CC BY
99
Отражение ультразвуковых импульсов от границы воды с неидеально упругими средами: экспериментальные данные для случая наклонного падения
Ю.И. Колесников
Институт геофизики СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия
Проведены лабораторные эксперименты по изучению отражения ультразвуковых импульсов от границы воды с неидеально упругими средами для случая наклонного падения. Показано, что для границы воды и материала со слабыми поглощающими свойствами (плексигласа) экспериментальные данные хорошо описываются теоретической зависимостью, полученной для идеально упругих сред. Для данных, полученных для границы материалов с сильным контрастом поглощающих свойств («вода - пластилин»), такая зависимость дает большие погрешности в области критических углов. В то же время, кривая, рассчитанная с учетом поглощения, удовлетворительно аппроксимирует экспериментальные данные. Для границы воды с водонасыщенным песком экспериментальные коэффициенты отражения неудовлетворительно описываются теоретическими зависимостями, полученными для сплошных сред как без учета, так и с учетом поглощения. Анализируются возможные причины этого эффекта.
Reflection of ultrasonic pulses from the interface between water and non-perfectly elastic media: experimental data for the case
of oblique incidence
Yu.I. Kolesnikov
Institute of Geophysics SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia
Laboratory experiments on studying the reflection of ultrasonic pulses from the interface between water and non-perfectly elastic media are performed for the case of oblique incidence. It is shown that for the interface between water and material with low absorbing properties (plexiglass) the experimental data are adequately described by the theoretical dependence obtained for perfectly elastic media. For the data obtained for the interface of materials with contrasting absorbing properties (“water - plasticine”) such dependence is in error of critical angle values. At the same time the curve calculated with respect to absorption approximates satisfactorily the experimental data. For the interface between water and water-saturated sand experimental reflection coefficients are unsatisfactorily described by theoretical dependences obtained for continua both with regard and with no regard for absorption. Possible causes of this effect are analyzed.
1. Введение
Случай наклонного падения упругих волн на границу раздела сплошных идеально-упругих сред исследован давно и достаточно детально. В последние десятилетия также развита теория отражения-преломления для сред с поглощением [1-3], численно исследован характер отличий от случая идеальной упругости [4, 5]. Влияние поглощения на отражение упругих волн исследовалось
и экспериментально, но опубликованные результаты либо имеют качественный характер (например, в работе [6] продемонстрировано смещение звукового пучка вследствие фазовых изменений при отражении от границы с неупругой средой), либо получены для границ материалов с относительно слабыми поглощающими свойствами [7]. Для таких границ отличие от упругости проявляется только при близких значениях упругих им-
© Колесников Ю.И., 2005
педансов граничащих сред и соответственно при малых значениях коэффициентов отражения, где относительная погрешность экспериментальных данных резко возрастает. Достаточно убедительного экспериментального подтверждения влияния поглощения в граничащих средах на величину коэффициентов отражения и преломления до настоящего времени получено не было.
Если говорить о консолидированных пористых флюидонасыщенных средах, например горных породах, то, по-видимому, в большинстве случаев формулы для коэффициентов отражения и преломления, полученные для идеально упругих сред, применимы и для них. Это связано с тем, что поглощение упругой энергии в таких средах, как правило, относительно невелико, а предсказываемая развитой для них теорией [8, 9] медленная продольная волна характеризуется небольшой в сравнении с быстрой продольной волной амплитудой — ее удалось обнаружить лишь в ходе специально поставленных экспериментов [10].
В то же время, в насыщенных неконсолидированных грунтах, как показали эксперименты [11, 12], при определенных условиях могут доминировать или быстрые, или медленные продольные волны; также возможно их одновременное распространение со сравнимыми амплитудами. Вполне вероятно, что каждая из них может вносить заметный вклад в процессы отражения и преломления на границе с таким грунтом. На это указывают и некоторые недавно опубликованные результаты [13]. В этой связи представляет интерес вопрос о том, насколько применимы формулы для коэффициентов отражения-преломления, полученные для сплошных сред (в том числе с учетом их неупругости), для описания процессов преобразования энергии на границах с насыщенными неконсолидированными грунтами.
