CC BY
7Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2006. Вып. 4======================================
УДК 621.396.674
Б. М. Петров, Т. А. Суанов
Таганрогский государственный радиотехнический университет
Отражение плоских бигармонических волн от слоя нелинейного диэлектрика на металлической плоскости
Для двух ортогональных поляризаций даны нелинейные граничные условия импе-дансного типа и составлены системы нелинейных алгебраических уравнений относительно амплитуд комбинационных составляющих эквивалентных поверхностных токов. Рассчитаны графики зависимостей амплитуд спектральных составляющих поля от толщин слоя и амплитуд падающего поля.
Нелинейный диэлектрик, нелинейные граничные условия, почти периодические функции, расчетные результаты
Широкое применение эффекта нелинейного рассеяния в нелинейной радиолокации [1], [2], а также в системах опознавания и позиционирования, обусловливает необходимость построения математических моделей и методов, позволяющих определять, каким образом свойства отражателя сказываются на информативных параметрах зондирующего сигнала. Особенно важно иметь адекватную модель при построении маркеров с заданными характеристиками, чтобы иметь возможность по результатам измерений рассеянного поля выделить из ряда отражателей нужный.
Решение задач рассеяния электромагнитного поля (ЭМП) телами, проявляющими нелинейные свойства, достаточно широко освещено в литературе [3]-[6]. Но анализ обычно ограничивается рассмотрением антенн или решеток антенн, нагруженных на сосредоточенные нелинейные элементы [3]-[5]. К решению таких задач предложен ряд подходов. Однако не уделено внимания случаям, когда вещество с нелинейными параметрами занимает объем пространства, характерные размеры которого сравнимы с длиной волны падающего поля. Цель настоящей статьи - предложить один из подходов к задаче определения ЭМП, рассеянного сплошным слоем нелинейного по электрическому полю диэлектрика на металле.
Рассмотрим задачу падения плоских бигармонических волн на плоский слой нелинейного диэлектрика на металле. Проводимость металла в модели будем полагать идеальной.
Пусть ЭМП частот ю и ^ возбуждается нитью синфазного магнитного тока с плотностью jм (параллельная поляризация) или электрического тока с плотностью jэ (нормальная поляризация), расположенной параллельно поверхности диэлектрика в линейном однородном изотропном веществе над металлической плоскостью, покрытой слоем нелинейного по электрическому полю диэлектрика толщиной ё. Плоскость уг декартовой системы координат совместим с металлической плоскостью и введем цилиндрическую систему координат (г, ф, г) (рис. 1). Тогда нить стороннего тока проходит через точку с координатами (г0, фо ) параллельно оси г .
© Петров Б. М., Суанов Т. А., 2006 23
Рис. 1
Электродинамические параметры нелинейного диэлектрика определяются вольт-амперными характеристиками (ВАХ), которые считаем заданными в виде зависимостей
Д [E (Р, t)] и D'z E'z (p, t)J, где j' и D£ - составляющие векторов плотности тока проводимости и электрической индукции в слое соответственно; E£ - составляющая вектора
напряженности электрического поля в слое; индекс Z обозначает проекцию на одну из осей координатной системы; p - точка наблюдения; t - время.
Рассмотрим случай, когда г0 достаточно велик, чтобы падающее поле можно было
считать у поверхности раздела сред локально-плоской волной. Запишем в виде тригонометрических полиномов единственную составляющую вектора напряженности магнитного поля в случае параллельной поляризации
да да , ч
Нп (p,t) = iZHпz (Р,t); = X Z Нщтп (p,ш)e^cos(^°)+^
т=-даn=-да
и единственную составляющую вектора напряженности электрического поля в случае нормальной поляризации
Еп (Р, t) = izEnz (Р, t) ; Enz = Z Z Enzmn (Р, Ю) e
ikmnr cos(Ф-Ф0 )+'®mnt
*z "z"
m=—да> n=—да>
где точка над символом обозначает комплексную величину; ктп = ш^/ва тпца тп (8а тп = 8а - ттп и Ца тп - абсолютные комплексная электрическая и магнитная проницаемости вещества, заполняющего "верхнее" полупространство, на частотах ютп = = т ю+ п О соответственно; ва - абсолютная электрическая проницаемость вакуума); а -проводимость вещества1-*.
