Оценка испаряемости и увлажнения почвы на базе градиентных теплобалансовых наблюдений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 551.584.1

Вестник СПбГУ. Сер. 7. 2013. Вып. 1

И. Н. Русин

ОЦЕНКА ИСПАРЯЕМОСТИ И УВЛАЖНЕНИЯ ПОЧВЫ НА БАЗЕ ГРАДИЕНТНЫХ ТЕПЛОБАЛАНСОВЫХ НАБЛЮДЕНИЙ

Градиентные наблюдения представляют собой важнейший источник данных для массовых расчетов турбулентных потоков тепла и влаги в приземном слое атмосферы. Эти наблюдения легко могут быть организованы, обеспечены методическим руководством [1] и широко применяются в стационарных и экспедиционных исследованиях взаимодействия атмосферы с подстилающей поверхностью. На их основе можно получать значения турбулентных потоков тепла и влаги, которые входят в уравнение теплового баланса подстилающей поверхности:

P + LE = R. (1)

Здесь Р — турбулентный поток тепла, LE — затраты тепла на испарение, Я — разность между радиационным балансом и потоком тепла в почву. Последняя величина далее в тексте именуется просто «радиационный баланс», поскольку считается известной. (С методом расчета потока тепла в почву можно ознакомиться по работе [2].) Это допустимо, так как целью работы является получение значений испаряемости и увлажнения почвы на базе метеорологических наблюдений за разностями температуры, влажности и скорости ветра на двух стандартных высотах (2 и 0,5 м) в приземном слое.

Актуальность этой цели обусловлена, во-первых, тем, что указанный методический документ был опубликован более тридцати лет назад, а за это время достигнут значительный прогресс в теории приземного слоя атмосферы. Во-вторых, обогатилась техника измерений и возросла их компьютерная оснащенность в стационарных и экспедиционных наблюдениях. Созданы предпосылки к тому, чтобы в реальном времени преобразовывать наблюдаемые приборами значения и получать достоверные оценки важных метеорологических характеристик, которые наблюдать непосредственно либо невозможно, либо очень дорого. В-третьих, до настоящего времени не было возможности проводить в ходе градиентных наблюдений оценки текущих значений таких важных характеристик, как испаряемость и увлажнение почвы.

Метод теплового баланса для расчетов турбулентных потоков тепла и влаги в приземном слое воздуха базируется на использовании формул [1]:

В 1

Р = Я—, LE = Я-

1 + Во 1 + В0

где

В0 = Р = -Д—, а = 0,622'L = 1,55 °С/гПа при р=1000 гПа. (2)

LE а-Де Ср-р

Русин Игорь Николаевич — д-р геогр. наук, профессор, Санкт-Петербургский государственный университет; е-ша1: inrusin@mail.ru

© И. Н.Русин,2013

В этих формулах через В0 обозначено отношение Боуэна, выраженное через потоки и через разности температур (Дг) и влажностей (Де) на двух уровнях наблюдений в предположении, что турбулентные числа Прандтля и Шмидта равны. Легко проверить, что значения Р и LE , полученные по формулам (2), удовлетворяют уравнению (1).

Несмотря на простоту, метод теплового баланса имеет два существенных недостатка. Во-первых, он не применим в промежутки времени, когда радиационный баланс близок к нулю. Во-вторых, он теряет точность, когда разности температуры или влажности между уровнями оказываются меньше 0,5°С или 0,3 гПа. В обоих случаях следует использовать для расчета турбулентных потоков другие методы, которые здесь не рассматриваются.

Относительная погрешность значений потоков, вычисленных по формулам (2), считая, что радиационный баланс известен точно, может быть представлена в виде:

5Р = 5 1 + 2В0 5ЬВ = 5 где = 25г + 25е

Р Во 1 + Во , LE Во 1 + Во, Во Дг Де ' ()

Здесь б — это абсолютная погрешность величины и учтено, что абсолютная погрешность разностей значений одной и той же величины равна удвоенному значению абсолютных погрешностей самих этих величин.