В настоящей работе приведены результаты экспериментального исследования отражения ультразвуковых импульсов от границы воды с двумя модельными материалами, один из которых (плексиглас) имитирует практически упругую сплошную среду, а второй (пластилин) — сплошную среду с повышенными поглощающими свойствами, а также от границы воды с насыщенным песком.
2. Методика экспериментов
Для проведения экспериментов использовалось рычажное устройство (рис. 1, а), сконструированное таким образом, что источник и приемник ультразвуковых импульсов могли вращаться каждый на своем рычаге фиксированной длины вокруг воображаемой оси, проходящей по плоской границе исследуемого образца. При этом оси максимальной чувствительности датчиков были всегда ориентированы перпендикулярно к оси вращения рычагов под одинаковыми углами к поверхности образца. Эти углы в ходе получения экспериментальной
ультразвуковой сейсмограммы после регистрации очередной трассы изменялись синхронно в противоположных направлениях с шагом 5°. Таким образом, при любых углах наклона рычагов центр отражающей площадки находился в одном и том же месте.
Датчики были изготовлены на базе пьезокерамических дисков толщиной 1 мм и диаметром 6 мм (источник) и 10 мм (приемник). Расстояние от оси вращения до источника составляло 65 мм, до приемника — 70 мм. Длина падающего на границу и затем отраженного от нее луча равнялась, таким образом, 135 мм. Для экранирования приходящей в первых вступлениях прямой волны между датчиками помещалась тонкая пластина из пенопласта. Вся конструкция вместе с образцом на время эксперимента помещалась в емкость с водой.
Блок-схема экспериментальной установки приведена на рис. 1, б. При проведении экспериментов по команде с персонального компьютера регистратором запускался генератор импульсов, который подавал на пьезокерамический источник прямоугольные электрические импульсы длительностью порядка первых микросекунд с амплитудой около 100 В. Излучаемые источником ультразвуковые импульсы после отражения от границы воды и образца преобразовывались пьезокерамическим приемником в электрические сигналы, ко-
Рис. 1. Общий вид рычажного устройства (а) и блок-схема экспериментальной установки (б): И — пьезокерамический источник; П — пьезокерамический приемник ультразвуковых импульсов; ГИ — генератор прямоугольных электрических импульсов; ПУ — предварительный усилитель; Р — регистратор; ПК — персональный компьютер; ОСЦ — контрольный осциллограф; СИ — синхроимпульс
О 1 2
Частота, МГц
Рис. 2. Типичная форма импульса падающей волны (а) и его нормированный амплитудный спектр (б)
торые после усиления предварительным усилителем оцифровывались регистратором и записывались на жесткий диск компьютера. Визуальный контроль регистрируемых сигналов в ходе экспериментов производился с помощью осциллографа. Типичная форма излучаемого в воду ультразвукового импульса и его амплитудный спектр представлены на рис. 2, хотя в экспериментах с разными материалами форма импульсов изменялась, менялась и их преобладающая частота.
При обработке экспериментальных данных во временной или спектральной области измерялись амплитуды отраженной волны для разных углов падения, определяемых по наклону рычагов с датчиками относительно нормали к отражающей поверхности образца. Для вычисления экспериментальных коэффициентов отражения эти амплитуды делились на амплитуду «эталонной» прямой волны. За «эталонную» принималась прямая волна, зарегистрированная в воде в отсутствие образца при соосном расположении датчиков на расстоянии 135 мм, равном длине луча при регистрации отраженных волн. Таким образом, влияние геометрического расхождения и диаграмм направленности датчиков компенсировалось.
