ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ ДИСКРЕТНОГО ПСЕВДОКОСИНУСНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДЛЯ СЖАТИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

их ионизация требует специальных условий, поэтому учет упругих взаимодействий, которые присутствуют независимо от степени ионизации атомов, является принципиально важным. Поэтому кривые 2 и 3 (см. рисунок) можно рассматривать как предельные случаи выполнения условия блокады внедрения в квантовую точку второго примесного атома для полностью ионизированных примесных атомов (кривая 2) и неионизированных атомов (кривая J).

Таким образом, результаты работы свидетельствуют о том, что контролируемое внедрение примесных атомов в двумерные квантовые точки германия на поверхности кремния соответствует технологически достижимой области концентраций и температур.

Литература

1. KaneB.E. A silicon-based nuclear spin quantum computer // Nature. - 1998. - Vol. 393. - P. 133-137.

2. Светухин В.В., Булярский С.В., Санчищин Д.В. Термодинамика растворимости одиночных атомов в системе квантовых точек // Изв. вузов Электроника. - 2004. - № 2. - С. 3-8.

3. Гайдуков Г.Н., Жаринова Н.Н. Влияние упругих напряжений на внедрение одиночных атомов в системе квантовых точек // Изв. вузов Электроника. - 2009. - № 3(77). - С. 81-83.

4. Meixner M., Schull E., Shchukin V.A., Bimberg D. Self-Assembled Quantum Dots: Crossover from Kinetically Controlled to Thermodynamically Limited Growth // Phys. Rev. Lett. - 2001. - Vol. 87. - N 23. - P. 236101-236101-4.

5. Батыгин В.В., Топтыгин И.Н. Сборник задач по электродинамике. - M.: Наука, 1970. - С. 38.

6. Гайдуков Г.Н., Кожевников Е.А., Копаев Ю.В. Исследование газа взаимодействующих частиц на поверхности твердого тела термодинамическим методом и методом компьютерного моделирования. - M. : Препринт ФИАН. -1996. - С. 10.

7. Ху С. Диффузия в кремнии и германии // В кн. Атомная диффузия в полупроводниках. - M.: M^, 1975. -С. 248-405.

Поступило 6 октября 2009 г.

Гайдуков Геннадий Николаевич - доктор физико-математических наук, профессор кафедры обшей физики MH3T. Область научных интересов: дефекты в твердых телах, самоорганизация структурных неоднородностей, формирование структуры поверхности твердых тел. Email: gaid-miet@yandex.ru

Жаринова Наталья Николаевна - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры обшей физики MH3T. Область научных интересов: самоорганизация структурных неодно-родностей, формирование структуры поверхности твердых тел.

УДК 004.932

Оценка эффективности применения дискретного псевдокосинусного преобразования для сжатия изображений

В.В.Курина

Московский государственный институт электронной техники (технический университет)

Среди методов сжатия цифровых статических изображений большое значение имеют методы, использующие квантование и кодирование в области коэффициентов дискретных преобразований. В настоящей работе проведен сравнительный анализ свойств дискретного псевдокосинусного преобразования (ДПКП) [1].

ДПКП строится на базе дискретного косинусного преобразования (ДКП), обладает свойством ортогональности и быстрым алгоритмом с возможностью вычисления без использования операций умножения (за исключением нормировки).

© В.В.Курина, 2010

Рассмотрим стандартный алгоритм сжатия изображений с потерями, состоящий из этапов дискретного преобразования, скалярного квантования и статистического кодирования.

Пусть дискретное преобразование случайного вектора X = (Х0, Хм _) в случайный вектор У = (Г0,71,...,7¥ _1) выполняется с помощью матрицы преобразования У = WX; Кх - кова-

Т 2

риационная матрица вектора X; КУ = WKXW - ковариационная матрица вектора У; ак

(к = 0,1,...,^ _ 1) - дисперсии компонент вектора У.

Для сравнения ДПКП с другими преобразованиями по эффективности применения для сжатия данных использовались критерии, характеризующие следующие важные свойства.

Локализация большей части энергии преобразования в малом количестве коэффициентов. При сжатии с потерями информации коэффициенты, имеющие значение меньшее некоторого заданного порога, отбрасываются. Чем компактнее распределена энергия преобразования, тем меньше будут потери при обнулении этих коэффициентов, а следовательно, и расхождение между исходным и восстановленным изображениями.

Компактность распределения энергии можно оценить по величине коэффициента эффективности кодирования О, который для метода сжатия с использованием ортогонального преобразования входного сигнала имеет вид [2]:

о = 10^-

( 1 N _1

- Т

\

а,,

( N _1

(п

V к=0

Л-1/ N ~

а

[дБ].

(1)

N-1

Величина Т а2 является константой и не зависит от преобразования, поэтому минималь-

к=0

ное значение коэффициента эффективности кодирования достигается при а0 = а2 =... = аN_1, т.е. в случае равномерного распределения энергии по всем коэффициентам преобразования. Следовательно, чем больше значение коэффициента эффективности кодирования, тем компактнее распределена энергия.

