Отображение полуплоскости на круговой четырехугольник без внешних точек Текст научной статьи по специальности «Математика»

И. В. Замалиева

ОТОБРАЖЕНИЕ ПОЛУПЛОСКОСТИ НА КРУГОВОЙ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК

БЕЗ ВНЕШНИХ ТОЧЕК

Разрабатывается основанный на теории Левнера первоначально предложенный Куфаревым метод численного нахождения параметров в уравнении Шварца для конформного отображения полуплоскости на круговой четырехугольник без внешних точек.

СЕМЕЙСТВО ЛЕВНЕРА КРУГОВЫХ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ

Дробно-линейной функцией можно однолистно и конформно отобразить плоскость с исключенной простой жордановой кривой, составленной из дуг двух окружностей, на плоскость с разрезом по лучу, лежащему на положительной части вещественной оси, к которому присоединяется дуга окружности. Ограничимся такими областями. Опишем их подробнее.

Пусть Д0 - область м -плоскости, получающаяся из С исключением луча:

Ь0 = { : и0 < Яе м < да, Іт м = 0}, и0 > 0.

Обозначим через Ь1 дугу окружности, начинающуюся в точке и0, оканчивающуюся в точке м и не имеющую других общих точек с Ь0, кроме и0. Область Б = Д0 \ Ь1 имеет евклидову границу Ь0 и ^ , все точки которой, кроме w1, - двукратные тела граничных элементов (простых концов по Каратеодори) области Б . Ориентированная граница Каратеодори области Б состоит из четырех дуг: даи0, и0м>1, м>1и0, и0да (рис. 1). Обозначим через ап, 0 <а<2, а^ 1, угол с вершиной в точке и0 и сторонами м>1и0, и0 да.

Рис. 1

Согласно теореме Римана о конформных отображениях, существуют однолистные конформные отображения верхней полуплоскости п+ = {г :1т г > 0}

на Д0 и Б. Поскольку П+ можно конформно отобразить на себя функциями семейства, зависящего от трех вещественных параметров, то для выделения единственного отображения следует сформулировать соответствующие условия, называемые нормирующими или условиями нормировки. Единственной

функцией, отображающей П+ на Д0 так, что точка /^/Ц0 переходит в нуль, а ±да - в да, будет функция

™ = /0 (г) = г2 + и0 (рис. 2). Для неё а^/ (/^«0) = П.

Обозначим через 5 длину дуги Ь1, и пусть м = ф( 5), 0 < 5 < 5*, тогда её параметрическое уравнение, при котором ф(0) = и0, ф(5*) = м1. Присоединив к Ь0 часть дуги Ь1 от точки и0 до ф(5), получим круговой четырехугольник Д(5) с вершинами да, и0 ф(5), и0. Семейство четырехугольников Д(5),

0 < 5 < 5*, образующее семейство областей Левнера, сходится как к ядру относительно нуля при 5 ^ 0, 5 ^ 5* соответственно к областям Д0, Б .

Обратимся к исследованию дифференциальных свойств отображений П+ на семейство областей Д(5).

УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ОТОБРАЖЕНИЯ

П+ НА Д(5)

Обозначим через Т (д, 5), Т (0,5) = 0, Тд (0,5) > 0,

функцию, однолистно и конформно отображающую единичный круг Е = {д : |д| < 1} на область Д(5)

(рис. 3).

Легко видеть, что

т(д,0)=^

По теореме Каратеодори о ядре функция Т(д, 5) равномерно относительно д внутри Е непрерывна по 5,0 < 5 < 5*, и этим же свойством обладает функция Тд (д, 5). Используя лемму Шварца , можно доказать, что функция 5(5) = Тд (0,5) монотонно убывает от значения 50 = 5(0) = 4и0 до значения 5 . = 5(5*). Проведем замену переменной 5 на ґ по формуле

5(т*)

5(5) = 5(0)е~т = 4и0е~т, 0 <т<т* = 1п ——-

4и0

и сохраним для функции Т(д, 5 (т)) обозначение Т(д,т). Известно ([1], стр.26), что существует производная ТТ(д, т) и что она дается формулой

дТ(д,Т) = -*дТ(д,Т)^(т) + д, 0 <т<т*, (1)

дт дд ц (т) - д

где ц(т), ц(0) = 1, - точка на границе круга Е, переходящая при отображении Т(д, т) в точку ф(5 (т)), представляющую собой подвижную вершину четырехугольника Д (5) при 5 = 5 (т).

