CC BY
9
The article is devoted to the combat reconnaissance complex of the UAV. Its scope of application and the main characteristics of each aircraft are described.
Key words: UAV, aircraft, aviation, intelligence.
Malakhovetsky Anton Andreevich, candidate of technical sciences, deputy head of MIT «ERA», batalov.pav@yandex.ru, Russia, Anapa, FGAU <<MIT<<ERA»,
Zlobar Alexander Andreevich, senior researcher of MIT "ERA", batalov.pav@yandex.ru, Russia, Anapa, FGAU «MIT «ERA»,
Vorobyov Andrey Vasilyevich, junior researcher of MIT "ERA", batalov.pav@yandex.ru, Russia, Anapa, FGAU «MIT «ERA»,
Karpov Denis Konstantinovich, operator of MIT "ERA", batalov.pav@yandex.ru, Russia, Anapa, FGAU «MIT «ERA»,
Abalyan Ivan Konstantinovich, operator of MIT "ERA", batalov.pav@yandex.ru, Russia, Anapa, FGAU «MIT «ERA»
УДК 519.217.8
DOI: 10.24412/2071-6168-2021-9-55-61
ОЦЕНИВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ИСТОЧНИКА ОШИБОК ПО ВЫБОРКЕ ОГРАНИЧЕННОГО ОБЪЕМА С ПРОПУСКАМИ
А.А. Горшков, А.В. Плахов
Предложен метод оценивания марковских цепей в условиях рассредоточенных во времени наблюдений. Произведен сравнительный анализ качества оценивания на основе биномиальной и марковской модели.
Ключевые слова: оценивание, марковская цепь, случайный процесс.
Известные методы оценивания параметров марковских цепей основаны на частотном оценивании [1]. При этом, на практике часто отсутствует возможность наблюдения состояний исследуемых систем, чтоусложняет получение пригодных оценок параметров марковских источников. Вышеуказанноеобусловилопотребность вразработке методов оценивания марковских цепей в условиях рассредоточенных во временинаблюдений. В [2] предложены зависимости, определяющие оценки элементов матрицы переходных вероятностей односвязной цепи Маркова по выборке ограниченного объема с пропусками данных для двоичного случая.
Предполагается, что известна финальная вероятность р(0). Требуется получить на ее основе оценки переходной вероятности р(0/0). Так как дополнительные сведения относительно переходной вероятности р(0/0) отсутствуют, предположим, что она распределена равномерно распределенной на интервале [p(0/0)mm,1]. В этом случае для плотности распределения переходной вероятности р(0/0)справедливоследующее выражение
/при M0/°u <р(0/0)<' U)
0 при p(0/0)< p(0/0)m,„
С учетом полученныхв (1) выражений для нижних границ интервалов областей определения р(0/0), получаем следующие выражения
р(0) < 0,5 : /(р(0 / 0)) = 1 при 0 < р(0/ 0) < 1, (2)
р(0) > 0,5: /(р(0/0)) =
р(0) при р(0)-р(1) < ^(0/0) < 1
р(1) р(0)
0 при р(0/0) < р(0) - р(1)
Р(0)
(3)
Графические плотности распределения случайной величины р(0/0) представлены для общего случая (рис. 1, а) и для случаев, когда р(0) < р(1) (рис. 1, б) и р(0) > р(1) (рис. 1, в).
да/о»
да/о»
«о/о»
Р(0/0)
Рис. 1. Плотности распределений переходной вероятности двоичной цепи Маркова
Функции распределения р(0/0) для указанных случаев определяются следующими выражениями
0 при р(0/0) < р(0/0) ^
р(0/0) - р(0/0)т;п
р (р(0 / 0)) =
при р(0/0) т,п < р(0 / 0) < 1
1 - р(0 / 0)„,п
р(0) < 0,5 : р(р(0 / 0)) = р(0 / 0) при 0 < р(0/ 0) < 1,
р(0) > 0,5: р(р(0/0)) =
0
при р(0/ 0) <
р(0) - р(1) р(0)
(4)
(5)
(6)
1 (1 -р(0/0)) при < р(0/0) < 1
1 - р(0) р(0) Функции распределения переходной вероятности р(0/0) для рассматриваемых случаев имеют вид, представленный на рис. 2.
