Оценка эффективности и экономичности прямых и итерационных методов решения разностных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Таблица 5 выполнения учебных поручений воспроизводится на заранее заготовленном шаблоне простым копированием строк из карточек персональной нагрузки с последующим уточнением реального выполнения.

..........' --------'---------Г-------Г 1 I Г- Саратовский государственный университет ' т~г-.......1 г ; 1 ¡Декан факультета

им. Н.Г.Чернышавского I 1 ! ¡профессор, доктор

1 _ 1 i i i 1 1 i 1 1

ВЫПОЛНЕНИЕ УЧ&НЫХ ПОР/ЧВЧИЙ ПО КАФ ЕДРЕ МАТВМТИЧЕСУОЙ ф ИЗИКИ И

ВЬ1ЧИСПИТЕЛЫЧОЙ МАТЕМАТИКИ в 1 сш. 1998/1999 уч. г.

Количество часов нагрузки

№ Ф.И.О. Факультет Дисциплины| Специальн. и Q. 31 | Студентов | Групп Лекции Практика Лаборат. Индзан. Консульт. Экзамен Зачет Произ.прак. Курс.раб. Дипл.раб. а. и 0 1 3 ю О

1 Петров Ф.П, М/ЬА УМФ п/м 3 122 6 36 16 25 77

проф. Г/МФ ОУф 2 56 3 18 18 4 28 68

Итого за 1-й семестр 54 18 20 53 145

I i 1

I .. ..!... .

При необходимости все таблицы печатаются.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гончаров A. Excel 7.0 в примерах. - СПб. : Питер, 1996.

УДК 539.3

JI. Ф. Вахлаева, Т. В. Вахлаева

ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ И ЭКОНОМИЧНОСТИ ПРЯМЫХ И ИТЕРАЦИОННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

При решении краевых задач для уравнений математической физики разностным методом возникает задача решения систем разностных уравнений большого порядка, матрица которых имеет много нулевых элементов.

Выбор алгоритма зависит от типа расчета (многовариантный или нет), от объема памяти машины и от порядка системы. Естественно выбирать тот метод, для которого время решения минимально по сравнению с другими методами. При теоретических оценках качества алгоритмов их сравнение проводится по числу Q{е) арифметических действий, достаточных для нахожде-

ния решения задачи с заданной точностью. Количество действий в итерационном методе определяется в зависимости от е по формулеQ{z)= q ■ "о(Е)> где q - число действий на одной итерации, л0(е) - количество итераций, необходимых для получения решения с точностью ё .

Сравнение различных методов при решении разностных уравнений Пуассона показало, что одним из лучших по скорости сходимости среди итерационных методов является метод верхней релаксации. При этом количество итераций и0(е) увеличивается пропорционально увеличению числа узлов по каждой переменной [1]. Поэтому целесообразно применение разностных схем повышенной точности, которые дают возможность использовать более крупную сетку и тем самым добиться уменьшения и0(е) при решении систем разностных уравнений. Это подтверждено при решении краевых задач теории пластин и оболочек [2].

При исследовании сложных колебаний изотропных пластинок прямоугольных в плане, которые описываются системой уравнений в частных производных четвертого порядка (уравнений Маргера-Власова-Муштари), после замены частных производных по х и у на сетке coa = {\ih,jh\i,j = 0,m,h = 1/mj

разностными соотношениями с погрешностью 0(|/i|4) получим систему нелинейных дифференциально-разностных уравнений относительно прогиба w¡j и систему линейных разностных уравнений относительно функций F¡j большого порядка.

d2w,,

V- ■ ( \

^ = ,,/<.><Г<7\ (1)

ш

Ьн2 (р,у ) = Ьнъ (и- ), /, у = 1, т -1, (2)

где (и', •, ) - нелинейный разностный оператор, содержащий разностные производные до четвертого порядка включительно, (/•} у ) - линейный разностный оператор, содержащий производные четвертого порядка, ■)

- нелинейный разностный оператор второго порядка. Присоединим к (1) - (2) начальные и краевые условия:

М'=о=™О(х>у}> =° (3)

Нг=0;~|г=0, (4)

^!г=0;^|г=0, (5)

где п - нормаль к границе Г.

