CC BY
133
Карасева Р. Б. Оценка экономической стратегии методами теории вероятностей // Научно-методический электронный журнал «Концепт». -2016. - № 9 (сентябрь). - 0,2 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2016/16193.htm.
ART 16193 УДК 330.42
Карасева Римма Борисовна,
кандидат физико-математических наук, заведующая кафедрой высшей математики ФГБОУ ВО «Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия», г. Омск кагавеуа [email protected]
Оценка экономической стратегии методами теории вероятностей
Аннотация. Выбор наилучшей экономической стратегии с целью получения наибольшей прибыли является одним из важнейших вопросов развития производства. В статье показан метод нахождения оптимальной стратегии с использованием теории вероятностей. Использование математических методов позволяет численно оценить возможные затраты и прибыли для каждой экономической стратегии. Приведен пример решения вопроса о нахождении оптимальной стратегии. Ключевые слова: экономическая стратегия, теория вероятностей, прибыль. Раздел: (04) экономика.
Одной из важнейших задач ведения бизнеса является выбор правильной стратегии. При этом основная задача - получение наибольшей прибыли при наименьших затратах. Оказывается, что поиск оптимальной стратегии можно осуществлять методами теории вероятностей. Дополнительно отметим, что рассмотрение задач прикладного характера в базовых курсах вуза, например в курсе математики, является чрезвычайно полезным для будущих специалистов [1-3]. Покажем предлагаемую методику поиска наилучшей экономической стратегии на примере определения числа посадочных мест в ресторане.
Представим, что к популярному туристическому объекту ежедневно приезжает большое число туристов. К 14 часам их число, как правило, равно 1000 человек. В этом же месте находятся два ресторана А и В, где можно пообедать. Рестораны одного класса, поэтому каждый турист выбирает ресторан случайно, с вероятностью Р = 0,5.
Оценим данную ситуацию с точки зрения владельца одного из этих ресторанов, например ресторана А. Ситуация такова, что число посетителей ресторана А каждый день разное, заранее неизвестное. Их число может быть любым целым числом от 0 до 1000. Возникает вопрос: «Сколько нужно иметь посадочных мест в ресторане А, чтобы очередной турист не застал все места занятыми, то есть чтобы клиент не ушел?» Ясно, что потери клиента наверняка не произойдет, если в ресторане будет 1000 посадочных мест. Иными словами, если мы хотим 100% гарантии, что клиент останется в нашем ресторане, то нужно организовать 1000 посадочных мест. Но организация каждого посадочного места требует вложения денег, площадей, увеличения штата. При этом ситуация, когда абсолютно все туристы придут именно в ресторан А хотя и возможна, но маловероятна. Получается, что гарантированное обслуживание всех клиентов возможно, но неоправданно дорого.
Ослабим «гарантированность». Предположим теперь, что мы позволяем себе терять клиентов, но не более чем одного из 100. Определим, сколько нужно иметь посадочных мест, если теперь вероятность потери клиента у = 0,01.
Для решения данной задачи сначала построим модель принятия решения о выборе места обеда одним туристом [4]. Пусть X - решение туриста (ресторан А или В
ISSN 2304-120Х
ниепт
научно-методический электронный журнал
ниегп
issn 2304-120X Карасева Р. Б. Оценка экономической стратегии методами теории вероятностей // Научно-методический электронный журнал «Концепт». -2016. - № 9 (сентябрь). - 0,2 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2016/16193.htm.
научно-методический электронный журнал
). Для создания математической модели полагаем, что X = 1, если выбирается ресторан А. Это решение принимается с вероятностью р = 0,5. Пусть X = 0, если выбирается ресторан В (с вероятностью р = 0,5). Итак, X - дискретная случайная величина с рядом распределения вида, представленном в табл. 1.
Таблица 1
Вид ряда распределения случайной величины X
X 1 0
P 0,5 0,5
Теперь построим модель принятия решения всеми туристами. Рассмотрим вектор (Х1,Х2 , ... Х1000 ). Это вектор, состоящий из одинаковых случайных величин, описанных выше. В конкретный день вектор состоит из 0 или 1, в зависимости от решения каждого туриста. Количество единиц в этом векторе равно числу людей, которые решили зайти в ресторан А в данный день. Хозяина ресторана А интересует А1000 - число туристов, которые выбрали для обеда ресторан А. Значение А1000 определяется по схеме Бернулли. Заметим, что А1000 = Х1 + Х2 +... + Х1000 . В каждый конкретный день на месте каждого слагаемого стоит 1 или 0. Случайная величина А1000 распределена по биномиальному закону. Вычислим ее числовые характеристики:
математическое ожидание М(А1000 ) = пр=1000 -0,5 = 500; дисперсия Д^1000 ) = пр(1 - р) = 1000 - 0,5 - (1 - 0,5) = 250.