3. Отражение от границ со сплошными средами
Отражение ультразвуковых импульсов от границ воды со сплошными средами было экспериментально исследовано на двух твердых материалах: один моделировал среду со слабыми, второй — с повышенными поглощающими свойствами.
Угол падения
Рис. 3. Экспериментальная (отдельные точки) и теоретическая для случая идеальной упругости (сплошная линия) зависимости модуля коэффициента отражения от угла падения для границы «вода - плексиглас»
В качестве материала, моделирующего среду с невысоким поглощением, был выбран плексиглас, характеризующийся следующими параметрами [14]: скорости продольных и поперечных волн Ур = 2725 м/с и у = = 1385 м/с, декременты поглощения 8р = 0.042 и 8§ = = 0.049, плотность р = 1.18 г/см3. За амплитуды «эталонной» прямой и отраженных при разных углах падения волн при определении коэффициентов отражения в этом эксперименте принимались измеренные во временной области суммы амплитуд первых двух экстремумов (максимума и минимума) зарегистрированных импульсов.
Результаты измерений коэффициента отражения для границы «вода - плексиглас» представлены на рис. 3. Отдельные точки на рисунке — значения коэффициента отражения, определенные экспериментально по описанной выше методике при разных углах падения. Теоретическая зависимость для модуля коэффициента отражения показана на рис. 3 сплошной линией. Эта зависимость рассчитана для случая идеальной упругости (мы воспользовались компьютерной программой, опубликованной в работе [15]). Заметим, что учет поглощения (о методике учета будет сказано ниже) в этом случае почти не изменяет форму расчетной кривой, исключая острый пик на углах, близких к критическому (около 33°), максимальное значение которого при учете поглощения уменьшается примерно на 30 %.
При расчетах принимались следующие значения для плотности и скорости звука в воде: р0 = 1 г/см3, У0 = = 1480 м/с. Поглощение звука в воде при расчетах не учитывалось, то есть среда, в которой производились излучение и прием ультразвуковых импульсов, считалась упругой. Тем не менее, как видно из рисунка, совпадение теории и эксперимента вполне удовлетворительное, что может служить подтверждением корректности применяемой экспериментальной методики. С другой стороны, эти результаты показывают, что отражение от границы со слабым контрастом поглощающих свойств граничащих материалов с достаточной точностью можно описывать в рамках теории упругости.
О 30° 60° 90°
Угол падения
Рис. 4. Экспериментальная (отдельные точки) и теоретические (верхняя сплошная линия для упругости, нижняя — с учетом поглощения) зависимости модуля коэффициента отражения от угла падения для границы «вода - пластилин»
Для изучения отражения от границы воды и материала с повышенными поглощающими свойствами был изготовлен образец из пластилина, характеризующегося следующими сейсмическими свойствами [14]: скорости продольных и поперечных волн Ур = 1695 м/с и у = = 390 м/с, декременты поглощения 8р = 0.21 и 8§ = 1.1, плотность р = 1.38 г/см3.
Результаты обработки ультразвуковой сейсмограммы, полученной в этом эксперименте, сравнивались с теоретическими зависимостями, рассчитанными как для случая идеальной упругости, так и для поглощающих сред. Для учета поглощения компьютерная программа из работы [15] была модифицирована путем замены сейсмических скоростей и лучевого параметра их комплексными аналогами, учитывающими поглощение, и добавлением подпрограммы анализа критических углов [5].
Обработка экспериментальных данных во временной области здесь дала значительное несогласие экспериментальных данных и расчетных теоретических кривых, в том числе учитывающих поглощение, на близких к критическому (около 61°) и закритических углах. В основном это связано, по-видимому, с очень сильными фазовыми искажениями. Как показали расчеты, в этом диапазоне углов происходит плавное изменение фазы коэффициентов отражения почти на 180°.