Рассмотрим отображение (рис. 4)

0 = /0(г)

Л

п+

"7777777777777/.7.

0

/К

У/////////////////////////, >

Рис. 2

0

Д0

«0

14’='}'(д,5)

Рис.

/V

РСО

/7777777777777?

^у[й0

0

777777777777777777777777777

Рис. 4

д = ^т) = У(Т)Г—===), 1тР(Т) > 0 |г(т)| = 1

Так как

г-Р(х)

полуплоскости п+ на Е, в котором р (т), у (т) -

дФ дТ дд дд р - р

дг дд дг дг (г — р)

дифференцируемые функции на [0, т* ], Р(0) = ^^[Щ0, то с учетом (1)

у (0) = — 1. Конкретный выбор Р(т), у(т) будет сде-

имеем

лан позже. Функция

Ф(г,т)_Т(д(г,т),т) _ Т у(т)

~ — Р(т)

' — Р(т),

дФ+о дФ=0,

дт дг

о_( • Д Гд5+дМ+д

равномерно относительно г внутри П+ дифференцируема по т и

дФ_дТдд дТ

дт дд дт дт

где ^ - , , , ъ

у(р—р)^дт ц—д^

Выберем функции

Р1 (т)_ Яе Р(т), Р2 (т)_ 1т P(т), y(т), остающиеся до сих пор произвольными, так, чтобы дФ

коэффициент О при — принял более простой вид.

дд

0

Поскольку

дд _ г — Р ёУ у=йф+^ г—р ёр

дт

'_Рёт г _рёт (г — р)2

ё т

дц + д_у г_р(ц+у)г_цР_уР ц_д г — р (ц_у)(г-X) ,

где

и, значит,

Х_

ц_У;

цР_уР

ц_у

х — р

(2)

то

2/Р2 у° _ у

х — р

(г — Р)^-(- _в)

ё т

-(г-в)(г — Р)

ёу + „,(ц + У)г _цР_УР

ёт (ц — у)(г — X)

Простые вычисления показывают, что

(г — в)Тв~(г-Р)х_-2/

ёР

ёт

(г — Р1 )^ + Р2 ^

имеем

Р2° _ —в2 ^-(г _в1 )ddX2— (г — в)(г — Р)

х(ц + у) — цР — уР_—-

ёв2 ( в 2^УР2

Ц — У

ёт ' '■■ -'2'

(ц_у) (г—х)

Выберем функцию Р2 (т) как решение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка

йф2 _— 2^УР2

ё т

0 < т < т

(4)

(ц—у)2

с начальным условием Р2 (0) _ . Формула для О

примет вид

(г — Х)Р2° _ —Р2 (г — х)ёвв1 + О1 +х)гёв2 —

ё т ё т

+( ЧЙ2 А

ёт (н-у)!

Выберем функцию Р1 (т) как решение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка

Р2 +<Р, +х^-^Ц^Рг_ _ _ 0,

ёт (ц_у) (ц_у)

которое при р2 Ф 0 принимает, поскольку

Р1 —х_

^2 (ц + у)

вид

ц_у

ёв1 _ 2/ЦУР2 (ц + у)

т

0 < т < т .

(ц_у)

Из условия Р(0)_ /лУй0 следует, что Р1 (0)_ 0.

(5)

При сделанном выборе функций Р (т), у (т) имеем

(г _Х)Р!О = ХР2 ОтНИ’

ёт ёт (ц_у)2

и после несложных вычислений с использованием формул (2) - (5) получаем

О _■

8Ц 2 У3Р2

(ц_у) (г — х)

и, следовательно,

2

1 дФ

дФ+2 гоР2

дт I ёт У г — X дг

_ 0.