1)1 Далее рассматриваются только немагнитные среды, для которых на всех частотах ттп ца тп = , где
Ц0 - магнитная проницаемость вакуума. 24
. . * . . * /"*"
®mn , причем Н-п_ —mn — Нпzm—n ; Нп_ -m—n — Нпzmn ^ —
Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2006. Вып. 4======================================
В декартовой системе координат
Ж Ж 11 +
Hnz = £ £ HUzmn (p, ®) mnX+ 2 ^+1(°mnt;
m=-» n=—ж (1)
ж Ж
E = £ £ £ (p ю) glk1 mnx+lk2 mn-У+1 ® mn t
m=—ж n=—ж
где Н - '" м mnkm^e-'kr0 А V4) £ А) э mnkmnWm^-ikr0 i{п/4) -1ДС mn ~ г—.-Т„ ^ ^ j ^пzmn ~ г—,- ^ ^ ким
Z V8nkmnr"Wmn Z \8nkmnr"
плексные амплитуды магнитного и электрического полей, соответственно, на частотах
zm—n "пz — m—n— ^пzmn x знак комплексного сопряже-
ния); ki mn = kmn cos Ф" ; k2 mn = kmn sin Ф" ; I" м mn , I" э mn - комплексные амплитуды сторонних магнитных и электрических токов соответственно; Wmn = •
Комплексные амплитуды на частоте wmn
Н = Н1" «1" + Н-1" д-1" + Н"1 д"1 + Н"-1 я"-1+ Н"" •
Н пzmn Н п °mn + Н п °mn + Н п °mn + Нп °mn + Н п °mn ;
z LLz z z z z
£ = £1" §1" + £-1" g-1" + £"1 §"1 + EE"-15"-1+ £"" §"" ^пzmn п mn ^ п mn ^ mn ^ mn ^ mn ?
z z z z z z
и 1" U"1
где Н , Н - комплексные полуамплитуды первичного и магнитного полей на часто-
zz
тах ю и L2 соответственно; E , £ - то же электрического поля; Н , E - ком' п z ^ nz nz
плексные амплитуды "полей смещения"; ^гг - символ Кронекера, причем ^гг = 1, если
m = а, и n = b и ^гг = " - в остальных случаях; a, b = ", ± 1, ± 2, ....
Полное поле над слоем диэлектрика (мгновенные значения напряженностей H и E) является суперпозицией падающего поля (Нп и Еп) и вторичного поля, отраженного от
границы раздела сред (Нв и Ев). Поле внутри нелинейного диэлектрика будем искать в виде Н' = НПр + Н'от, Е' = ЕПр + Е'от, где Н^р и Е^р - магнитное и электрическое поля, прошедшие в диэлектрик, а Н'от и Е'от - поля, отраженные от металлической плоскости. Векторы искомых полей внутри и вне слоя должны удовлетворять уравнениям Максвелла, краевым условиям на границах раздела сред и условиям излучения.
Функции времени Нп (p, t) - Н"" и Еп (p, t) -
E ""
^z п
при произвольном отноше-
нии ю/ О являются почти периодическими функциями (ППФ) и только при рациональных значениях ю/О - периодическими. Тогда для этих функций, компонент вторичного поля и поля в слое диэлектрика справедливы представления обобщенными рядами Фурье, аналогичными (1) [7], поэтому для единственных проекций вторичного ЭМП и поля внутри диэлектрического слоя имеем
(2)
H ( vt) = V V H e~'kl m"x+'k2 тпУ+i ®mnt •
az ^ У Bzmn 5
m=—да n=-да да да .г
E (Vt) = V V E e~' mnx+lk2 mny+l ®mnt •
вz J ¿.a ¿.а вzmn i
m=—да n=—да
Я' i „ Л V"1 V"1 ( й' jk1 mnx . TJ' rTlk1 mnx\jk2 mny+l ®mnt . /">\
zlv,4= la la \Hnpzmne +Hотzmne Je ; (3)
m=—даn=—да>
E' ( Vt) — ^ V ( E' elk1 mnx + E' e~lk1 mnx ) eik2 mny+l wmnt (4)
Ez Vv>Za Za \Enpzmne ~tEOTzmne )e , (4)
m=—даn=—да
где Ji\ mn = kmn cosy ; k2 mn = kmn sinV ; k1 mn = kmn mn ; k2 mn = kmn sin ^mn ; У - угол отражения ЭМП от поверхности диэлектрика; k'mn = a mn^0 и §mn - коэффициент
распространения и угол преломления поля в слое диэлектрика при линейной ВАХ соответственно; s'a mn - абсолютная комплексная диэлектрическая проницаемость нелинейного вещества слоя.
