CC BY
145
Т. С. Стефанова
ОТБОР СОДЕРЖАНИЯ ОБУЧЕНИЯ КВАНТОВЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ БАКАЛАВРОВ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ
Работа представлена кафедрой информатики.
Научный руководитель - доктор педагогических наук, профессор М. В. Швецкий
Статья описывает подход к отбору содержания обучения квантовым вычислениям с точки зрения квантово-механических моделей, что, возможно, может привести к формированию у обучаемых нефундаментальной трактовки понятия «вычислимость».
The article describes the approach to selecting the content of quantum computing training in the context of quantum-mechanical models, which may probably result in a nonfundamental interpretation of
the concept «computability».
В данной работе мы будем существенно опираться на эмпирически установленный принцип неисчерпаемости Природы1:
Природа имеет средства для осуществления любой корректно сформулированной человеком задачи.
Другими словами, мы будем «смотреть» на понятие «вычислимость» через призму моделей реальности, что, в конечном счете, должно привести к изменению содержания обучения, заключающееся в появлении понятия «неклассические вычислительные модели».
Квантовые вычисления в настоящее время относятся именно к неклассическим вычислительным моделям. Квантовые вычисления являются большим, чем просто более быстрой и миниатюрной технологией реализации машин Тьюринга: квантовые вычисления являются принципиально другим способом использования природы.
Ясно, что фраза «Природа вычисляет» является эллипсисом: точнее говорить, что мы находим новые вычислительные модели в биолого-химических и квантово-механических моделях.
Важно отметить, что квантовые вычисления требуют глубокого понимания фун-
даментальных законов физики, а также знания вопросов, относящихся к математике (функциональный анализ конечномерных унитарных пространств). В силу этого количество проблем при отборе содержания обучения значительно увеличиваются.
С учетом данных особенностей попытаемся осуществить отбор содержания обучения квантовым вычислениям. Для этого воспользуемся структурой, построенной на основе идей, которые предложили М. Нильсен и И.Чанг2.
Квантовые схемы:
• однокубитовые;
• управляемые многокубитовые.
Квантовые алгоритмы:
• плотное кодирование, телепортация;
Квантовый параллелизм:
• алгоритм Дойча;
• алгоритм Дойча-Джозса;
• классификация квантовых алгоритмов;
• дискретное преобразование Фурье;
• быстрое преобразование Фурье;
Квантовое преобразование Фурье:
• квантовое определение собственного числа;
• квантовое нахождение порядка;
• квантовая факторизация;
• квантовое нахождение периода;
• квантовое нахождение дискретного логарифма.
Теперь рассмотрим содержание обучения квантовым вычислениям.
В зависимости от уровня начальных знаний студентов, целей обучения и продолжительности курса может быть выделена следующая последовательность тем.
1. Элементы линейной алгебры в обозначениях квантовой механики.
Основные понятия: матрицы Паули, матрицы Дирака, блочно-диагональная матрица, прямая сумма матриц, сопряженная матрица, эрмитова матрица, нормальная матрица, унитарная матрица; векторное (линейное) пространство; кет-вектор, бра-вектор; конечномерное линейное пространство; скалярное произведение векторов, неравенство Буняковского-Коши-Шварца, ортогональные векторы, ортонормирован-ный набор векторов; ортогонализация Гра-ма-Шмидта; внешнее произведение векторов; евклидово пространство, унитарное пространство, гильбертово пространство; тензорное произведение пространств, кро-некерово произведение.
2. Линейные операторы в конечномерных векторных пространствах. Постулаты квантовой механики.
Основные понятия: линейные операторы , тождественный оператор, нулевой оператор; матричное представление линейных операторов, представление линейных операторов с помощью внешнего произведения; собственные векторы линейного оператора, собственные значения линейного оператора; сопряженные операторы, эрмитовы операторы, унитарные операторы; проекторы; неотрицательно определенные операторы; функции, определенные на операторах; коммутатор операторов, антикоммутатор операторов; полярное разложение оператора; разложение оператора по сингулярным числам; постулаты квантовой механики.
3. Квантовые вычисления, квантовые схемы, однокубитовые квантовые элементы.
Основные понятия: квантовый компьютер, квантовый клеточный автомат; кубит; состояния вычислительного базиса, суперпозиция состояний; физические модели кубита, геометрическая модель кубита; квантовые вычисления, квантовые схемы; квантовые логические однокубитовые элементы (гейты); Z-Y - разложение однокубито-вого унитарного оператора; представление однокубитовых квантовых вентилей с помощью внешнего произведения.