Абсолютная погрешность измерений температуры известна (бг = 0,1 °С). Абсолютная погрешность измерений парциального давления водяного пара зависит от температуры и влажности. Эту зависимость нетрудно получить для психрометрического метода измерений, используя психрометрическое уравнение в форме равенства эквивалентных температур (ге), вычисленных по температуре и влажности реального воздуха (г, е) и температуре смоченного термометра (гс), (см., например, [3]):

ге = г + а • е =гс + а • Е(гс). (4)

Следует отметить, что уравнение (4) выражает термодинамическое условие сохранения энтальпии в процессе испарения, а не свойство измерительного прибора. Здесь и далее для вычисления значения парциального давления насыщенного водяного пара Е(г) и его производной по температуре используется формула Болтона [4]:

Е(г) = 6,112*ехр( 17,67£ 1, с = 1йЕ(1 = 0,0726(1 -0,0082• г). (5)

Я 243,5 + г) Ей У '

Хотя эти формулы достаточно точны в диапазоне температур от -35 ° до 35 °С, их можно при необходимости заменить на формулу Гоффа—Греча, примененную для построения психрометрических таблиц.

Найдя полный дифференциал йе из (4) и (5), перейдя к абсолютным погрешностям и принимая, что абсолютная погрешность измерения температур воздуха и смоченного термометра равны, можно получить оценку абсолютной погрешности измерения парциального давления пара психрометрическим методом в зависимости от парциального давления пара или от температуры и относительной влажности (/):

5е =

2

— + с • е а

5г = [1,292 + 0,726 (1 -0,0082• г)/-Е(г)]5£. (6)

На основе формул (3) и (6) можно оценить относительную погрешность значений числа В0, возникающую при его вычислении по разностям температур и влажностей на уровнях измерений. Она выражается формулой

8Ва _ 2Ы 25е _ 2Ы В М Ае М

1 +

— + с ■ е

Аf Ае

_ — Г1+(1

+ а ■ с ■ е

)■ Во

(7)

С помощью формул (7) и (3) можно получить оценки минимально возможной погрешности значений турбулентных потоков Р и LE при градиентных наблюдениях. Минимальными они оказываются потому, что в процессе обработки наблюдатель обычно вручную переходит от значений £ и ^ к значениям е, используя психрометрические таблицы. Этот переход увеличивает погрешность Де, так как сопровождается ошибками округления и интерполяции.

В табл. 1 приведены примеры относительных погрешностей отношения Боуэна и турбулентных потоков для диапазона наиболее часто встречающихся в умеренных широтах значений разностей температур (Д£) и влажностей (Де) на уровнях наблюдений 2 и 0,5 м при относительной влажности 70%. Нетрудно убедиться, что расчет потоков в указанных условиях дает приемлемые по точности результаты только если значения Д£ и Де по модулю превосходят 0,5оС и 0,3 гПа. Значения разностей, встречающиеся на практике, обычно меньше.

Таблица 1. Относительные погрешности (%) отношения Боуэна (Во), потока тепла (Р), затрат тепла на испарение (ЬЕ). Рассчитанные в зависимости от модулей разностей температур А£ (0С) и парциальных давлений пара Ае (гПа).Форма представления величины в клетке: «Во/Р/ЬЕ ».

Де = 0,1 Де = 0,2 Де = 0,3 Де = 0,4 D Де = 0,6 Де = 0,7

0,1 231/322/140 166/206/126 144/170/118 133/151/115 126/140/112 122/134/110 119/129/109

0,2 182/285/79 116/162/70 94/122/66 83/103/63 76/92/60 72/85/59 69/80/58

0,3 168/279/57 100/149/51 78/109/47 67/89/45 60/77/43 56/70/42 53/65/41

0,4 162/279/45 93/145/41 71/104/38 59/82/36 52/70/34 48/62/34 45/57/33

0,5 160/282/38 90/146/34 67/102/32 55/80/30 48/67/29 43/58/28 40/53/27

0,6 162/291/33 89/148/30 65/102/28 53/79/27 46/66/26 41/57/25 37/50/24

0,7 166/302/30 90/152/28 65/104/26 52/80/24 45/66/24 40/57/23 36/50/22

Можно добиться того, чтобы погрешность метода теплового баланса не превышала минимально возможную. Для этого следует выразить отношение Боуэна через разность температур смоченного термометра и исключить при проведении обработки градиентных наблюдений необходимость использования психрометрических таблиц. Для этого следует записать уравнение смоченного термометра (4) для уровней измерений 1 и 2 и, вычитая из одного другое, а затем используя соотношения (4) и(5), получить:

А£ + аАе _А£с + аАЕ (£с )_А£с [1 + а ■ с ■ Е (с)]. (8)

Равенство (8) позволяет вывести формулу для отношения Боуэна, содержащую только температуры сухого и смоченного термометра:

