Отражательная и пропускательная способность плоской диэлектрической границы для te- и tm-поляризованных Бесселевых пучков Текст научной статьи по специальности «Физика»

Ученые записки Таврического национального университета имени В.И. Вернадского Серия «Физико-математические науки». Том 25 (64). 2012 г. № 1. С. 95-100

УДК 535.1

ОТРАЖАТЕЛЬНАЯ И ПРОПУСКАТЕЛЬНАЯ СПОСОБНОСТЬ

ПЛОСКОЙ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ГРАНИЦЫ ДЛЯ TE- И TM-ПОЛЯРИЗОВАННЫХ БЕССЕЛЕВЫХ ПУЧКОВ

Яворский МА.

Univ. Bordeaux, LOMA, UMR 5798, F-33400 Talence, France E-mail: maxyavorsky@yahoo.com

Получены коэффициенты отражения и прохождения для точных TE- и TM - поляризованных Бесселевых пучков при нормальном падении на плоскую границу раздела двух диэлектрических сред. Показано, что данные коэффициенты совпадают с хорошо известными коэффициентами для s- и p-поляризованных плоских волн. Дано объяснение данного факта, основанное на разложении падающего пучка в угловой спектр.

Ключевые слова: векторные Бесселевы пучки, коэффициенты отражения и прохождения. ВВЕДЕНИЕ

Среди известных недифрагирующих оптических пучков [1], Бесселевы пучки являются наиболее изученными [2]. Их скалярное приближение характеризуется следующим распределением электрического поля:

E(r,v.z) = JJar^^"^ (у

где (r,<p,z} - цилиндрические координаты, распространение предполагается в z

направлении, J^ (а Г) - функция Бесселя порядка m (азимутальное число)

первого рода; О - угловая частота, а и / - поперечный и продольный волновые вектора, соответственно, связанные с волновым вектором в вакууме соотношением

I 2 2

kg = \j а + 3 . Одно из важнейших свойств Бесселевых пучков выражается в

том, что они могут быть представлены в виде суперпозиции плоских волн с одинаковыми весами, волновые вектора которых расположены на конусе,

образующем угол в = arctg(а/// с осью распространения пучка.

В настоящее время изучение Бесселевых пучков не ограничено только скалярным приближением. Впервые векторные Бесселевы пучки (ВБП) в качестве точных решений уравнений Максвелла были получены в работе [3] в виде TM- и TE-поляризованных полей. С тех пор много работ было посвящено изучению ВБП как в вакууме [4, 5], так и в различных средах [6-10]. В частности, была рассмотрена проблема падения ВБП на плоскую границу раздела двух диэлектриков, в

результате чего были получены выражения для преломленных и отраженных волн для случая падения ТМ- и ТЕ-поляризованных пучков.

Однако, не смотря на обилие работ посвященных падению ВБП на плоскую диэлектрическую границу, до сих пор не были получены такие базовые характеристики этого процесса, как отражательная и пропускательная способность границы раздела. Таким образом, целью данной работы является установление вида и анализ коэффициентов отражения и прохождения для случая нормального падения ТЕ- и ТМ-поляризованных ВБП на плоскую границу раздела двух диэлектрических сред.

1. МОДЕЛЬ И ПОЛЯ ДЛЯ ВБП

Мы рассматриваем падение ТЕ- и ТМ-поляризованных ВБП на плоскую диэлектрическую границу. Предполагается, что падающий пучок распространяется вдоль оси г в среде с показателем преломления Пу при z < 0 и падает на плоскую границу, расположенную при г - 0, после которой располагается вторая среда с показателем преломления П^ (Рис. 1). Тогда, падающие, отраженные и преломленные поля можно представить в виде:

№. - ^ Г-К>е -1 ^^

ТТ*^ — А

ЕТМ - 1р

н(д) - №)п м , ^тр+Рдг)

нТМ - гр Пдм±е ,

= №)п м , Ру(тр+Рдг)

'ТТн <

е

ТЕ - гУПдМ±е

нТЕ = (]ПЧ[соз^ -Ыпвч1т(аг)ег]еу(тр+Рд'), (2)

где индекс д - (У, г, () обозначает падающее, отраженное и преломленное поле, соответственно, множитель е опущен, и поперечные вектора и м± в цилиндрическом ортонормированном базисе (е г, ер, е 2) имеют вид:

т

= Тт (аг) ег + у—Jm (аг) ер,

аг

т

М1 - у— Jm (аг) ег - Тт (аг) ер, (3)

аг г

где J'm(X)= сит/ёх, а- кд $\пвд и Рд - кд СО$вд суть поперечный продольный волновой вектор и кд - коПд.

