ОЦЕНКА ЧАСТОТ СИГНАЛА, ПРЕДСТАВЛЕННОГО В ВИДЕ СУММЫ ДВУХ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ, ПО СЖАТЫМ ДАННЫМ Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 62

Голованов Д.Ю.

старший преподаватель кафедры кибербезопасности информационных систем Воронежский государственный университет (г. Воронеж, Россия)

Ляликова В.Г.

канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры кибербезопасности информационных систем Воронежский государственный университет (г. Воронеж, Россия)

ОЦЕНКА ЧАСТОТ СИГНАЛА, ПРЕДСТАВЛЕННОГО В ВИДЕ СУММЫ ДВУХ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ, ПО СЖАТЫМ ДАННЫМ

Аннотация: в работе представлены результаты моделирования классического алгоритма оценки, основанного на методе максимального правдоподобия и алгоритма, основанного на методе Orthogonal Matching Pursuit, при решении задачи оценки частот сигнала в виде суммы двух синусоид с неизвестными частотами при дискретной обработке данных, представленных в сжатой форме.

Ключевые слова: оценка параметров, максимальное правдоподобия, алгоритм.

В статистической радиотехнике задача оценки неизвестных параметров сигнала при наличии шума является классической задачей и к настоящему времени известно большое количество различных алгоритмов, предназначенных для ее решения [2,3,10-11]. Однако, все они имеют большую вычислительную сложность. Поэтому важным и актуальным является поиск и анализ эффективности новых алгоритмов обработки сигналов с целью оценивания их

параметров, которые бы позволили уменьшить количество выполняемых операций в приемных устройствах.

1. Оценка параметров известного сигнала в отсутствии сжатия с использованием алгоритма, основанный на методе максимального

правдоподобия

Предположим, что на интервале [0,7] наблюдаемые данные х(0 представляют собой аддитивную смесь помехи и сигнала s(t, в(0)), где 6(0) -вектор истинных значений оцениваемых параметров. Предположим, что эти параметры (вектор 0) являются неизвестными, а известны лишь априорные области их возможных значений 6Г е [0г©гтах], г=1,.. ,,Я, где Я - количество неизвестных параметров. Требуется оценить их значения (вектор 0) по наблюдаемым данным х(^. Далее будет рассматриваться лишь дискретная обработка, так что вместо непрерывной реализации х(^, будем иметь вектор х е ЯNt из его временных отсчетов, взятых согласно теореме Котельникова [1], чтобы минимизировать потери при дискретизации. В случае гауссовской статистики помехи п е ЯNt наиболее продуктивным является подход, основанный на оценке параметров сигнала по максимуму отношения правдоподобия [2,10,11]. Например, если п представляет собой вектор, содержащий гауссовские центрированные некоррелированные случайные величины с дисперсией Б, то логарифм отношения правдоподобия может быть представлен [2,10,11] как

Тогда оценки неизвестных параметров 6г (г=1,...,Д) определяются положением абсолютного максимума решающей статистики (1). Однако аналитический поиск максимума функции многих переменных практически невозможен. Поэтому этот поиск приходится осуществлять численными методами, для чего требуется дискретизировать (1) также по всем неизвестным

(1)

где х = ), ^ (0) = s(tl, 0).

параметрам вг (т=1,...Д). В результате получается массив значений решающей статистики (1), размер которого может достигать огромных значений, что приведет к большим вычислительным затратам.

В данной статье будем рассматривать сигнал s(t) в виде двух синусоид с частотами /01 и /2:

, е(0)) = , f(0)) = ът(2п/01;) + ът(2п/02;). (2)

Эти частоты будем далее оценивать. То есть, в этом случае вектор неизвестных параметров сигнала е = f = (/1, /2).

2. Оценка параметров известного сигнала по сжатым данным

Предположим, что мы имеем данные представленные в сжатой форме, то

есть

у = ф^ + п) = Фs + Фп, (3)

где 8 - вектор отсчетов сигнала размерности N х 1, сформированный посредством дискретизации сигнала (2), п - шумовой вектор размерности N х 1, содержащий гауссовские центрированные некоррелированные случайные величины с дисперсией Б. Матрица Ф имеет размерность М х N, при условии, что М < N. Рассмотрим решение задачи оценки частот сигнала, имеющего вид (2), то есть представляющего собой сумму двух синусоид с разными частотами и единичными амплитудами по сжатым данным, имеющим вид (3).

2.1. Алгоритм, основанный на методе максимального правдоподобия

Рассмотрим решение задачи оценки с использованием алгоритма, основанного на методе максимального правдоподобия. Для этого будем искать максимум отношения правдоподобия, который для данной задачи будет иметь вид:

Л (О = ехр [1ут(ФФТ)-1Ф5 (ФБ)7(ФФТ)-1Ф5

Будем далее искать максимум не самого отношения правдоподобия, а его логарифма, который будет иметь вид:

ВД = = 1ут(ФФТ)-1Ф5 (ФБ)7(ФФТ)-1Ф5.

