CC BY
14
УДК 515
Э.К. СМОРЩКОВ
Монреаль, Канада
ОТ ПИРАМИДАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ К КВАЗИПРИЗМАТИЧЕСКОЙ* В ЗАДАЧЕ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
Решению линейных уравнений посвящен раздел математики «Линейная алгебра». К. Гаусс" и В. Жордан'" в разное время разработали метод на основе матричного исчисления. Безукоризненность, плодотворность и общность исследования получили повсеместную признательность. Нас заинтересовала геометрическая интерпретация метода Гаусса-Жордана, что и является содержанием настоящей статьи.
Рассмотрим пример, когда требуется решить систему:
'Зх + 8.у-2 + 18 = 0 2*+у+г-8=0 2х + 4у + 2г + 4 = 0
Вариант решения, изложенный в [1), по-своему интересен хотя бы тем, что касается геометрической стороны вопроса, а именно: однозначности, многозначности, либо отсутствия решений при использовании определителей, но мы ограничимся лишь его упоминанием.
Вначале составляется матрица:
"3 8 -1 -18
(1)
А =
2 1 2 4
8
(2)
а затем ее преобразуют, приводят к ступенчато-расположенной форме (КЛЕР), в частности, к единичной [2, 3, 4].
О О
1 =
1
О 1 О о
о
(3)
для элементов которой характерно
[1, когда r = s I" 0, когда г ^ s
В результате
1 0 0 40/7 0 1 0 -30/7 0 0 1 6/7
(4)
где г -строка, s -столбец.
Решить систему означает найти координаты множества, общего для уравнений системы (1). В данном случае искомым множеством будет точка К (рис. 1,2). По сути дела, точка К - вершина трехгранной пирамидальной поверхности, ребрами которой являются линии 1, m, п пересечения трех плоскостей, заданных
= %.(см. (4)).
Чертеж, на котором реализована геометрическая конструкция, довольно сложный и фрагментарно трудоемкий, поэтому целесообразно отдельные по-
квази... (от лат. quasi — как будто, соответствует словам «почти», «близко») Karl Friedrich Gauss (1777— 1855) - немецкий математик. Wilhelm Jordan (1842— 1899) — немецкий инженер-геодезист.
Рис. 1
строения сопровождать аналитическими расчетами. Поясним на примере построения линии пересечения первой плоскости с третьей. Их горизонтали ,11, и ..Ь, пересекаются в точке 3. Из чертежа видно, что наклон горизонталей к осям координат соизмерим. При графическом определении их точки пересечения возможна ошибка. Координаты х:) и у.,следует определить, решая систему уравнений:
|Зх + 8_у + 18 = 0 \2х + 4у + 4 = 0 151
системой (1). xk = ^yij
Ук /7.
Рис. 2
Используя матричную форму, получаем: "3 8
2 4-4 Применяя метод Гаусса-Жордана, имеем:
1 4 -14
(6)
3 8 -18 2 4-4
Я2 - Л, Л, Ь)
10 10"
0 2 -12
Л, - Л2 -> Д,
а)
1 0 10 1 2 -2
2 *
2 4
Л, - Л, ->• Л,
1 0 10 0 1 -6
(7)
с) с1)
где а), Ь), с), с]) - промежуточные результаты. Итак, х, = 10, = -6, г3 = 0 Рассмотрим геометрическую конструкцию преобразований матриц.
Этапу а) соответствует система уравнений:
|х + 4у + 14 = 0
[2дс + 4 у + 4 - 0 ирис'3 ,8)
30 -]4
Рис. 3
Этапу Ь) адекватна система:
Гдг + 0 — 10 = 0 х+2у+2=0 ирис'4
(9)
--6 ■-2
X 12 30 8 6 4 V 1 -4
Рис. 4
Этап с) сопряжен с системой:
Г .г + 0-10 = 0 {.\' + 2;' + 12 = 0 ирис'5
(10)
-12
| 1111 — 4 1 1 1
X Л 10 8 6 4 и1 _-£ -6
-8
Рис. 5
-6
-г
х зг 1 п 30 8 6 4 и. .-г -ь
-4
V '
Рис. 6
(11)
Рис. 7
Этап й) можно интерпретировать как систему уравнений:
( * + ух0-10 = 0->х = 10
[0х х +1 х >• + 6 = 0 -» у - -6
Рисунки 6 и 7 дают наглядное представление о системе уравнений (10).
Аналогично находим координаты точек 1,, 2.2, 42, 5, и 62, последовательно решая соответствующие системы линейных уравнений.
Изложенное позволяет сформулировать следующее определение:
Применение метода Гаусса-Жордана приводит к замене острого угла между рассматриваемыми прямыми линиями (пересекающимися или скрещи-
л
вающимися), либо плоскостями на угол а- —
путем последовательного поворота прямых линий вокруг предполагаемой искомой точки пересечения, а плоскостей - вокруг линий их пересечения.
