, стрельба на кучность, стрельба на точность (на очки), стрельба по гонгу на попадание первым выстрелом и т. п.

Настройка винтовки как правило ведется группами по 3 выстрела, реже по 4 или 5 [2]. Это обусловлено тем, что при настройке винтовки нужно пройти достаточно большое количество шагов по навеске и глубине посадки пули, нередко более 20 точек [3]. Чтобы истратить на это разумное количество патронов, не более 60-80, нужно выбирать между количеством пройденных точек и числом выстрелов в группе в каждой точке. В результате после настройки винтовки имеем 2, реже 3 группы по 3 выстрела на кучной полке [3]. Достаточно ли этого для точной оценки кучности по ним? Практики считают, что нет и после настройки винтовки на экстремальную кучность делают более точную оценку кучности в одной выбранной точке настройки. То есть, спортсмены считают, что при настройке винтовки группами по 3 выстрела они только определили местоположение кучной полки, а реальную кучность своей настроенной винтовки определяют отстрелом дополнительных групп.

Сколько же нужно сделать групп и сколько должно быть выстрелов в каждой группе, чтобы правильно оценить кучность? Этот вопрос время от времени очень активно обсуждается в стрелковом сообществе спортсменов. Часть стрелков стреляет 3-5 групп по 3, делая 9-15 выстрелов и определяет среднее значение кучности по этим группам. Часть стрелков оценивает кучность как среднее по 2 группам из 5 выстрелов в каждой группе, делая в общей сложности 10 выстрелов [8]. Некоторые стрелки оценивают кучность по 1-3 группам из 10 выстрелов, делая 10-30 выстрелов. В бенчресте результат стрельбы на кучность оценивают как среднее по 5 группам из 5 выстрелов в каждой группе. Однако в трех первых случаях количество групп и число выстрелов в группе всего лишь условные договоренности между стрелками, скорее сложившаяся традиция, найденная практикой оптимальная комбинация, не подтвержденная теорией, а в последнем случае это всего лишь правило подсчета результата в соревнованиях по бенчресту, не требующее объяснений и доказательств правильности оценки кучности. Применяемые на практике методы оценки кучности должны наконец получить теоретическое обоснование, почему именно столько групп и почему именно столько выстрелов в группе, а не иначе, какие еще должны учитываться параметры кучности, кроме среднего значения. Мы задумались над этим вопросом и кажется нашли на него ответ, который излагаем ниже.

В подходе к оценке кучности есть три основных вопроса:

1. Какие параметры показателя кучности необходимо рассчитать, чтобы быть уверенными в правильном прогнозе стрельбы на кучность в будущем;

2. Каким показателем оценивать кучность;

3. Сколько нужно сделать выстрелов в группе и сколько нужно групп, чтобы оценить кучность с необходимой достоверностью.

Ответим последовательно на эти вопросы. Можно выделить следующие параметры по любому из выбранных показателей (экстремальный размер группы, средний радиус точек попаданий и т. п.), рассчитываемые по координатам центров всех пробоин и координате точки прицеливания: кучность одной группы; средняя кучность по нескольким группам; параметры отклонения кучности от среднего значения по нескольким группам (минимальное и максимальное значение кучности, среднее квадратическое отклонение и т. п.); Отклонение выборочного значения средней кучности от истинного значения, вызванное ограниченной статистикой (среднее квад-ратическое отклонение и коэффициент вариации среднего значения кучности, вызванные ограниченностью числа групп, вероятный диапазон нахождения среднего значения кучности с учетом статистических ошибок). Конечно, можно пользоваться и одним параметром, например только размером одной группы

или средним размером групп, если их несколько. Но тогда потеряется часть важной информации о том, как распределилась кучность групп относительно среднего значения или какая ошибка получилась в определении среднего.

Наиболее часто используемым показателем для оценки кучности в спортивной стрельбе является экстремальный размер группы d [9]. Показатель экстремального размера группы d на практике определяется как максимальный размер группы по краям отверстий, из которого вычитается диаметр пули соответствующего калибра. Оценка кучности одной группы по этому показателю проводится по формуле: й = тах (й^) - йпули, у = 1,2,3,.., т, где dij - расстояние между краями двух отверстий с порядковыми

номерами i и j, d„y„u - диаметр пули, m - количество связей между i-ой и j-ой точками попадания, i Ф j, m = k (k - 1)/2, k - количество точек попадания.

При использовании программ обработки мишеней окружность соответствующего диаметра просто совмещается с контурами пробоины на мишени. На рис. 1 приведена обработка мишени программой SubMOAPro. Группа из 4 выстрелов, дистанция 100 м. Размер группы 0,86 дюйма или 2,18 см. Кучность по экстремальному размеру группы d=0,75 МОА, кучность по среднему радиусу группы R=0,32 МОА. Точка прицеливания на 12 часов по внутренней части малого круга (черный крестик). СТП смещено относительно точки прицеливания на 0,45 дюйма вправо и на 0,56 дюйма вниз (желтый крестик).

Рисунок 1. Обработка мишени программой SubMOAPro

Оценка среднего значения экстремального размера групп по нескольким группам определяется по формуле:

dj> пРиj = 1 2, 3,

N,

где: N - количество групп, dj - размер j-ой группы.

Экстремальный размер групп d распределен в диапазоне от 0 до ® несимметрично, что требует расчета параметров такого распределения. Наиболее подходящим теоретическим распределением для экстремального размера группы оказалось обобщенное распределение экстремальных значений (ОЕУ). Плотность такого распределения равна [10]:

«*Ч1(

1 + с

X — Mw-1)

при X > ц — ■

f(x) = 0 при x < м —,

где:м - параметр местоположения, масштаба, с - параметр формы.

а - параметр

В работе [5] показано, что функцияД(х) с ростом числа групп быстро приближается к нормальному распределению. Это позволяет упростить расчет среднего квадратического отклонения, применив формулу для нормального распределения. В приближении к нормальному закону распределения кучности оценка рассеивания кучности может быть сделана с помощью среднего квадратического отклонения кучности ба, которое рассчитывается по формуле:

6d =

i

N-1

ZÁD—dj)2.

Более строгий подход основан на учете несимметричности реального распределения экстремального размера групп при их малом числе.

При заданном числе выстрелов в группе среднее Б и среднее квадратическое отклонение ба экстремального размера групп оказываются статистически связаны (рис. 1), хотя эта связь сложнее, чем в распределении Рэлея (см. ниже), учитывая, что это распределение зависит от трех параметров и, следовательно, имеет больше степеней свободы. Факт связи этих величин можно использовать для моделирования следующих групп, используя только выборочное среднее Б без оценки каждый раз

i

а

а

и

1л, UNÍ

. ЛД ТЕ)

7universurr.com

UNIVERSUM:

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

выборочного значения параметра ба. Стрелки привыкли использовать только один параметр кучности -среднее значение, например, среднее значение экстремального размера группы Б. В этом случае за кадром остается информация о распределении кучности групп вокруг среднего значения. Используя параметры Б и ба для заданного числа выстрелов в группе, мы можем моделировать вероятные цепочки значений кучности (рис. 12б). Феномен линейной связи средней кучности Б со средним квадратическим отклонением ба отдельных групп дает основание брать одинаковый коэффициент вариации для

апрель, 2024 г.

данного числа выстрелов в группе при известном среднем значении, что значительно упрощает расчет отклонений кучности групп от средней кучности. Например, для числа выстрелов в группе, равном 3, отношение б/D примерно равно 40% независимо от абсолютного значения средней кучности, 0,1 МОА или 1 МОА или какое еще, а при числе выстрелов в группе, равном 10, оно равно 20% (рис. 2а) также независимо от абсолютного значения средней кучности D. С ростом числа выстрелов в группе отношение б/D уменьшается (рис. 2).

60,0% 50,0% 40,0% 30,0% 20,0% 10,0% 0,0%

С » ►

О.,

ч ►••■•О. г

2 4 6 8 10 12

а)

45,0%

30,0«

20,0%

с

О...

<

• -.Г »••■О..,

б)

Рисунок 2. Зависимость отношения среднего квадратического отклонения к средней кучности от числа выстрелов в группе; а - б ¡/В, б - бк/Кср. Значения В, ба, Кср и бк получены по результатам моделирования 100 групп в каждой точке

Теоретическим значением ба можно также пользоваться для выводов, были ли размеры групп вызваны отрывами или это обычный статистический разброс координат пробоин. Если выборочное значение ба значительно превышает его теоретическое значение, можно предполагать, что это результат отрывов отдельных пробоин на мишени и проводить перестрелку групп с отрывами.

Причины широкого применения экстремального размера группы для оценки кучности очевидны. Нужно всего лишь точно измерить размер группы по краям пробоин и вычесть из него диаметр пули, при этом не пытаясь определить центры всех пробоин, особенно при очень кучной стрельбе большими группами, когда на мишени вместо отдельных пробоин образуется большая общая дыра, и не задумываясь о законе распределения пробоин.

Наряду с такими очевидными достоинствами, как простота расчета, ясность трактовки кучности и отсутствие проблем оценки при очень высокой кучности, экстремальный размер группы имеет и недостатки. Одним из них является сильная зависимость значения кучности от случайного отрыва точки попадания от основной группы. Вторым недостатком является его низкая информативность при большом количестве выстрелов, поскольку он содержит информацию только о двух наиболее удаленных друг от друга точках попадания. Третий недостаток связан с тем, что значение кучности по этому показателю зависит от числа выстрелов в группе (рис. 3, синяя линия).

Указанных недостатков лишен такой показатель кучности, как средний радиус группы Я, который меньше зависит от случайных отрывов, учитывает информацию обо всех точках попадания, а не только о двух крайних, и не зависит от числа выстрелов в группе (рис. 3 красная линия). Средний радиус группы Я определяется следующим образом. По одному из известных правил определяется средняя точка попадания (СТП), затем от нее определяется расстояние до центра каждого отверстия ЯI и находится среднее от этих размеров.

Оценка кучности одной группы по этому показателю проводится по формулам:

1

Д = -£¡7; ;при I = 1,2,3, ...,п,

где:Г1 - расстояние между выборочным СТП и центром I - ой точки попадания. При стрельбе группами с одной точкой прицеливания можно наложить все точки попадания на одну мишень и вычислить общую кучность, а можно рассчитать кучность каждой группы и найти среднюю кучность. Оценку средней кучности показателя Я по нескольким группам можно определить по формуле:

Яср = ;при ; = 1,2,3,.

. ,п,

где:Ы - количество групп, Rj - кучность j-ой группы.

