CC BY
24
АВТОМАТИЗАЦИЯ И УПРАВЛЕНИЕ
УДК 615.47
А.В. Власов, А.А. Игнатьев
ОЦЕНКА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ В ОПЕРАТОРАХ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Поставлена задача расчета электромагнитных полей в операторах систем с распределенными параметрами.
Электромагнитное поле, операторы систем с распределенными параметрами
A.V. Vlasov, A.A. Ignatiev
ESTIMATION OF ELECTROMAGNETIC FIELDS IN OPERATORS OF SYSTEMS WITH THE DISTRIBUTED PARAMETERS
The problem of calculation of electromagnetic fields in operators of systems with the distributed parameters is put.
An electromagnetic field, operators of systems with the distributed parameters
_ А
Вектор напряженности магнитного поля H = 1— означает, что на расстоянии 1 метр
м
от тонкого провода, по которому протекает ток 1 А, стрелка компаса повернется туда, куда направлен этот самый вектор H . Эта теория «дальнодействия» приучила нас к тому, что есть провод с током и есть направления поворота стрелки компаса при его перемещении в пространстве вокруг провода с током. Если зафиксировать эти повороты стрелки, то получим поле векторов H и, соответственно, поле векторов
в = m ¡H, (1)
— -7 Гн
где B, Тл - магнитная индукция магнитного поля; ¡m0 = 4р -10--магнитная постоянная
м
(магнитная проницаемость вакуума); ¡m - относительная магнитная проницаемость среды.
Основой расчетов электромагнитных полей является один из постулатов Максвелла [2]:
rotB = Vx B = m0j, (2)
J й А
где J - вектор поверхностной плотности тока, —j .
м
Перспектива получения аналитического решения реальна только для известных координатных систем, поэтому распишем уравнение (2) в этих системах. Декартовы координаты [3]:
__дБ дБ дБ дБ дБ дБ — —
УхБ(х, у, г) = уо1Вх, у, г) = +(-х +(-^ = д7(х У, г) •
ду д д дх дх ду
Цилиндрические координаты [3]:
— — 1 дБ дБ _ дБ дБ -
Ух Б(р,ф, г) = гоБ(р,ф, ¿) = (- ф-ф + (-Г +
р дф дг дг др
др
Сферические координаты [3]:
Ух Б(г, в, ф) = гоБ(г, в, ф) =
~д(гВв)
1
Г БШв
д(Вф айв)
дв
в дф
д(рВф) дБр дф
1 дБГ
К = т 3 (р,ф, г)
1
'г + -
Г
д(ГБф)
Бшв дф дг
'в +
(3)
(4)
(5)
1
+-
Г
дг
Б ' дв
'ф = т з (Г,в ,ф)
Эти дифференциальные уравнения в частных производных необходимо решать, чтобы определить векторные поля магнитной индукции Б и напряженности Н . Как уже говорилось выше, существует много методов решения и все их объединяет отказ от физики в процессе решения задачи.
Идея заключается в том, что для решения подобных электротехнических задач использовать операторы систем с распределенными параметрами [4-6]. Структурная теория систем с распределенными параметрами (СРП) основана на том, что если есть функция возмущения в любом континууме пространства, то в каждом континууме того же пространства будет возникать функция отклика как реакция на возмущение. Если существует поле континуальных возмущений, то функция отклика в каждом континууме того же пространства будет отыскиваться по принципу суперпозиции. Это и есть реализация метода решения, называемого методом источников [7]. Уравнение (2) и его представление в различных системах координат (3)-(5) в классических уравнениях математической физики не рассматривается [8]. Однако модификации этого уравнения появились позже и достаточно широко представлены в [9].
По классификации [5] уравнение (2) и его и его представление в различных системах координат (3)-(5) относятся к группе (3.0.1) - где 3 - размерность пространственной области (максимальная); 0 - наивысший порядок производных искомой функции по независимой временной переменной г; 1 - наивысший порядок производных искомой функции по пространственным переменным г.
В справочнике [5] приведены 500 краевых задач уравнений с полными и частными производными, а также операторы соответствующих СРП: функция Грина (импульсная переходная функция), нормирующая функция, континуальная передаточная функция. Приведем из [5] основные понятия операторной теории СРП.