1 аДе Дг г , ,-л

— =-= —с-1 1 + а• с• Е(гс) -1

Во дг дг1 Ус']

Хотя погрешности, возникающие при оценке отношения Боуэна, затрудняют его использование в расчетах потоков, одно его свойство позволяет получить метод для оценки испаряемости и степени увлажнения почвы по данным градиентных наблюдений. В приземном слое значения турбулентных потоков не зависят от высоты. Поскольку, согласно определению (2), отношение Боуэна зависит от этих потоков, оно также должно быть постоянно по высоте. Учитывая это и используя две пары уровней измерений, которые обозначим индексами 0 — для уровня подстилающей поверхности, 1 — для ближайшего к земле уровня (0,5 м), 2 — для следующего по высоте уровня (2 м), можем легко доказать, что

Это соотношение позволяет определить влажность на уровне измерения температуры поверхности почвы г0 по формуле:

Температуру поверхности почвы измеряют во время производства наблюдений и в настоящее время все шире используют при проведении расчетов теплового баланса по данным стандартных наблюдений [5]. Ее значение можно проконтролировать или, в случае отсутствия наблюдений на почве, восстановить, например, используя данные градиентных наблюдений за ветром и соотношение, выведенное в работе [6] на базе к-теории турбулентности:

Если известны г0 и е0, то появляется возможность определить испаряемость LE0 и показатель увлажнения поверхностного слоя почвы н>, введенные М. И. Будыко в работе [7]. Для этого достаточно допустить, что если бы подстилающая поверхность была полностью увлажнена при сохранении свойств воздуха, находящегося над ней, то температура такой поверхности должна была бы стать равной температуре смоченного термометра, помещенного в воздух с температурой г0 и парциальным давлением водяного пара е0.

Вычислить температуру такого смоченного термометра можно, решив относительно гс уравнение (4). Несмотря на то, что это уравнение существенно нелинейно, оно позволяет организовать быстро сходящуюся итерационную процедуру решения методом Ньютона. С использованием формул (5) эту процедуру можно записать в виде рекуррентного соотношения:

1 = а (е1 - е0) = а (е2 - е1) __ ег - е0 = гх - г(

(10)

Во г1 г0 г2 г1 е2 е1 г2 г1

(11)

(12)

г(г+1) = г(г) - гс(0> + а • Е(г(0)) - ге

с0 =гс0 - 1 + с • а • Е(г(0))

при г(0) = г0, где ге0 = г0 + а • е0.

.(0) =

(13)

Считая, что полностью увлажненная подстилающая поверхность примет температуру смоченного термометра, вычисленную по формуле (13), можно получить значение отношения Боуэна, которое возникло бы, если бы поверхность земли была полностью увлажнена (Bo0), а температура и влажность приземного слоя не изменились бы и совпадали бы с данными наблюдений. Для этого можно использовать формулу

B0o = (Е* )). (14)

а •(е2 - Е (гс0 ))

Здесь через гс0 обозначена температура смоченного термометра, вычисленная по г0 и е0 с помощью (14), а г2 и е2 — значения, наблюдавшиеся на уровне 2.

Используя это значение можно по методу теплового баланса (2) получить испаряемость ^Е0) как испарение с гипотетической предельно увлажненной поверхности при наблюдавшемся радиационном балансе, а также характеристику увлажнения почвы (м) по определению Будыко [7]. Для этого нужно применить формулы:

1 LE 1 + Во0

LE0 = Я-, м =-=-0. (15)

0 1 + Во0 LE0 1 + Во

Поскольку испаряемость не наблюдается, а представляет собой расчетную величину, то для контроля правильности предлагаемого подхода следует провести параллельные расчеты по другому методу. В настоящее время значение испаряемости по данным наблюдений принято получать по методу Пенмана [8]. Сложность проверки в том, что результаты расчетов по данным наблюдений сильно чувствительны к погрешности в оценке числа Боуэна. Поэтому для проведения контрольных расчетов необходимые данные были смоделированы численно, что гарантирует отсутствие погрешностей измерения.