Рисунок 3. Зависимость экстремального размера группы d (синий) и среднего радиуса группы R (красный) от числа выстрелов в группе при одной и той же кучности винтовки

Показатель Я, по сути, близок к математическому ожиданию М(г) в распределении Рэлея, но на него, также как на экстремальный размер группы, можно и не задавать ограничения в виде закона распределения, если группа на вид симметрична. При наличии нескольких групп в приближении к нормальному закону распределения кучности оценка рассеивания Я может быть также сделана с помощью средне-квадратического отклонения кучности бЯ, которое рассчитывается по формуле:

Более точная оценка основана на учете несимметричности реального распределения среднего радиуса групп при их малом числе.

Если за основу взять распределение Рэлея, то его математическое ожидание M(r) и среднее квадра-тическое отклонение ar связаны между собой через параметр функции Рэлея б: благодаря чему отношение 6/M(r) является постоянной величиной [5]: M(r) = 1,253б, бг = 0,655б, 6/M(r) = 0,5227 = const. Вместе с тем, нужно учитывать, что выборочная средняя точка попадания (СТП), от которой отсчи-тываются радиусы, и центр распределения Рэлея

не совпадают между собой. На практике мы никогда не сможем определить центр распределения Рэлея или истинный центр попадания, потому что всегда знаем только выборочное СТП. По аналогии с распределением Рэлея отношение бЯ/Я также приближается к постоянной величине, отличие учитывается в точном распределении Я при заданном числе выстрелов в группе.

Оба рассмотренных показателя (Б и Яср) самодостаточны и не требуют для расчета кучности одной группы знания закона распределения пробоин на мишени. Однако он требуется, когда производится расчет средней кучности по нескольким группам, параметров отклонения кучности от среднего значения и интервальных оценок диапазона, в котором находится истинное значение средней кучности.

Лишенный указанных выше недостатков показателя экстремального размера групп а, показатель среднего радиуса групп Я имеет другие недостатки, например, требует определения центров точек попадания всех выстрелов, что при очень кучной стрельбе возможно только на электронной мишени, так как в этом случае пробоины каждой пули пересекаются и мишень превращается в одну большую пробоину, в которой найти центр точки попадания каждой пули невозможно (рис. 4). Кроме того, он требует больше операций для вычисления.

а

R

а)

б)

Рисунок 4. Кучные группы по 10 (а) и 12 (б) выстрелов, в которых невозможно определить все центры точек попадания, СТП и вычислить средний радиус группы R

Обзор всех применяемых показателей кучности приведен в другой нашей статье [6], но здесь хотелось бы несколько слов сказать еще об одном показателе. В системе классификации баллистической кучности [13] используется такой показатель кучности, как параметр б в законе Рэлея. Он включает сумму квадратов радиусов г,, рассчитываемых относительно центра пробоин, и его выборочное значение определяется по формулам [11]:

Г = I

Г;, а =

— УМ г2

где:М - число выстрелов, г, - радиус от центра попадания до центра отверстия.

Отметим, еще раз, что истинный центр попаданий не совпадает с выборочным СТП. В отличие от распределения Рэлея, где истинный центр попадания предполагается известным, при стрельбе из реального оружия мы никогда не узнаем истинный центр попадания и вместо этого вынуждены будем использовать центр выборки (СТП), от которого и будут рассчитываться значения радиусов г,. Соответственно, выборочное значение б' будет также отличаться от параметра б в распределении Рэлея, приближаясь к нему с ростом числа выстрелов. Математическое ожидание М(г), которое является аналогом среднего радиуса Я в законе Рэлея, определяются через параметр б (наивероятнейший промах) по формуле [5]:

М(г) = ^а = 1,253а.

Таким образом, можно поставить приблизительный знак равенства в выражениях:

И = М(г)

или

Я=1УЯ1 = 1,253 .

При увеличении числа выстрелов п равенство улучшается.

Среднее квадратическое отклонение в законе Рэлея вычисляется через параметр б по формулам:

В(г) = (2-^)а2

или

О(г) = 4-^а2=0,429 о2, ог = ^Л(г) = 0,655 а.

Параметр б — это интересный, на наш взгляд, показатель кучности, он достоин отдельной статьи, в том числе потому, что многие другие показатели кучности вычисляются через него.

Хотя применяемых на практике показателей кучности еще около десятка [4, 6, 14], далее в данной статье мы решили ограничиться анализом двух наиболее часто применяемых - а и Я, а показатель б просто упомянули, потому что мало кто о нем знает.

Обычно оценкой кучности одной группы или средней кучности нескольких групп стрелки заканчивают анализ стрельбы на кучность. Но мы решили пойти дальше и посмотреть, что из этого выйдет. Кучность одной группы или среднее значение кучности по нескольким группам на самом деле неполно описывает информацию о кучности. Это обусловлено довольно большими отклонениями кучности групп от среднего значения и ограниченностью данных. Минимальное и максимальное значения кучности при стрельбе несколькими группами в большинстве случаев сильно отличаются, что вызывает удивление и недовольство стрелков, которые ожидают высокой повторяемости кучности, думая, что это логично. Мы сделали оценки и получили, что обычно при стрельбе 10 группами по 3 выстрела в группе минимальное и максимальное значение экстремального размера групп отличается в среднем примерно в 4 раза, при стрельбе 5 группами по 5 выстрелов в группе -в 2 раза [7]. Это довольно большое различие, которое делает необходимым учет величины отклонения кучности от среднего значения для прогнозирования

кучности следующих групп. Понимание этого вопроса во многом устраняет ошибочную трактовку стрелком результатов стрельбы на кучность, когда он лучшие группы считает удачей, а в худших видит отрывы и свои ошибки. На самом деле отличие групп по кучности в 2-4 раза определяется статистическими законами рассеяния точек попадания. Поэтому кроме значения средней кучности необходимы показатели рассеяния кучности вокруг этого среднего значения. Таким образом, по нашему мнению, оценка среднего значения кучности D, Rcp должна быть дополнена средним квадратическим отклонением кучности 6d, 6R. Как мы писали, для этого не обязательно делать сложные вычисления, достаточно среднее значение умножить на соответствующий числу выстрелов в группе коэффициент (рис. 2). Например, если средняя кучность равна D = 0,5 МОА, а число выстрелов в группе равно 5, то 6d = 0,5• 0,3 = 0,15 МОА. Применяя правило трех сигм, можно оценить, что при средней кучности 0,5 МОА значения кучности отдельных групп будут располагаться в диапазоне (0,35-0,65) МОА с вероятностью 68,3%, в диапазоне (0,2-0,8) МОА с вероятностью 95,5% и в диапазоне (0,05-0,95) МОА с вероятностью 99,7%. То есть, высокий разброс кучности отдельных групп относительно среднего значения кучности вызван не ошибками стрелка, а статистическими характером выстрелов.

Далее мы изучили важный вопрос о точности оценки среднего значения кучности. Оценки средней кучности одним числом при наличии нескольких групп называют точечными [5]. Из статистики известно [12], что при малом числе групп возникает интервал неопределенности, в котором находится истинное значение средней кучности, потому что при малом количестве групп выборочная точечная оценка средней кучности будет определена с большой ошибкой. Величина этой ошибки зависит от количества групп, использованных для оценки кучности,

и от числа выстрелов в каждой группе. Смысл интервальной оценки состоит в том, что при ограниченном числе групп истинное среднее значение кучности не будет в точности соответствовать полученной выборочной оценке среднего, а будет с определенной вероятностью находиться внутри некоторого интервала, который называют доверительным. Например, если выборочное среднее значение кучности по 5 группам из 5 выстрелов в каждой получено как D = 0,3 МОА, то на самом деле истинное значение средней кучности D будет находиться в интервале 0,25 < D < 0,35 МОА с вероятностью Р = 0,8 или в большем интервале, если принять большую доверительную вероятность, например, 0,9. Поэтому не нужно удивляться, если при дальнейшей стрельбе средняя кучность получилась не 0,3 МОА, а 0,25, 0,35 или другая в пределах указанного интервала с вероятностью 0,8 или за его пределами с вероятностью 0,2. Чем больше получено групп при стрельбе на кучность, тем уже интервал неопределенности среднего значения (рис. 5). Отсюда следует простой ответ на вечный вопрос, так сколько же нужно групп и сколько выстрелов в группе, чтобы правильно оценить среднюю кучность винтовки? В ответе на этот вопрос мы исходим из того, что количество групп и число выстрелов в группе тесно связаны с величиной ошибки в определении среднего значения кучности. Таким образом, задавая величину ошибки, мы можем выбрать соответствующее ей сочетание количества групп и числа выстрелов в группе, и наоборот, по количеству групп и числу выстрелов в группе мы можем оценить ошибку в определении средней кучности. Знание ошибки в определении среднего значения кучности позволяет оценить реальный диапазон, в котором среднее значение кучности расположено с заданной доверительной вероятностью, определить наихудшие случаи, понять, устраивает ли такая точность в оценке кучности и прогнозировать результаты стрельбы на кучность.

а) б)

Рисунок 5. Доверительные интервалы неопределенности, в которых находится истинное значение средней кучности, при доверительной вероятности 0,8 (синяя линия) и 0,9 (красная линия); а - количество групп 1-10; б- количество групп 1 -100. Линия с точками между доверительными интервалами - выборочные значения средней кучности

Для того, чтобы определить ошибки в оценке среднего значения экстремального размера групп О в зависимости от количества групп и числа выстрелов в группе, моделировали точки попадания на плоскости {х; у} в соответствии с двумерным нормальным законом распределения пробоин на мишени и рассчитывали экстремальный размер групп а для разного

числа выстрелов в группе. По 10000 реализаций групп при каждом числе выстрелов в группе были определены среднее значение кучности О, стандартное отклонение групп ба, стандартное отклонение от среднего значения бО и коэффициент вариации УО = бО/О в зависимости от количества групп (рис. 6).

Рисунок 6. Зависимость коэффициента вариации Уб среднего значения Б от количества групп при числе выстрелов в группе от 2 до 14 (сверху вниз)

На рис. 6 видно, что коэффициент вариации УО среднего значения О сильно зависит от количества групп, но при этом он также зависит от числа выстрелов в группе. Когда мы просчитали коэффициент вариации УО средней кучности в зависимости от общего количества выстрелов, которое является произведением количества групп на число выстрелов в группе, то увидели, что он незначительно зависит от числа выстрелов в группе и сильно зависит от общего числа выстрелов. Из общей зависимости

выпадает график для групп по 2 выстрела в группе, остальные графики практически сливаются. Из этих графиков следует очень важный вывод о том, что ошибка в определении средней кучности в основном связана с общим количеством выстрелов, независимо от того, стреляем мы группами по 3, 5 или 10 (рис. 7). Различия будут вызваны больше не способом оценки, а техникой стрельбы разными группами по разным мишеням.