Из уравнений Максвелла в линейном приближении
rot H = sadtE + j; rot E = -^0StH; x > d; (5)
rot H' = sa dt E' + j'; rot E' = -^05t H'; 0 < x < d (6)
(dt =d/dt; j и j' - сторонний ток над слоем диэлектрика и ток проводимости внутри слоя соответственно) обычным образом [8] для мгновенных значений касательных составляющих векторов ЭМП получим граничные условия: при параллельной поляризации
Hz = H'z; Ey = E'y (x = d); E'y = 0 (x = 0) (7)
и в случае нормальной поляризации
Ez = E'z ; Hy = H'y (x = d); E'z = 0 (x = 0) . (8)
Подставив (l) и (2)-(4) в (7), (8), применив теорему существования и аппроксимации ППФ и учтя, что (7) и (8) выполняются при любых y, получим первый и второй законы
отражения: у = Ф0; k'2 mn = k2 mn . Определив HBzmn и EB^mn в случаях параллельной (||) и нормальной (±) поляризаций падающего поля, найдем коэффициенты отражения
Rmn = Hвzmn /Hnzmn , Rmn = Ebzmn /Enzmn :
„II _ W1 mn cos k1 mnd - iW1 mn sin k1 mnd i2k1 mnd;
Rmn ~ e ;
W1 mn cos k1 mnd + iW1 mn sin k1 mnd „1 _ Y1 mn sin k1 mnd + iY1 mn cos k1 mnd i2k1 mnd Y1 mn sin k1 mnd + iY1 mn cos k1 mnd
где тп - Wmn COS Ф0 , W1mn = Wmn cos ^mn ; Y1 mn = Wmn cos Ф0 ; Y1 mn = Wmn cos ^ mn ; Wmn _ д/н-0/^a mn •
Сформулируем граничные условия для комплексных амплитуд векторов ЭМП на поверхности диэлектрика с учетом нелинейных свойств вещества слоя. При этом вместо (6) имеем
rot H' = dtD' + j'; rot E' = -^0StH'; 0 < x < d. (9)
Выделим при произвольном значении y = поверхности Asj и Д^, опирающиеся на контуры lj и ¡2, части которых при x = d - Лx проходят в слое, а другие части расположены вне слоя при х = d + Лх (см. рис. 1). Тогда, проинтегрировав (9) и (5) по этим поверхностям, в левых частях уравнений Максвелла в интегральной форме получим циркуляции вектора напряженности магнитного поля. Например, при параллельной поляризации ЭМП: d d d+Ах
QHdl = í H'x\ . ,„,dx- f H'x\ . ,„dx + f Hx\ . ,~dx-
Q J xy=У1 -Ay/2 J xly=У1 +Ay/ 2 J xly=yj -Ay/2
¡2 d-Ax d-Ax d
d+Ax y1 +Ay/ 2 y1 +Ay/2
- f Hx\ A dx + f Hy , dy - f Hy , dy. (10)
J xly=y +Ay/2 J yx=d+Ax/2 J J yx=d-Ax/2 ^
d y1 -Ay/2 y1 -Ay/2
Продифференцируем первые уравнения Максвелла в (5) и (9) по времени и подставим в них значения dtH и dtH' из вторых уравнений. Выразим значения dtHx, dtH'x и
dtHy, dtH'y через Ez, E'z и подставим в (10). Использовав обобщенные ряды Фурье (1),
(2), (4) и выполнив операции интегрирования, получим
^51Hdl = AyAx£e'(^-¿2 mny1 mnd^^tmn sinmnd -
¡2 mn
-AyAx y ¿{®mnt-k2 mny0 ( ¿ + jj W2 + Avy/ro ¿{®mnt-k2 mny1) x
¿_¡ ^вzmn jЛ2 mn ^ ^Уmne Л
Ц0 mn mn
XI Hy mn
- H'
x=d+ Ax 2 Hymn
d y -Ay/2 d +Ax 2 y1 -Ay/2
x=d - Ax/ 2
)« ./1^1- - ""7 - ^ 1 "У I ~
= | ¿х | д I ^у + | dx | д{ ^у. d -Дх/ 2 У1 -Ду/2 d у1 -Ду/2