Произведем замену переменной т на t по формуле

t :

t

ёт ёт

Выберем функцию у (т) как решение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка

ёу Ц + У А *

— _—у-—-, 0 <т<т, (3)

ёт Ц_У

с начальным условием у (0) _ —1. Тогда, поскольку - 4/>уР2

и сохраним для функции Ф(г,т(0) обозначение Ф(г,0. Уравнение для Ф(г/) примет вид

дФ 1 дФ + *

----1--------_ 0, г еП,, 0 < t < t ,

дт г — X дг

и Ф(г,0)_ / (г)_ г2 + и0.

Так как

0Ё_0Ё1 +10Ё1 _ 4/>уР2 _г-4ц2У2Р2 Ц_у ёт ёт ёт (ц — у)3 (ц_у)4 ЦУР2

. 2/цР2

то

ёр

ёт

ёр

ц_у

2

2

1

ёт у р — X

Переходя здесь от переменной т к t, находим, что Р^) _p<т(t)) удовлетворяет уравнению

ёР 1 *

— _------, 0 < t < t , (6)

ёt р^

с начальным условием р(0) _ 1^[й).

Теорема 1. Пусть Ф(г^) дает однолистное конформное отображение полуплоскости П+ на круговой четырехугольник Д (5) , 5 (т ^)), 0 < t < {*, нормированное условиями

Ф<P<t),t)_ 0, Пт Ф(г,^_да, геП+

где p(t), у^) удовлетворяют уравнениям (6), (3) с определенными начальными условиями. Тогда Ф( г, t) равномерно внутри П+ дифференцируема по t и удовлетворяет дифференциальному уравнению дФ 1 дФ

Ф(г ,0)_ г + и0.

(7)

дt г — X дг

Здесь X _X <t) - прообраз лежащей в С \ Ь0 вершины кругового многоугольника Д(^) при отображении Ф(г,t) и 1т X(t) _ 0.

В дальнейшем Д^) - это Д(5) при 5 _ 5 (т^)), 0 < t < ^.

и

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ПО ПАРАМЕТРУ ПРОИЗВОДНОЙ ШВАРЦА

Обозначим прообразы вершин углов области Д(/) при отображении 0 _Ф(г, t), образованных парами граничных дуг

через а1 (/), X(t), а2 (t) соответственно. Легко видеть, что —да < а1 (г1 )< а2 (г1) < да при 0 < t < /*.

Продолжим функцию Ф( г, t) из П+ в нижнюю полуплоскость П_ по принципу симметрии Римана -Шварца через каждый из интервалов

^ а1 (t^ (а1 (t), X(t^ <X(t), а2 (t)) , (а2 <t), да) вещественной оси. Каждую из четырех полученных в

П_ однозначных функций продолжим согласно этому же принципу в верхнюю полуплоскость и будем повторять далее этот процесс. Получим в С \ {а1 (t), а2 (/), X (t)} многозначную функцию, которую будем обозначать Ф (г, t). Для нее Ф(г,/) -главная ветвь в П+г .

Производная Шварца [2. С. 483] для функции Ф (г, t), то есть

5 _ 5(Ф,г,t) _ О; — 10;2,

где о _ о (г, /)_ 1п Фг (г, /),

- голоморфная функция в С \ {а1 (/), а2 (t), X(t)} . Ис-

пользуя теорему 1, получим формулу для производной 5[ функции 5 (Ф, г, t) по t.

Дифференцируя по г функцию Ф г (г, t), даваемую формулой (7), получим

Ф /г _ Фгг + 2 Фг .

г — X (г — X)2

Разделим обе части этой формулы на Фг и запишем получающуюся формулу для производной по / функции 0(г,г) в виде

о/_—-_т о;+гА^.

г — X (г — X)2

Дважды дифференцируя о[ по г , получим

112

о" ___— о" +____-__о'_____г

г-X0гг (г — X)2 (г

10 л /Г

о’’’ _--— о’’’ + 2 о"--------2 о'+ 6

г — Xоггг (г — X)2 (г — X)3 (г — X)4.

Поскольку

S'. Qlt - QO,

то

St z-l(zzz QzQzz )+(z-X)2 Qz )+(z-X)4:

1 -S’ +—S+- 6

z-l (z-l) (z-l)

4

Сформулируем результат.