Ослабление корреляции между компонентами вектора коэффициентов преобразования. Ввиду простоты реализации в методах сжатия изображений обычно используют независимое покомпонентное статистическое кодирование. Если между компонентами данных существуют статистические связи, то значение каждого может быть «спрогнозировано» по уже обработанным компонентам. Следовательно, независимое кодирование порождает избыточные битовые затраты. Таким образом, в методе сжатия выгодно по потенциальным битовым затратам на кодирование использовать преобразования, приводящие к большей степени ослабления корреляции в обрабатываемых данных.

Для оценки этого свойства предлагается использовать среднюю избыточную энтропию, которая показывает, на сколько битовые затраты на кодирование вектора коэффициентов исследуемого преобразования, оцениваемые по энтропии непрерывного распределения, больше, чем на кодирование вектора коэффициентов дискретного преобразования Карунена-Лоэва (ДПКЛ) [3]:

АН = —Ья,

2 n 2

\( N-1

П а

IV к=0

V

х

К

(2)

Чем меньше значение АН, тем ближе исследуемое преобразование к оптимальному ДПКЛ.

Другим методом оценки степени ослабления корреляции дискретным преобразованием является использование критерия остаточной корреляции [4]. В работе [5] предложен метод расчета данного критерия и его исследование для некоторых дискретных преобразований и сигналов, описываемых корреляционными матрицами специального вида.

1

График зависимости параметра А от коэффициента

В работе [6] проведено сравнение критериев остаточной корреляции и средней избыточной энтропии (2) и установлено, что для распространенных дискретных преобразований и корреляционных матриц входного сигнала (в том числе для сигнала, описываемого моделью марковского процесса первого порядка) они дают согласованные результаты оценки.

Следует отметить, что результаты оценки по коэффициенту эффективности кодирования (1) и средней избыточной энтропии (2) должны быть согласованы, так как эти критерии харак-

N-1

теризуют дискретные преобразования по величине s = log .

k=0

Сравнение ДПКП осуществлялось с ортогональными преобразованиями, наиболее часто применяемыми в задачах сжатия изображений: ДКП, ДПКЛ, наклонное преобразование (НП), дискретное преобразование Хаара (ДПХ), дискретное преобразование Уолша-Адамара (ДПУА).

На рисунке представлен график зависимости величины А = S — Sopt (значение S t вычислено для ДПКЛ) от коэффициента корреляции соседних отсчетов для входного сигнала, описываемого моделью марковского процесса первого порядка.

Рассмотренные шесть дискретных преобразований по результатам исследования можно разделить на три группы. Первая группа - оптимальное ДПКЛ и близкое к нему ДКП. Рассчитанные критерии подтверждают, что ДКП приводит к компактному распределению энергии и по способности к декорреляции компонент входного вектора приближается к ДПКЛ, однако эти преобразова-

корреляции: 7'- 'Дп^Т-^ДПУаГз^'ДеОЩ ния требуют больших вычислительных затрат.

4 - НП; 5 - ДКП Вторая группа - ДПХ и ДПУА. Эти преобразова-

ния просты в вычислении, так как не используются операции умножения, но уступают преобразованиям первой группы по эффективности применения для сжатия изображений. Третья группа - НП и ДПКП. Эти преобразования имеют примерно одинаковые значения степени декорреляции данных и локализации энергии преобразования, однако НП (в отличие от ДПКП) требует для вычисления операций умножения.

Таким образом, при необходимости значительного сокращения сложности вычислений ДПКП является наилучшим выбором среди рассмотренных преобразований.

Литература

1. Умняшкин С.В. О модификации дискретного косинусного преобразования // Изв. Тул. гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. - Тула: ТулГУ. - Т. 4. - Вып. 1. - 1998. - C. 143-147.

2. Jayant N., Noll P. Digital Oeding of waveforms: Principles and applications to speech and video // Englewood Cliffs, NJ : Prentice-Hall. - 1984. - P. 524-529.

3. Умняшкин С.В. Анализ эффективности применения ортогональных преобразований для кодирования дискретных сигналов с коррелированными отсчетами // Цифровая обработка сигналов. - № 4. - 2008. - С. 15-18.

4. Pearl J. On coding and filtering stationary signals by discrete Fourier transforms // IEEE Trans. Inf. Theory. - Vol. IT-19. - 1973. - P. 229-232.

5. Поспелов А.С., Галкин А.В. Статистический анализ применения дискретных преобразований в задачах сокращения избыточности видеоинформации // Элементы, узлы, устройства и математическое обеспечение микропроцессорных систем управления: Межвуз. сб. - М.: МИЭТ. - 1987. - С. 232-243.

6. Кочетков М.Е., Умняшкин С.В. О сравнении критериев для оценки эффективности декоррелирующих преобразований. - М.: МИЭТ. - 1998. - 34 с. - Деп. в ВИНИТИ 13.04.98, № 1069-В98.

Поступило 9 сентября 2009 г.

Курина Валентина Владимировна - аспирант кафедры высшей математики-1 МИЭТ. Область научных интересов: цифровая обработка сигналов, исследование и разработка методов сжатия статических изображений, вейвлет-анализ сигналов. E-mail: valya_kurina@rambler. ru