Поэтому экспериментальные коэффициенты отражения для этой границы были рассчитаны в спектральной области по двум составляющим — на частотах 1200 и 1800 кГц (преобладающая частота импульсов в этом эксперименте была около 1 500 кГц). На рис. 4 результаты этих расчетов представлены соответственно квадратами и ромбами. Здесь же сплошными линиями показаны теоретические зависимости, вычисленные без учета (верхняя кривая) и с учетом (нижняя кривая) поглощения в пластилине.
Как видно из рисунка, теоретическая кривая, рассчитанная с учетом поглощения, достаточно хорошо аппроксимирует экспериментальные данные, в то время
0 зо° 60° 90°
Угол падения
Рис. 5. Экспериментальная (отдельные точки) зависимость модуля коэффициента отражения от угла падения для границы «вода - водонасыщенный песок» и теоретические кривые, рассчитанные по формулам для сплошных сред (верхняя — для упругости, нижние — с учетом поглощения в твердой среде). Выбранные при расчетах параметры приведены в тексте
как кривая, полученная для случая идеальной упругости, на близких к критическим и закритических углах существенно отличается от экспериментальной зависимости. Это, во-первых, экспериментально подтверждает корректность использованной методики расчета коэффициентов отражения от границ неупругих сред. Во-вторых, полученные результаты показывают, что для границ, характеризующихся сильным контрастом поглощающих свойств граничащих материалов, поглощение заметно влияет на коэффициенты отражения не только при малых значениях последних, как было показано ранее [7], но и в области критических углов, где эти значения могут быть велики. Поэтому при расчете коэффициентов отражения от таких границ необходимо учитывать поглощение, по крайней мере, на близких к критическим и закритических углах.
4. Отражение от границы с насыщенной гранулированной средой
При изучении отражения ультразвуковых импульсов от границы воды с насыщенной гранулированной средой в качестве такой среды использовалась мелкозернистая фракция речного песка с максимальным размером зерен 0.25 мм. Песок предварительно тщательно перемешивался с водой для полного удаления защемленного воздуха, разжиженный песок заливался в пенопластовый лоток, который помещался в находящуюся в емкости с водой рычажную установку, после чего поверхность песка выравнивалась.
Экспериментально определенные для границы «вода - водонасыщенный песок» коэффициенты отражения представлены отдельными точками на рис. 5. Здесь же приведена теоретическая зависимость модуля коэффициента отражения от угла падения для случая идеальной упругости (верхняя сплошная линия). При расчетах для твердой среды были приняты следующие параметры. Плотность насыщенного песка (средняя по нескольким
измерениям) составляла р = 2.03 г/см3. Из-за невозможности точного воспроизведения образца песка при повторной его укладке скорость быстрой продольной волны при нескольких измерениях изменялась от 1 630 до 1750 м/с. При расчетах использовалось значение Ур = 1 680 м/с, так как именно для такой скорости пик теоретической кривой, соответствующий критическому углу 62°, наилучшим образом совпадает с экспериментальным пиком — даже небольшое изменение скорости Р-волны заметно сдвигает этот максимум в ту или другую сторону. Величина скорости поперечных волн у = = 350 м/с в полностью насыщенном песке позаимствована из работы [16].
Как можно видеть из рисунка, хотя экспериментальная зависимость и имеет достаточно регулярный характер, о ее близости к теоретической кривой говорить не приходится. Нужно сказать, что, варьируя при расчетах скорость У5, можно заметно изменить характер теоретической зависимости в основном на закри-тических углах, превышающих 62°. В зависимости от скорости У5 эта часть кривой имеет меньший или больший прогиб вниз. Однако эту часть экспериментальной кривой мы интерпретировать не будем, так как значительные дополнительные погрешности здесь обусловлены интерференцией закритических отражений с головной волной.