Теорема 2. Производная Шварца по t функции Ф (z, t) равномерно внутри С \ { (t), а2 (t), X(t)} удовлетворяет дифференциальному уравнению

2 „ 6

дS 1 дS

- + -

S-

дt z-lдz (z-l)2 (z-l)4

0,

(8)

причем S (z,0) .-------

2z2

УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПРООБРАЗОВ ВЕРШИН

Принцип симметрии Римана - Шварца в сочетании с теоремой Лиувилля позволяет представить производную Шварца 5(г,/) для Ф(г,/) формулой (см., например, [1. С. 412])

S (z, t ьХ

L,

Mk (t)

(9)

к_0 Цг _ ак (/))2 г _ ак (/) содержащей прообразы а0 (/) _X (/), а1 (/), а2 (/) угловых точек четырехугольника Д (/) ,0 < / < /*, и величины его углов (в долях п ): а0 _ 2, а1 _ 2 — а, а2 _а соответственно. В (8)

и, значит,

ь0 __2, __2(3_4а+а ), ^2 _2(1—а ).

Функции Мк ), к _ 0,1,2, при фиксированном / получили название аксессорных постоянных производной Шварца. Мы будем называть Мк (/) аксес-сорными функциями.

В точке да функция 5 (г, /) имеет нуль второго порядка. Значит,

Пт г25(г,/) _ 0, 0 < / < /*,

т. е.

т. е.

+aк(t)Mк(t)).Q, 0 <t <t* lim zS (z, t) . 0,

(10)

M Q (t)+ M1 (t)+ M2 (t). 0, 0 < t < t. (11)

Из теоремы Каратеодори о ядре и теорем Вейер-штрасса следует, что

lim a, (t) . 0, , . 0,1,2,

t ——+Q

lim £

*—+Q , .0

Отсюда имеем

2

L,

__________________+ Mk (t)

(z - a, (t))2 z - a, (t)_

-z

Mk (t)

2z

2

г^+01к_1 (г — ак (/))2 к_1г _ ак (/)] связывающую значения функций а0 (/), а1 (/), а2 (/), М0 (/), М1 (/), М2 (/) в точке / _ 0, полученные как пределы указанных функций при / ^-+0.

и

Поскольку функция £ (г, t), даваемая формулой (9), - решение уравнения (8), то функция

и ^,1 Ы]

к =0

1 ёМк

1 2 L ?r + Mk Г dak 1 1 +

1 z 1 a ?r ,3Ґ \2 ) (z - ak ) _ і dt z-kj

2 k M H k L 1 6

z 1 z 1 a H z - ak _ J (z-k)4

тождественно равна нулю. Учитывая, что Ь0 = -2, а0 = Х, представим и (г, t) в виде

Поступая аналогично, но с использованием разложений

і ад

—=-Y

Л L-i

(z - ak У

і

z -к

=y:

Kz ~ak)

s-1

(k-ak ) (z -к) s=1 (к-%)

получаем из условия равенства нулю коэффициентов при (г - ак) п, п = 0,1,2; к = 1,2, при разложении и (г, t) в ряд Лорана формулы

2L,

dak 1

—- +-------------

dt к - a,

= 0, k = 1,2,

U (^t )=£-

1

k=1 1 dM,

z - ak dt (z - ak

1 Г dM0 + M0 d к dt z - к dt

2Lk z - ak 2

-+M,

da,

1

z-к

Lk

(z-к)2 і z - a,

___1

(z -к)

dt z -к

-+Mk I^+

3 і 2 L° dt Шо

z - a,

1

s=0

(k-ak)S+ к-ak (k-ak)

r=Z(-1)

s (z -k)s Г7+і

1

2( z-k)

+...

(г-ак)2 .=/ ' (Х-ак) (Х-ак) (Х-ак)

и опуская в записи и (г, t) голоморфные в точке X слагаемые, будем иметь для оставшейся части

U (z, t ) = Y

k=1

2Lk „

+m- -

k-ak +

і

2 (z -k)

_(k-ak)2 (k-ak)3

+...

+...

(z -k)

2Lk (z -k)

(k-ak )2 1 z -k

k-ak (k-a,)

da,

1

dt z -k ■ +...