Основной характеристикой СРП является континуальная передаточная функция. Она показывает отношение выходной функции к входной (по Лапласу) в привязке к конкретной точке.
В искомой задаче выходная функция будет обозначаться буквой Q(x, г), где х - трехмерная переменная в декартовых, цилиндрических и сферических координатах; /(.х, г) -входная координата по среде, зависящая от трехмерной координаты х и времени г.
Основное уравнение задачи записывается в виде
I (д (х, г ))= / (х, г); х е В, г > г й,
где I - так называемый оператор дифференциального уравнения - это формула преобразования выходной величины д.
В каждой задаче определяются граничные или краевые условия
Г (д (х, г ))= g (х, г); х е В, г > г^
где Г - оператор граничных или краевых условий; g - входное воздействие на границе в каждый момент времени.
Для того, чтобы решить задачу во всей области координат, необходимо знать ее значения в каждой точке по границе области. Начальные условия для задачи записываются в виде
N (б (х, X ))= б 0 (х ); X е В, X = X 0,
где N - оператор начальных условий; б0 (х) - значение искомой функции в заданный момент времени Х0 в каждой точке пространства х.
Получили систему
1 (б(х,X))= /(х,X);х е В,X > Х0;
Г (б (х, X )) = g (х, X); х е В, X > X(6) N (б (х, X )) = б о (х ); х е В, X = X о.
Необходимо знать: значение функции на границе в каждый момент времени; значение в каждой точке области в момент времени X0.
В указанном виде (6) система практически неразрешима. Вводится в рассмотрение так называемая стандартная форма записи (6). Она подразумевает нулевые граничные и начальные условия. Ее вид:
' I (б (х, X ))= w (х, X); х е В , X > X 0;
< Г (б (х, X ))= 0; х е В , X > X 0; (7)
N (б (х, X))= 0; х е В , X = X0.
где w(x X) - стандартизующая функция.
(О (х, X)= / (х, X) при Г=0, N=0 - входное воздействие на систему при нулевых граничных и начальных условиях и первая из трех основных функций, которая понадобится при решении (из справочника). Второй функцией является функция Грина (импульсная переходная функция, функция влияния, функция источника, функция веса).
Функцией Грина называется функция источника, которая равна выходному сигналу О (х, X )= б (х, X), при / (х, X )= 8 (х - X >5 (X - т ), где 8 (х - X) - пространственная 5 - функция по координатам х, у, г; 8 (X - т) - 5 - функция по
времени; х - координаты входного возмущения; X - координаты точки отклика от входного возмущения.
С учетом этого стандартная задача (7) перепишется в виде
[I(О(х,X,X,т))= 8(х - X)5(X - т);
Г (О (х, X, X, т ))= 0; (8)
N (О (х, X, X, т ))= 0.
где функция Грина от О(х, X) берется из справочника и является второй основной характеристикой.
Зная эти две характеристики, можно найти выходную функцию по следующему выражению:
X
б (х, X )=//б (х, X, X, т ( (X, т У ^ т (9)
Если задача статическая, то есть отсутствует время X, то ее можно записать в виде:
I (б (х ))= / (х ), х е В ; Г (б (х ))= g (х ), х е а В ; N ° 0.
(10)
и В
Стандартная форма записи будет выглядеть в виде
[ I (б (х )) = (О (х ), х е В ;
1 / / чч (11)
[ Г (б (х ))= 0, х е а В.
при однородных (нулевых) граничных условиях.
Функция Грина такой задачи удовлетворяет системе уравнений:
'Ш:Шх- *),х е В •* е В; (12)
где х - координаты возмущения; X - координаты отклика.
Решение задачи в этом случае выглядит следующим образом:
б (х )={ О (х^ ((X . (13)
В
Бывают задачи, в которых отсутствуют пространственные координаты, т.е. процесс чисто временной. В таком случае задача записывается следующим образом:
I(б ()) = I ()X > X0; (14)
N (б (X))= б0.
Стандартная форма записи:
Функция Грина:
I(б ( ))= ((X )X > X0; (15)
N (б (X ))= 0.
I(О (^ т ))= 8 (X - т ) (16)
N (О (X, т ))= 0.