На ультразвуковой сейсмограмме это отчетливо проявляется в том, что в результате интерференции импульс «отраженной» волны на закритических углах имеет повышенную в сравнении с «эталонной» прямой волной амплитуду — формально коэффициент отражения становится больше единицы. Этот же эффект наблюдается и в спектральной области. Для уменьшения влияния интерференции приведенная на рис. 5 экспериментальная зависимость получена, как и для границы воды с плексигласом, во временной области по первым двум экстремумам. Но, хотя в этом случае экспериментальные модули коэффициентов отражения и не превышают единицу, уверенности в том, что интерференция при такой обработке не оказывает значительного влияния на результаты измерений, нет. На углах же меньше критического расчеты экспериментальных коэффициентов отражения как во временной, так и в спектральной области дают близкие результаты.
Таким образом, основное внимание мы уделим анализу возможных причин несоответствия теоретических кривых полученным экспериментальным данным при докритических углах падения. Сразу заметим, что учет поглощения в твердой среде при расчетах также не позволяет удовлетворительно аппроксимировать экспериментальные данные — теоретическая кривая лишь сглаживается в окрестности критического угла. Средняя сплошная линия на рис. 5 рассчитана для декрементов поглощения в твердой среде 8Р = 8§ = 0.1, нижняя —
для 8Р = 8§ = 1 при тех же скоростях и плотности. Для относительно небольших углов падения ни скорость У, ни поглощение на коэффициенты отражения практически не влияют, здесь пониженные значения экспериментальных коэффициентов отражения связаны с действием других факторов.
Нужно упомянуть еще одно обстоятельство, которое следует иметь в виду при сопоставлении результатов наших экспериментов с расчетными кривыми — это разная кривизна фронтов. Расчеты проводились по формулам, полученным для плоских волн, в то время как в эксперименте, учитывая размеры источника и его удаление от границы, фронт падающей волны имел практически сферическую форму. Тем не менее, по отношению к длине волны расстояние от источника до точки отражения достаточно велико (65 мм при преобладающей длине волны 1.5 мм), поэтому маловероятно, что кривизна фронта могла существенно повлиять на результаты измерений. Косвенным подтверждением этого может служить хорошее совпадение расчетных кривых и экспериментальных данных, полученных на этой же установке для границ воды с плексигласом и пластилином.
Другой фактор, который мог бы исказить результаты измерений для границы «вода - насыщенный песок», это ее шероховатость. Песчинки, граничащие со слоем вышележащей воды, в принципе являются дифрагирующими объектами, рассеивающими часть энергии падающей волны, в том числе и в обратном направлении. Однако, как показало численное моделирование [17], для длин волн порядка и больше размеров граничной неоднородности на отражение монотипной волны РР (в отличие от волны обменной) рассеяние почти не влияет. В нашем случае в воду отражается только монотипная волна РР, и при преобладающей длине волны 1.5 мм максимальный размер песчинок не превышает 0.25 мм, а в основной массе они имеют еще меньшие размеры, так что эффектом рассеяния на шероховатой границе наблюдаемые различия экспериментальных и теоретических кривых объяснить вряд ли возможно.
Как отмечалось выше, в насыщенной гранулированной среде могут одновременно распространяться две продольные волны. При проведении расчетов по формулам для границы сплошных сред (сплошные линии на рис. 5) за скорость Р-волны принималась скорость быстрой продольной волны, поскольку, как показали проведенные ранее в сходных условиях эксперименты [12], именно она доминирует в насыщенном песке на высоких частотах. Тем не менее, можно предположить, что довольно значительная часть энергии падающей из воды волны может преобразовываться на границе в медленную продольную волну, проходящую в насыщенный песок, что соответственно приводит к понижению экспериментальных коэффициентов отражения.