Lk Lk (z-k)

k ■+M,- —-----^ +...

k- a,

1

z -k Значит,

dM0 + M0 d k

dt

z -k dt d k

(k-ak ____1_

(z -k)

_ _ d k _, _

■3 і 0 ~dt 0

2L0 Л 3M0 = 0, dt

,, dk

M0-----------2 Y

0 dt -=і

Mk

_(k - a, )2 k-ak _

= 0,

dM0

dt

Y

k=1

2Lk

Mk

(k- a, )3 (k- ak)_

= 0.

Mk

dak

1

dt k- a,

= 0, k = 1,2,

dMk

dt

2Lk

Mk

(k-ak )3 (k-ak )2

= 0, k = 1,2.

(12)

Функция и(2, ґ) имеет полюс третьего порядка в каждой из трех точек X (ґ), a1 (ґ), a2 (ґ), лежащих, очевидно, на действительной оси. В силу условия и 0^ґ ) = o, 2 є С, все коэффициенты в разложениях и (2, ґ) в ряды Лорана около этих точек равны нулю.

Найдем коэффициенты при (2 -X) п, п = 1,2,3, в разложении и (2, ґ) около точки X. Воспользовавшись тем, что при

1 = (-1) (2-Х) = ______________2-Х +

Сформулируем полученный результат.

Теорема 3. Входящие в производную Шварца (9) для Ф( г, t) функции а0 (г1 ) = Х^), а1 (г1 ) а2 (t),

М0 (t), М1 (t), М2 (t), 0 < t < t* удовлетворяют системе уравнений

dk „

— = - M0; dt 0

dak

dt

dMо

~dT = ~Yi

k- a,

2Lk

k = 1,2;

Mk

dMk

dt

2L

_(k-ak) (k-ak) _

Mk , k = 1,2;

(k-ak) (k-ak)

,, dk

M0 — = 2 Y

0 dt ti

Mk

(k - ak )2 k- ak

(131)

(132)

(133)

(134)

(135)

Начальные условия для ак (t), к = 1,2, известны: X (0) = а1 (0) = а2 (0) = 0 . Начальные условия для Мк ^), к = 0,1,2, подлежат определению с учетом угла а и радиуса дуги Ь1.

Из (133 ), (134) следует, что ёМ0 йМл ёМ.

+----------1 +-----------2 = 0, 0 < t < t*

dt dt dt и поэтому

M0 (t) + M1 (t) + M2 (t) = Cj, C1 = const (141)

- первый интеграл системы (131) - (135).

Укажем еще два первых интеграла системы (131) -(135).

Умножим обе части (133) на 2M0 и преобразуем правую часть уравнения. Имеем

2M0

dM0

dt

= 2Y k=1 1

2Lk

Mk

(k-ak) (k-ak) _

1

k- ak k - ak

1

Так как в силу (131), (132)

M0 -

= --(к-<

к - ak dt

то

dMо = dt £

2Lk

Mk

_ (k-ak) (k-ak)

d ч 1

-і (к-“k >+

dM о = -2^Y I 1 dt k=1 "[dt

1

Mk

_ (k-a-)2 k-a-_

k-a,

1 dM,

(k-a-)

dt

k-a,

2L,

Mk

_ (k-a-)3 (k-a-)2

Отсюда из (13 ) интегрированием получаем первый интеграл

Mо2 (t) + 2Y

M- (t)

= с2

, k(tW 0, dt u -k (t)

удовлетворяющий начальному условию

lim u (t) = k (т).

t ^т+0

Покажем, что

lim = 1.

t ^т+0 u (t )-к(т)

Учитывая, что

t-T

lim

= lim v (u)- v(k(т)) = dv (к(т)) 0

Покажем теперь, используя (16) и формулу

v'L =1 —kt (v (u)) v' (u) =1 —kt (v (u)) [u —k (v (u))],

что lim [)-k(T)]2 = 2. (17)

(142)

k=1 L(k (t)- ak (t))2 k(t)- ak (t)

где C2 - постоянная.