Решение такой задачи имеет вид:
б (X )= {О (X, т ( (X > т . (17)
X 0
Таким образом, для решения этой задачи принципиально достаточно трех формул (9), (13), (17), то есть по двум справочным функциям (нормирующей и Грина) можно всегда определить выходную функцию б.
Для цели управления и синтеза системы управления, исходя из ТАУ, необходимо знать передаточную функцию. В теории СРП вводится понятие так называемой континуальной передаточной функции, т.е. точечной передаточной функции, в пределах области В, когда возмущение подается на среду в точке х функциями: 8 (х - X ) и 8 (X - т), а реакция регистрируется в точке X.
Континуальная передаточная функция выражается следующим образом:
¥
Ж (х, X, р )={ е - Р • О (х, X, X . (18)
0
По сути, континуальная передаточная функция - это преобразование Лапласа функции Грина, т.е. при этих функциях континуальная передаточная функция является производной и всегда может определиться по функции Грина.
Таким образом, для решения задачи по СРП необходимо знать две функции: нормирующую функцию Грина.
Теория СРП включает так называемый структурный метод ТАУ, который подразумевает операции с распределенными блоками: блоки соединяются последовательно; блоки соединяются параллельно; включение второго блока в обратную связь.
В связи с этим вводится понятие операторного изображения выходной величины. В теории распределенных блоков выходная величина определяется следующим образом:
0 (х, p)=| W (х,X, p, pУх , (19)
D
где 0 (х, р) - изображение по Лапласу выходной величины решаемой задачи; W (с, X, р) -континуальная передаточная функция; ^(х, р) - изображение по Лапласу нормирующей функции.
Если удается из нормирующей функции (х, р) выделить в явном виде компоненту входной координаты с помощью специальных средств или методов
^(х, р )= (X , р )■ / (X , р ) , (20)
то уравнение (19) перепишется в виде
0 (х, р )=( Ж (х, X, р )■ Ы (х, р )■ / (X, р Ух (21)
и
С помощью двух способов (коэффициент разложения и коэффициент приближения), по возможности вынося входное возмущение (по Лапласу) за знак интегрирования, получим
Ж (х, р )= 0 Ь р) = I Ж (х.
I
(x, p ) = fxp = I w (x, x, p )■ w 1 (x, p )dX (22)
Полученное выражение (22) - отношение изображения по Лапласу выходной величины к изображению по Лапласу входного возмущения, как интеграл по области D континуальных функций, называется интегральной передаточной функцией [9, 10].
Дадим анализ [5] по содержанию краевых задач по уравнению (2) и его и его представлений в различных системах координат (3)-(5).
Группа (1.0.1)
bo( x) + bi(x)Q( x) = f (x) (23)
dx
Группа (1.1.1)
Приводится 4 уравнения вида (с различными начальными и граничными условиями):
a ^+b + cQ( x, t) = f (x, t) (24)
dt dx
Это позволяет, во-первых, проверить правильность предложенного метода расчета магнитных полей. Задача одномерная, но для оценки метода расчета это как раз то, что требуется без лишних временных потерь на решение задачи. Оценочным критерием точности моделирования будет, естественно численное моделирование в пакетах Mathlab, Femlab. Во-вторых, справочник [5] был издан в 1979 году и, естественно, даже на тот момент времени не мог включить все решенные краевые задачи. Прошло 30 лет и велика вероятность того, что появились новые аналитические решения. Так что надо искать решения краевых задач групп (3.0.1), (3.1.1), (2.0.1), (2.1.1), (1.0.1), (1.1.1).
Возвращаясь к уравнению вида (24) из [5] (четвертое уравнение из группы), будем
иметь:
a ^O + b ЩЛ + cQ( x, t) = f (x, t) (24)
dt dx
б(х,0) = &(*); Q(0,t) = g(t); X > 0; г > 0; а > 0; Ь > 0; с > 0. Нормирующая функция:
w( X, г) = / (X, г) + а( х)б0 (Х)8 (г) + Ь8 (х) g (г)
Функция Грина:
G( х, X, г) = 1( х - X^ ехр Ь
Континуальная передаточная функция:
Ж (х, X, р) = 1( X - X )—ехр Ь
-Их) dх 8 1 -1а(х) dх
_ 1Ь _ _ 1 Ь _
1 х
— [ [а(х)р + с(х)]аХ А *
(25).
