Оценка эффективности алгоритма сегментации на основе градиентного структурного тензора Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2012. Вып. 2======================================

Разрешающая способность при обработке дифракционных максимумов, полученных от двух светящихся точек, методом максимального правдоподобия может быть увеличена по сравнению с рэлеевской разрешающей способностью. Ограничение на разрешение точек в новом решении связано со значением отношения "сигнал/шум". Новое решение задачи углового разрешения двух светящихся точек имеет большое значение для цифровых оптических систем - телескопов, микроскопов.

Список литературы

1. Сивухин Д. В. Оптика. М.: Наука, 1980. 750 с.

2. Теоретические основы оптимальной обработки сигналов (курс лекций для радиофизических специальностей) / В. А. Пахотин, В. А. Бессонов, С. В. Молостова, К. В. Власова. Калининград: Изд-во РГУ им. И. Канта, 2008. 189 с.

3. Перов А. И. Статистическая теория радиотехнических систем; учеб. пособие для вузов. М.: Радиотехника, 2003. 400 с.

A. S. Chugaynov, V. A. Pahotin, S. B.Sharov Russian state university n. a. I. Kant K. V. Vlasova

Baltic state academy of fishery fleet Resolving power of optical instruments

In this paper we analyze optical resolution of devices in terms of the Rayleigh criterion in terms of the theory of optimal reception. It is shown that, in applying the theory of optimal reception for digital processing of the diffraction peaks, resolution can be improved. The restriction on the resolution of the two luminous points be imposed SNR.

Optical instruments, Rayleigh criterion, resolving power, diffraction, the theory of optimal reception

Статья поступила в редакцию 25 мая 2011 г.

УДК 621.391

И. С. Грузман

Новосибирский государственный технический университет

I Оценка эффективности алгоритма сегментации на основе

*

градиентного структурного тензора

Предложен метод анализа алгоритма сегментации анизотропных изображений, основанный на гауссовской аппроксимации совместного распределения компонент градиентного структурного тензора. Получены соотношения для вычисления ошибок сегментации первого рода и второго рода.

Сегментация, анизотропная текстура, локальная линейная симметрия, градиентный структурный тензор

Цифровые изображения дактилограмм, интерферограмм, трасс на пуле от нарезного оружия, следов от инструментов взлома и т. п. обычно состоят из информативной области -анизотропной текстуры, обладающей локальной линейной симметрией (ЛЛС) (local linear symmetry [1]), и неинформативного фона, представляющего собой изотропный шум [1]-[5].

* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 11-07-00077-а). 22 © ГрузманИ. С., 2012

Задача алгоритма сегментации таких изображений заключается в том, чтобы решить, какие отсчеты изображения принадлежат к информативной области, а какие - к фону. Из-за действия шумов возможны два вида ошибок. Первый из них состоит в принятии решения о том, что анализируемый фрагмент к является анизотропным, если в действительности он изотропен. Второй вид ошибок состоит в принятии анизотропного фрагмента к за изотропный. Далее в статье эти ошибки по аналогии с терминологией, принятой в математической статистике, будем называть ошибками первого рода а и второго рода в соответственно.

Для различения текстур с ЛЛС и изотропного фона широко используется градиентный структурный тензор (ГСТ) [1], [2], обеспечивающий высокую вычислительную эффективность и достоверность различения. Исследование эффективности алгоритмов сегментации на основе ГСТ проводится в основном методом компьютерного моделирования. Такой подход, во-первых, требует значительных затрат машинного времени; во-вторых, получаемые в результате экспериментальных исследований числовые характеристики часто зависят от конкретных тестовых изображений даже с одними и теми же спектрально-корреляционными свойствами; в-третьих, он не позволяет использовать полученные характеристики в методах анализа изображений, например сегментации текстур по направлению и т. п. Кроме того, отсутствие методов определения совместного распределения компонент структурного тензора для различных моделей текстур дискретных двумерных сигналов препятствует построению оптимальных алгоритмов на его основе.