Параметры полей (2), зависящие от индекса д, представлены в Таблице 1.

и

Л х' \ Л* \ т/ / \®г

X \

п1 е'и) /С те --- \ к'

сгм \J\fi -в

ыо ""¿'С'! тм "те

Рис. 1. Отражение и преломление TM- и TE-mлярюованных ВБП от плоской границы раздела диэлектрических сред с показателями преломления Щ (z < 0) и Щ

(z > 0) (здесь для определенности положено Щ > щ). е ,(1) и ¡1 '(/) ¡3 - векторные Фурье-амплитуды электрического и магнитного полей падающего поля в плоскости (У, z), где (У, у, z) 3 - декартовая система координат, повернутая на угол ф относительно оси z.

Таблица 1

Параметры падающего, отраженного и преломленного полей

Я 1 г г

ОЯ 0/ л-01 агсз1п(— Б1ПО) Щ

¡Я к1 ШЗО/ -¡1 3 щ со$01 1 Щ СОБО

р) 1 tg(0 -Ог) 2Б1П 0{ СОБО

tg(0J• + 0f) яп0 + 01) СОБ(О - 01)

( Я) 1 яп^-О,) 2Б1ПО СОБО/

Б1П(0 + О^) б1П (01 + 0)

2. КОЭФФИЦИЕНТЫ ОТРАЖЕНИЯ И ПРОХОЖДЕНИЯ ДЛЯ ТМ- И ТЕ-ПОЛЯРИЗОВАННЫХ ВБП

Имея в своем распоряжении поля (2) мы можем исследовать вопрос о распределении энергии падающего пучка между отраженным и преломленным пучками. Для этой цели определим коэффициент отражения Я и прохождения Т следующим образом:

R = lim

лД/>

Ni')

у)'

T = lim , i . ,

Г[ NZ'Л

(4)

где = | ёЕ / - I-компонента потока вектора

Ео 1

Пойнтинга через принадлежащий границы круг Ео с радиусом го • Используя (2), получаем следующие выражения для потока вектора Пойнтинга падающего, отраженного и преломленного полей:

Ni' Л

/ты Г Г

(я)

Р

пя cose

F 0[), Ж

/te

(я)

nя cos O'F0o), (5)

где F(ro) = -16- J2m-1 (ащ) + J2m+1 (ш&) - J2m (а )(J2m_¿ (ащ ) + J2m+2 (ащ)) Подставляя (5) в (4), немедленно получаем коэффициенты R и T :

R =

Р)

Р

(r)

ты,

, TE.

T = nt cos et n¡cos в i

(t)

, TM,

TE.

(6)

Легко видеть, что полученные коэффициенты (6) оказались не зависящими от азимутального модового числа m. Более того, полученные выражения в случае TM мод совпадают с хорошо известными коэффициентами для p -поляризованных плоских волн, в то время как выражения в случае TE мод - с коэффициентами для S -поляризованных плоских волн. Чтобы объяснить данный факт, мы рассмотрим структуру углового спектра TM - и TE -поляризованных Бесселевых пучков. Электрическое поле падающего пучка (см. (2)) может быть представлено в следующем виде:

.. 2—

E(') (r) = ¿- } E( i_) ( ф)exp[iki( ф)г]ф (7)

¿- o

где векторная Фурье-амплитуда может быть записана как E(i) = i1 meim<^é(i) и вещественный вектор e(i) в декартовом базисе (e x, e y, e z) имеет вид:

eT'M = ( _ cos e¡ cos ф, - cos e¡ sin ф, sin e¡), eT'E= ( sin ф, - cosф, 0). (8)

2

2

2

2

Чтобы понять как поляризованы плоские волны, составляющие Бесселев пучок с TM и TE поляризацией, в своих плоскостях падения, необходимо переписать

амплитуды (8) в системе координат (У, У, z) , повернутой на угол ф вокруг оси z :

eT'M=(_ cos вj, 0, sin вj),

eTE=(0, -1, 0). (9)

Из (9) ясно видно, что все волны, составляющие TM моду, поляризованы в своих плоскостях падения (т.е. Ey = 0) и являются p -поляризованными. В то же