Аппроксимация с погрешностью 0(|/?|4) краевых условий требует два ряда законтурных узлов и 25-точечный шаблон для частных производных в исходных уравнениях. Обозначим ан = = = \/т,п - т + 5} - сеточную область, включающую законтурные, граничные и внутренние узлы.

Алгоритм решения задачи (1) - (5) состоит в следующем:

1. Решается система линейных уравнений (2) с учетом краевых условий (5) относительно Р^, при этом для вычисления правой части £§(ю^) используются начальное условие ^/у] = ^о(/,_/')и краевое условие (4). ■

2. Система дифференциально-разностных уравнений относительно

по переменной f интегрируется с помощью метода Рунге-Кутта 4-го порядка, где на каждом временном шаге Iк происходит 4-хкратное обращение к решению системы (2) линейных уравнений относительно./^, при этом для вычисления правой части используются значения на предыдущем временном шаге 1к_л. Запишем систему (2) с учетом краевых условий (5) в матричном виде

АР = Р, (6)

где Р -вектор правых частей, зависящий от и^, Р - искомый вектор с компонентами Р^, А—матрица размерности (п - 2)2 х (и — 2)2.

При решении системы (6) прямым методом Гаусса придется затратить число арифметических действий, равное = -^Л^ТУ2 + ЗN -1), где

N={17- 2)2. Для элементов матрицы А, включающей вектор правой части, потребуется двумерный массив размерности (и - 2)2 х [(я - 2)2+1].

Применим для решения системы (6) итерационный метод верхней ре-

лаксации, который запишется так:

г

(г+1)

и

ач

Р -У a F(r+1) - У a F<-r)

'ij ¿-¡"ps1ps jLi ps1 ps

p<i p>i s<j s>j

+ (l-a(7)

У — +

где p и i принадлежат 25-точечному шаблону сетки со h, г - номер итерации, г = 0,1, ...п0(е ). Здесь не требуется хранения матрицы А . Количество действий, затрачиваемых на одну итерацию, равно q=50N, N=(n-2)2. Количество итераций и0(е)<4 при е = 10~4, так как при шаге в Рунге-Кутта т= 0.0002 предыдущее значение Fjj{tk_\ ) является хорошим начальным приближением для Fij{tk). Общее количество действий для верхней релаксации

Qg p(e) = q ■ и0(e) = 50- N ■ и0(e). Сравним с методом Гаусса. Найдем коэффициент эффективности

К = Qv/Qe. р.(е) + 1)/(75 • «0(в)).

При N - 121, что соответствует h = 1/8, б = 10^ , п0(е) = 4> получим £=50, т.е. количество действий при решении системы разностных уравнений (6) итерационным методом верхней релаксации в 50 раз меньше, чем при решении прямым методом Гаусса. Кроме того, итерационный метод является экономичным "в том смысле, что не требует хранения в памяти матрицы А размерности 121х122 = 14762. При увеличении порядка системы (6), коэффициент К возрастает.

Итак, для решения системы разностных уравнений большого порядка, соответствующих задаче (6), целесообразно применять итерационный метод верхней релаксации, который является эффективным и экономичным.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М. :Наука, 1978.

2. Вахлаева Л.Ф., Крысько В.А., Соколов С.С. О выборе порядка аппроксимации разностной краевой задачи теории оболочек // Вычислительные методы и программирование: Межвуз. науч. сб. Саратов, 1981. С. 45 - 49.

УДК 513.88

А. П. Гуревич, А. П. Хромов

СУММИРУЕМОСТЬ ПО РИССУ СПЕКТРАЛЬНЫХ

РАЗЛОЖЕНИЙ ДЛЯ КОНЕЧНОМЕРНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ1

В пространстве ¿[0,1] рассмотрим оператор

т

Af = Л/ + S Sk(f,vk\ k = 1

где

A0f = a*\f(t)dt+vi2 ¡№dt, (f,vk)= ¡f(t)vk(t)dt, gk(x),vk(x)eС1 [0,1]. 0 0 o

1 Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, фант № 97-01-00566.