Решение поставленной задачи методами начертательной геометрии, как было указано выше, показано на рис. 1. Схема определения точки К представлена на рис. 2, где точка К служит вершиной пирамидальной поверхности с ребрами 1, т, п. Иллюстрация метода Гаусса-Жордана приведена на рис. 8 с фрагментами плоскостей уровня: плоскости 1, параллельной П.,, или уОг, плоскости 2, параллельной П.,, или х0/ и плоскости 3, параллельной П,, или хОу. Пересечение плоскостей 1 и 2 определяют ребро, являющееся горизонтально-проецирующей прямой. Пересечение этого ребра с плоскостью 3 дает искомую точку К. Именно в такой последовательности происходит приведение исходной матрицы к ЯЯЕР.
Рис. В
С геометрических позиций можно рассуждать иначе. Например, вначале строим линию пересечения плоскости-грани 1 с плоскостью-гранью 3, получая фронтально-проецирующую прямую - новое ребро. Пересечение нового ребра с плоскостью 2 даст
туже точку К. Возможен и третий вариант, когда вначале строится профильно-проецирующая прямая, как место пересечения плоскостей 2 и 3, а уж затем определяется точка К. Для адекватности аналитического решения пришлось бы исходные уравнения в системе уравнений (1) переставить местами. По сути дела, все преобразования сводятся к двум.. Сначала заданные плоскости (строчки матрицы) попарно «выравниваются» за счет поворота линий их пересечения, все время «нацеленные» на точку К, до положения линий уровня 1у1 ш , п . После этого плоскости 1, 2 и 3 «раздвигаются», поворачиваясь вокруг 1у, ту1 пу до взаимной перпендикулярности. Отметим, что плоскости 1, 2, 3 формируют квазипризматическую поверхность, что и вынесено в заголовок статьи.
Библиографический список
1. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике, М.,
1963
2. Смирнов С.А. Проективная геометрия, «Недра», М„ 1976.
3. Anion Н., RarresG. Elementary Linear Algebra: applications version, 2000, New York-Chrichester-Weinheim-Brisbane-Toronto-Singapore.
4. Faux I.,Pratt M. Computational geometry for design and manufacture, 1979, New York-Chichester-Brisbane-Toronlo.
СМОРЩКОВ Эдуард Константинович.
Дата поступления статьи в редакцию: 30.06.2006 г. © Сморщков Э.К.
Российские научные журналы
«ВЕСТНИК ДОНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА»
Выходит 4 раза в год (1 номер объемом до Юп.л. в квартал). 4 годовых номера (40 п.л.) образуют том. Нумерация страниц в томе сквозная. В журнале публикуются результаты выполненных в ДГТУ или других организациях в соавторстве с сотрудниками ДГТУ научных исследований, отвечающих требованиям журнала по форме представления, качеству и результатам рецензирования. По своей структуре журнал состоит из следующих разделов и рубрик:
• Обзоры;
• Статьи по рубрикам
— Естественные науки;
— Технические науки;
— Гуманитарные науки.
• Краткие сообщения;
• Рефераты диссертации;
• Хроника.
Все работы, поступающие в журнал, подвергаются рецензированию специалистами по конкретному направлению научных исследований. При получении отрицательных рецензий редколлегия журнала вправе отказать автору (авторам) в публикации работы, Представляемые для публикации в журнале научные работы должны отвечать следующим требованиям. «Обзоры» - обобщающие опубликованные результаты исследований работы объемом до 2 п.л., объективно отражающие мировой уровень развития конкретного научного направления. В представленном для публикации в журнале обзоре должна быть четко выражена точка зрения автора (авторов) по обсуждаемой проблеме. Компилятивные обзоры не публикуются. «Статьи» объемом до 1,0 п.л. публикуемые в журнале, как правило, должны соответствовать по тематике основным научным направлениям НИР ДГТУ, содержать новые, не опубликованные в других изданиях, результаты научных исследований. При отборе статей к опубликованию предпочтение отдается авторам и авторским коллективам, работающим в ДГТУ.
Тематически статьи объединяются в рубрики по направлениям:
• Естественные науки:
— математика,
— физика,
— химия,
— экология
• Технические науки:
— «Механика деформируемого твердого тела»;
— «Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры»;
— «Физика твердого тела»;
— «Машиноведение, системы приводов и детали машин»;
— «Материаловедение»;
— «Машины и агрегаты (по отраслям)»;
— «Трение и износ в машинах»;
— «Технология машиностроения»;
— «Технология и оборудование механической и физико-технической обработки»;
— «Технология и машины обработки давлением»;
— «Технология и машины сварочного производства»;
— «Металловедение и термическая обработка»;
— «Порошковая металлургия и композиционные материалы»;
— «Системный анализ, управление и обработка информации»;
— «Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (по отраслям)»;
— «Технологии и средства механизации сельского хозяйства»;
— «Охрана труда»;
— «Пожарная и промышленная безопасность (по отраслям)»;
• Гуманитарные науки:
— философия,
— экономика,
— культурология,
— языкознание,
— педагогика.
http://www.dstu.edu.ru/vestnik/info.html