4. Обратимые классические логические элементы.
Основные понятия: классический логический элемент; классические логические элементы на нескольких битах: NOT, AND, OR, XOR, NAND, NOR; обратимый логический элемент; обратимые классические элементы: CNOT, SWAP, элемент Тоффо-ли, элемент Фредкина, FANOUT; моделирование классических логических элементов с помощью элемента Тоффоли; обратимые классические элементы, реализующие одноразрядное сложение: сумматор без переноса, полусумматор с переносом, сумматор.
5. Многокубитовые квантовые элементы. Управляемые квантовые элементы.
Основные понятия: квантовый регистр; квантовая схема в базисе; квантовый элемент «управляемый U»; управляемые квантовые логические элементы на нескольких кубитах: CNOT, элемент Тоффоли, элемент Фредкина, SWAP; квантовый элемент «управляемый нулем U».
6. Измерение кубитов в квантовых системах.
Основные понятия: измерение кубита; операция «измерение» в базисах, отличных от вычислительного базиса; квантовая операция «измерение»; измерение кубитов в состоянии Белла.
7. Запутанные квантовые состояния.
Основные понятия: теорема неклониру-
емости неизвестных квантовых состояний;
квантовая схема, порождающая состояния Белла (ЭПР-состояния); запутанные квантовые состояния; плотное кодирование; квантовая телепортация.
8. Квантовый параллелизм.
Основные понятия: преобразование Уол-
ша-Адамара; квантовый параллелизм; преобразование Uf; квантовая интерференция; алгоритм Дойча; алгоритм Дойча-Джозса.
9. Дискретное преобразование Фурье. Квантовое преобразование Фурье.
Основные понятия: дискретное преобразование Фурье, обратное дискретное преобразование Фурье; быстрое преобра-зование Фурье; квантовое преобразование Фурье; обратное квантовое преобразование Фурье; квантовая схема для квантового преобразования Фурье; матрица Фурье; квантовое вейвлет-преобразование Хаара.
10. Квантовые алгоритмы, основанные на преобразовании Фурье.
Основные понятия: классификация квантовых алгоритмов; квантовый алгоритм нахождения периода функции.
Квантовые вычисления, рассмотренные нами в рамках содержания обучения, дают идею о возможных вариантах моделирова-ния квантового компьютера на «обычном» компьютере.
Данный отбор содержания обучения предполагает выбор методов, форм и средств обучения.
В качестве основных методов обучения будем использовать метод целесообразно подобранных задач и метод демонстрационных примеров.
Основными формами обучения являются лекции и практические занятия (лабораторные работы, семинары).
Будем считать, что основными средствами обучения для всех тем являются математические пакеты (Maple, MathLAB,
MathCad) и языки программирования LISP и С.
В качестве контроля умений и навыков студентов будем использовать контрольные работы, сочетающие работу за компьютером с выполнением математических вычислений на бумаге.
В заключение отметим, что:
1) идея квантовых вычислений позволяет дать толчок к построению компьютеров с принципиально новой архитектурой, основанной на природном параллелизме;
2) появляется возможность создать новый метаязык квантовых вычислений;
3) несмотря на возможность применения классического компьютера для моделирования квантового компьютера, эффективное осуществление такого моделирования невозможно, т. е. квантовые компьютеры существенно превосходят по скорости классические компьютеры;
4) квантовые вычисления внесли фундаментальный вклад в развитие следующих тем: информатика, теория информации, криптография;
5) происходит формирование новой парадигмы, которую будем называть квантовой парадигмой вычислений;
6) квантовые вычисления учат думать о вычислениях физически, и этот подход открывает много новых возможностей в области обработки информации;
7) квантовая теория вычисления должна быть неотъемлемой частью мировоззрения любого человека, ищущего фундаментального понимания реальности.
Представленное в данной статье содержание обучения квантовым вычислениям использовалось в рамках курса «Представление знаний в информационных системах» для обучения студентов четвертого курса факультета информационных технологий РГПУ им. А. И. Герцена в 2007 г.
ПРИМЕЧАНИЯ
1 Воронов В. К., Подоплелов А. В. Современная физика. М.: КомКнига, 2005. С. 403.
2 Нильсен Н., Чанг И. Квантовые вычисления и квантовая информация/ Пер. с англ. М.: Мир, 2006. С. 8.