Рисунок 7. Зависимость коэффициента вариации VD среднего значения D от общего количества выстрелов для разного числа выстрелов (2-14) в группе

Нас, конечно, прежде всего интересовал рабочий диапазон количества выстрелов 3-30, никто не будет тратить 450 патронов для оценки кучности, но мы привели такой широкий диапазон, потому что в процессе тренировок в одинаковых условиях такое количество выстрелов и даже значительно больше постепенно накапливается.

Симметричную интервальную оценку средней кучности, рассчитанной по показателю Б, как случайной величины, распределенной по нормальному закону, можно определить по формулам: (Б - кбБ) < Мв (< Б + кбв) или Б (1- к¥в) < Мв < Б (1+ к¥в), где МБ - математическое ожидание средней кучности.

Для заданных значений параметра к, от которого зависит величина доверительного интервала (например, к = 1,281 при р=0,8; 1,645 при р = 0,9; 1,960 при р = 0,95), были рассчитаны таблицы (табл. 1 - 5), по которым ошибка в оценке средней кучности находится на пересечении количества групп и числа выстрелов в группе. В случае закона, отличного от нормального, рассчитывали несимметричный интервал. Для обеспечения высокой точности таблиц при несимметричном интервале выбирался только верхний интервал, который показывает границу наихудшей кучности с заданной доверительной вероятностью.

При использовании коэффициента вариации для определения границ доверительного интервала необходимо задаться исходным уровнем значимости а.

Для нормального закона распределения коэффициент к соответствует критическому значению с заданным уровнем значимости и может быть найден либо из статистических таблиц для критических точек, либо при использовании пакетов программ статистических расчетов при помощи обратной функции распределения. Например, для расчетов в Excel получаем значение (- к) при вызове функции =НОРМОБР(а/2;0;1) для левой границы доверительного интервала и значения (+ к) при вызове функции =Н0РМ0БР(1-а/2;0;1) для правой границы доверительного интервала, где а - уровень значимости, связанный с доверительной вероятностью р уравнением видар = 1- а.

В табл. 1 приведено необходимое количество групп в зависимости от числа выстрелов в группе и ошибки в определении среднего значения кучности для экстремального размера группы D при доверительной вероятности р = 0,8. Табл. 1 позволяет понять, сколько групп нужно отстрелять для достижения требуемой точности, и наоборот, с какой точностью может быть проведена оценка кучности по результатам отстрела определенного количества групп с определенным числом выстрелов в группе. Например, из табл. 1 видно, что, если отстрелять 1 группу по 3 выстрела, ошибка в определении кучности составит 50% при доверительной вероятности 0,8. Это означает, что если экстремальный размер этой группы составил, например, 0,5 МОА,

то истинное значение кучности с доверительной вероятностью 0,8 будет лежать в диапазоне (0,250,75) МОА, то есть будет различаться в 3 раза, что, конечно, является неприемлемо плохой точностью. Границы диапазона для ошибки в 50% (0,5) определяются умножением среднего значения кучности 0,5 МОА на множители (1-0,5) и (1+0.5). Если взять 2 группы по 5 выстрелов в группе, (такая схема принята, например, в так называемом «методе Ганзы» 2х5 [7]), то среднее значение кучности будет определено с точностью 25%, или для оценки средней кучности 0,5 МОА истинное значение кучности будет лежать в диапазоне (0,375 - 0,625) МОА, что уже значительно лучше, но все же интервал неопределенности еще достаточно широк, он составляет 0,25 МОА и кучность на его границах отличается в 1,7 раза.

Для еще более высокой точности, например, 10% в соответствии с табл. 1 потребуется отстрелять уже 13 групп по 5, а для оценки средней кучности с точностью 5% - 49 групп по 5. Соответственно, для этих случаев истинное значение кучности будет лежать в диапазонах (0,45 - 0.55) МОА и (0,475 -0,525) МОА. Однако такое большое количество необходимых групп никто не будет отстреливать, и это показывает, что на практике мы никогда не будем получать точность оценки средней кучности выше 10%. Но необходимое количество выстрелов можно накопить в ходе тренировок в одинаковых условиях. При более высокой доверительной вероятности, например, 0,9, для точности 10% требуется намного больше выстрелов.

Таблица 1.

Количество групп в зависимости от количества выстрелов в группе и точности определения значения средней кучности

Количество групп выстрелов для обеспечения заданной кучности при Б=0,8 (параметр D)

Точность Выстрелов в группе

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

50% 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

45% 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

40% 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

35% 4 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

30% 5 3 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1

27,5% 6 3 3 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1

25% 8 4 3 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1

22,5% 9 5 4 3 2 2 2 2 2 2 2 1 1

20% 12 6 4 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2

19% 13 7 5 4 3 3 3 2 2 2 2 2 2

18% 14 7 5 4 4 3 3 3 2 2 2 2 2

17% 16 8 6 5 4 3 3 3 3 2 2 2 2

16% 18 9 6 5 4 4 3 3 3 3 3 2 2

15% 20 10 7 6 5 4 4 3 3 3 3 3 3

14% 23 12 8 7 6 5 4 4 4 3 3 3 3

13% 27 14 10 8 6 5 5 4 4 4 4 3 3

12% 32 16 11 9 7 6 6 5 5 4 4 4 4

11% 38 19 13 10 9 7 7 6 6 5 5 5 4

10% 45 23 16 13 10 9 8 7 7 6 6 6 5

9% 57 32 20 16 13 11 10 9 8 8 7 7 6

8% 48 25 20 16 14 12 11 10 9 9 8 8

7% 61 32 26 21 18 16 14 13 12 11 11 10

6% 44 34 28 25 22 20 18 16 15 14 14

5% 61 49 40 35 31 28 26 24 22 21 19

4,50% 59 50 43 38 34 31 29 27 26 24

4% 62 54 47 43 38 35 33 32 30

3,50% 61 56 50 46 43 40 38

3% 59 56 53

2,50%

2%

Оформив табл. 1, мы начали отвечать на вопрос, сколько групп и какое количество выстрелов в группе нужно для оценки средней кучности. Ответ на этот вопрос зависит от того, какая точность устроит стрелка. Используя табл. 1, мы говорим, что для оценки средней кучности с точностью 25% можно отстрелять 4 группы по 3 выстрела или 2 группы по 5 выстрелов или 1 группу по 10 выстрелов, и это будут равноценные оценки.

Но как выбрать среди них оптимальную комбинацию? Какими группами лучше оценивать кучность - по 3, 5, 10 или другими? Очевидно, преимущество должны получить те группы, которые для достижения требуемой точности оценки кучности потребуют минимального количества выстрелов. Рассмотрим эти комбинации с помощью табл. 2.

Таблица 2.

Общее количество выстрелов в зависимости от количества выстрелов в группе и точности определения значения средней кучности

Количество выстрелов для обеспечения заданной кучности при Р=0,8 (О)

Точность Выстрелов в г руппе

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

50% 4 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

45% 6 6 8 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

40% 6 6 8 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

35% 8 6 8 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

30% 10 9 8 10 12 7 8 9 10 11 12 13 14

27,5% 12 9 12 10 12 14 8 9 10 11 12 13 14

25% 16 12 12 10 12 14 16 18 10 11 12 13 14

22,5% 18 15 16 15 12 14 16 18 20 22 24 13 14

20% 24 18 16 15 18 21 16 18 20 22 24 26 28

19% 26 21 20 20 18 21 24 18 20 22 24 26 28

18% 28 21 20 20 24 21 24 27 20 22 24 26 28

17% 32 24 24 25 24 21 24 27 30 22 24 26 28

16% 36 27 24 25 24 28 24 27 30 33 36 26 28

15% 40 30 28 30 30 28 32 27 30 33 36 39 42

14% 46 36 32 35 36 35 32 36 40 33 36 39 42

13% 54 42 40 40 36 35 40 36 40 44 48 39 42

12% 64 48 44 45 42 42 48 45 50 44 48 52 56

11% 76 57 52 50 54 49 56 54 60 55 60 65 56

10% 90 69 64 65 60 63 64 63 70 66 72 78 70

9% 114 96 80 80 78 77 80 81 80 88 84 91 84

8% 144 100 100 96 98 96 99 100 99 108 104 112

7% 183 128 130 126 126 128 126 130 132 132 143 140

6% 176 170 168 175 176 180 180 176 180 182 196

5% 244 245 240 245 248 252 260 264 264 273 266

4,50% 295 300 301 304 306 310 319 324 338 336

4% 372 378 376 387 380 385 396 416 420

3,50% 488 504 500 506 516 520 532

3% 708 728 742

2,50%

2%

Требуемое количество выстрелов в зависимости от числа выстрелов в группе и заданной точности приведено в табл. 2. Группы, которые обеспечивают минимальное количество выстрелов для заданной точности, в таблице закрашены. Например, при точности 20% минимальное число выстрелов -15 - дают 3 группы по 5 выстрелов.

Из табл. 2 видно, что из-за дискретности количества выстрелов, обусловленной заданным числом выстрелов в группе, в области низкой точности (25-50%) преимущество в своих диапазонах получают группы по 3, 5, 7, 8, 10 выстрелов. Например, для точности 50% достаточно одной группы из 3 выстрелов, но если группа включает больше 3 выстрелов,

например, 6, 7, 10, то по правилам мы должны отстрелять всю группу, даже если это избыточное количество выстрелов. Мы не можем отстрелять третью или четвертую часть группы, тогда это будет уже другая группа. Позитив в том, что целая группа с избыточным количеством выстрелов даст более высокую точность, например, 1 группа по 10 выстрелов соответствует не только точности 50%, но и точности 25%, но это уже другая история, потому что мы сравниваем группы при одной точности. Можно в зависимости от необходимой точности выбирать соответствующую группу. Например, для точности 30% минимальное количество выстрелов обеспечивает 1 группа по 7, а для точности 25% минимальное количество выстрелов содержат 2 группы по 5 или 1 группа по 10 выстрелов. Однако разумнее в стандартизации оценки кучности остановиться на одной, двух или максимум трех группах, например, группы по 3, 5 или 10 выстрелов. В области высокой точности (2-10%) дискретность числа выстрелов в группе не играет такой роли, для достижения одной и той же точности первенство переходит к группам по 4, 5, 6 и 7, в некоторых зонах минимальное количество выстрелов обеспечивают группы по 8, 9 и 10, но отличие небольшое, за исключением групп по 2 и 3 выстрела. Но точность (2-10%) это не рабочий диапазон из-за того, что для достижения такой точности требуется слишком большое число выстрелов. В рабочем диапазоне точности (10-20%) в лидерство попеременно переходит к группам по 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Отличие в количестве выстрелов при разном числе выстрелов в группе в этой зоне обусловлены больше тем, что количество выстрелов дискретно и кратно числу выстрелов в группе. Например, для достижения точности 20% при стрельбе группами по 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 требуется соответственно 24, 18, 16, 15, 18, 21, 16, 18 и 20 выстрелов. Минимальное количество выстрелов - 15 - дают 3 группы по 5, а остальные группы или дают больше, или они некратны 5, поэтому используется еще одна их избыточная группа. Из-за дискретности количества выстрелов картина меняется, когда мы переходим к другой точности, например, 15%. Минимальное количество (27 выстрелов) набирается в трех сериях по 9, а в остальных группах добавляются избыточные выстрелы. Хотя группы по 3 выстрела тоже могут набрать 27 выстрелов, но в группах по 3 точность 15% достигается только при 30 выстрелах. И так по всей таблице. Группы больше 10 во всей рабочей зоне, как и группы по 2, уступают группам в диапазоне 3-10 выстрелов.