время, все волны, составляющие TE моду, поляризованы перпендикулярно своим плоскостям падения (т.е. Eу = Ez = 0) и являются S-поляризованными. Это и объясняет именно такой вид коэффициентов (6). В конце отметим, что, хотя в случае m = 0 структура коэффициентов (6) очевидна и подобное объяснение может показаться излишним, это не так в произвольном случае m > 1, когда, как в структуре TM мод, так и в структуре TE мод, одновременно присутствуют обе компоненты электрического поля, а именно Er и E^ (см. (2)).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотрено нормальное падение на плоскую границу раздела двух диэлектрических сред точных векторных Бесселевых пучков. Получены коэффициенты отражения и прохождения для точных TE- и TM -поляризованных Бесселевых пучков. Показано, что данные коэффициенты совпадают с хорошо известными коэффициентами для s- и p-поляризованных плоских волн. Дано объяснение полученных выражений на основе разложения падающих пучков в угловой спектр.

Список литературы

1. Light beats the spread: "non-diffracting beams" / Mazilu M., Stevenson D. J., Gunn-Moore F. et al // Laser Photon. Rev. - 2010. - Vol. 4, No 4. - P. 529-547.

2. McGloin D. Bessel beams: diffraction in a new light / McGloin D., Dholakia K. // Contemp. Phys. -2005. - Vol. 46, No 1. - P. 15-28.

3. Shimoda K. Exact solutions of field vectors of diffraction-free electromagnetic waves / Shimoda K. // J. Phys. Soc. Japan. - 1991. - Vol. 60. - P. 450-454.

4. Bouchal Z. Non-diffractive vector Bessel beams / Bouchal Z., Olivik M. // J. Mod. Opt. - 1995. -Vol. 42, No 8. - P. 1555-1566.

5. Brandao P. A. Nonparaxial TE and TM vector beams with well-defined orbital angular momentum / Brandao P. A. // Opt. Lett. - 2012. - Vol. 37, No 5. - P. 909-911.

6. Novitsky A. V. Change of the size of vector Bessel beam rings under reflection / Novitsky A. V. // Opt. Commun. - 2008. - Vol. 281. - P. 5310- 2734.

7. Kurilkina S. N. Transformation of high-order Bessel vortices in one-dimensional photonic crystals / Kurilkina S. N., Belyi V. N., Kazak N. S. // J. Opt. - 2010. - Vol. 12. - P. 015704.

8. Petrova E. S. Bessel light beams in gyrotropic medium / Petrova E. S. // Proc. SPIE - 2001. - Vol. 4358. - P. 265-271.

9. Fadeyeva T. A. Nondiffracting vortex-beams in a birefringent chiral crystal / Fadeyeva T. A., Volyar A. V. // J. Opt. Soc. Am. A - 2010. - Vol. 27, No 1. - P. 13-20.

10. Ciattoni A. Nondiffracting beams in uniaxial media propagating orthogonally to the optical axis / Ciattoni A., Palma C. // Opt. Commun. - 2003. - Vol. 224. - P. 175-183.

Яворський М. О. Коефщенти ввдбиття та проходження плоско!" дiелектричноí гранищ розподшу для TE- та TM - поляризованих Беселивих пучюв / Яворський М. О. // Вчет записки Тавршського национального утверситету iMeHi В.1. Вернадського. Серш: Фiзико-математичнi науки. - 2012. -Т. 25(64), № 1. - С. 95-100.

Отримат коефщенти ввдбиття та проходження для TE- та TM- поляризованих точних Беселевих пучюв при нормальному падшт на границю розподшу двох дiелектричних середовищ. Продемонстровано, що щ коефщенти сшвпадають i3 загально ввдомими коефщентами для s- та p-поляризованих плоских хвиль. Надано пояснення цього факту, яке засноване на розкладант пучка, якiй падае на границю подшу, у кутовий спектр.

Kmnoei слова: векторш Беселевi пучки, коефщент вiдбиття, коефiцiент проходження.

Yavorsky M. A. Reflectance and transmittance of a plane dielectric interface for TE- and TM-polarized Bessel beams / Yavorsky M. A. // Scientific Notes of Taurida National V.I. Vernadsky University. - Series: Physics and Mathematics Sciences. - 2012. - Vol. 25(64), No 1. - P. 95-100.

Reflectance and transmittance of TE- and TM-polarized exact Bessel beams impinging at normal incidents on a plane dielectric interface have been obtained. It is shown that the obtained coefficients coincide with the well-known reflectance and transmission for s- and p-polarized plane waves. The corresponding explanation is provided on the basis of the angular spectrum representation of the incident field. Keywords: vector Bessel beams, reflectance and transmittance.

Поступила в редакцию 07.04.2012 г.