Оценка динамических характеристик электромеханических систем по АРСС-модели сигнала Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОЦЕНКА ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПО АРСС-МОДЕЛИ СИГНАЛА

В данной статье предложены подходы к оцениванию динамических характеристик электромеханических систем с использованием авторегрессионной модели сигнала со скользящим средним (АРСС-модели). Показаны практические результаты исследований.

Изложение подхода к установлению разностных схем, отражающих структурные свойства сигнала, и порождаемых ими методов измерения динамических характеристик (ДХ) электромеханических систем (ЭМС) целесообразно вести, постепенно увеличивая сложность: начать с режима свободных затухающих колебаний одномерной ЭМС, затем перейти к режиму вынужденных колебаний, двумерной ЭМС и т. д.

Дифференциальное уравнение, описывающее работу электромеханической системы, может быть приведено к виду

у''+2ау'+ю0у = 0 . (1)

Решением (1) являются (при а2 - ю2 < 0) периодические затухающие колебания

у( )= Аое-сй8т(оЛ + фо ) (2)

апериодические затухающие колебания (при а2 - ю2 > 0)

у( )= А1е-а‘‘ + А2е-а2‘, (3)

критические затухающие колебания (при а2 = ю2)

у( )= е-аз‘ (Аз1 + А4) (4)

где А0, ф0, А1, А2, А3, А4 - константы, определя-

емые начальными условиями [1].

Ориентируясь на цифровые методы измерений и обработки данных, поставим в соответствие процессу затухающих колебаний последовательность отсчетов ук = у(к Д1), где Д1 - период дискретизации, к = 0,М, N+1- объем выборки. Так, для (2) будем иметь

Ук = А0е

-аШ

8Іп(юкМ + ф0),

применив к которому z-преобрaзовaние (2), получим в области изображений

ъ к =

У(ъ)=^А0е 2кл‘ • 8Іп(юкМ + ф0)•

к=0

_ С0 + С1ъ-1

1 -11ъ-1 +12ъ-2 ’ где С0 _ А0 8Іп ф0, С1 _ А0е-аЛ‘ • 8Іп(юМ - ф0),

, _ 2 008 юЛі

(5)

(6)

Видим, что 1 j - коэффициенты, не зависящие от номера отсчета, определяемые только динамическими свойствами вибросигнала (зна-

чениями а и ю) и значением шага дискретизации дг, j = 0д

После умножения на знаменатель представим (5) в виде

У^ )-1 ^-1У^ )+1^ -2У^ )= С0 + С^-1, применив обратное z-преобрaзовaние к которому, получим в области оригиналов авторегрессионную модель со скользящим средним (АРСС) или разностную схему (РС)

ук = ^-1 -12к-2 + С0 5к + С1 8к-1, (7)

где ук = 0 при к < 0, 5к = кк=00 - дискретный аналог дельта-функции.

00

Учтем, что при к >= 2 в (7) 5 к = 5 к-1 = 0, и в отсчетах ук реально присутствует помеха: систематическая из-за неадекватности постулируемой модели сигнала, погрешностей измерительного тракта и (или) случайная, имеющая в общем случае анормальное распределение вероятностей значений. [3] Тогда более общей для квазидетерминированного сигнала будет АР-модель или РС второго порядка

ук =^ук-1 -12 у к-2 +Х к (8)

где Xк - ордината аддитивной помехи, к > 2.

Выражение (8) описывает работу цифрового фильтра, преобразующего цветной шум отсчетов у При адекватности принятой модели (2) реальному сигналу значение отсчета будет предсказано по значениям ук-1 ук-2, 11 12 с ошибкой вида белого шума, а при наличии систематических погрешностей шум будет иметь некоторую окраску спектра.

Через коэффициенты 1112 в (6) определяются [4] параметр затухания

11

а _---1п—

2Лг 12

и резонансная частота

1 11

Ю _----- 008--;=

Л 2^17

(9)

(10)

Из (6), (9), (10) очевидны необходимые условия {11 12} для принятия модели (7)

(11)

Расчет 11 и 12 (с погрешностью при наличии помех) может быть произведен при дополнении (8) хотя бы одним уравнением, образующим систему алгебраических уравнений (СЛАУ)

[ук = ^к-1 -1 2у к-2 +Х к 1у1=11у1-1-1 2 у 1-2 + Х к, (12)

где 1Ф к, 1 > 2.