Техника генерации данных была такова. Значения температуры, относительной влажности и скорости ветра на уровне стандартных метеорологических наблюдений 2 м были заданы. Температуры г2 выбраны в диапазоне от 5 до 35 °С через пять градусов. Для каждого значения температуры были получены значения е2 по относительным влажностям 25%, 45%, 65% и 85%. Затем для каждого набора {г2, е2} сгенерированы по сто случайных значений разностей температур (Дг), влажностей (Де) и скоростей ветра (Дм) на уровнях наблюдения 2 м и 0,5 м. Разность температур считалась нормально распределенной случайной величиной с нулевым математическим ожиданием и средним квадратичным отклонением 2 °С. Разность влажностей при исследовании процесса испарения следует считать отрицательной, а разность скоростей ветра — положительной. Поэтому для их генерации использованы случайные величины, имеющие гамма-распределение, параметры которого были подобраны так, чтобы для влажности математическое ожидание |Де| было равно 1 гПа, а среднее квадратичное отклонение 0,75 гПа. Для скорости ветра математическое ожидание Дм было равно 1 м/с, а среднее квадратичное отклонение 0,75 м/с. Таким образом, для каждого набора {г2, е2} было получено множество вариантов по числу Ричардсона и отношению Боуэна.

Для каждого случая {г2, е2, Дг, Де, Дм} были вычислены: масштабный параметр Мо-нина-Обухова L, безразмерные функции подобия, коэффициенты турбулентного сопротивления и теплопередачи, динамическая скорость трения, турбулентный поток тепла и затраты тепла на испарение, а по ним и число Боуэна. Все расчеты проведены по известным формулам. С конкретным видом формул, примененных при выполнении

этой работы, можно ознакомиться в работе [9]. В данном цикле расчетов необходимо было задать параметр шероховатости. Было принято его значение 0,02 м.

Предполагая, что выполняется уравнение теплового баланса (1), путем суммирования рассчитанных значений турбулентных потоков тепла Р и влаги LE, для каждого случая получено значение радиационного баланса Я. Затем на основе соотношения между радиационным балансом поверхности и разностью температур земля-уровень стандартных наблюдений, предложенного в работе [10], была вычислена разность (Ь2-Ь0) и далее значение Ь0. Учитывая фактор случайности разностей АЬ, Ав, Аи и для сохранения метеорологического смысла, при моделировании данных отбракованы случаи, когда знак разности (Ь2-Ь0) не совпадал со знаком АЬ. Дополнительным контролем правильности характера смоделированных данных служило вычисляемое для каждого случая значение затрат тепла на испарение по формуле Хольтслага [10].

На рис.1 приведен пример результатов расчета по формулам (15). Дополнительно на рисунок вынесены значения затрат тепла на испарения, рассчитанные через масштаб L и рассчитанные по формуле Хольстлага.

1000

Рис. 1. Пример результатов расчета затрат тепла на испарение по методу Хольтслага (IЕН), через коэффициент теплопередачи ^Е) и испаряемости ^Ер00) и увлажненности почвы, умноженной на 1000, по формулам (15). По оси абсцисс — отношение радиационного баланса к солнечной постоянной (/0=1370 Вт/м2). По оси ординат — значения затрат тепла в Вт/м2 или значение увлажненности в %. Показаны значения, соответствующие набору данных на стандартном уровне {Ь2 = 25 °С, /2 = 65%}.

Сравнение значений LE и LEН позволяет считать, что смоделированные значения физически реалистичны, а также указывает на то, что методика Хольстлага недостаточно сильно реагирует на изменчивость метеорологических условий. Хотя последнее может быть следствием как раз того, что в расчете по этой формуле применяется усредненная относительная увлажненность почвы. Из рис. 1 видно, что изменчивость относительной увлажненности поверхности почвы может быть очень велика, даже в суточном ходе.

Сгенерированные данные служили основой для параллельных вычислений испаряемости по формуле (15) и по методу Пенмана [8]. Полезно напомнить, что испаряемость по Пенману ^Ер) состоит из двух частей:

LEp = LEp1 + LEp2,

1ЕЕР1 = LEp2 =—-— LEa, у = А = ^оо)-^ (16)

А + у 2 у + А 0,622 •L г00-г2

Величина LEp1 — это возможное испарение с открытой водной поверхности при заданных атмосферных условиях. Величина LEp2 моделирует осушающее воздействие воздуха. Она вычисляется так же, как принято вычислять затраты тепла на испарение, но вместо разностей влажностей на уровнях градиентных наблюдений Де используется дефицит влажности атмосферы на уровне стандартных наблюдений (Е(г2)-е2).