Будем решать эту задачу посредством компьютерного моделирования. Выберем матрицу Ф (размера М х N) так что каждый ее элемент представляет собой гауссовскую центрированную случайную величину с единичной дисперсией. Количество реализаций шума для каждого набора параметров выберем равным не менее 1000.

Эффективность алгоритма будем определять посредством анализа таких характеристик оценки как смещение [2,10,11], рассеяние [2,10,11] и средний квадрат ошибки восстановления сигнала [1]. С этой целью проведем компьютерное моделирование алгоритма. Будем проводить дискретную обработку сигнала, в связи с чем определим шаг дискретизации сигнала. Как известно, это можно сделать на основе теоремы Котельникова [1]. Выберем интервал наблюдения длительностью 7=1, частоты сигнала положим равными: /01 = 100Гц, /02 = 150Гц. Ниже на рисунке 1 представлен спектр сигнала в виде (2).

О 200 400 600 ВОТ 1000 1200 1400 1600 1ВОО 2000

Рис. 1. Модуль спектральной плотности сигнала

Исходя из представленных на рисунке 1 данных, выберем максимальную частоту а>т = 2000 рад/с. Поэтому шаг дискретизации по времени будет равен & = к / ют = 0,00157 с. Тогда количество отсчетов сигнала по времени будет N=637.

Ниже на рисунке 2 представим зависимость смещения, рассеяния для каждой частоты и среднеквадратичной ошибки восстановления от отношения сигнал/шум

где 8 - вектор отсчетов сигнала размерности N х 1 для классического алгоритма, основанном на методе максимального правдоподобия, при Ы/^0,4.

Рис. 2. Зависимость смещения (а), рассеяния (б) для обоих частот и среднеквадратичной ошибки восстановления (в) от отношения сигнал/шум I для

классического алгоритма при М^=0.4

На рисунке 2 сплошной кривой изображена зависимость для первой компоненты сигнала (частота 100 Гц), а штриховой-для второй компоненты сигнала (частота 150 Гц). Из анализа представленных зависимостей следует, что все характеристики убывают с увеличением отношения сигнал/шум. Кроме того, из анализа рисунка 2(а) следует, что оценка является асимптотически несмещенной.

Аналогичные зависимости представлены на рисунке 3 с теми же обозначениями при Ы^=0.8.

Рис. 3. Зависимость смещения (а), рассеяния (б) для обоих частот и среднеквадратичной ошибки восстановления (в) от отношения сигнал/шум I для

классического алгоритма при ММ=0.8

Для сравнения представим на одном рисунке (рисунок 4) для первой компоненты сигнала (частота 100 Гц) аналогичные зависимости для двух значений отношения Ы/Ы=0А (сплошная кривая) и Ы/Ы=0.8 (штриховая кривая).

Рис. 4. Зависимость смещения (а), рассеяния (б) для меньшей из частот и среднеквадратичной ошибки восстановления (в) от отношения сигнал/шум I для классического алгоритма для ряда значений ММ

Из анализа представленных зависимостей следует, что с увеличением M/N указываемые характеристики уменьшаются и оценка становится более точной. 2.2. Алгоритм, основанный на методе Orthogonal Matching Pursuit Рассмотрим решение задачи оценки с использованием алгоритма, основанного на методе Orthogonal Matching Pursuit (OMP) [9]. Этот жадный алгоритм может быть использован для оценки положений и амплитуд ненулевых компонент разреженного сигнала. Будем также использовать модель данных в

виде (3). Однако отметим, что сам сигнал s (размера N х 1) не является разреженным. Он будем разреженным в частотной области, то есть разреженным будет вектор его коэффициентов в базисе Фурье. Обозначим Т -матрица обратного дискретного преобразования Фурье (ОДПФ) размера N х N. Тогда сам сигнал s может быть представлен в виде s = Тс, где с - вектор его коэффициентов. В этом случае представим (3) в виде:

y = ф^ + n) = Фs + Фп = ФТс + Фп = 0с + Фп.

В этом случае задача сводится к восстановлению разреженного вектора с. Затем ищем положения ненулевых компонент этого вектора и пересчитываем их в частоты, которые и будут оценками наших исходных значений. То есть получаем стандартную задачу, рассматриваемую в рамках теории Compressive Sensing (CS) [4 - 9].

Будем решать эту задачу посредством компьютерного моделирования. Для моделирования зададим те же значения параметров, что и ранее.

Ниже на рисунке 5 представим зависимость смещения, рассеяния для каждой частоты и среднеквадратичной ошибки восстановления от отношения сигнал/шум z при отношении M/N=0.4.

Рис. 5. Зависимость смещения (а), рассеяния (б) для обоих частот и среднеквадратичной ошибки восстановления (в) от отношения сигнал/шум I для алгоритма ОМР при

мт=ол

На представленном рисунке кривая 1 соответствует частоте 150Гц, кривая 2-частоте 100 Гц.

Далее на рисунке 6 представим аналогичные зависимости с теми же обозначениями при отношении Ы/Ы=0.8.