>
о
О 30° 60° 90°
Угол падения
Рис. 6. Экспериментальные данные те же, что на рис. 5. При расчете теоретической зависимости (сплошная линия, идеальная упругость) за плотность контактирующей с водой среды принималась плотность сухого песка
Наконец, сопоставим полученную экспериментальную зависимость с еще одной теоретической кривой. На рис. 6 приведены те же экспериментальные данные для границы воды и водонасыщенного песка и теоретическая кривая, рассчитанная для границы абсолютно упругих сред. Отличие последней от верхней кривой на рис. 5, в первую очередь, в том, что при расчетах за плотность твердой среды принималась не плотность насыщенного песка (р = 2.03 г/см3), а плотность сухого песка с такой же пористостью, полученного после высушивания первоначально насыщенного образца (р = = 1.66 г/см3). Кроме того, скорость поперечных волн принималась равной У3 = 200 м/с. Как видно из рисунка, совпадение такой расчетной кривой с экспериментальными данными при докритических углах (меньше 62°) очень хорошее. При принятой в предыдущих расчетах скорости У3 = 350 м/с и такой же плотности (р = = 1.66 г/см3) расчетная кривая несколько отклоняется от экспериментальных точек для углов, близких к критическим. Но и в этом случае согласие для меньших углов все равно остается хорошим (напомним, что мы скорость У3 не определяли ввиду отсутствия необходимых для таких измерений датчиков).
Если это не случайное совпадение (а такое, в принципе, возможно), то в качестве одной из гипотетических версий можно предложить следующее объяснение данного феномена на качественном уровне. Основываясь на ранее полученных результатах [12], будем считать, что основная часть энергии продольных колебаний, возбуждаемых в насыщенном песке падающей из воды волной, в приграничной области распространяется в виде высокочастотной быстрой продольной волны, скорость которой в нашем случае равна 1680 м/с. Хотя эта волна быстро затухает, и в дальнейшем энергия продольных колебаний распространяется в виде низкочастотной медленной продольной волны, возникающей в результате детектирования возбуждаемых падающей волной высокочастотных колебаний [18, 19], в процессе
преобразования энергии на границе основную роль играет именно быстрая волна.
С другой стороны, из-за высокой проницаемости песка его границу с водой можно рассматривать как проницаемую мембрану, поэтому поровая вода, по крайней мере, в окрестности границы, движется синфазно с водой, граничащей с песком. Следовательно, за эффективную плотность насыщенного песка, влияющую на процессы отражения-преломления на его границе с водой, в первом приближении можно принять плотность сухого песка с такой же пористостью — в нашем случае 1.66 г/см3. Таким образом, эффективные упругие модули насыщенного песка в приграничной области определяются, в основном, скоростями быстрой продольной и поперечной волн, а также плотностью песка в сухом состоянии.
Конечно, это всего лишь гипотеза, к тому же основанная на недостаточном фактическом материале. Для более обоснованных выводов необходимы дополнительные эксперименты, например, с другими гранулированными средами и жидкостями и, конечно же, тщательный теоретический анализ данной проблемы.
5. Заключение
Проведены эксперименты по изучению отражения ультразвуковых импульсов от границы воды с неидеально упругими средами в случае наклонного падения. На примере границы «вода - плексиглас» показано, что для сред со слабыми поглощающими свойствами, к которым, по-видимому, можно отнести большинство кристаллических горных пород, коэффициенты отражения удовлетворительно описываются формулами, полученными для идеально упругих сред.
Для границ, характеризующихся сильным контрастом поглощающих свойств граничащих материалов, поглощение оказывает значительное влияние на коэффициенты отражения не только при их малых, как было показано раньше [7], значениях, но и в области критических углов, где эти коэффициенты могут достигать больших величин.
Экспериментальная зависимость коэффициента отражения от угла падения для границы «вода - водонасыщенный песок» даже в области докритических углов плохо согласуется с теоретическими кривыми, рассчитанными как для упругих сред, так и с учетом поглощения. На качественном уровне проанализированы возможные причины этого несогласия.
Автор благодарит П.Е. Шубина за помощь в проведении экспериментов. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 04-05-64547), Президиума СО РАН (Интеграционный проект N° 172) и гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ (грант № НШ-1302.2003.5).