Несмотря на то, что по расчетам группы по 3 формально не имеют никаких преимуществ в зоне рабочей точности (10-20%), по количеству выстрелов, необходимых для достижения требуемой точности, они незначительно отстают от групп-лидеров, поэтому вполне могут использоваться для оценки кучности наряду с другими группами. Другое дело, что нужно учитывать и другие факторы, например необходимость перестройки прицела с каждой новой группой. В этом смысле стрельба на кучность одной серией по 10 или двумя группами по 5 предпочтительнее стрельбы группами по 3. И потом хотелось

бы определиться с одним стандартом, слишком большой выбор тоже плох. Но здесь в дело вмешиваются и другие соображения. Например, всем ли стрелкам будет удобно стрелять в одну мишень 10 раз вместо двух мишеней по 5 или четырех мишеней по 3, если за стандарт принять схему 1х10? Не станет ли нечитаемой мишень, если 10 пуль залетят «в одну дыру», пробив в ней одно большое размытое пятно? А если каждый стрелок будет выбирать для себя оптимальную группу по своим соображениям, то в связи с разным количеством выстрелов в группах для показателя экстремального размера группы D выявляется еще одна проблема. Его значение при одной и той же кучности винтовки зависит от количества выстрелов в группе. Например, если кучность для группы из 3 выстрелов взять за 1 МОА, то ей будут соответствовать значения экстремального размера, умноженные на 0,72; 1,16; 1,26; 1,4; 1,5; 1,56 для числа выстрелов в группе 2, 4, 5, 6, 8, 10. Поэтому для сравнения кучности по показателю экстремального размера группы лучше выбирать одинаковую группу, например, 3, 5 или 10. Таким образом, в выбор оптимального числа выстрелов в группе вмешиваются как теоретические, так и практические факторы. Рейтинг групп (табл. 2) показывает, что во всем исследованном диапазоне преимущество имеют группы последовательно по 6, 5 и 7 выстрелов. Для оценки кучности более привычные группы по 5, и они вдобавок являются хорошим компромиссом между большим количеством передвижений ствола на другие мишени в случае числа выстрелов по 3 и разбиванием центра мишени при кучной стрельбе выстрелами по 10. При необходимости можно совместить 2 группы по 5 с одной точкой прицеливания и получить 1 группу по 10. Но для желающих экспериментировать мы показали, что теоретически равноценными являются группы по 3, 4, 6 или 7.

Показатель кучности средний радиус группы Rcp при оценке его точности демонстрирует поведение, немного отличающееся от показателя экстремальный размер группы D. На рис. 8 приведены графики зависимости коэффициента вариации средней кучности Rcp от общего количества выстрелов. Так же, как и на рис. 6 и 7 графики практически сливаются в один, за исключением группы по 2 выстрела.

Из табл. 3 видно, что при одинаковых ошибках в определении среднего значения кучности для показателя Rcp требуется меньшее количество выстрелов, чем для показателя D. Это происходит из-за того, что показатель Rcp является более информативным, чем D. Здесь также на результаты влияет дискретность числа выстрелов как произведение числа групп на число выстрелов в группе. Соответственно, из табл. 4 видно, что для оценки средней кучности с заданной точностью показатель Rcp требует меньше выстрелов, чем показатель D. Например, для оценки средней кучности с ошибкой 20% по показателю D нужно в сумме 15 выстрелов (3х5), а по показателю Rcp 12 выстрелов.

\\

\ \

—V. Яр 2 Яр 7 1?р 12 -V Нр 3 - -V Ир 8 - -V Рр 13 - Нр 4 Яр 9 Яр 14 -V Яр Б - -V Яр 10 - V Яр 6 V Яр 11

\ -V 2 V Кр 3 V и 4

\ V Рр 5 -\1 Рр 6 - —V йр 7 -V 11р 5 -V Ир 9--V Ир 10 -V Кр 11 -V Кр 12 -V Ир 13

N

а)

б)

Рисунок 8. Зависимость коэффициента вариации V средней кучности Rcp от числа выстрелов для разного количества выстрелов (2-14) в группе

Оценка рейтинга групп по показателю минимального числа выстрелов не выявила явных лидеров (табл. 4). В рабочей зоне точности 10-20% для показателя Яср формально на первом месте стоят группы по 3 и 4, однако группы по 5, 6, 7, 8, 9, 10 не намного хуже. Значения показателя Яср практически не зависят от числа выстрелов в группе, что позволяет сравнивать среднюю кучность при стрельбе разными группами.

Как уже говорили, показатель Яср более информативный, чем показатель Б и менее чувствителен к отдельным отрывам, вместе с тем, на обычной бумажной (не электронной) мишени при очень высокой кучности, когда пробоины сливаются, его расчет становится проблемным.

Таблица 3.

Количество групп по показателю Rcp в зависимости от количества выстрелов в группе и точности определения значения средней кучности.

Количество групп выстрелов для обеспечения заданной кучности при Р=0,8 ^ср)

Точность Выстрелов в группе

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

50% 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

45% 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

40% 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

35% 4 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

30% 5 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1

27,5% 6 3 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1

25% 8 4 3 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1

22,5% 9 5 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 1

20% 12 6 4 3 3 2 2 2 2 2 1 1 1

19% 13 6 4 4 3 3 2 2 2 2 2 2 1

18% 14 7 5 4 3 3 2 2 2 2 2 2 2

17% 16 8 5 4 4 3 3 2 2 2 2 2 2

16% 18 9 6 5 4 3 3 3 2 2 2 2 2

15% 20 10 7 5 4 4 3 3 3 2 2 2 2

14% 23 12 8 6 5 4 4 3 3 3 3 2 2

13% 27 14 9 7 6 5 4 4 3 3 3 3 2

12% 32 16 11 8 6 6 5 4 4 4 3 3 3

11% 38 18 13 10 8 6 6 5 5 4 4 3 3

10% 45 22 15 11 9 8 7 6 5 5 4 4 4

9% 57 27 18 14 11 10 8 7 7 6 5 5 5

8% 72 35 23 18 14 12 10 9 8 7 7 6 6

Количество групп выстрелов для обеспечения заданной кучности при Р=0,8 ^ср)

Точность Выстрелов в группе

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

7% 94 45 30 23 18 16 14 12 11 10 9 8 7

6% 61 41 31 25 21 18 16 14 13 12 11 10

5% 88 58 45 36 31 27 23 21 19 17 15 14

4,50% 71 55 44 37 33 29 25 23 21 19 17

4% 90 68 55 47 41 36 32 29 26 24 22

3,50% 89 72 61 53 46 41 37 33 31 28

3% 98 84 73 63 56 50 45 41 38

2,50% 91 81 73 65 60 55

2% 93 87

Таблица 4.

Количество выстрелов по показателю Rcp в зависимости от количества выстрелов в группе и точности определения значения средней кучности

Количество выстрелов для обеспечения заданной кучности при Р=0,8 (Д ср)

Точность Выстрелов в группе

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

50% 4 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

45% 6 6 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

40% 6 6 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

35% 8 6 8 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

30% 10 9 8 10 6 7 8 9 10 11 12 13 14

27,5% 12 9 8 10 12 7 8 9 10 11 12 13 14

25% 16 12 12 10 12 14 16 9 10 11 12 13 14

22,5% 18 15 12 15 12 14 16 18 10 11 12 13 14

20% 24 18 16 15 18 14 16 18 20 22 12 13 14

19% 26 18 16 20 18 21 16 18 20 22 24 26 14

18% 28 21 20 20 18 21 16 18 20 22 24 26 28

17% 32 24 20 20 24 21 24 18 20 22 24 26 28

16% 36 27 24 25 24 21 24 27 20 22 24 26 28

15% 40 30 28 25 24 28 24 27 30 22 24 26 28

14% 46 36 32 30 30 28 32 27 30 33 36 26 28

13% 54 42 36 35 36 35 32 36 30 33 36 39 28

12% 64 48 44 40 36 42 40 36 40 44 36 39 42

11% 76 54 52 50 48 42 48 45 50 44 48 39 42

10% 90 66 60 55 54 56 56 54 50 55 48 52 56

9% 114 81 72 70 66 70 64 63 70 66 60 65 70

8% 144 105 92 90 84 84 80 81 80 77 84 78 84

7% 188 135 120 115 108 112 112 108 110 110 108 104 98

6% 183 164 155 150 147 144 144 140 143 144 143 140

5% 264 232 225 216 217 216 207 210 209 204 195 196

4,50% 284 275 264 259 264 261 250 253 252 247 238

4% 360 340 330 329 328 324 320 319 312 312 308

3,50% 445 432 427 424 414 410 407 396 403 392

3% 588 588 584 567 560 550 540 533 532

2,50% 819 810 803 780 780 770

2% 1209 1218

При построении таблиц кучности 1-4 мы взяли доверительную вероятность 0,8, так как, по нашему мнению, более высокое значение начнет вступать в определенное противоречие с точностью других данных. Тем не менее для сравнения ниже приводим табл. 5 необходимого количества выстрелов в разных группах для обеспечения заданной точности при более высокой доверительной вероятности 0,9.

Если сравнить табл. 5 с табл. 2, то они довольно сильно отличаются по количеству необходимых выстрелов. Например, для оценки кучности с точностью 25% при доверительной вероятности 0,9 уже требуется минимум 16 выстрелов против 10; для оценки кучности с точностью 20% требуется

25 выстрелов против 15; для оценки кучности с точностью 10% требуется 98 выстрелов против 60 и т. д. Таким образом, платой за более высокую доверительную вероятность будет не совсем оправданное увеличение числа выстрелов больше чем на 50%. Если есть смысл применять более высокую доверительную вероятность, то только в части стандартизации подхода к оценке кучности. Например, в системе классификации баллистической кучности [13] применяется доверительная вероятность 0,9. Что касается сравнения оптимального числа выстрелов в группе, то здесь различие не такое существенное, в рабочей зоне небольшое преимущество также имеют группы по 5 в сравнении с группами по 6 и по 7.