Полагая в этом выражении Лх ^ 0 и учитывая, что при х = d в подынтегральных выражениях нет особенностей, найдем граничное условие для комплексных амплитуд комбинационных составляющих векторов Н и Н' при х = d:
Ну тп ~ Ну тп . (11)
В случае параллельной поляризации ЭМП аналогичным образом использовав уравнения Максвелла в интегральной форме и применив их для прямоугольной площадки Л^,
опирающейся на контур ¡1, получим граничное условие при х = d:
Еу тп ~ Еу тп . (12)
Граничные условия (11), (12) следуют из (7), (8) при применении к ним разложений (1) и (2), (3). Использовав уравнения Максвелла в интегральной форме или выражения (4), при х = d для двух поляризаций имеем
Hz mn ~ H z mn ; Ez mn ~ Ez mn . (13)
Для определения связи комплексных амплитуд напряженностей ЭМП на поверхности слоя сформулируем граничные условия импедансного типа. Выделим при произвольном y = Z площадки , AS2, опирающиеся на контуры ¿1 и ¿2, части которых при
х = 0 проходят по поверхности идеально проводящего тела, а части при х = d — по плоской границе раздела нелинейного диэлектрика и "верхней" среды (см. рис. 1). Применим уравнения Максвелла в интегральной форме к выделенным площадкам. При этом части контуров при х = d позволят с помощью (11)—(13) "сшить" касательные составляющие векторов ЭМП внутри и вне слоя с учетом того, что в приближении заданного поля (1) и (2)—(4) комплексные амплитуды Ё'тn , H'mn, а значит, и EB mn , HB mn должны быть такими, чтобы при
0 < х < d удовлетворялись уравнения Максвелла в интегральной форме.
При параллельной поляризации из первого уравнения Максвелла получим
d
( H'dl = J jyiydydz = Ay Jj (Ey ) + dtD'y (Ey )] dх . (14)
L1 AS1 0
Левую часть этого уравнения представим в виде -Az/2 Az/2
4 Hdl = J H'zl=ddz + J Hz 1х=0 dz = * (H'zl=0 - H'z\x_d ) . (15)
L Az/2 -Az/2
Для того чтобы найти значения H'z при х = d и х = 0, выразим в (3) H'0T mn через
HПр mn с учетом граничного условия Ey mn = 0 при х = 0, а затем определим H¿рmn через HП mn и HB mn = ^ nHп mn из граничных условий (13). Подставив результат в (15), получим
4 H'dl = AzXШt^ mnZ) [ Jy mn + HUzmn (1 + Rnne~-iil mnd ) cos-1 (*i mnd)
(16)
¿1
где у тп =-Н2тп = - (тп + тп) при х = d - комплексная амплитуда составляющей вектора плотности эквивалентного поверхностного электрического тока.
Найдем из обобщенного закона Ампера (14) полный ток, текущий через площадку А^ . Для этого необходимо определить значение Еу (х, I). Вычислив Еу тп из первого
уравнения Максвелла для нелинейного слоя диэлектрика (6) и использовав граничные условия для исключения из результата Е^ртп и Е'оТ тп, имеем
Еу = X Е'УтпеШтп1, (17)
где È'y тп = -iW{ тп ( H пгШП + H в zmn ) sin ( тпх ) cos 1 ( k[ mnd ) e ±2 mnZ = -ie ±2 mnZ gmn ( y ) .
Здесь gmn = W1 mn-^эy mn sin (k1 mnx) cos (k1 mnd) .