На рис. 2 приведен пример результатов расчета испаряемостей по формуле (15) и по методу Пенмана. Там же приведены и обе составляющие испаряемости в методе Пенмана. Обращает на себя внимание то, что значения каждой из этих составляющих примерно равны значению испаряемости, вычисленной по формуле (15). Из этого следует, что метод Пенмана почти вдвое завышает значение испаряемости. Действительно, возможное испарение с водной поверхности LEp1 (см. рис. 2) немного меньше, чем LEp00. Это вполне соответствует указанию Братсерта [8], что испаряемость должна быть примерно в 1,27 раз больше испарения с открытой воды. По результатам расчетов отношение LEp00 /LEp1 в среднем равно 1,3. Таким образом, уже LEp1 близко к потенциальному испарению с полностью увлажненной поверхности при атмосферных условиях. Значение LEp2 в большинстве случаев превышает значение LEp00. Это понятно, потому что обычно разность влажностей между уровнями 2 и 0,5 м значительно меньше, чем дефицит влажности на уровне 2 м. Это значит, что в методе Пенмана к величине

Рис. 2. Пример результатов расчета испаряемости по методу Пенмана (ЬЕр00), ее составляющих (1ЕрО и (ЬЕр2), а также испаряемости по формуле (15) (1Е00). По оси абсцисс — отношение радиационного баланса к солнечной постоянной (1о = 1370 вт/м2). По оси ординат значения затрат тепла в вт/м2. Показаны значения, соответствующие набору данных на стандартном уровне {г2=25 °С, /2 = 65%}.

LEp1, которая почти равна испаряемости, добавляется величина LEp2, которая больше испаряемости. Так что, вероятно, при оценках испаряемости по методу Пенмана происходит ее почти двукратное завышение. Однако использовать для оценки испаряемости только LEp1 также не представляется корректным, поскольку она реагирует более всего на значение радиационного баланса, тогда как рис. 2 показывает, что значения LEp00 характеризуются значительно большей, чем LEp1, изменчивостью относительно координаты R/Io, т. е. отражают влияние и других метеорологических факторов.

Результаты, аналогичные приведенным на рис. 1 и 2, получены и для остальных наборов температур и влажностей на стандартном уровне наблюдений. Резюмируя сказанное, можно сделать вывод, что с помощью формулы (15) данные стандартных градиентных наблюдений могут быть дополнены оценками испаряемости и влажности почвы вблизи подстилающей поверхности. Это полезная информация, которая позволит в экспедиционных условиях приступить к широкомасштабному сбору данных о влиянии изменчивости свойств подстилающей поверхности на микроклимат. Конечно, предложенный подход нуждается в экспериментальной проверке. Следует указать, что пока не предложено способа для оценки влажности воздуха на уровне шероховатости с помощью метеорологических данных.

Литература

1. Руководство по теплобалансовым наблюдениям. Л.: Гидрометеоиздат, 1977. 146 с.

2. Русин И. Н., Куканова Е. А. Оценка в реальном времени потока тепла в почву по данным почвенных термометров // Научный диалог. 2012. № 7: Естествознание и экология. С. 98-112. URL: http://www.nauka-dialog.ru/nauchnyj_dialog_vypusk_7_estestvoznanie_i_ekologija (дата обращения: 15.08.2012).

3. Роджерс Р. Р. Краткий курс физики облаков. Л.: Гидрометеоиздат, 1979. 231 с.

4. Bolton D. The computation of Equivalent Potential Temperature // Monthly Weather Review, 1980. Vol. 108. P. 1046-1053.

5. Groisman P. Ya., Genikhovich E. L. Assessing surface-atmosphere interactions using former Soviet Union standard meteorological network data. Part I // Method. J. Climate, 1997. Vol. 10. P. 2154-2183.

6. Палагин Э. Г. Определение температуры подстилающей поверхности с помощью градиентных наблюдений // Тр. Лениградского Гидрометеорологического института, 1975. Вып. 52. С. 49-53.

7. Будыко М. И. Тепловой баланс земной поверхности. Л.: Гидрометеоиздат, 1956. 255 с.

8. Братсерт У. Х. Испарение в природе. Л.: Гидрометеоиздат, 1980. 351 с.

9. Русин И. Н. Оценка масштаба Монина—Обухова по данным градиентных наблюдений с учетом выполнения уравнения теплового баланса поверхности // Ученые записки Российского гос. гидрометеорологического университета. 2011, № 21. С. 74-85.

10. Holtslag A. M., van Ulden A. P. A simple scheme for daytime estimates of the surface fluxes from routine weather data // J. Climate Appl. Meteorol. 1983. Vol. 22. P. 517-529.

Статья поступила в редакцию 9 октября 2012 г.