Таблица 5.

Количество выстрелов по показателю D в зависимости от количества выстрелов в группе и точности определения значения средней кучности при доверительной вероятности 0,9

Количество выстрелов для обеспечения заданной кучности при Р=0,9 (О)

Точность Выстрелов в группе

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

50% 6 6 8 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

45% 8 6 8 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

40% 10 9 8 10 12 7 8 9 10 11 12 13 14

35% 12 12 12 10 12 14 16 9 10 11 12 13 14

30% 18 15 12 15 12 14 16 18 20 22 12 13 14

27,5% 20 15 16 15 18 14 16 18 20 22 24 26 14

25% 24 18 20 20 18 21 16 18 20 22 24 26 28

22,5% 30 24 20 20 24 21 24 27 20 22 24 26 28

20% 38 30 28 25 30 28 32 27 30 33 36 39 28

19% 42 33 32 30 30 28 32 36 30 33 36 39 42

18% 46 36 32 35 36 35 32 36 40 33 36 39 42

17% 52 39 36 35 36 35 40 36 40 44 36 39 42

16% 58 45 44 40 42 42 40 45 40 44 48 52 42

15% 66 51 48 45 48 49 48 45 50 55 48 52 56

14% 76 57 56 55 54 56 56 54 60 55 60 65 56

13% 88 66 64 60 60 63 64 63 70 66 72 65 70

12% 106 78 72 70 72 70 72 72 80 77 84 78 84

11% 126 93 84 85 84 84 88 90 90 88 96 91 98

10% 152 114 104 105 102 98 104 108 110 110 108 117 112

9% 188 141 128 125 126 126 128 126 130 132 132 143 140

8% 177 164 160 156 161 160 162 160 165 168 169 182

7% 231 208 205 204 210 208 216 220 220 228 221 224

6% 280 275 276 280 280 288 290 297 300 312 308

5% 400 395 396 399 392 405 400 407 420 429 434

4,50% 480 486 490 488 495 500 506 516 520 532

4% 600 616 616 630 630 649 660 676 672

3,50% 784 819 830 847 852 871 882

3% 1176 1196 1232

2,50%

Точность, с которой оценивается средняя кучность, является важным параметром, дополняющим точечную оценку и среднее квадратическое отклонение кучности, и это единственный параметр, позволяющий обосновать оптимальное число групп и число выстрелов в группе для оценки кучности.

Что касается точности определения среднего квадратического отклонения кучности ба, бЯ по их выборочным значениям, то, учитывая ее теоретическую связь со средними значениями кучности О, Яср, мы не видим в этом необходимости, хотя ее несложно рассчитать по выборочным данным и сравнить с теоретическим значением.

Таким образом, на основе исходных данных о координатах точек попадания при стрельбе по мишеням группами мы получили формулы и таблицы для расчета кучности одной группы а, Я, средней кучности нескольких групп О, Яср, интервала нахождения истинного значения средней кучности, параметров отклонения кучности от среднего значения по двум показателям кучности - экстремальному размеру группы О и среднему радиусу группы Яср.

Подведем итоги нашему исследованию

1. В качестве параметров показателя кучности предлагаем использовать их среднее значение, среднее квадратическое отклонение, минимальное и максимальное значение кучности в выборке, минимальное и максимальное значение средней кучности с заданной доверительной вероятностью.

2. В качестве показателей кучности предлагаем использовать при настройке винтовки экстремальный размер группы а, а при оценке кучности еще средний радиус точек попадания Я. Также полезно фиксировать координаты всех точек попадания при одной точке прицеливания, в том числе для объединения всех групп в одну общую. Интересно определять координаты СТП и следить за дрейфом СТП при разных навесках и глубине посадки пули или при переводе прицела с одной мишени на другую.

3. В качестве критерия оптимального количества групп и числа выстрелов в группе для оценки кучности предлагаем использовать точность оценки кучности. Более того, с нашей точки зрения, это единственный параметр, который позволяет обосновать количество групп и число выстрелов в группе при оценке кучности и положить конец затянувшейся дискуссии о том, сколько должно быть групп и сколько должно быть выстрелов в группе для правильной оценки кучности. Для выбора количества групп и числа выстрелов в группе, необходимых для оценки кучности с заданной точностью или наоборот для определения точности, соответствующей заданному количеству групп и числу выстрелов в группе, построены таблицы кучности (табл. 1-4).

Теперь нам осталось показать, как этими знаниями пользоваться. Конечно, каждый стрелок может сам решить, как пользоваться информацией о кучности. Вариантов много. Но мы также приведем несколько конкретных примеров, не настаивая, что они самые удачные. Кто-то, возможно, сочтет наши примеры

просто игрой ума, с избыточной информацией для кучной стрельбы, а кому-то она окажется полезной. Мы надеемся, что приведенные ниже примеры после ознакомления с ними спортсменов позволят несколько по-другому смотреть на результаты практической стрельбы и на подготовку к ним. Конечно, далеко не все стрелки будут проделывать вычисления, которые сделаем сейчас мы, лучше это время провести на стрельбище, но один раз можно ознакомиться с нашими расчетами и расширить свой кругозор в понимании кучности.

Как мы можем пользоваться расширенной информацией о кучности? Пойдем по порядку. Поясним еще раз, в чем смысл и сила дополнения среднего значения показателя кучности, например, экстремального размера группы D, его средним квадратическим отклонением 6d и диапазоном, в котором находится истинное значение кучности, рассчитанным по среднему квадратическому отклонению 6D среднего значения D. Например, при настройке винтовки вы получили всего одну группу по 3 выстрела, и ее значение равно D = 0,5 МОА. Из таблиц кучности известно, что точность оценки среднего значения кучности по одной группе из 3 составляет 50%, то есть, с вероятностью 0,8 истинное значение средней кучности, оцененное по одной группе, будет находиться в диапазоне (0,25-0,75) МОА. Далее принимаем за ожидаемую среднюю кучность верхнюю границу 0,75 МОА и рассчитываем от нее вероятные интервалы кучности при стрельбе группами по 3. По теории (рис. 2) мы знаем, что коэффициент вариации кучности при стрельбе группами по 3 составляет 0,4. Умножаем верхнее значение средней кучности 0,75 на этот коэффициент и получаем значение среднего квадратического отклонения кучности, равное 0,3. Это означает, что, по верхней оценке, (считаем это статистически худшим случаем), сделанной всего по одной группе, кучность следующих групп будет располагаться в диапазоне (0,45-1,05) МОА с вероятностью 68,3%, в диапазоне (0,15-1,35) МОА с вероятностью 95,5% и (0-1,65) МОА с вероятностью 99,7%. А если мы проделаем те же вычисления с нижней вероятной границей средней кучности 0,25 МОА, то получим совсем другие результаты, в частности диапазон кучности групп (0,05-0,45) МОА с вероятностью 95,5%. То есть, оценка кучности по одной группе дает очень большую неопределенность в отношении того, как на самом деле будет реализовываться кучность, что она будет совсем другая, а не равная 0,5 МОА, как показала первая группа. Вот почему после настройки винтовки на экстремальную кучность нужно делать дополнительные тесты по оценке кучности в точках настройки. Согласитесь, что это совсем другой уровень анализа кучности, чем просто взять одну группу с кучностью 0,5 МОА и думать, что это и есть кучность вашей винтовки. Как видим из анализа, на самом деле она может оказаться и меньше 0,1 МОА, и больше 1,65МОА. В данном случае анализ с применением сразу трех параметров экстремального размера группы (D, 6d, 6d) вместо одного параметра D показывает, насколько неопределенным будет истинное

значение кучности, если ее оценить всего по одной группе из 3 выстрелов. Этот анализ отсылает к таблицам кучности (табл. 1, табл. 3) для осознанного выбора количества групп и числа выстрелов в группе при оценке кучности с необходимой точностью.

Оценку кучности одной группы обычно используем для сравнения с кучностью соседних групп при настройке винтовки. Рассмотрим пример. Чем может в этом помочь табл. 1? По табл. 1 видим, что ошибка в определении кучности с доверительной вероятностью 0,8 по 1 группе из 3 выстрелов составит 50% в обе стороны. То есть, при расчетной кучности 0,19 МОА по одной группе из 3 истинная кучность расположена в диапазоне (0,1-0,29) МОА при доверительной вероятности 0,8, то есть, в каждом пятом случае кучность может выйти за указанный диапазон. Если при настройке винтовки кучность групп на кучной полке и за ее пределами различается в 2-3 раза, нам будет достаточно и ошибки в 50%, чтобы отличить самые кучные группы и выявить кучную полку. Как пример сказанного на рис. 9 приведены зависимости экстремального размера групп d от глубины посадки пули при разных навесках, полученные при настройке винтовки Ремингтон 700 в калибре 223 Rem. В диапазоне глубины посадки пули 1,7271,740 по размеру головы матрицы достаточно ясно прослеживается широкая кучная полка из 4 точек

с кучностью (0,11-0,19) МОА. Из табл. 1 мы видим, что истинные значения средней кучности точек на кучной полке лежат в диапазоне (0,06-0,29) МОА с вероятностью 0,8, и поэтому в нашей оценке кучной полки ничего не изменится, поскольку за пределами кучной полки мы видим группы с кучностью 0,35 и хуже. Таким образом, точность 50% в оценке средней кучности при настройке винтовки в этом случае нас устроит. Если же кучность соседних групп будет отличаться незначительно, то использование табл. 1 избавит от самообмана и не позволит считать случайные различия в кучности групп найденной кучной полкой. Такой самообман часто происходит, когда стрелки находят кучную полку, например, по методу Крейтона, глубоко не понимая ограничений его применения и трактовки результатов стрельбы по мишени. Точнее отличие групп оценивается в рамках дисперсионного анализа.

Если захотим оценить кучность в найденных настройках точнее, то в первую очередь можем определить среднее значение по 4 точкам кучной полки (рис. 9). Оно равно D=(0,11+0,19+0,13 + 0,13)/4= 0,14 МОА. Это, конечно, не совсем правильно, потому что значения кучности получены при разной глубине посадки пули, но на кучной полке такое усреднение, на наш взгляд, допустимо.