Рис. 6. Зависимость смещения (а), рассеяния (б) для обоих частот и среднеквадратичной ошибки восстановления (в) от отношения сигнал/шум I для алгоритма ОМР при

М/М=0.8.

Из анализа представленных рисунков следует, что все указанные характеристики уменьшаются с увеличением отношения сигнал/шум и увеличением отношения M/N. Кроме того, из анализа этих рисунков следует, что оценка является асимптотически несмещенной.

Сравним эффективность предложенных алгоритмов. С этой целью для частоты 100 Гц и отношения MN=0.8 нанесем все указанные выше характеристики в зависимости от отношения сигнал/шум на один рисунок (рисунок 7).

г г г

а] б) в)

Рис. 7. Зависимость смещения (а), рассеяния (б) для частоты 100 Гц и среднеквадратичной ошибки восстановления (в) от отношения сигнал/шум z для алгоритма OMP и классического алгоритма при MN=0.8

На этом рисунке сплошные кривые описывают поведение метода максимального правдоподобия, а штриховые-алгоритма OMP.

Из анализа представленных зависимостей следует, что алгоритм OMP проигрывает классическому алгоритму, базирующемся на методе максимального правдоподобия. При малых отношениях сигнал/шум этот проигрыш является существенным.

Кроме того, следует отметить, что представленный в этой работе алгоритм, основанный на методе максимального правдоподобия, хотя и имеет наибольшую сложность, в ситуации без сжатия дает наилучшие результаты по эффективности по сравнению с обоими алгоритмами со сжатием. Результаты моделирования этого алгоритма в работе не представлены, но можно отметить, что он дает выигрыш на порядок почти при всех значениях отношения сигнал/шум и M/N.

Заключение

В работе были представлены результаты компьютерного моделирования алгоритмов оценки частоты по сжатым данным: классический алгоритм максимального правдоподобия и алгоритм, основанный на методе OMP. Для сравнения также представлен классический алгоритм максимального правдоподобия для случая без сжатия. В случае со сжатием более простым с точки зрения вычислительной сложности, является алгоритм, основанный на OMP, но с точки зрения эффективности он проигрывает классическому и его

целесообразно использовать только при больших отношениях сигнал/шум (более 10)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Айфичер Э. Цифровая обработка сигналов. Практический подход / Э. Айфичер, Б. Джервис. - М.: Издательский дом «Вильямс», 2004. - 992 с;

2. Куликов Е.И. Оценка параметров сигналов на фоне помех / Е.И. Куликов, А.П. Трифонов. - M.: Советское радио, 1978. - 296 с;

3. Марпл-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения / С.Л. Марпл-мл. - М.: Мир, 1990. - 265 с;

4. Candes E.J. An introduction to compressive sampling / E.J. Candes, M.B. Wakin // I E E E Signal Processing Magazine. - 2008. - V.25. - №2. - P. 21-30;

5. Chen S. Atomic decomposition by basis pursuit / S. Chen., D. Donoho, M. Saunders // SIAM Journal on Scientific Computing. Vol. 20, №1, 1998. - P. 33 - 61;

6. Donoho D.L. Compressed sensing / D.L. Donoho // I E E E Transaction on Information Theory. - 2006. - V.52. - №4. - P. 1289 - 1306;

7. Foucart S. A Mathematical introduction to compressive sensing / S. Foucart, H. Rauhut. - Springer, 2013. - 625 p;

8. Needell D. CoSaMP: Iterative signal recovery from incomplete and inaccurate samples / D. Needell, J. Tropp // Applied and Computational Harmonic Analysis. Vol. 26, №3, 2009. - P. 301 - 321;

9. Tropp J. Signal recovery from random measurements via orthogonal matching pursuit / J. Tropp, A. Gilbert // I E E E Transaction on Information Theory. Vol. 53, №12, 2007. - P. 4655 - 4666;

10. Van Trees H.L. Detection, estimation, and modulation theory, Part I: Detection, estimation, and linear modulation theory / H.L. Van Trees, K.L. Bell. - 2nd ed. - New York: Wiley, 2013. - 1176 p;

11. Van Trees, H.L. Detection, estimation, and modulation theory, Part III: Radar-sonar signal processing and gaussian signals in noise / H.L. Van Trees. - New York: Wiley, 2001. - 626 p.

Golovanov D. Yu., Lyalikova V. G.

Golovanov D.Yu.

Voronezh State University (Voronezh, Russia)

Lyalikova V.G.

Voronezh State University (Voronezh, Russia)

ESTIMATION OF FREQUENCIES OF SIGNAL PRESENTED AS SUM OF TWO HARMONIC VIBRATIONS FROM COMPRESSED DATA

Abstract: the paper presents the results of modeling a classical estimation algorithm based on the maximum likelihood method and an algorithm based on the Orthogonal Matching Pursuit method when solving the problem of estimating signal frequencies in the form of a sum of two sinusoids with unknown frequencies during discrete processing of data presented in compressed form.

Keywords: parameter estimation, maximum likelihood, Compressive Sensing, Orthogonal Matching Pursuit.