Известны* соотношения для вычисления вероятности ошибки а на основе метода главных компонент при условии, что поля производных изотропного фона по вертикальному и по горизонтальному направлениям являются статистически независимыми дискретными гауссовскими "белыми" шумами. В [6] предложен метод вычисления а на основе анализа спектральных моментов при аналогичных условиях. Методы вычисления вероятности ошибки в для алгоритмов сегментации на основе ГСТ в литературе отсутствуют.

Цель настоящей статьи - разработка приближенного метода анализа эффективности алгоритма сегментации изображений на изотропные и анизотропные области на основе ГСТ.

Алгоритм сегментации. Различение текстуры с ЛЛС и изотропного фона осуществляется следующим образом. Принимается решение о том, что центральный отсчет анализируемого фрагмента дискретного изображения к = {^(¿1, ¿2)}, ¿1 = _п, п; ¿2 = _п, п, размером (2п + 1)х(2п +1) = NхN элементов, заданного на квадратной сетке отсчетов, принадлежит фону, если мера анизотропности [1], [2]:

(1)

где

* Feng X., Milanfar P. Multiscale principal components analysis for image local orientation estimation // Proc. of the 36th Asilomar conf. on signals, systems and computers, Pacific Grove, CA, 2002 // URL: http://users.soe.ucsc.edu/~milanfar/publications/conf/feng_asilomar.pdf

п п

2 I I /1/2^ (/1, /2)

к1 =— п к2 =—п

I = л = п I I (/12 — /22 ) С, (/1, /2 )

_ ^3 _ к1 =— п I п к2 = —п I (/12 + /22 ) Ск ( /1, /2 )

к =—п к2 =—п

С - порог, принимающий значения от 0 до 1, так как мера анизотропности 0 <%( I ) < 1.

В противном случае принимается решение о том, что этот отсчет принадлежит анизотропной области.

В (2) / = к}/N, 1 = 1, 2 - пространственные частоты;

^ (/1, /2 ) = (1/N2 )|^ (/у, /2 )|2 (3)

- выборочный двумерный спектр мощности фрагмента к, причем (/1, /) - двумерный спектр этого же фрагмента, вычисленный с помощью дискретного преобразования Фурье.

Для изотропного поля х( I) = 0, а для текстуры с ЛЛС при отсутствии шума %(I) = 1 [1], [2].

Здесь и далее для удобства изложения начало системы координат в пространстве совмещено с координатами центрального отсчета изображения. Аналогичным образом начало системы координат в частотной области совмещено с координатами центрального отсчета двумерного спектра.

Обозначим через Но гипотезу о том, что анализируемый фрагмент к является изотропным фоном, а через Н1 - гипотезу о том, что к является анизотропной текстурой, наблюдаемой на фоне аддитивного шума:

Но: к = Ло; (4)

Н1: к = х + Л1, (5)

где х = {г(¡1, ¡2)}, ¿1 = —п, п; ¡2 =— п, п, - анизотропная текстура с ЛЛС, изолинии двумерной функции яркости которой представляют собой параллельные прямые, Ло ={По (¡1, ¡2)}, ¡1 = —п, п; ¡2 = —п, п, и Л1 ={П1 (¡1, ¡2)}, ¡1 = —п, п; ¡2 =— п, п, - дискретные гауссовские "белые" шумы с нулевыми математическими ожиданиями и дисперсиями £Ло и Dлl соответственно.

В большинстве практических случаев функция яркости анизотропной текстуры в локальной области может быть аппроксимирована детерминированной полигармонической функцией, изолинии которой представляют собой параллельные прямые [1]-[3], проходящие под углом у к оси абсцисс:

х = 7(¡1, ¡2) = г(¡1 со8у+ ¡2вшу), ¡1 =—п, п; ¡2 =— п, п, (6)

L

где z (1 ¡2 )= X {A cos [2n(Q//1cosy+Q^sinY)] + Ф/}, причем Ai и Ф/ - амплитуды и

l=1

начальные фазы соответственно, являющиеся произвольными неслучайными величинами; Q/ - пространственные частоты, образующие возрастающую последовательность 0 < Qi < < Q2 — < Q/ < 0.5; у - параметр, являющийся случайной величиной. При отсутствии априорной информации о преимущественных направлениях ориентации анизотропной текстуры распределение угла у обычно полагают равномерным на интервале (—я/2, п/2].