Рисунок 9. Зависимость кучности от

Снова обратившись к табл. 1, видим, что нашему случаю (4 группы по 3 выстрела) соответствует точность 25%. Это означает, что истинное значение средней кучности лежит в диапазоне (0,105-0,175) МОА. Уже значительно лучше, но все же минимальное и максимальное значение кучности в пределах доверительного интервала отличается почти в два раза. Поэтому для еще более точной оценки средней

ы посадки пули при разных навесках

кучности после настройки мы делаем контрольные серии, стреляя, например, еще 2 серии по 5 выстрелов. Таким образом мы начинаем накапливать информацию о средней кучности, сужая диапазон неопределенности ее истинного значения. В этих тестах мы получили кучности двух групп по 5 равными 0,14 и 0,16МОА и среднюю кучность 0,15МОА. Снова обращаемся к таблице 1 и находим, что серии 2 группы

по 5 выстрелов соответствует точность тоже 25%. Объединяем эти результаты с результатами, полученными при настройке винтовки. Для этого делим полученную кучность двух групп на 1,26 (коэффициент приведения группы по 5 к группе по 3) и снова определяем среднюю кучность теперь уже по 6 группам: (0,14/1,26+0,16/1.26+0,11+0,19+0,13+0,13)/6 = 0,13 МОА. При этом для оценки используется уже не 4, а 6 групп с суммарным количеством выстрелов 22. Таблица 1 дает для 6 групп по 3 точность 20%, и таким образом, на основании проведенных тестов мы можем утверждать, что истинное значение средней кучности по результатам настройки винтовки лежит в диапазоне (0,1 - 0,16) МОА с вероятностью 80%, причем с некоторым запасом, поскольку у нас в оценке участвовали 2 группы по 5. Предположим, что нас такая точность устроит. На этом основании мы считаем оценку кучности выполненной и в зависимости от задач пользуемся либо средневзвешенной оценкой кучности 0,13 МОА, либо ее верхним

гарантированным значением 0,16 МОА. Гарантированное значение кучности показывает, что средняя кучность по 6 группам из 3 выстрелов будет не хуже 0,16МОА с вероятностью 80%. Такой подход позволяет все время контролировать точность, с которой оценена средняя кучность, и знать гарантированный результат. Верхняя гарантированная оценка, например, применяется при присвоении винтовке класса кучности в системе классификации баллистической кучности [13].

Далее рассмотрим пример, как сделать прогноз результатов будущей стрельбы группами на кучность, имея информацию по средней кучности и среднему квадратическому отклонению. Для этого кроме среднего значения кучности 0,13 МОА нам уже потребуется значение среднего квадратического отклонения кучности 6d. По 6 группам с учетом приведения групп по 5 к группам по 3 выборочное значение среднего квадратического отклонения равно

ffrf =

-[(0Д1-0Д3)2 + (0,127- 0,13)2 + (0Д1-0Д3)2 + (0Д9-0Д3)2 + (0Д3-0Д3)2 + (0Д3-0Д3)2],

т.е. = 0,03 МОА.

Но в соответствии с работами [5, 6] 6d можно определить теоретически через среднее значение кучности и соответствующий числу выстрелов в группе коэффициент вариации. Для числа выстрелов в группе равном 3 теоретическая оценка больше, чем полученное выборочное значение, и равна 0,05 МОА. Возьмем эту цифру как гарантированное значение. Имея данные обо всех координатах точек попадания, средней кучности 0,13 МОА, интервальной оценке кучности (0,1-0,16) МОА и среднем квадратическом отклонении кучности 0,05МОА, мы уже достаточно точно можем предсказать средне ожидаемые и худшие значения групп в серии будущих выстрелов. И если средняя кучность у нас 0,13 МОА, а среднее квадратическое отклонение 0,05 МОА, то для нас не станут неожиданностью группы и лучше 0,1 МОА и хуже 0,16 МОА, мы их уже можем заранее предсказать с известной вероятностью. Так же, как и то, что 80% групп уложится в диапазон (0,1-0,16) МОА. Также, если слишком большое количество групп будет иметь кучность хуже, чем 0,16МОА, мы сможем понять, что в этом тесте добавился какой-то новый фактор влияния на кучность, например, систематические отрывы.

Рассмотрим, как можно использовать данные о кучности, полученные в закрытом тире, для анализа

результатов стрельбы на открытом стрельбище и выявления отрывов и других новых факторов влияния на кучность. Вспомним, что при стрельбе на кучность в закрытом тире мы в максимальной степени исключили все факторы влияния на кучность [3] кроме патрона и винтовки и достигли приведенных выше показателей: математического ожидания среднего значения D=0,13 МОА, верхней оценки среднего значения D = 0,16 МОА с вероятностью 0,8 и среднего квадратического отклонения 6d=0,05 МОА. Также мы имеем координаты пробоин на всех мишенях при одной точке прицеливания, что позволяет определить параметры рассеивания точек попадания: СТП и среднее квадратическое отклонение точек попадания: ах=ау=а. Имея значения этих показателей, а также первичную информацию по мишеням, можно осуществлять прогноз результатов будущих стрельб в условиях соревнований и обеспечить управление ими.

Например, в соревнованиях на дистанции 300 метров вы планируете занять какое-то место, которое соответствует вашей подготовке. На контрольной тренировке на открытом стрельбище вы получили среднюю кучность 0,33 МОА по 5 группам из 5 выстрелов в группе. При этом кучность в каждой группе была (0,27; 0,41; 0,32; 0,29; 0,34)МОА (рис. 10).

Рисунок 10. 5 групп по 5 выстрелов в группе

i

Помним, что ваша винтовка была настроена на среднюю кучность 0,13 МОА, определенную по группам из 3 выстрелов, в тире без ветра и миража, при стрельбе со стола с передним и задним упором, возможно свободным откатом, но мы теперь стреляем на открытом стрельбище с сошек, с упором приклада в плечо, с ветром в других условиях группами по 5 и на тренировке получили среднюю кучность 0,33 МОА. При этом уверены в том, что кучность нашего комплекса «винтовка + патрон» по 3 выстрелам в группе по-прежнему равна 0,13 МОА, и она не изменилась, это важно. Пересчитываем полученную кучность на 5 выстрелов, 0,13'1,26 = 0,16 МОА и понимаем, что к полученной при настройке кучности 0,16 МОА на открытом стрельбище добавилась еще ошибка 0,28 МОА от суммы новых факторов, определяемая по формуле: ^(0,332 - 0,162) МОА = 0,29 МОА, потому что в соответствии с теорией ошибок складываются или вычитаются дисперсии случайных величин. Среднее квадратическое отклонение по 5 группам составило 0,08 МОА. По этим цифрам мы понимаем, что запас для работы над кучностью при стрельбе на открытом стрельбище у нас 0,29 МОА и нужно искать пути приближения к идеальной кучности настройки 0,16 МОА, выше которой среднестатистически мы уже получить не сможем, если только не рассчитывать на счастливый случай.

Как можно организовать тренировки в этом случае? Нужно понять, из чего складывается дополнительная ошибка в 0,29 МОА. Основной составляющей горизонтального рассеивания точек попадания, кроме ошибок стрелка и не настроенности стрелкового комплекса (стола, переднего упора, заднего мешка, прицела), является ветер, вертикального рассеивания - также ветер (так как он может иметь разные направления, и даже боковой ветер рассеивает пули не горизонтально, а с 10 часов на 16), мираж, сошки и другие условия открытого стрельбища [3]. Именно они дают дополнительную ошибку 0,29 МОА, над которой и надо работать, уменьшая влияние этих факторов.

Наверное, многим стрелкам-любителям покажется утомительным делать такие вычисления. Однако нужно понимать, что если вы находитесь в конце или даже в середине списка участников соревнований, вы можете не утруждать себя «ловлей блох», но если вы боретесь за первое место на рейтинговом турнире, то поиск неиспользованных резервов, оцифровка уровня своей подготовки, разделение кучности на ее составляющие [15] и знание предельных возможностей приобретают большую значимость. В крупных соревнованиях по бенчресту часто победителя от второго места отделяют десятые и даже сотые доли МОА. Оценив интервал неопределенности по их 5 группам кучности, мы можем понять, что в первой десятке чемпионы будут меняться по воле счастливой случайности, поскольку естественный статистический разброс кучности часто гораздо больше, чем то различие в кучности, которое отделило первое место от второго. Так оно в жизни и происходит, такими сюрпризами пропитан весь бенчрест.

Лучшие в нем определяются лишь по многим сериям, в которых постепенно формируется их неслучайный рейтинг, открывающий путь в Зал Славы бенчреста.

Конечно, наши примеры - лишь условные схемы, в реальных условиях большое влияние на кучность оказывает психология стрелка, место проведения соревнований, условия и множество других факторов. Но ветер одинаковый для всех стрелков, и они ловят моменты и стараются стрелять в один и тот же ветер, многие другие факторы также одинаковы для всех, поэтому приведенная схема является рабочей.

Рассмотрим следующий пример применения оценок кучности. На рис. 11 приведены 14 мишеней, полученных при оценке кучности охотничьей винтовки Sauer 100 на дистанции 100 м во время обдува гильз. Мишени взяты из статьи [1]. Стрельба велась группами по 3. Кучность 14 групп в порядке стрельбы по отдельным мишеням приведена на рис. 11а. Средняя кучность 0,54 МОА, но мы хотели бы сделать полный анализ и главное дать прогноз кучности. Для этого случая одной цифры недостаточно, потому что рассеивание кучности вокруг среднего значения очень существенное. При средней кучности 0,54 МОА по 14 группам она изменялась в пределах (0,29-1,21) МОА, то есть, в 4,17 раза. Это почти нормально, хотя есть очевидное влияние отрывов. В соответствии с теорией интервал составляет (0,25-0,83) МОА при доверительной вероятности 0,8, то есть различие меньше, в 3,3 раза. В работе [11] приведены расчетные значения отношения максимального и минимального значений кучности, которое среднестатистически равно 3,93 (практически 4) для 10 групп по 3 и 1,93 (округлим до 2) для 5 групп из 5 выстрелов. Вычисляем выборочное среднее квадратическое отклонение групп 6¿, которое для данного примера равно 0,264 МОА, но мы можем вычислить 6d по-другому, как известную часть среднего для заданного числа выстрелов в группе, из теории оно равно 0,216МОА. Разница выборочной и теоретической оценки может указывать на присутствие отрывов на реальных мишенях. Далее по этим данным мы смоделировали 100 групп, соответствующих полученным значениям среднего и среднего квадратического отклонения по 14 реальным группам. Зная координаты точек попадания, мы также можем объединить все группы в одну по СТП и рассчитать общую кучность по показателю Rcp, и также объединить все группы в одну по одной точке прицеливания и рассчитать общую кучность с учетом дрейфа СТП. Если нашей конечной целью является настройка точности винтовки, а не только кучности, учет дрейфа СТП при изменении положения винтовки будет полезной информацией.