При 1 = к+1 будет минимальная длительность реализации в l3Дt. Условие выбора Дt:

Т 2р

2 < — < 10 +12, где Т = —. Таким образом, воз-

д ю !

можна оценка а и ю на — ^ ^ части периода колебаний.

Для того чтобы обеспечить помехозащищенность измерений или, соответственно, снизить требования к точности единичного измерения, следует от рассмотренного определения неизвестных параметров по минимуму данных перейти к обработке избыточных измерений [4]: увеличить объем выборки и количество используемых РС вида (8), переопределить СЛАУ, обеспечить тем или иным путем регуляризацию ее решения, дать тем самым «сток» для помех. [2, 3]

Другим возможным приемом является увеличение для обеспечения возможности учета окраски шума, порядка РС, а затем уже обращение к регуляризации.

Возможны различные методы получения устойчивого решения переопределенной СЛАУ [3, 4]. В плане удовлетворения требований помехозащищенности и устойчивости оценок, существования метрологического обеспечения оправдало обращение к методу наименьших модулей, методу наименьших квадратов (МНК) и его модификациям [4].

МНК-оценки, хотя бы и в качестве первого приближения, привлекательны тем, что реализуют принятую при моделировании ЭМС энергетическую эквивалентность, традиционны в

Рисунок 1. Плоскость значений коэффициентов РС для колебаний линейной одномерной ЭМС.

1 - область значений коэффициентов для затухающих периодических колебаний; 2 - для апериодических колебаний; 3 - для критических апериодических колебаний.

приложениях. Вместе с тем они не обладают свойством устойчивости, поэтому необходимо дополнить МНК специальными процедурами для его обеспечения.

Будем МНК-оценки 1\, 1‘2 получать при текущем сглаживании по выборке объемом Ь из общей выборки объемом N+1:

„.Л Ь+У-1

^ 12 }= ш^пип -11у,-1 -1^к-2}2,(13)

где V > 2, Ь + п-1< МД = 1.Ы-Ь, М-Ь-1-число получаемых текущих МНК- оценок.

Наиболее распространенный алгоритм выполнения условия (13) на каждом шаге текущего сглаживания (через один, два и т. д. отсчетов) - получение системы нормальных уравнений Юла - Уокера [2, 4].

Однако при этом соответствующие матрицы имеют обычно плохую обусловленность, особенно при рассматриваемых в дальнейшем случаях РС с числом неизвестных коэффициентов больше двух. Поэтому каким бы методом ни решались нормальные уравнения, ошибки во входной информации и ошибки округления, внесенные в процессе решения чрезмерно перемножаются в вычисляемых коэффициентах 1\, 1‘2 [4].

В качестве основного для числа неизвестных коэффициентов РС не более шести использован и дал хорошие результаты метод сингулярных разложений, избегающих большого числа обусловленности путем отбрасывания некоторых сингулярных чисел для обеспечения минимума суммы квадратов отклонений РС. Данный метод позволил решать СЛАУ с числом обусловленности до 1011.

Через вычисляемые при разложении сингулярные числа и дисперсию помехи могут быть рассчитаны и дисперсии коэффициентов РС [4], значения которых вместе со значением минимизируемой суммы квадратов отклонений характеризуют точность измерений на отдельных тактах текущего сглаживания или, в качестве частного случая, при сглаживании по всей выборке.

Получаемые в ходе текущего сглаживания МНК-оценки 1\, 1‘2 целесообразно использовать, во-первых, для изучения возможного при линеаризации ЭМС тренда ДХ а и ю, отнесенных к и-ому отсчету ординат колебаний (и-ому значению огибающей), а во-вторых, для расчета статистически устойчивых коэффициентов РС, например, путем их линейной комбинации (Ь-оценки), комбинации их рангов в вариаци-

онном ряду и значении суммы квадратов отклонений на і-ом такте (Я-оценки) и других процедур, допускающих настройку на заданную выборочную ситуацию [4].