С учетом свойства круговой симметрии дискретного спектра мощности вектор J представим в виде

n n

J

Jl J2

J3

2 X X /1/2G (fl, f2 )

ki =—n ^2 =1

n n n

X X (fl2 — /22)G (fl,/2)+ X /1Ч(/1,0)

k1=—n k2 =1 k1 =1

n n n

X X (/12+/22)G(/1,/2)+ X /1Ч (/1,0)

k1 =—n k2 =1

k1=1

(7)

Для гипотез (4) и (5) компоненты вектора (7) представляют собой взвешенные суммы статистически независимых [7] отсчетов двумерного дискретного спектра мощности

^х (/1, /2)• Поэтому при N2 > 70-80 распределение вектора I можно считать приближенно гауссовским.

Введем обозначения: N3 (то, Но) и N3 (ту, Ну,у) - трехмерные гауссовские распределения компонент вектора I для гипотез Но и Ну соответственно, где

ш/ = |^т1? ш2? ш3? = М {/ Н1} М {/2| Н1} М {У3| Н1 }]Т , / = 0, 1, - вектор-столбец

математических ожиданий М {} ( т - символ транспонирования);

" Rni R12/ R13i D J Hi} coV {J1J2 Hi} cov {J1J3 Hi}

R = R12/ R22i R23/ = cov {j1j2 Hi} D{J2 Hi} cov {J2 J3 Hi} , i = 0, 1

[ R13i R23i R33/ ] cov { J1J3 Hi} cov {J2 J3 Hi} D J Hi}

- ковариационные матрицы, центральные компоненты которых, расположенные на главной диагонали, равны дисперсиям Б {}, а остальные - ковариациям соу { } компонент вектора I. Вероятности ошибок а и в с учетом (1) определяются как

а

i i

—^ —^

1_N3 (m0, Rq\H0) J

dJd2,

(8)

2

00 00

Р(у) = 1 - í Í

—^ —^

dJ1dJ2. (9)

| N3 (шь нь у) м

М+ЩС .

Вероятность ошибки второго рода зависит от у, так как квадратная сетка отсчетов и квадратная область, на которой задано анализируемое дискретное изображение к, являются анизотропными.

Поскольку при решении задачи сегментации изображение разбивается на изотропную и анизотропную области независимо от доминирующего направления текстуры анизотропной области, в качестве характеристики алгоритма сегментации используется усредненная вероятность ошибки второго рода:

_ . П2

р=- / в (у) а у. (10)

2

Следует отметить, что производные от дискретного "белого" шума (гипотеза (4)) по направлению являются коррелированными случайными последовательностями, поэтому соотношения, полученные в работе* ив [6], не могут быть применены для вычисления вероятности ошибки а.

Параметры распределений вектора I. Определим математическое ожидание М{(/1, /2)} и дисперсию Б{(/1, /2)} дискретного спектра мощности (/1, /2) для гипотезы Ну. Из (5) и (3) следует:

бк (/1, /2 ) = (/у, /2 ) + (/у, ) + + (V) [> (/1, /2) Яе ^ (/1, /2) + 1т ^ (/1, /2) 1т ^ (/ь /)], (11)

где

^z (fi, f2 ) = (l/ N2 )| Sz (fi, /2 )|2; бЛ1(/1, /2 ) = (í/n2 ) S^ (fi, /2 )|2 - выборочные

Л1

двумерные спектры мощности анизотропной текстуры z и аддитивного шума

Re Sz (fb f2), Re (f1, f2) и Im Sz (fh f2), Im (f1, f2) - Действительные и мнимые

части выборочных двумерных спектров Sz (fi, f) и S^ (fi, f) соответственно.