Пр(0/0))
тхт)
Р(0/0)
а) б) в)
Рис. 2. Функция распределения переходной вероятности односвязной двоичной цепи
Маркова
В соответствии с общими формулами вычисления моментов равномерно распределенной случайной величины [3] дисперсия, среднеквадратическое отклонение (СКО) и математическое ожидание (МО) определяются как
Б
р(0/0)
-1 f р(0/0)
1 - р(0/0) тп ^
р(0/0)т^п + 1 ^ 2 ф(0/0) = ( р(0/0)т^п) 2
2
12
Б
р(0/0)
1
— при р(0) < 0,5
)2 /12 при р(0) > 0,5 56
(7)
а
р(0/0)
а
р(0/0)
р(0/0) 1
2л/3 Р(1)
= 1 - р(0/0)шДп, 2л/3 ' при р(0) < 0,5
при р(0) > 0,5
т
2л/3р(0)
р(0/0) Ф(0/0) = Р^
+ 1
(9)
(10)
(11)
Р(0/0)= Р^1 - Р(0/0)т1п ^ ' 2
В результате, графически зависимость СКО и дисперсии переходной вероятности р(0/0) от вероятности р(0) имеет вид, представленный на рис. 3.
Р(0/0) 0/0)
0,260,240,220,20,18-0Д6-0,14-0Д2-
од • 0,08' 0,06' 0,04" 0,02-
2
/
1 \
/ %
\ ^
0,0 ОД 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 р(0)
Рис. Зависимость СКО (1) и дисперсии (2) переходной вероятности от абсолютной вероятностиодномерной двоичной случайной величины
Известно, что относительная частота события является пригодной оценкой вероятно-
сти
Р(0) =
N
(12)
(13)
где П- число «0» в обучающей выборке; N - объем обучающей выборки.
При этом, в соответствии с [3], на основе функции Лапласа можно рассчитать объем выборки при известных требованиях к точности и надежность оценок.
Так как что математическое ожидание равномерно распределенной случайной величины является её пригодной оценкой[4], то выражение для оценки переходной вероятности принимает вид
Г 0,5 при р(0)< 0,5
Р(0,0)=1'-2р(0) при Р(»'>0,5
Соответствующая (13) зависимость представлена на рис. 4.
Следовательно, оценки всех переходных вероятностей двоичной односвязной цепи Марковаможно получить, на основе оценки р (0/0) вместо р(0/0) и выражая требуемые переходные вероятности из финальных вероятностей
рр(1/0) = 1 -р(0/0) = 1 - р(0/02- +1 = 2-(14)
Учитывая, что р(10) = р(1)р(0/1), получим выражения для оценок переходных вероятностей односвязной двоичной цепи Маркова
П
ь Гол)-р(1/о)Р(о)_(1 - Р (0/0))/р(0^ Р(о/1)_ ь(1) _ 1 -Р(0) _ 1 -Р(о) ■
1-
ь(о/о),
шт +11 Р(о)
Р (1/1)_ 1 - р(о/1)_ 1 -
1 -
ь(о/о),
1 - Р(о)
тт±! | р(о)
1 - Р(о)
(15)
(16)
Р(0/0)
10,975" 0,950,9250,90,8750,850,8250,80,7750,750,7250,70,6750,650,6250,6-
0,550,525-
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 р(0)
Рис. 4. Зависимость оценки переходной вероятности одномерной ДСВ от абсолютной
вероятности одномерной ДСВ
Полученные выражения позволяют получать пригодные оценки переходных вероятностей односвязной двоичной ЦМ. Получим выражения для расчета пригодных оценок финальных вероятностей П-мерных ДСВ. Поскольку элемент расширенного поля 0¥ (2П) представляет собой П -мерный вектор, значения элементов которого принадлежат полю 0¥ (2), П-мерная ДСВ есть упорядоченный набор состояний в поле С¥ (2), а её вероятность определяется по правилу умножения условных вероятностей
Р(xо,
*п> _
п
)_ Р(хо )П Р( 1Х-1).
(17)
г_1
Однако на практике задачи оценивания параметров ЦМ требуется решать в условиях априорной неопределенности относительно вероятностей одномерной ДСВ и выборки ограниченного объема V.
Поэтому возникает задача получения пригодных оценок вероятностей одномерной ДСВ, пригодной оценкой которой является (12). В результате оценки финальных вероятностей П -мерной ДСВ при описании двоичного случайного процесса односвязной ЦМ определяются выражением
П
Р (( Х!— Хп )_ Р(хо )П Р(( 1 ), (18)
г_1
где Р (хг.) - относительная частота события х.. В случае х. _ о Р (хг.) вычисляется в соответствии с выражением (12). При _ 1 Р(х.) _ 1 - Р(о) .
Тогда, например, оценки вероятности двумерной ДСВ Р (оо) определяются системой
Р(о)< о,5 : Р(оо)_ Р(о))5(о/о)_
Р(о), о,5 : Р(оо)_ Р(о^Р(о/о) _ Р^^^ +_^
2
2
Зависимости финальных вероятностей двумерных ДСВ от значения одномерной ДСВ представлены на рис. 5, а зависимости финальных вероятностей трехмерной ДСВ от значения одномерной ДСВ - на рис. 6.