(26)
(27)
[-гс(х) dхl 8 1- 1а(х) <ъ\
_1Ь _ 1Ь _
(28)
Сопоставляя (2) и (24), будем иметь:
/ (х, г) = ; б (х, г) = Бх (х, г). В соответствии с (9) получим:
г х г х —
Бх (х,г) = ЦО(х,Х ,г) • w(х,г)dXdт = ||1(х-X)-ехр г0 X г0 X Ь _
• [/ (х, г) + а(х)б0 (х)8 (г)+Ь8 (х)g(г)]dXdт В данном случае принцип суперпозиции соблюдается интегрированием по области изменения переменной х, т.е. источник с током в каждой точке х создает магнитную индукцию Бх (х, г) .
Если же нас будет интересовать функция отклика возмущения / (х, г) = т0У , помещенного в точку X , мы получим ее в точке х по выражению континуальной передаточной функции (27):
Ж (х, X, р) = 1( х - X)—ехр Ь
1 х
— 1 [а(х)р + с(х)]йх Ь
Это все, что требуется для нахождения картины поля.
ЛИТЕРАТУРА
1. Современные проблемы электрофизики и электрогидродинамики жидкостей: сб. докл. 9 Междунар. науч. конф. СПб: СПбГУ, 2009. 380 с.
2. Иродов И.Е. Основные законы электромагнетизма: учеб. пособие / И.Е. Иродов. М.: Высш. шк, 1991. 288 с.
3. Корн Г Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Е. Корн. М.: Наука, 1978. 720 с.
4. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами / А.Г. Бутковский. М.: Наука, 1975. 568 с.
5. Бутковский А.Г. Характеристики систем с распределенными параметрами. Справочник / А.Г. Бутковский. М.: Наука, 1979. 224 с.
6. Рапопорт Э.Я. Структурное моделирование объектов и систем управления с распределенными параметрами / Э.Я. Рапопорт. М.: Высш. шк., 2003. 299 с.
7. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А. А. Самарский. М.: Наука, 1972. 736 с.
8. Араманович И.Г. Уравнения математической физики / И.Г. Араманович, В.И. Левин. М.: Наука, 1969. 288 с.
9. Власов В.В. Синтез интегральной передаточной функции для объектов управления с распределёнными параметрами. Школа академика Власова / В.В. Власов. Вып. 1. М.: Буркин, 1998, С. 65-127.
10. В.В.Власов. Физика в уравнениях математической физики / В.В. Власов // Векторная энергетика в технических, биологических и социальных системах: докл. 5 Рос. науч. конф. СООО «АН ВЭ». Саратов, 2002. С. 3-10.
Власов Андрей Вячеславович -
кандидат технических наук, докторант кафедры «Автоматизация и управление технологическими процессами» Саратовского государственного технического университета
Игнатьев Александр Анатольевич -
доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Автоматизация и управление технологическими процессами» Саратовского государственного технического университета.
Vlasov Andrey Vyacheslavovich-
Candidate of Technical Sciences, doctoral candidate of the Department of «Automation and management of technological processes» of the Saratov State Technical University
Ignatyev Aleksandr Anatolyevich -
Doctor of technical sciences, professor, head. Department «Automation and management of technological processes» the Saratov state technical university
Статья поступила в редакцию 30.05.2011, принята к опубликованию 24.06.2011
УДК 681.587.344.7
А.К.Демидов
МОДЕЛИРОВАНИЕ ТИПОВЫХ ПРОЦЕССОВ МЕТАЛЛООБРАБОТКИ
Рассмотрены физические модели типовых процессов механообработки, учитывающие упругость технологической системы и износ инструмента. На основе передаточных функций процессов лезвийной обработки и врезного шлифования получены схемы в переменных состояния. Из рассмотрения схем определены матрицы перехода и математические модели процессов в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка.
Точение, шлифование, физическая модель, пространство состояний, математическая модель
А.К.
SIMULATION OF STANDARD PROCESSES OF THE METAL WORKING
Physical models of standard processes the machining considering elasticity of technological system and deterioration of the instrument are considered. On the basis of transmitting functions of processes handlings and grindings are received circuits in condition variables. From consideration of circuits matrixes of transition and mathematical models of processes in the form of system of the differential equations of the first order are defined.
Grinding, physical model, the problem space, mathematical model