Итак, А1000 - сумма 1000 одинаково распределенных случайных величин. Значит, по Центральной предельной теореме поведение (распределение) А1000 сходится (по распределению) к нормальному распределению с математическим ожиданием М = 0; дисперсией В = 1 (при увеличении числа туристов п):
Мооо - п •р ^ ^(0-1) при п.
л1п ■ р ■ (1 - р)
Число туристов 1000 велико, поэтому можно считать, что случайная величина А1000 распределена по нормальному закону.
Обозначим через к число посадочных мест в ресторане А. Вспомним вопрос, который стоит перед владельцем ресторана: «Определить значение к, при котором вероятность того, что в ресторан зайдет более к клиентов, будет меньше 0,01». Иными словами, при каком значении к
Р(к < Аооо <1000) <0,01 ?
Или при каком к
к - пр Апт - пр 1000 - пр ч Р ( . ' = < А'1°<х) г= < >'=) < 0,01 ?
4пр (1 - р) р (1 - р) р (1 - р)
ниегп
issn 2304-120X Карасева Р. Б. Оценка экономической стратегии методами теории вероятностей // Научно-методический электронный журнал «Концепт». -2016. - № 9 (сентябрь). - 0,2 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2016/16193.htm.
научно-методический электронный журнал
/у _п • р
Обозначим 2 = Л'|0Ш . Это нормально распределенная случайная вели-
• Р(1 _ Р)
чина, 2 е N (0;1).
Подставим числовые данные, получим:
р(к_500 < /1000 _500 ^ 1000 _500 ^
л/250 л/250 7250 , '
к_500 <. (1)
^л/10 5^/10
Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал можно найти с помощью функции распределения
х2
1 х--
Ф(х) = ^=\е 2 дх . л!2ж 0
Неравенство (1) перепишем в виде
Ф (10л/Г0) _ Ф ( к _<5°0)< 0,01. 5>/Ш
Так как изучаемая случайная величина 2 е N (0;1), то ее среднеквадратиче-ское отклонение <г = ^!~0 = 1, и по правилу трех сигм практически все значения 2 е N (0;1) находятся в интервале (_3;3), и поэтому Ф (10л/10) =1. Решаемое неравенство принимает вид:
1 _ ф () < 0,01, 5^/10
ф (к_500) > 0,99.
2
х
1 х--
Значения функции Ф(х) = ,— {е 2 дх табулированы. Используя таблицы,
л/2^ 0
определяем, что к—500 > 2,33. Отсюда к > 537.
^л/10
Задача решена. Получили, что если в нашем ресторане будет 537 мест, то с вероятностью 0,99 мы не потеряем клиентов.
Интересно проследить, как меняется значение посадочных мест к в зависимости от значения вероятности р, с которой мы хотим обеспечить зашедшему в ресторан
человеку наличие свободного места. Заметим, что р = 1 _ у.
ниегп
issn 2304-120X Карасева Р. Б. Оценка экономической стратегии методами теории вероятностей // Научно-методический электронный журнал «Концепт». -2016. - № 9 (сентябрь). - 0,2 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2016/16193.htm.
научно-методический электронный журнал
Решим задачи, аналогичные разобранной, при различных значениях у. Получим значения к (табл. 2).
Таблица 2
Зависимость числа посадочных мест от вероятности наличия мест
Вероятность наличия места P Число посадочных мест k
0,5 500
0,9 520
0,95 527
0,99 537
0,999 549
1 1000
Из табл. 2 можно видеть, что изменение вероятности P от 0,5 до 0,999 (что является принципиальным изменением с точки зрения потребителя услуги) не влечет большого изменения значения к, то есть, незначительно увеличив число стульев, можно сохранить гораздо больше клиентов, получить большую прибыль. Однако если пытаться и далее продолжать увеличивать «гарантированность» для клиентов, то есть пытаться увеличить значение P, еще приблизить его к 1, то каждое незначительное с точки зрения реальности возрастание P потребует от нас принципиального увеличения посадочных мест к. Увеличение гарантированности от 0,999 до 1 (что практически незаметно) потребует резкого роста к от 549 до 1000, то есть потребуются значительные финансовые вложения. Иными словами, «гарантированность» стоит очень дорого. Если владелец ресторана не хочет терять клиентов, то ему придется делать большие финансовые вложения.
Введение задач исследовательского характера в курс математики, так же как и использование математики при решении прикладных вопросов экономических и других направлений, повышает уровень компетенции обучающегося. Навыки решения такого рода задач дают ему неоспоримые преимущества, например, при ведении бизнеса [5-7].
Теперь, на основании полученных значений, следует сделать финансовые расчеты и выбрать наилучший вариант.
Ссылки на источники
1. Карасева Р. Б. Тенденции современного математического образования // Актуальные проблемы преподавания математики в техническом вузе. - Омск: Издательство ОмГТУ, 2015. - № 3. - С. 45-47.