: г / у N
> п-- / / / \ \ V \
ь V * \ V £
Рис. 5. Зависимость оценки вероятности двоичных двумерных случайных величин от вероятности одномерной двоичной случайной величиныр(0) для схемы Бернулли (1)
и односвязной цепи Маркова (2)
Рис. 6. Зависимость оценки вероятности двоичной трёхмерной случайной величины от вероятности одномерной двоичной случайной величиныр(0) для схемы Бернулли (1)
и односвязной цепи Маркова (2)
Дисперсия оценки вероятности двоичной двумерной СВ в зависимости от вероятности одномерной ДСВ р(0) для случая схемы Бернулли определяется выражением
Вр(00) =
(0) 1 (( - Р2 (0))2 «х = р2 (0) р2 (0)-р(0)+3
р(0)
1 1 (( - р2 (0))2 «X = р4 (0)-3р3 (0)+10 р2 (0)-5 р(0)+3
(20)
I (л) \ ^'=1' р2(0)-5
^ - р(0)2 р(0)-1 3 3
Для односвязной цепи Маркова та же зависимость имеет вид
в
р(00)
р(°111 * = р!(0)
1
— г
р(0) о
1 р(0) / \ Т-р55,- р 2 (0)
р(0)
(1 - р(0))2 12
(21)
Графически дисперсии (20) и (21) представлены на рис.7.
Анализ зависимостей (20) и (21) показывает, что, исключая точки р(0) = 0, р(0) = 0,5 и р(0) = 1, дисперсия полученной оценки р(00) меньше, чем дисперсия оценки, полученной согласно схемы Бернулли. Следовательно, полученная оценка р(00) более эффективна.
Рис. 7. Зависимость дисперсии оценки вероятности двоичной двумерной случайной величины Р(оо) от вероятности одномерной двоичной случайной величины р(о) для схемы Бернулли (1) и односвязной цепи Маркова (2)
Кроме этого, при использовании биномиальной модели в качестве модели двоичного СП с памятью оценка р(оо) будет являться смещённой. Математическое ожидание этой оценки определяется выражением
т
Р(оо)
Р 2 (о)- Р2о) при р(о)< о,5 Р2(о)- 3Р(о)-1 прир(о)>о,5
(22)
Тогда смещение оценки р(оо) в зависимости от вероятности одномерной ДСВ р(о) при использовании биномиальной модели имеет вид
1-т
[р (оо)- Р (оо)]
Рис. 8. Зависимость смещения оценки р(оо) от вероятности одномерной двоичной случайной величины р(о) при использовании биномиального распределения вероятностей
бо
Таким образом, аналитически оцениватель переходных вероятностей односвязной двоичной цепи Маркова определяется абсолютной вероятностью одномерной ДСВ, оценка которой определяется выражением (12), и совокупностью выражений, определяющих значения переходных вероятностей (13-16), вычисляемых на основе оценки (12). Оценка вероятности любого «-мерного двоичного вектора производится на основе выражения (18).
Список литературы
1. Ли.Ц., Джадж Д., Зельнер А. Оценивание параметров Марковских моделей по агрегированным временным рядам. М.: Статистика, 1977. 221 с.
2. Конышев, М.Ю. Метод моделирования векторных двоичных марковских процессов, учитывающий ограничения на диапазоны значений многомерных двоичных случайных величин / М.Ю. Конышев, А.Р. Деркос, К.Е. Петров // Сборник докладов и тезисов научно-технической конференции «Современное состояние и перспективы развития транспортных сетей связи специального назначения» СПб: Военная академия связи им. С.М. Буденного. 2017. С. 260-262.
3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высш. школа, 1977. 478 с.
4. Закс Ш. Теория статистических выводов. М.: Мир, 1975. 776 с.
Горшков Алексей Анатольевич, канд. техн. наук, gorsch@inbox.ru, Россия, Орёл, Академия Федеральной службы охраны Российской Федерации,
Плахов Алексей Валерьевич, сотрудник alexey_@list.ru, Россия, Орёл, Академия Федеральной службы охраны Российской Федерации
ESTIMATING THE STATISTICAL CHARACTERISTICS OF THE SOURCE OF ERRORS ON THE SAMPLING OF A LIMITED VOLUME WITH MISSES
A.A. Gorshkov, A.V. Plakhov
A method for estimating Markov chains under the conditions of observations dispersed in time is proposed. A comparative analysis of the quality of estimation based on the binomial and Markov model is carried out.
Key words: estimation, Markov chain, stochastic process.
Gorshkov Aleksey Anatol'yevich, candidate of technical sciences, gorsch@inbox.ru, Russia, Orel, Academy of the Federal Security Service of the Russian Federation,
Plakhov Aleksey Valeryevich, employee, alexey_@list. ru, Russia, Orel, Academy of the Federal Guard Service of the Russian Federation