Использовав свойства преобразования Фурье, можно показать, что спектр дискретного полигармонического сигнала (6) составляет

i L

Sz (fi, f2 )= т Z Al [W (fi —Q/c, f2 —Q/s) exp (уф,) + W (fi + Qfc, fj + Q/s) exp (—уф)], 21=i

где W (•, •) - частотная характеристика двумерного окна Дирихле [7]; Q,c = Q, cos у; Q,s = Q, sin y; j - мнимая единица.

DO OO

OO

* Feng X., Milanfar P. Multiscale principal components analysis for image local orientation estimation // Proc. of the 36th Asilomar conf. on signals, systems and computers, Pacific Grove, CA, 2002 // URL: http://users.soe.ucsc.edu/~milanfar/publications/conf/feng_asilomar.pdf

Отсчеты действительной и мнимой частей дискретного спектра "белого" гауссовско-го шума (/1, /2) являются гауссовскими статистически независимыми случайными

величинами с нулевыми математическими ожиданиями [8]. С учетом (11) и свойств гаус-совского распределения математическое ожидание и дисперсия отсчетов спектра мощности Ох (/1, /2) для гипотезы Н1 составляют:

М

О (/1, /2 )| Н1} = О2 (/1, /2) + ^ =(VN2) |^ (/1, /2 )|2 + ^;

(12)

О К (/1, /2 )| Н1} =

Б21 + 2БЛ1 О2 (/1, /2), (/1 * 0)и(/2 * 0); 2Б21 + 2БЛ1 О2 (0, 0), /1 = /2 = 0.

Определим математическое ожидание ш и ковариационную матрицу Я распределения вектора I. Для гипотезы Н1 математическое ожидание Ш1 вектора I с учетом (12) и (7) имеет вид

п п

Ш1 = 2

2 I I /1/2^ (/1, /2)

=—п ^2 =1

п п п

I I (/12 — /22 )О2 (/1, /2 )+ I /1Ч (/1, 0)

&1 =—п ^2 =1 =1

п п п

I I (/12 + /22)О2 (/1, /2)+ I /1Ч (/1, 0) + (БЛ1/3)п(п +1)

&1 =—п ^2 =1

к1 =1

(13)

При определении математических ожиданий первой и второй компонент вектора I

п п п п , ч п

учтено, что I I /1/2 = 0, I I (/2 — /2)+ I /12 = 0.

=—п ^2 =1 =—п ^2 =1 =1

Поскольку дисперсия суммы статистически независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, компоненты ковариационной матрицы Я составляют:

п п / 2 2 &1 =—п ^2 =1 пп

пп

Я111 = 16 I I /12/22о {Ох (/1, /2)};

Я221 = 4

Я121 = 8 I I /1/2 (/12 — /22) О {Ох (/1, /2)};

&1 =—п &2 =1

Я131 = 8 I 1/1/2 (/12 + /22) Б {Ох (/1, /2)};

&1 =—п ^2 =1 пп

Я231 = 4 I I (/14 — /2 ) О {Ох (/1, /2)};

=—п ^2 =1

п п , . 0\2 п

I I (/12 — /22) О{Ох (/1,/2)}+ I /14Б{Ох (/1, 0)}

=—п ^2 =1 у! =1

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

R-ъъу = 4

X X U2 + fl ) f f2 )} + X /!4D{^ f 0)}

k =—n ki =1 j\ =1

(19)

Приравняв нулю (/1, /), заменив на и приведя подобные в формулах (13)—(19), определим математическое ожидание для гипотезы Но :

Ro

4

—-D 2 Ло

9 N

m0 =0 0 (2/3) D^o n (n +1)

2n2 (n +1)2 0

0 (15) n {—3 + n [1 + 4n (n + 2)]}

0 0

(20)

. (21)

0 0 (15) п (п +1)[-3 + 14п (п +1)]

Из (20) и (21) следует, что для гипотезы Но решающая статистика %(1), а следовательно, и вероятность ошибки а, зависят только от размеров анализируемого изображения к и не зависят от дисперсии шума . Кроме того, компоненты вектора 1 являются

некоррелированными приближенно гауссовскими случайными величинами. С учетом этого вероятность ошибки