Аналогично устанавливаем, что 2

Z ak (t) Mk (t) = Cз, C3 = const,

k=o

- первый интеграл системы (131) - (135).

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ УРАВНЕНИЯ (132)

Функция X(t) непрерывна на (0, /), имеет непрерывную производную Х'^), равномерно непрерывную и, следовательно, ограниченную на [т, ^],

0 < т < ^ < t *.

Обозначим через и(Т) одну из функций а\(Т), a2(t) и рассмотрим интеграл уравнения ёи 1

^т+0 t — T

Действительно, представим разность v (и) —т в виде

и

v(и) —т= | v'(и)du =v"(и)u — v'(k(T))k(T) —

k(T)

и

— j v" (и) [и — k (т) + k (т)]du =

k(T)

и

= v"(и)[и — k(T)]— j v"(и)[и — k(т)]du =

k(T)

= v" (и )[и — k(T)] —

и

— j {1 — kT(v (и))[и — k(v (и))]}[и — k(T)] du =

= v'(и )[и +

и

j k"(v Щ — k(v (и))[u —k(т)]du.

k(T) Отношение

v (u )-т

t-т

(15)

(16)

Из свойств отображения Ф(г,Т) на границе полуплоскости П+ вытекает, что разность и^)-X(t) на

*

(т, t ) сохраняет знак. Функция и(Т) монотонна на этом промежутке. Существует обратная функция t = V (и). Для нее

V'(и) = и -Х^(и)).

Имеем

1,„, иМ-Мй = 1 - Вт 1,т '-т .

I —т+0 и (t )-Х(т) ^—т+0 t -Т t—т+0 и ^ )-Х(т)

[и(7 )-Х(Т)]2 [(t )-Х(т)]2

имеет предел при t —— т + 0 , равный сумме пределов

и (t)-X(t) 1 1

11т —^-----— — = -

7—т+0и (t)-Х(т) 2 2

и

—т;—I Х((и)НМ-Х((и))][-Х(т)]ёи=°.

7—т+0 [-Х(т)]2 х(т)

Итак,

v(u) -т 1

1,т ------------- = -.

7—т+0 [ (t) - X (т)] 2

Отсюда следует (17)

Теорема 4. Для интегральных кривых уравнения (132) при начальном условии Пт ак ^) = Х(т),

7—т+0

к = 1,2, имеет место представление

а1 ^) = X (т) - \f24t-т + о ( - т), а2 (t) = X (т) + л/2 л/7-"т + о (t - т),

где 0 <т<7 <Т\

Общий вид этих кривых представлен на рис. 5.

“і(')

t^т+0u (t)-к(т) u >к(т) u -к(т)

и что |к" (т) , приходим к ( )

du

и

Если X (7), а1 (t), а2 (7), М0 (t), М1 (t), М2 (t) образует решение системы (131) - (135), то функция (9),

12

записанная для этого решения, и при Ьк = 2(1 -ак),

к = 1, 2, 3, является решением уравнения (8).

Если же Х(т) - голоморфная функция, то единственным решением уравнения

V1 = и -Х^ (и)),

принимающим при и = Х (т) ,0 < t < 7*, значение нуль, будет, как известно из аналитической теории дифференциальных уравнений,

V(и)-т = [и -Х(т)]5 [ +с1 (и -Х(т)) + ...].

Формула (17) показывает, что 5 = 2. Обращая ряд при 5 = 2, находим, что функция и(7), стремящаяся к X (т) при t — т + 0 , разлагается в ряд

и (7) = Х(т) + ё1л/Г^ + ё2 (С-г)2 +...

Обратимся к системе (131) - (135).

В трех первых интегралах (141), (142), (143) перейдем от переменной 7 к х по формуле х = л/7,

0 < х < . Будем иметь

МО (х) + 2Г

к=1

Г Мк (х) = С\ ;

к=0

Ьк

Мк(х)

(Х(х)- ак (х))2 Х(х)- ак (х)

(181)

(182)

(183)

Г ак (х)Мк (х) = С3.

к=0

После перехода к переменной х уравнение (134) примет вид

сМи

2Мкх

4 Ькх

= 0, к = 1,2.