Представим ВАХ вещества слоя рядом Тейлора. Разложив функцию у ( È'y ) у точки "смещения" E00, получим локальный многочлен в дифференциальной форме [9]:
jy = j'y +dtD'y = £ (E'y)q j (Èy00) + Dq (Ey00)a, (E'y)q,
q=0
где Q - степень полинома; jq ( E°° ) = ( q!) 1 dqE, j'y ; Dq ( E°° ) = ( q!) 1 dqE, D'y - определяемые коэффициенты ВАХ [9], [11].
Подставив в последнее выражение определение E'y (17), используя формулу возведения ряда (17) в степень q [10] и поменяв местами знаки суммирования, получим
j, y = £ei(-mnt-k2 mnZ) £ iqфq mngmn (q, x) , (18)
mn q=0
где mn ~ i(°mn
D ( Ey00 ) - j ( )l.mn
йтп (Ч, х) = Е (Ч -1, х) йц-т у-п (У), (19)
а йтп (Ч -1, х) при ч > 1 определяется рекуррентно правилом (19); йтп (0, х) = йтп (х) .
Подставив в (14) значения (15) и (18), применив теорему существования и аппроксимации ППФ и сократив множитель Лг, получим граничные условия при х = d:
^э у тп + Ипгтп I1 + ^тпе ) С08 (% mnd) = Е ^ФЧ тпСтп (ч) , (20)
ч=0
d
где 1п ( Ч ) = |йтп ( Ч, х ) ёх . 0
Для нормальной поляризации ЭМП, продифференцировав первое уравнение Максвелла в (8) по ^ и проинтегрировав по площадке Д^, опирающейся на контур , получим
Z+Ay/2 d
4= J (H'y\x=d -HУ\х=0 )dy + fr (HXly=Ç-Ay/2 -HxU+Ay/2 )* =
L Ç-Ay/2 0
x=d y
Z+Ay/2 d
| ёу | д^ёуёх. (21)
С-Ау/2 0
Определив из первого уравнения Максвелла в (6) значения д1И'х, дгИ'у при х = 0 и х = ё по (4), с помощью граничного условия Еу тп = 0 при х = 0 исключив Е'оТ тп, а за-
29
тем с помощью граничных условий при х = d выразив д1И'х и д(Н'у через Еп тп и Ев тп = ^т^и тп и использовав разложения (1) и (2), выполним интегрирование. Получим
2
4а,Н ей = Ду£е'(^^ тпс) к?тпЁп2тп (1 -т ) . (22)
г к1 2 ¿1 п0 тп Л1 тп
Определим правую часть в (22), используя представление Е'2 в виде (4). Определим в (4) Е'от тп через ЕПр тп с учетом граничного условия при х = d . Получим
Е = — (Е + Е ) е1к'тпа кш—1 (к d) = — 7 е1к'тпа кш—1 (к ^
^пр2тп 2Д пгтп^ ^ъгтп 3111 гт^ ^ Мутп^ 3111 У"тпы ; ■>
где }м тп - комплексная амплитуда составляющей вектора плотности эквивалентного
поверхностного магнитного тока при х = d. Таким образом,
Е2 = £е'(^-к2 ^Е^тп (х), (23)
тп
где Е2 тп (х) = Iмутпе1ктпй ^П-1 (k'mnd)(к'тпх) .
Аппроксимируем ВАХ вещества слоя диэлектрика (Е'2) многочленом ^-й степени. Тогда получим локальное представление в дифференциальной форме [9], [11]:
4 (Е2 ) = £ (Е'х У ^ (Е00 ) + ^ (Е00 ) 3, (Ех )д , (24)
д=0
,±/ ^00 \ / „,\-1ад ,, .
где ^ (Е00) = (д !)-1 /2; б! (е200 ) = (д !)-1 Б'2 .
Подставим (22) и (24) в (21) с учетом (23). Возведя ряд (23) в степень д [10], изменив порядок суммирования, применив в полученном равенстве теорему существования и аппроксимации ППФ и сократив элемент Ду, найдем
■'2 2 ( 1 ) ® 1
т^к1 тпЕп 2тп I1 - Ктп) = £ Фд тпЕтп (д) при х = , (25)
21 к'п.............. _ _.....
