CC BY
38
ОТНОСИТЕЛЬНО СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
А В. Келлер Челябинский государственный университет
Сформулирована, и доказана теорема о расщеплении относительного спектра, обобщающая общую спектральную теорему
Пусть и и Г — банаховы пространства, оператор Ь £ Ь(и, Б1) (те линеен и непрерывен), а оператор М <1птМ~*¥ линеен и замкнут с областью определения йотМ плотной в и
В данной работе вводится относительный спектр (Ь-спектр) оператора М и доказывается теорема о расщеплении пространств и и Г на инвариантные подпространства операторов Ь и М в соответствии с расщеплением ¿-спектра Эти результаты имеют самостоятельное значение, так как до этого существовали лишь некоторые их частные случаи [1, 2] Данный результат обобщает общую спектральную теорему [3, г л 9 1]
ОТНОСИТЕЛЬНО СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
63
Итак, введем в рассмотрение Ь-резолъвентное множество рь(М) — = {¡1 € С (цЬ- М€ Ь(Г, и)} и Ь-спектр сг1(М) - С \ рь(М) оператора М Из аналога тождества Гильберта [5]
(А¿ - М)'1 - (цЬ - А/)"1 = (ц - Л)(цЬ - М)-хЬ{ХЬ - М)-1 (1)
вытекает открытость рь{М) и, как следствие, замкнутость (Т1(М) Кроме того, из (2) следуют правое
- Я£(М) - (/< - А)й£(М)Я£(М) (2)
и левое
¿1(М) - Ь^(М) = - \)1ЦМ)1{{М) (3)
Ь-резольвемпные тождества [1] (здесь = (¡лЬ - М)~1 Ь — правая,
а Ь^(М) = — М)~1 — левая ¿-резольвенты оператора М Оператор-
функция (цЬ — М)~х называется ¿-резольвентой оператора М) Наконец, отметим, что из (2) вытекает аналитичносIь ¿-резольвенты и, как следствие, правой и левой ¿-резольвент оператора М [1]
Пусть выполнено условие (а)
сть(М) = и <Г2 (М), причем существует замкнутый (положи-
тельно ориентированный) конгур Г С С, Г Г) сг1(М) — 0, ограничивающий область, содержащую <т^(М)
Тогда имеют смысл интегралы типа Ф Рисса
(4)
г г
Лемма 1 Пусть выполнено условие (а) Тогда оператор Р и-" и(д Е —> V) — проектор
Доказательство Но построению оператор Р £ Ь(и), поэтому для доказательства достаточно установить его идемпотентность.
Из условия (а) и замкнутости гт1{М) следует существование замкнутого контура Г' С С, Г' П аь(М) ~ 0, ограничивающего область, содержащую контур Г Из аналитичности правой /г-резольвенты оператора М вытекает
Отсюда имеем
64 А В КЕЛЛЕР
Р2 = (2тгг)~2 у* J --
г' г'
= (2ттг)-2 /£/ Я%(М)<1(1 + I
\Г' Г Е! Г /
где точка ¡л € Г лежит внутри области, ограниченной контуром Г', а точка А € Г' находится вне области, ограниченной контуром Г, а в силу теоремы о вычетах
I = р
о
Л — ц ' J ц — А
Г'
(утверждение относительно оператора ф доказывается аналогично) Лемма доказана
Положим
1тР- и1, кегР = и2, 1т<3 = Г1, кег<2 = V2, и через Ьк(Мк) обозначим сужение оператора Ь(М) на \]к(с1отМпик) к = 1,2
Лемма 2 Пусть выполнено условие (а) Тогда
(1) Ьк и*->Е**= 1,2, (п)Мк ¿отпМ пи1-ГН=1,2
Доказательство Утверждение (1) с очевидностью вытекает из (4), так как ЬР — (¿Ь Для доказательства (п) введем два очевидных тождества
М^Ь-М)-1 = цГ^(М)-1 )' [°>
из которых следует МЩ^(М)и — Ь^{М)Ми Уи 6 йотМ, и значит, МРи — С}Ми Уи 6 йотМ Лемма доказана
Обозначим через сг1к(Мк)Ьк-спектр оператора Мк к = 1,2
Теорема 1 Пусть выполнено условие (а) Тогда
<гь"(Мк) = 4(М)к= 1,2
Доказательство Обозначим через П] область, ограниченную контуром Г, и положим Ог = С \ Очевидно, чго
<т1к{Мк)Э<тьк{М)к^ 1,2
ОТНОСИТЕЛЬНО СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
65
Пусть точка А € С \ Г, тогда
_L [ ('lL ~ МУ1 2тп J ц — X
dfi(XL - М) =
г
-L f&w)du=l
2тгг У /i — А 27гг J л \ -P.A^ilj
г г
(XL-M)±J
1 Г(цЬ-М)-1
dp, —
ц — X
' I-Q, А 6 ili,
-<3,А е п2)
г г
в силу очевидных тождеств
(/¿X - М)~\ХЬ -М) = 1- (/< - А)й£(М),
(А! - М)(рЬ - М)-1 = /-(/!- Х)Ь^(М),
которые получаются аналогично (5)
Это означает существование непрерывных операторов
(ХЬ-М)~1 \}к-¥к,Х #<т£(М),
равных сужению оператора
г
на подпространства Г* & = 1, 2 соответственно Теорема доказана
Следствие 1 В условиях теоремы 1
существует оператор £ 1, и!), (и) оператор Мх € ЦТДг1)
Доказательство (1) Оператор равен сужению оператора
— l(ftL- M)~xdp тг 7
2ттг
haf1
(11) Заметим сначала, что в силу "римановости" интт^алов (4) и замкнутости оператора М проектор Р "не портит" векторы из domM, т е Pu £ domM, если и £ domM Отсюда и из (5) имеем
Мхи = МРи = ~ ( MRLJM)udp - f pLRLJM)udp, (6)
2ттг J р 2m J
если и € ИотМ Поскольку линеал Р^отМ] плотен в и1, а интеграл справа в (6) задает непрерывный оператор, А/1 € Ь(и1,Е1) Следствие доказано
66
М А КОРЫТОВА
Замечание Данный результат имеет приложение к исследованию свойств решений линейных уравнений типа Соболева [4]
Автор благодарит своего научною руководителя профессора Г А Свири-дюка за постановку задачи и консультации
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Свиридюк Г А К общей теории полугрупп операторов // У МП 1994 Т 49 № 4 С 47-74
[2] Свиридюк Г А Фазовые пространства полулинейных уравнений типа Соболева с относительно сильно векториальным оператором // Алгебра и анализ,1994 Т Ь N° 2 С 216-237
[3] Рисс Ф , Секефальви-Надь Б Лекции по функциональному анализу М Мир, 1979
[4] СВИРИДЮК Г А , КЕЛЛЕР А В Инвариантные пространства линейных уравнений типа Соболева с относительно р-секториальным оператором // Алгоритмический и численный анализ некорректных задач Тез докл Всерос науч конф Екатеринбург, 1995 С 111
[5] СВИРИДЮК Г А Полулинейные уравнения типа Соболева с относительно векториальным оператором // ДАН 1993 Т 329 № 3 С 274-277