Одной из наиболее простых, хорошо исследованных по своим статистическим свойствам процедур обеспечения робастности является нахождение медианных значений из і-ьіх оценок коэффициентов РС. Далее будут, как правило, использоваться оценки вида

(14)

Уі = Aole-

sin wkAt + AO2e

ГДе Aoi Aq COS фо , Л02 Ло Sin фо •

Осуществляя среднеквадратическое приближение (16) на {а01,Л02 },, получим МНК-оценки

{AOl,AO2 }= argmin ХУ

д _. д __ і_ /ч L

A0l,A02 k=O

- А02е акА ^ кюА^2. (17)

После определения А01 и А02 из (17) помехозащищенные оценки коэффициентов А0 и ф0, зависящих от начальных значений (СС-парамет-ров), будут равны

А

Ao = ■

= arctg

рованная сумма квадратов отклонений модельных значений от реальных, т. е. финальная ошибка прогноза. Для (2) с учетом (18) мера неадекватности имеет вид

I{yk - Aoe-akAtsin

in (tt)kAt + jo )}

Eh =

I Yi

для которых легко рассчитываются через квантили множества ьых оценок А дисперсии и 95%-ые доверительные интервалы:

= А ± 4 Г'5 ^, (15)

где К-Ь+1=>4 5 для обеспечения расчета соответствующих квантилей.

Изложенные здесь приемы обеспечения вычислительной и статистической устойчивости являются общими и для используемых в дальнейшем методов измерения ДХ через разностные схемы.

Итак, определив на первом этапе идентификацию для (8) и А 2, а в соответствии с (9) и (10) ю, представим ряд отсчетов для (2) в виде:

-акД‘сО!5 ЮА1, (16)

Ошибка прогноза больше 80-90% говорит об очень больших значениях дисперсии помехи или о неудовлетворительном выборе модели [4].

Следует рассмотреть и частный практически важный случай, когда детектором выделяется огибающая колебаний, а частота измеряется частотомером или используется аппаратная (программная) реализация преобразования Г ильберта [3] для узкополосного аналитического сигнала

у( )= А( )сОБ ю(), (19)

каковым является сигнал (2).

Огибающая А(1) и мгновенная частота w(t) равны соответственно

а( )=д/у7 ()+ уг2 ()

w(t) = yr (t)y(t)-Уг (t(t) wt)= У tt)+ yrtt) ’

где

У г tt )=-p-1 J

У(х)

x^T

dx

(20)

(21)

(22)

Для отсчетов огибающей сигнала (2) справедлива РС

Ак =АкАк-1 +хк, (23)

где = е-иА‘,<1.

Из (2) найдем АГ, обеспечивая экстремум функционала

1 = medargminMvl{k -1lAk-}2

(24)

По вычисленным на втором этапе идентификации А0 и (р0 могут быть рассчитаны «подправленные» в среднеквадратическом смысле ординаты колебаний

у к = Аое-акА‘ 8ш(юкД1 + Фо). (18)

В качестве интегральной характеристики точности, критерия неадекватности постулируемой модели, порядка РС принимается норми-

где Мп^{}= },У> 1, Ь+и-1< N.

К=У

Начальное значение огибающей сигнала (2) определяет условие

N / /V \2

Ао = агятіп-^і^Ао) .

Ао К=0

Использованная процедура регуляризации с текущим среднеквадратическим приближением в определенной мере снимает проблему, связанную с переменной чувствительностью методов измерений, зависящей от А1, номера отсчета к, значений ук или Ак, приводя к наиболее устойчивому значению і за время (N+1^1 выборки. Рассмотренная модель

k

01

01

сигнала (2) является одной из наиболее употребляемых для описания динамических явлений в ЭМС: при изучении демпфирующих свойств материалов и конструкций, в методе «ударных импульсов» для дефектации под-

шипников, когда в широкополосном вибросигнале появляются значительные по величине импульсы, при моделировании акустической эмиссии, в задачах динамики манипуляционных роботов.

Список использованной литературы:

1. Райхер В.Л. Модели рассеяния усталостной долговечности, использующие понятие индивидуальных кривых сопротивления усталости. // Расчет и управление надежностью больших механических систем. - Свердловск: УНЦ АН СССР, 1986. - С. 35-41.

2. Дач Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и г - преобразования. - М.: Наука, 1971. - 288 с.

3. Бабкин Н.В., Макшанов А.В., Мусаев А.А. Робастные методы статистического анализа навигационной информации / Под. ред. И.В. Челпанова. - Л.: ЦНИИ «Румб», 1985. - 206 с.

4. Семенычев В.К. Оценка динамики механических систем по АР-СС модели сигнала // Вибродиагностика. - 1987. С. 111-115.