сх

сх

= -2 хМ 0

Так как определитель Д(х) = а2 (х)- а1 (х) этой системы отличен от нуля на 0 < х < , то система

при х є (0,л/ґ*) имеет единственное решение. Его, если учесть вид рядов для а1 (х), а2 (х), Х(х), а также их стремление при ґ —— +0 к нулю, можно представить в виде

М1 (х) =1 т1 (х), М2 (х) =1 т2 (х), х х

где т1 (х), т2 (х) - голоморфные в окрестности нуля функции, не обращающиеся в нуль в точке х = 0. Таким образом, функции Мк(х), к = 0, 1, 2, могут быть разложены в ряды вида

. тк -1

Мк (х) = ^^ + тк,0 + тк,1х +... х

(19)

РЯДЫ ДЛЯ ПРООБРАЗОВ ВЕРШИН И АКСЕССОРНЫХ ФУНКЦИЙ

Система уравнений для нахождения функций Х (ґ), а1 (ґ), а2 (ґ), М0 (ґ), М1 (ґ), М2 (ґ) после перехо-

*

да от переменной ґ,0 < ґ < ґ , к переменной х по формуле х = л/ґ, 0 < х < ґ*, сводится с учетом первых интегралов (141), (142), (143) к системе уравнений

СХ

сх

= 2хМ0;

са

__к_

сх

2 х

Х- а.

к = 1,2;

СМк

сх

2 хМк

4Ькх

(Х-ак) (Х-ак)

СМ 0 СМ, СМ2 ' 11 - = 0.

к = 1,2;

(2°‘)

(202 )

(203)

ёх (Х-ак) (Х-ак)

Видим, что Мк(х) удовлетворяет обыкновенному линейному неоднородному дифференциальному уравнению первого порядка с коэффициентами, имеющими в точке х = 0 полюсы третьего и второго порядков. Из (133) можно вывести, что М0(х) имеет в точке х = 0 полюс. Из уравнения

(204)

ёх ёх ёх Будем искать решение системы уравнений (201) -(204), удовлетворяющее условиям

X (0) = а1 (0) = а2 (0) = 0, Пт х2Мк (х) = 0,

х—0

в виде рядов

ад ад

х(х) = ^х,х', ак (х) = Хак,1х‘, к = 1,2; (21)

і=1

і=1

Мк(х) = ■

к ,-1

■Г тк,іх‘, к = 0,1,2.

(22)

і=0

полученного из (131) переходом от переменной ґ к х, в предположении об аналитичности Х(х) следует, что

если М0(х) имеет в точке х = 0 полюс, то его порядок не выше первого. Поэтому

М0 (х) =1Ч(х), х

где ч(х) - голоморфная в точке х = 0 функция. Теперь первые интегралы (181), (183) можно переписать в виде

М1 (х) + М2 (х) = С1 - - ч (х'), х

а1 (х)М1 (х) + а2 (х)М2 (х) = С3 -1 Х(х) ч (х).

х

Предварительно разложим по степеням х функции 1

[Х(х)- ак (х)]Г

, к = 1,2; г = 1,2,...

Имеем

1

(Х-ак )Г 1

Г(Хі- ак ,і)

(Х1 ак ,1)

і=1

1+Г

і=2

Хі ак,і Х1 - ак ,1

і-1

(Х у г I1 + Г У

( - ак 1) х V і=1

(гК і

Коэффициенты укг) алгебраически выражаются через коэффициенты Х ..,Хкі-1, ак1,..., акі-1 рядов (21).

Подставляя ряд для ак (х), к = 1,2, в уравнение (202), получим

Г іак ,і

і=1

и, следовательно 2

ак ,1 = —

хі-1 =--

'+ІїкУ

Заменим здесь X и а21 по формулам

=-2 Х = -2

а2,1 = , Х1 = а1,1 .

а1,1 а1,1

После выполнения простых преобразований получаем

Х1 ак ,1

Х1 ак ,1 V і=1

іакі =-ак,1 Ук1,)і-1 (і = 2,3,...).

(

1,1 У

Ь1а1,1 + 4Ь2

1,1

(1,1 + 2)

Отсюда находим

Подставив ряд для Х (2) и ряд для М0 (х) в уравнение (201), будем иметь

Х1 =-2т0-1, іХі =-2т0-2 (і = 2,3,...).