На рис. 11а видно, что кучность групп сильно несимметрична относительно среднего значения. Однако это спорный вопрос. Закон распределения кучности действительно несимметричный, но не настолько. По опыту мы определили, что несимметричность появляется не из-за статистического разброса групп, а из-за несимметричных ошибок стрелка. Очень кучная группа тоже может появиться как ошибка стрелка, но вероятность этого очень мала,

нужно еще постараться ошибиться так, чтобы пули случайно легли «дыра в дыру». А вот ошибиться, сделав большой отрыв, очень легко. Эти отрывы скорее всего и видны на мишенях рис. 11, где получилась наихудшая кучность 1,21 МОА, за ней идет кучность 0,98 МОА.

На рис. 12б в качестве прогноза представлены значения кучности по 100 группам, полученные

с помощью генератора случайных чисел по статистическим характеристикам, рассчитанным на основе экспериментальных данных рис. 11. Примерно такая картина кучности групп получилась бы, если бы мы продолжили стрелять на кучность и сделали 100 групп вместо 14. Но мы без стрельбы достаточно достоверно получили длинную последовательность групп кучности. Сомневаться в правильности прогноза

нам не приходится. ® ©•©

® ®,® ® ®®

Рисунок 11. 14 групп по 3 выстрела, полученные при оценке кучности винтовки Sauer 100 на дистанции 100 м.

Таблица 6.

Результаты стрельбы на кучность группами по 3

N/n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

3 R 0.12 0.23 0.51 0.12 0.2 0.11 0.16 0.21 0.44 0.23 0.16 0.2 0.16 0.2

4 Rcp 0.12 0.175 0.287 0.245 0.236 0.215 0.207 0.208 0.233 0.233 0.226 0.224 0.219 0.218

5 d(3) 0.29 0.64 1.21 0.29 0.43 0.32 0.43 0.61 0.98 0.54 0.43 0.59 0.37 0.46

6 D(3,n) 0.29 0.46 0.71 0.61 0.57 0.53 0.51 0.53 0.59 0.57 0.56 0.56 0.55 0.54

Рисунок 12. (а) - Реальные 14 групп со средней кучностью 0,54 МОА по показателю Б; (б) - Полученные с помощью генератора случайных чисел 100 групп со средней кучностью 0.54 МОА. Синяя линия - доверительный интервал 0,8, красная - 0,9

Название диаграммы

• • •

• • # • •

• • • • • .

t • • а # • >-,{,, t t • 1

• # • шиш

I • • •• •

• • • 9 4— и •

а)

б)

Рисунок 13. (а) - Те же реальные 14 групп со средней кучностью 0,218 МОА по показателю Rcp, (б) - полученные с помощью генератора случайных чисел 100 групп с б = 1. Красная линия - среднее значение кучности, синяя линия - среднее квадратическое отклонение кучности,

рассчитанные для заданного количества групп

Хорошо видно, что при среднем значении кучности 0,54 МОА, рассчитанном по результатам уже проведенных стрельб, в будущей стрельбе на кучность можно получить значения и 0,2 МОА, и 1,45 МОА, и все они соответствуют рассчитанному по результатам предыдущей стрельбы на кучность среднему квадратическому отклонению кучности ба.

Вывод из этого следует такой. При известной средней кучности мы закономерно получим распределение кучности отдельных групп по 3, которые, например, в каждой десятке будут различаться в 3-4 раза, как на рис. 12а, или распределение кучности отдельных групп по 5, которые в каждой пятерке будут различаться в 2 раза. То есть, при средней кучности 0,54 МОА и 3 выстрелах в группе не должно удивлять появление отдельных групп с кучностью хуже 1 МОА . Это не результат случайных отрывов, которые всегда хочется исключить, это естественный статистический разброс. Также время от времени закономерно можно ожидать появления очень кучных групп - в данном примере лучше,

чем 0,2 МОА. Лучшие группы всегда дарят сильные положительные эмоции, плохие группы огорчают. Но зная закон распределения кучности групп, мы будем ориентироваться на среднюю кучность и принимать отклонения от нее как естественный разброс кучности групп. Также мы можем оценить вероятность появления групп с определенной кучностью, рассчитав среднее квадратическое отклонение кучности.

Если средняя кучность винтовки у нас D=0,54МОА, а среднее квадратичное отклонение 0,216 МОА и коэффициент вариации V = 6d/D примерно равен 0,216/0,54 = 0,4, то при условии нормального распределения мы можем утверждать, что с вероятностью 68,27% всех групп будем иметь кучность в диапазоне (0.28-0.8) МОА, с вероятностью 95.45% - (0.02-1.06) МОА и с вероятностью 99.73% - (0-1.32) МОА. При этом нижние и верхние границы при использовании более реалистичного несимметричного распределения должны сдвинуться вверх (рис. 12б) и кучности 0, конечно, не будет.

О чем еще может говорить картина на рис. 12? Например, стрелок утверждает, что он стабильно стреляет с кучностью 0,2 МОА группами по 3 и определил это по 25 группам. Если это утверждение верное, оно означает следующее: точность определения средней кучности по 25 группам составляет 10%, и с вероятностью 0,8 стрелок стабильно получает группы (0,18-0,22) МОА. Сравниваем этот результат с достижениями стабильной кучности лучших стрелков. Сравнение показывает, что даже если стрелок делал тесты на кучность с бетонного стола со специально изготовленными адаптерами, с передним упором и задним мешком Lenzi, в тире без ветра и при идеальных условиях, из кастомной винтовки, то мы имеем дело со спортсменом из мировой элиты.

Рассмотрим следующий пример. Когда полезно использовать знания о точности оценки средней кучности? Скорее всего, том случае, когда планируются тесты по оценке кучности и нужно сделать выбор оптимального количества групп и числа выстрелов в группе, и когда необходимо оценить ошибку в расчете кучности и выявить наихудший случай. В нашем примере точечная оценка средней кучности равна 0,54 МОА по 14 группам по 3. Смотрим в табл. 1 и видим, что такому количеству групп соответствует точность 13%. Это означает, что истинное значение средней кучности в нашем случае расположено в диапазоне (0,47-0,61) МОА с доверительной вероятностью 0,8. Это большое количество групп и поэтому среднее и худшее значения отличаются незначительно - 0,54 и 0,61. По этим цифрам мы понимаем, что это очень хорошая точность, хотя и плохая кучность)). Но если мы хотим быть объективными и сделать прогноз худшего варианта стрельбы, с запасом, то в расчете рис. 12б вместо средней кучности 0,54 МОА поставим ее худшую оценку - 0,61 МОА. Часто кучность оценивают по значительно меньшему количеству групп, например, по 2 группам из 5 выстрелов, и тогда наихудший случай будет значительно отличаться от выборочного среднего.

Следующий пример. Часто хочется узнать, какая закономерность распределения пробоин будет на одной мишени, как лягут пробоины при известной кучности винтовки, если сделать очень большое число выстрелов. Реальных таких мишеней очень мало, потому что реальная стрельба потребует большого

расхода патронов и будет изнашивать ствол. Но мы увидим точно такие же результаты, смоделировав их с помощью генератора случайных чисел. Результат будет такой же, как и при стрельбе, но патроны и время будут сэкономлены. Имея первичные мишени с пробоинами и рассчитанные по ним параметры распределения и значения показателей кучности, мы можем смоделировать вероятные координаты точек попаданий при следующих выстрелах.

На рис. 14а представлены реальные мишени с 3 и 5 пробоинами. По такому малому количеству выстрелов очень сложно определить закон распределения точек попадания на мишенях, истинную СТП и средний промах. Здесь видны и вытянутые цепочки пробоин, и возможные отрывы. Однако если все точки попадания на этих мишенях объединить и рассчитать выборочные параметры их рассеивания, то в дальнейшем можно смоделировать, как лягут следующие выстрелы и понять, как будет выглядеть картина точек попадания при множестве выстрелов. На рис. 14б все пробоины с рис. 14а перенесены на одну мишень. Видно, что по 14 выстрелам также не очень понятна закономерность рассеивания пробоин на мишени и даже создается впечатление, что все выстрелы разделились на 2 группы. На рис. 14в приведена картина на этой же мишени по результатам 100 выстрелов, смоделированных с помощью генератора случайных чисел по координатам точек попадания на мишени рис. 14б. Хорошо видно, что картина распределения точек попадания на мишени начинает проясняться, когда делается большое число выстрелов с одинаковой точкой прицеливания. По этой мишени мы уже с достаточной достоверностью можем просчитать вероятность попадания в круг радиусом г относительно СТП, и также можем определить отклонение СТП от точки прицеливания.

Как правило, реальная картина кучности при совмещении точек попадания на одной мишени содержит значительно больше отрывов, чем расчетное рассеивание точек попадания. Это обусловлено тем, что в реальности стрелок время от времени делает грубые ошибки, приводящие к отрывам, которые не учитываются при моделировании безошибочных выстрелов, отклонение которых от СТП обусловлено только статистическим разбросом.

a)

б)

в)

Рисунок 14. а - случайные реализации 4 реальных групп выстрелов; ■ после сведения пробоин на общую мишень; в) моделирование 100 выстрелов методом Монте-Карло на основе реальных данных из мишеней рисунка (а)

б

Моделирование методом Монте-Карло подходит для изучения многих задач стрельбы, в том числе кучности. Фактически многие результаты спортивной стрельбы в силу естественного ограничения по количеству реальных выстрелов могут быть получены только с помощью моделирования. Для целей моделирования мы генерируем случайные выстрелы в виде координат (х, у) с параметрами рассеивания, определенными по результатам натурной стрельбы с ограниченным числом выстрелов. Моделировать можно как случайные координаты центров пробоин на мишени, по которым в том числе можно рассчитать кучность, так и напрямую случайные цепочки кучности.

Еще один пример. Очень актуальной является задача оценки вероятности попадания в мишень при одном выстреле в будущей стрельбе. Такой анализ важен, например, для охотника, который делает один выстрел, или для спортсмена, который стреляет

по гонгу в соревнованиях на точность попадания с первого раза. Для этого нужно, кроме распределения пробоин вокруг СТП (кучность) смоделировать еще и рассеивание самой точки прицеливания (точность). Тогда точка попадания будет результатом действия двух случайных величин - кучности (экстремального размера группы или среднего радиуса группы относительно СТП) и точности (удаления координаты СТП относительно заданной точки попадания). Представим, что винтовка у нас пристреляна по СТП в центр мишени.