а = 1 — J F 0

Л/ С

m30

J

R

-ЗЗ0

w ( J12|H0 ) dJ12,

(22)

V З30 j

где F (•) - интеграл вероятности; Зц = J2 + jf;

w

(J12IH0)

1

ч

2 /Rn.R.

rexp

110 r22,

0

J

12

4

1

R

1

V 110 ~220 J_

- плотность распределения вероятностей суммы квадратов некоррелированных гауссов-ских случайных величин с нулевыми математическими ожиданиями и различными дисперсиями [9], причем I0 ( ) - функция Бесселя нулевого порядка.

Вероятности ошибок а, в (у) и в находятся в соответствии с (22), (8)-(10) численным интегрированием.

Результаты экспериментальных исследований. Анализ эффективности алгоритма сегментации проводился для анизотропной текстуры

z ={z (1 ¡2 ) = A cos [2n(Qi1cos y+Qi^sin у)]; ¡1 =—n, n, i2 =—n, n} при частоте Q = 0.35.

На рисунке показаны зависимости вероятности ошибки первого рода а и усредненной по углу у вероятности ошибки второго рода в от величины порога С при N = 11 и N = 15. В качестве параметра выступает отношение "сигнал/шум" q = A^2D^ .

Квадратными и круглыми маркерами обозначены значения а и в, полученные методом компьютерного моделирования. Вычисление а и в выполнялось усреднением по

R

220

J12 f 1

4

1

R

110

R

22

0J

J12 > 0

: >

0

104 тестовым изображениям для каждого значения q и C при независимых реализациях аддитивного дискретного "белого" гауссовского шума от изображения к изображению. Значение угла у при вычислении ß менялось случайным образом от изображения к изображению в соответствии с равномерным распределением в диапазоне (—п/2, п/2].

Из приведенных на рисунке зависимостей следует, что рассчитанные значения вероятностей ошибок алгоритма сегментации хорошо согласуются с результатами компьютерного моделирования даже при достаточно малых N. С увеличением размеров анализируемого изображения точность расчетов возрастает. Следовательно, предложенный метод, основанный на гауссовской аппроксимации распределения вектора J, может быть применен для анализа эффективности алгоритма сегментации анизотропных изображений с ЛЛС, наблюдаемых на фоне аддитивного дискретного "белого" шума, и для выбора порога C исходя из заданного уровня вероятностей ошибок а или ß.

Кроме точности одним из важнейших показателей метода анализа является его вычислительная эффективность по сравнению со статистическим экспериментом. Результаты сравнительного анализа алгоритмов вычисления вероятностей ошибок сегментации предложенным методом и методом компьютерного моделирования показали, что предложенный метод выигрывает во времени более чем в 100 раз при N = 15, причем с увеличением размеров анализируемого окна этот выигрыш возрастает.

Список литературы

1. Bigun J. Vision with direction: a systematic introduction to image processing and Computer vision. Berlin: Springer-Verlag, 2006. 396 p.

2. Яне Б. Цифровая обработка изображений. М.: Техносфера, 2007. 584 с.

3. Методы компьютерной обработки изображений / под ред. В. А. Сойфера. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 784 с.

4. Грузман И. С., Карпушин В. Б. Алгоритмы отождествления и распознавания объектов по изображениям линейных трасс // Докл. АН ВШ. 2010. № 1. С. 84-92.

5. Грузман И. С., Новиков К. В. Сегментация анизотропных изображений на основе локальных спектральных моментов // Автометрия. 2004. № 4. С. 26-32.

6. Грузман И. С., Новиков К. В. Быстрый алгоритм сегментации анизотропных изображений на основе локальных спектральных моментов // Изв. вузов России. Радиоэлектроника, 2005. № 3. С. 50-56.

7. Марпл.-мл. С. Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения. М.: Мир, 1990. 584 с.

8. Грибанов Ю. И., Мальков В. Л. Спектральный анализ случайных процессов. М.: Энергия, 1974. 240 с.

9. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. М.: Сов. радио, 1966. 728 с.