Литература
1. Borcherdt R.D. Reflection and refraction of type-II S-waves in elastic and anelastic media // Bull. Seism. Soc. Amer. - 1977. -V. 67. - No. 1. - P. 43-67.
2. Borcherdt R.D. Reflection-refraction of general P- and type-I S-waves in elastic and anelastic solids // Geophys. J. Roy. Astron. Soc. - 1982. - V 70. - No. 3. - P. 621-638.
3. WennerbergL. Snell’s law for viscoelastic materials // Geophys. J. Roy. Astron. Soc. - 1985. - V. 81. - No. 1. - P. 13-18.
4. Krebes E.S. On the reflection and transmission of viscoelastic waves - Some numerical results // Geophysics. - 1984. - V. 49. -No. 8. - P. 1374-1380.
5. Колесников Ю.И. Отражение и преломление сейсмических волн
на границе раздела поглощающих сред // Сб. науч. тр.: Исследования по многоволновой сейсморазведке в геоакустическом диапазоне частот. - Новосибирск: Институт геологии и геофизики СО АН СССР, 1987. - С. 30-47.
6. Меркулова В.М. Об особенностях отражения звуковых пучков от границы «жидкость - твердая поглощающая среда» // Акуст. журнал. - 1972. - Т. 18. - № 3. - С. 478-480.
7. Bourbie Т., Nur A. Effect of attenuation on reflections: Experimental test // J. Geophys. Res. - 1984. - V. 89. - No. B7. - P. 6197-6202.
8. Biot M.A. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid // J. Acoust. Soc. Amer. - 1956. - V. 28. - No. 1-2. -P. 168-191.
9. Николаевский В.Н. Геомеханика и флюидодинамика. - М.: Недра, 1996. - 447 с.
10. Plona TJ. Observation of a second bulk compressional wave in a porous medium at ultrasonic frequencies // Appl. Phys. Lett. -1980.- V. 36. - No. 4. - P 259-261.
11. Вильчинская H.A. Волна переупаковки песков и акустическая эмиссия // ДАН СССР. - 1982. - Т. 262. - № 3. - С. 568572.
12. Колесников Ю.И., Медных ДА. О некоторых особенностях распространения акустических волн во влажном песке // Физ. мезомех. - 2004. - Т. 7. - № 1. - С. 69-74.
13. KibblewhiteA.C., Wu C.Y. A study of reflection loss. II. Involving a porous layer and a demonstration of the Biot slow wave // J. Acoust. Soc. Amer. - 1994. - V. 96. - No. 5. - P. 2981-2992.
14. Колесников Ю.И., Игнатов А.Ю., Кокшаров В.З. О точности оценок поглощения P-волн по данным акустического каротажа. Результаты физического моделирования // Геология и геофизика. - 1992. - № 9. - С. 134-141.
15. Young G.B., Braile L.W. A computer program for the application of Zoeppritz’s amplitude equations and Knott’s energy equations // Bull. Seism. Soc. Amer. - 1976. - V. 66. - No. 6. - P. 18811885.
16. Джурик В.И. Инженерно-сейсмологический прогноз при нарушении естественного состояния мерзлых грунтов. Дис. ... докт. геол.-мин. наук. - Иркутск: Ин-т земной коры, 1986.
17. Paul A., Campillo M. Diffraction and conversion of elastic waves at a corrugated interface // Geophysics. - 1988. - V. 53. - No. 11. -P. 1415-1424.
18. Зайцев В.Ю., Колпаков А.Б., Назаров В.Е. Детектирование акустических импульсов в речном песке. Эксперимент // Акуст. журнал. - 1999. - Т. 45. - № 2. - С. 235-241.
19. Зайцев В.Ю., Колпаков А.Б., Назаров B.E. Детектирование акустических импульсов в речном песке. Теория // Акуст. журнал. - 1999. - Т. 45. - № 3. - С. 347-353.