2. Карасева Р. Б. Математика в системе образования // Гуманитарные и социально-экономические проблемы развития современного общества: сб. науч. тр. (посвящ. 85-летию СибАДИ); под общ. ред. В. П. Плосконосовой. - Омск, 2015. - С. 123-127.
3. Карасева Р. Б. Высшее образование и наука // Развитие дорожно-транспортного и строительного комплексов и освоение стратегически важных территорий Сибири и Арктики: вклад науки: материалы междунар. науч.-практ. конф. Кн. 3. - Омск, 2014. - С. 179-181.
4. Маркин Ю. П. Экономический анализ: учеб. пособие. - 3-е изд., стереотип. - М.: Изд-во «Омега-Л», 2011. - С. 119-165.
5. Карасева Р. Б. Оценка компетенций выпускника вуза // Вестник СибАДИ. - Омск, 2015. - Вып. 1 (41). - C. 137-141.
6. Карасева Р. Б. Повышение уровня математической компетентности студента при введении в процесс обучения задач исследовательского характера // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2016. - № 3 (март). - С. 16-20. - URL: http://e-koncept.ru/2016/16042.htm.
7. Карасева Р. Б. Оптимальное распределение инвестиций по объектам вложения методами динамического программирования // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2016. -№ 7 (июль). - URL: http://e-koncept.ru/2016/16141.htm.
ISSN 2304-120X
ниепт
научно-методический электронный журнал
Карасева Р. Б. Оценка экономической стратегии методами теории вероятностей // Научно-методический электронный журнал «Концепт». -2016. - № 9 (сентябрь). - 0,2 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2016/16193.htm.
Rimma Karaseva,
Candidate of Physical-Mathematical Sciences, head of the chair of Higher Mathematics, Siberian State Automobile and Highway Academy, Omsk karaseva [email protected]
Assessment of the economic strategy by probability theory methods
Abstract. Selection of the best economic strategy in order to obtain the greatest profit is one of the most important issues of production development. The paper shows the method of finding optimal strategy using probability theory. Using mathematical methods allows evaluating the possible costs and benefits for each economic strategy. The author gives an example of solution the question of finding the optimal strategy. Key words: economic strategy, probability theory, profit. References
1. Karaseva, R. B. (2015). "Tendencii sovremennogo matematicheskogo obrazovanija", Aktual'nye pro-blemy prepodavanija matematiki v tehnicheskom vuze, Izdatel'stvo OmGTU, Omsk, № 3, pp. 45-47 (in Russian).
2. Karaseva, R. B. (2015). "Matematika v sisteme obrazovanija", in Ploskonosova, V. P. (ed.). Gumanitarnye i social'no-jekonomicheskie problemy razvitija sovremennogo obshhestva: sb. nauch. tr. (posvjashh. 85-letiju SibA-DI) Omsk, pp. 123-127 (in Russian).
3. Karaseva, R. B. (2014). "Vysshee obrazovanie i nauka", Razvitie dorozhno-transportnogo i stroitel'nogo kompleksov i osvoenie strategicheski vazhnyh territorij Sibiri i Arktiki: vklad nauki: materialy mezhdunar. nauch.-prakt. konf. Kn. 3, Omsk, pp. 179-181 (in Russian).
4. Markin, Ju. P. (2011). Jekonomicheskij analiz: ucheb. posobie, 3-e izd., stereotip., Izd-vo "Ome-ga-L", Moscow, pp. 119-165 (in Russian).
5. Karaseva, R. B. (2015). "Ocenka kompetencij vypusknika vuza", Vestnik SibADI, Omsk, vyp. 1 (41), pp. 137-141 (in Russian).
6. Karaseva, R. B. (2016). "Povyshenie urovnja matematicheskoj kompetentnosti studenta pri vvedenii v process obuchenija zadach issledovatel'skogo haraktera", Nauchno-metodicheskij jelektronnyj zhurnal "Koncept", № 3 (mart), pp. 16-20. Available at: http://e-koncept.ru/2016/16042.htm (in Russian).
7. Karaseva, R. B. (2016). "Optimal'noe raspredelenie investicij po ob#ektam vlozhenija metodami dinamich-eskogo programmirovanija", Nauchno-metodicheskij jelektronnyj zhurnal "Koncept", № 7 (ijul'). Available at: http://e-koncept.ru/2016/16141.htm (in Russian).
Рекомендовано к публикации:
Горевым П. М., кандидатом педагогических наук, главным редактором журнала «Концепт»^^ЯЛ
Поступила в редакцию Received 08.07.16 Получена положительная рецензия Received a positive review 09.07.16
Принята к публикации Accepted for publication 09.07.16 Опубликована Published 29.09.16
www.e-koncept.ru
© Концепт, научно-методический электронный журнал, 2016 © Карасева Р. Б., 2016
9772304120166