х =
^2 1 'им М-2ИЫ1 \ ИИ1 / ^^^ " тп \ • / ■
к1 тп д=1
где фд тп = *ттп (Бд ^ Jд /^тп ); ^тп (д) = \Е2 тп (д,х) <х ;
0
2 тп (д, х) = £ Е2 цу (д -1, х) Е2 ц—т V—п ( у ), (26)
> х)~2-*1Е2№ \д 1 х)Е2 ц—т V—n
а Е'2(д -1, х) при д > 1 определяется рекуррентно правилом (26); Е'2(0, х) = Е2(х).
Граничные условия (20) и (25) учитывают взаимодействие всех комбинационных составляющих векторов напряженностей ЭМП в нелинейном диэлектрическом слое между
собой и с ЭМП вне слоя с помощью произведений комплексных амплитуд составляющих этих векторов. Слагаемые в правых частях данных равенств при q > 1 являются нелинейными функциями.
В случае плоского слоя все комплексные амплитуды в разложениях (2)-(4) при обеих поляризациях падающего поля могут быть определены с помощью граничных условий (20), (25).
В качестве примера применения полученных выражений рассмотрим случай отражения параллельно поляризованного ЭМП от плоского слоя идеального диэлектрика (без потерь), ВАХ которого задана в виде j'y (E'y ) = 0 ; D'y (E'y ) = sos (E'y )E'y, где относительная диэлектрическая проницаемость s ( E'y ) является известной функцией напряженности
электрического поля в слое.
Записав граничные условия (20) для каждой комбинационной составляющей, получим систему нелинейных алгебраических уравнений (СНАУ) относительно комплексных амплитуд эквивалентного поверхностного электрического тока на каждой из частот amn при х = d :
Q
J,
э ymn
-2iki mnd \ -1,
„в 1 cos
) со® 1 (к{ т,4),
где Ф" тп = ттпВ^. Здесь левая часть является нелинейной функцией 3,
Z *®q mnGmn (q) HHnzmn (l + q=0
(27)
э^п , a правая
известной функцией.
Размерность СНАУ (27) определяется числом (в общем случае - бесконечным) учитываемых спектральных составляющих. Поэтому необходимо иметь оценки, позволяющие редуцировать СНАУ. Как показывают расчеты, модули комплексных амплитуд с ростом \т\ + |и| убывают очень быстро и для рассматриваемых случаев вполне достаточно ограничиться учетом комбинационных составляющих, для которых \т\ + И < 5. Кроме того, размерность СНАУ можно уменьшить еще вдвое, если записывать уравнения только для одной амплитуды из пары комплексно-сопряженных амплитуд (с частотами ±ию± т О либо + пю + т О). Однако в настоящей статье сохранены все комплексно-сопряженные составляющие, чтобы иметь возможность проверки правильности полученного решения сопоставлением сопряженных пар.
Для слоя, ВАХ которого приведена на рис. 2, выполнены расчеты комплексных амплитуд эквивалентных электрических токов на поверхности диэлектрика (х = d) в случае падения на него плоской параллельно-поляризованной бигармонической электромагнитной волны. Амплитуды падающего поля
Е™ = 1 мВ/м на частоте ю = 2п-109 Гц
D'y, пКл/м s, Ф/м
1 ,-„00 1 Ey = 0.15 В/м^^
- 4.5 V \ 1
- 3.0 D Б
- 1.5 1 /
0 /1 /1 1 1
0 0.1
Рис. 2
0.2 E'y
00
В/м
Т /Н10
эуши/ ппг
дБ -20
-60 -100
т / И
эУши/ П
дБ
"-V/- А; 2 1
_1_
_1_
-25 -45
2
-5 I- __4
I > '
0
0.2
0.4
0.6
0
30 Е10, мВм
И
Е^1 = 01 мВ/м на частоте О = 0.666л-109 Гц. Угол падения ф0 = 45° на обеих частотах.
Рис. 3 ,9
При этом ВАХ диэлектрика в точке "смещения" Еу00 = 0.03 В/м была аппроксимирована
полиномом вида
В
у (Еу ) = В0
в'+В
{'Е - <>) + в[' (Еу - Е'У°) ,
где В0 = 8.724-10-13 Кл/м ; в}' = 2.04110-11 Кл/(В ■ м); в3' = 2.359-10-9 Кл/(В3 • м) .