Зная параметры закона распределения пробоин, можно оценить вероятность попадания в круг заданного диаметра с первого выстрела.

На рис. 15 представлены случайные попадания в мишень при единственном дальнем выстреле из 7 попыток на дистанции 750 метров, полученные для одной точки прицеливания для средней кучности 2 МОА (верхний ряд) и 0,2 МОА (нижний ряд).

Рисунок 15. Случайные реализации одиночных выстрелов на 750 метров при кучности винтовки 2 МОА (верхний ряд) и 0,2 МОА (нижний ряд). Внутренний круг диаметром 30 см, внешний круг 1 метр

Представим, что решили добыть марала на дистанции 750 метров и для этого хотим сравнить вероятность попадания в зону поражения с первого выстрела при стрельбе из винтовки с кучностью 2МОА и 0.2 МОА. Марал крупный зверь и зона поражения вроде как большая - 30 сантиметров. Берем винтовку с кучностью 2 МОА. На дистанции 750 метров это соответствует зоне попадания 44 сантиметра, за границы которой пули, конечно, тоже улетают с определенной вероятностью. При кучности 2МОА, определенной по 7 выстрелам, отклонение отдельных выстрелов относительно зоны поражения уже может быть значительно больше 30 сантиметров. Точка прицеливания совмещена с центром мишени круга, целью (зоной поражения) на рис. 15 считаем внутренний круг диаметром 30 сантиметров. Диаметр большого круга 1 метр. При единственном выстреле с кучностью 2 МОА в каждой из семи попыток реализовано одно из двух событий - попадание в зону поражения или промах. Из 7 выстрелов верхнего ряда из винтовки с кучностью 2 МОА только 2 попали в цель - по счастливой случайности на границу зоны попал первый выстрел и в круг попал второй. Остальные 5 выстрелов прошли мимо. То есть, если бы мы, отрегулировав прицел точно на центр мишени, сделали 7 выстрелов,

то попали бы в цель только 2 раза, при этом не попав пять раз подряд. А если бы мы сделали единственный выстрел в идеальных условиях, и он был бы как первый на фото верхнего ряда, он попал бы на границу зоны поражения. Это при идеальном учете ветра и при отсутствии ошибок стрелка. А дальше начинаем добавлять возможные проблемы, которые помешают сделать точный выстрел. Это смещение СТП от центра прицеливания, умение работать с ветром, технические ошибки при производстве выстрела, волнение. В итоге можно суммарную кучность ухудшить в два раза, приняв ее как 4МОА, и координаты точек попадания на верхних мишенях раздвинутся от центра прицеливания тоже в 2 раза. Тогда ни один из 7 выстрелов не попадет в зону поражения. Список проблем можно еще расширить, но даже перечисленных выше уже достаточно, чтобы выйти далеко за зону поражения. Оцениваем при учете всех факторов вероятность попадания в зону поражения при одном выстреле и понимаем, что она достаточно мала, значительно меньше, чем 1/7. А это или промах, или еще хуже подранок. Этот анализ позволяет видеть, что добыть марала на дистанции 750 метров винтовкой с кучностью 2 МОА с первого выстрела не получится, если не надеяться на очень редкую удачу первого выстрела.

Рассмотрим теперь эту же задачу с вариантом винтовки кучностью 0,2 МОА, на которую, например, настраиваются винтовки Sako TRG 42 в калибре .338LM. Моделируем ту же самую ситуацию. В нижнем ряду мишеней на рис. 15 при кучности винтовки 0,2 МОА можно видеть, что все 7 выстрелов с запасом попали в цель. Таким образом попадание в цель во втором случае 100% из 7 выстрелов. Добавляем все другие факторы кучности, ухудшая оценку в два раза, и видим, что при этом ни один выстрел не выходит за зону поражения, вероятность попадания с первого выстрела остается достаточно высокой и добыть марала на дистанции 750 метров с первого выстрела из винтовки Sako TRG 42 в калибре . 338 LM с кучностью 0,2 МОА скорее всего получится.

Этот анализ позволяет увидеть, что при самом неблагоприятном раскладе промахнуться можно в обоих случаях, но вероятность промаха при кучности винтовки 2 МОА недопустимо велика, и стрелять не стоит, в то время как вероятность промаха винтовки с кучностью 0,2 МОА намного меньше, чем вероятность попадания, можно рисковать, и это становится принципиальным моментом для принятия решения.

Эти примеры показывают, что, зная координаты точек попадания, закон распределения пробоин, среднюю кучность винтовки, среднее квадратическое отклонение, ошибки в определении средней кучности и имея инструменты расчета, мы можем проводить анализ, прогнозировать вероятные координаты точек попадания, результаты стрельбы на кучность и управлять кучностью в значительно большем объеме, чем дают только натурные стрельбы. Глубокое знание своей винтовки позволяет правильно организовать тренировочный процесс, быстро ориентироваться в своем месте среди участников соревнований и оценивать вероятные результаты, сравнивая свои показатели с показателями соперников. Эти знания могут с успехом использоваться как для прогноза кучности следующих групп в спорте, так и для оценки вероятности попадания при единственном выстреле на охоте.

Наши примеры мы построили в основном на использовании в качестве показателя кучности экстремального размера группы. Какому показателю кучности из двух нужно отдать предпочтение при оценке кучности - экстремальному размеру группы d или среднему радиусу группы R, вы должны решить сами. Мы бы рекомендовали вести расчет кучности по двум показателям. Со временем выберите тот, который вам больше подходит.

Все расчеты таблиц кучности и графиков зависимостей построены на предположении о нормальном законе распределения пробоин. Однако в области очень высокой кучности распределение может иметь другой закон [7], и под этот закон таблицы кучности будут другие. Но это уже отдельная тема исследований.

На основе проведенных исследований планируется создать программный комплекс с удобным сервисом для стрелков, позволяющим проводить расчеты и моделирование результатов стрельбы, аналогично тому, как это сделали мы.

Выводы

1. В качестве параметров показателя кучности предлагается использовать их среднее значение, среднее квадратическое отклонение, минимальное и максимальное значение кучности в выборке, минимальное и максимальное значение средней кучности, определенное с заданной доверительной вероятностью по координатам точек попадания в мишень.

2. В качестве показателей кучности предлагается использовать при настройке винтовки экстремальный размер группы, а при оценке кучности еще средний радиус точек попадания с определением координат СТП и дрейфа СТП при разных навесках и глубине посадки пули или при переводе прицела с одной мишени на другую. Также предлагается фиксировать и заносить в базу данных координаты всех точек попадания при одной точке прицеливания, в том числе для объединения всех групп в одну общую.

3. Впервые предложен научно обоснованный критерий оптимального количества групп и числа выстрелов в группе для оценки кучности. В качестве такого критерия может быть использована точность оценки среднего значения кучности при стрельбе группами. Возможно, это единственный параметр, который позволяет обосновать количество групп и число выстрелов в группе при оценке кучности. Для выбора количества групп и числа выстрелов в группе, необходимых для оценки кучности с заданной точностью или наоборот для определения точности, соответствующей заданному количеству групп и числу выстрелов в группе, построены таблицы кучности в форме, удобной для практического применения.

4. Знание показателей средней кучности винтовки Б, среднего квадратического отклонения групп бл и среднего квадратического отклонения бв среднего значения кучности позволяет делать прогноз кучности групп и разброса точек попадания по планируемым стрельбам на основе имеющейся информации о координатах точек попадания и показателях кучности винтовки. При известных параметрах Л, Б, б л и бв, или Я, Яср, бя и бЯср а также других параметрах законов распределения пробоин на мишени решаются вопросы прогнозирования вероятных значений размеров групп. По результатам обработки кучности групп и пробоин на мишени можно также восстановить закон и параметры распределения пробоин и прогнозировать вероятные координаты точек попадания на мишени и вероятность попадания в цель радиусом г.

№ 4 (121)

UNIVERSUM:

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

• 7universum.com

апрель, 2024 г.

Список литературы:

1. Богословский В.Н., Кадомкин В.В. Метод оценки кучности нарезного гражданского оружия // Universum: технические науки. - 2022.- № 11(104). С. 34-46.

2. Богословский В.Н., Кадомкин В.В., Жуков И.Г. Методы настройки спортивной винтовки на экстремальную кучность. Теория и практика. // Universum: технические науки. - 2022.-№12(105). С. 41-53.

3. Богословский В.Н., Кадомкин В.В., Жуков И.Г. Настройка винтовки калибра 6.5х47 на экстремальную кучность в условиях миража и других мешающих факторов. // Universum: технические науки. - 2022.- № 4(109). С. 4-14.

4. Богословский В.Н., Кадомкин В.В., Жуков И.Г. Показатели кучности нарезного гражданского оружия // Universum: технические науки. - 2022.-№11(104). С. 4-14.

5. Богословский В.Н., Кадомкин В.В., Жуков И.Г. Математические модели, описывающие закономерности рассеивания пробоин и показатели кучности при спортивной стрельбе по мишеням. Аналитический обзор. // Universum: технические науки. - 2024.- № 4(121_3). С. 45-62.

6. Богословский В.Н., Кадомкин В.В., Жуков И.Г. Показатели кучности спортивной и охотничьей винтовки. Аналитический обзор. // Universum: технические науки. - 2024.-№4 (121_3). С. 29-44.

7. Богословский В.Н., Кадомкин В.В., Жуков И.Г. Закономерность распределения пробоин на мишени при стрельбе из спортивной высокоточной винтовки // Universum: технические науки. - 2022.-№ 11(104). с. 24-31.

8. Записки Флинта: два, три, четыре, пять...// Оружейный форум [Электронный ресурс] URL https://guns.allzip.Org/topic/2/483355.html. (Дата обращения 20.10.2022).

9. Игорь Жуков. «Идеальный выстрел - это просто!» - Москва. Издание «Издательство книг ком». 2023, 416 с

10. Обобщенное распределение экстремальных значений [Электронный ресурс] URL https://wikipedia.ru (Дата обращения 20.10.2022).

11. Распределение Рэлея. https://translated.turbopages.org/

12. Центральная предельная теорема теории вероятностей // Математический форум Math Help Planet [Электронный ресурс] URL mathhelpplanet.com. (Дата обращения: 20.10.2022).

13. Ballistic Accuracy Classification [Электронный ресурс] URL https://ballistipedia.com (Дата обращения 14.03.2024).

14. [Электронный ресурс] URL http://ballistipedia.com (Дата обращения 20.10.2022).

15. Bryan Litz. Accuracy and Precision for Long Range Shooting: A Practical Guide for Riflemen. Applied Ballistics LLC, 2011.-578 p.