Из (204) и (22) имеем

т0,і + т1,і + т2,і = 0 = -l,0,l,2,...) .

<1 = 4-

.1 - 2Ь

1 - 2Ь1

Теперь легко видеть, что

= ^-2.

а241 = 41~^Ь = 4 а..

2,1 1 - 2Ь2 а 2

Так как согласно выбору нумерации прообразов

В результате подстановки ряда (22) для Мк (х), углов кругового четырехугольника Д(ґ)

к = 1,2, в уравнение (20 ) имеем

а1 (ґ) < Х (ґ) < а2 (ґ),

т

к ,-1

2

-Г іт

.,1 -1

ак,1Ьк

х і=0

я*,1 ( тк,-1

к ,Ґ

2

(3) хі

+—і ^-+Г тк,іх‘

2 х V х откуда находим, что

і=0

ак,1 Ьк

тк ,-1 =—-----------------,

ак,1 + 2

2х V і=1

\( ад

' Л”,=1

то

х 1 +

1 + ІїЙ,х'

а1,1 = ^—, а2

аі

1 = 2а1, Х1 = 72

и, значит

т

1,

= 2 \ 1 = 4 (1 а1 )

т

>12,

к = 1,2.

2,-1 - 4 ( а2)(х^а2^

Объединяя полученные результаты, сформулируем следующую теорему.

Теорема 5. Решение системы (201) - (204), удовле-

Оставляя задачу о нахождении всех коэффициен тов рядов и исследование сходимости рядов в полу- творяющее начальным условиям

окрестности нуля для дальнейшей разработки, укажем формулы для первых коэффициентов и их геометрический смысл.

Для первых коэффициентов Х1, а11, а21, да0, -1,

Ііт Х (х) = Ііт а1 (0) = Ііт а2 (0) = 0,

х—+0 х—+0 х—+0

Ііт х2Мк (х) = 0, к = 0,1,2,

х—+0

т1, -1, т2, -1 рассматриваемых рядов имеем систему уравнений

2

представляется рядами Х( х) = л/2

х +

ГХіхі,

Х1 = -2т0,-1, а1,1

1 У

і=1

а2 1 =

Х1 а2,1

Ь1а1,1 "1,-1 = ,

а11 + 2

Х1 а1,1

т0 -1 = -т1 -1 - т2

(х) = -.

2-х + Га1 іх ,

а

1 і=2

‘1,-1 "‘2,-1 >

Ь2а2,1 ”2,-1 = “^72. а2,1 + 2

(х )^2 _1 х+Г

2,і

2 і=2

Решим её. Второе и третье уравнения показывают, что при а11 Ф а21

Х1 = а1,1 + а2,1, а1,1а2,1 = -2.

Из остальных четырех уравнений имеем

м 0(х )=^‘22 ^і02 11+г т°,1,

2 ^а 2 \а1 У х і=0 М1 (х)=-:4 (1 -а2 )а 2 і021+Г тт

а1 х і=0

1 х = Ь1а1,1 - Ь2 а2,1

2 1 а^ + 2 а?1 + 2'

2,1

л г ґ \ ^2 ^ 2\ /011

М 2 (х) = —(-а 2 )аЦ-----+ Г'

4 \а2 х і=0

где а1 = 2 - а, а2 = а и х = л/ґ. ЛИТЕРАТУРА

2,і

1. Александров И.А. Параметрические продолжения в теории однолистных функций. М.: Наука, 1976. 344 с.

2. Александров И.А. Теория функций комплексного переменного Томск: ТГУ, 2002. 510 с.

3. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. М.: Наука, 1968. 618 с.

4. Чистяков Ю.В. Об одном способе определения функции, конформно отображающей круг на области, ограниченные дугами окружностей и отрезками прямых // Ученые зап. Томского ун-та. 1950. № 14. С. 143 - 151.

5. Куфарев П.П. // Ученые зап. Томского ун-та. 1948. № 8. С. 61 - 71.

Статья представлена кафедрой математического анализа Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Математика» 20 октября 2005 г.