Зависимости амплитуд эквивалентных поверхностных токов от толщины слоя диэлектрика представлены на рис. 3, а,2) а от амплитуды падающего поля - на рис. 3, б. Кривая 1 показывает амплитуду комбинационной составляющей при ш = 1, п = 0; кривая 2 - при ш = 3 , п = 0 ; кривая 3 - при ш = 1, п = 2 ; кривая 4 - при ш = 2 , п = 1 на обоих полях, и, наконец, на рис. 3, б кривая 5 соответствует ш = 3, п = 2 . Приближенное решение СНАУ получено применением метода Бройдена, которое затем уточнялось с использованием процедуры Ньютона-Рафсона [12].
Токи на высших комбинационных частотах не превосходят уровня -50 дБ по отношению к амплитуде падающего поля. Нелинейные продукты, для которых сумма |ш| + |п| имеет четное значение, отсутствуют.
Описанная модель позволяет с помощью граничных условий в виде (20) и (25) определять уровни спектральных составляющих эквивалентных поверхностных электрических и магнитных токов на слое диэлектрика с учетом его свойств, а следовательно, и отраженное ЭМП. Результаты моделирования могут быть применены при изготовлении отражателей в качестве критериев выбора материала и толщины слоя, напряжения "смещения", амплитуд, частот и поляризации зондирующего сигнала.
Список литературы
1. Ларцов С. В. О нелинейном рассеянии при использовании многочастотного и одночастотного зондирующих сигналов // Радиотехника и электроника. 2001. Т. 46, № 7. С. 833-838.
2. Об использовании эффекта нелинейного рассеяния при поиске терпящих бедствие на воде / Н. Ю. Ба-банов, А. А. Горбачев, С. В. Ларцов и др. // Радиотехника и электроника. 2000. Т. 45, № 6. С. 676-680.
1
б
а
2) Толщина слоя диэлектрика нормирована к длине волны в нем Хс на частоте ю = 2п • 109 Гц. 32
3. Schuman H. Time-domain scattering from a nonlinearly loaded wire // IEEE Trans. Ant. Prop. 1974. Vol. AP-22, № 4. P. 611-613.
4. Liu T. K., Tesche F. M. Analysis of antennas and scatterers with nonlinear loads // IEEE Trans. Ant. Prop. 1976. Vol. AP-24, № 2. P. 131-139.
5. Liu T. K., Tesche F. M., Deadrick F. J. Transient excitation of an antenna with a nonlinear load: Numerical and Experimental Results // IEEE Trans. Ant. Prop. 1977. Vol. AP-24, № 2. P. 539-542.
6. Caorsi S., Massa A., Pastorino M. Genetic algorithms as applied to the numerical computation of electromagnetic scattering by weakly nonlinear dielectric cylinders // IEEE Trans. Ant. Prop. 1999. Vol. 47, № 9. P. 1421-1428.
7. Левитан Б. М. Почти-периодические функции. М.: Гос. изд. техн.-теор. лит., 1953. 396 с.
8. Петров Б. М. Электродинамика и распространение радиоволн. М.: ГЛ-Телеком, 2003. 558 с.
9. Пухов Г. Е. Дифференциальные преобразования функций и уравнений. Киев: Наук. думка., 1984. 420 с.
10. Ландау Э. Введение в дифференциальное и интегральное исчисление / Пер. с нем. М.: Иностр. лит., 1948. 458 с.
11. Петров Б. М. Нелинейные граничные условия и вольтамперные характеристики // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1995. Т. 38, № 1. С. 3-8.
12. The art of scientific computing. 2-d edition / W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, B. P. Flannery. Cambridge: Cambridge university press, 1992. 994 p.
B. M. Petrov, T. A. Suanov
Taganrog state university of radio engineering
Reflection of plane biharmonic waves from nonlinear dielectric-coated flat metal surface
The nonlinear impedance type boundary conditions for mutually orthogonal polarizations are given, and set of simultaneous nonlinear algebraic equations in amplitudes of sideband components of equivalent surface currents are composed. The graphs of spectral components amplitudes as the functions of layer thickness and incident wave amplitude are calculated.
Nonlinear dielectric, nonlinear boundary conditions, almost periodic functions, calculation data
Статья поступила в редакцию 18 января 2006 г.
