CC BY
56В.С. Авдонин
ОТ МЕТАМАТЕМАТИКИ К МАТЕМАТИЧЕСКОМУ ОРГАНОНУ
1. О двух возможностях видеть органоны
Наши предшествующие обсуждения органонов-интеграторов в основном опирались на подход, сформированный в рамках философии и методологии науки [Круглый стол... 2014; Авдонин, 2014; 2015]. В значительной мере это оправдывалось традициями методологических дискуссий по проблематике научных методов, а также достаточным разнообразием и релевантностью этого дискурса применительно к науке. Но постепенно те же обсуждения и ряд критических замечаний, высказанных коллегами, заставили изменить, по крайней мере частично, рамку рассмотрения проблематики органонов. Все чаще этот анализ выходил в поле проблем ког-нитивистики - широкого междисциплинарного направления, активно развивающегося в последние десятилетия, в том числе и применительно к методологии науки.
Сам по себе когнитивистский подход, как известно, чрезвычайно многопланов, охватывая широчайший спектр исследований от философии и лингвистики до психологии, нейробиологии, компьютерных наук и т.д.1 Но в нем есть некоторые общие теоретические и методологические установки, имеющие, по мнению ряда авторов, признаки когнитивистской парадигмы [Miller, 2003; Pinker, 1997]. Среди них прежде всего отметим методологическую установку на интеграцию в исследованиях когнитивности усилий не просто многих наук, но различных кластеров или «семейств» наук -от философских и формальных до эмпирико-экспериментальных и гумани-
1 Для наглядной характеристики областей современной когнитивистики часто используется так называемая гексагональная модель [Миллер, 2003], представляющая собой шестиугольник (гексагон), в шести вершинах которого располагаются основные области современной когнитивной науки: философия / эпистемология; лингвистика; психология; нейробиология / нейронаука; антропология / этология / поведенческие науки; компьютерные науки / искусственный интеллект. Соединения между вершинами символизируют связи между областями (рис. 1).
38
тарных, барьеры между которыми считаются весьма существенными и труднопреодолимыми.
Важно также отметить, что в основу этого сближения была положена идея информационной природы когнитивных явлений, которая позволяла понять их как информационные состояния и процессы, доступные преобразованиям и исчислениям. Здесь примечательна история становления когнитивистики в середине прошлого века, начавшаяся со сближения вычислительных теорий расшифровки сигналов, имеющих логико-математические основания, и психологических и лингвистических теорий, ориентированных на изучение ментальных процессов [Anderson, 1983].
В рамках философии информационный и вычислительный подход к изучению когнитивных процессов иногда рассматривается как редукционистская тенденция к «заземлению» и «натурализации» эпистемологических исследований, как их сближение с конкретно-научными подходами, ограничивающими автономию философской рефлексии. В то же время в философии эта позиция не является общепринятой. Ей противопоставляется как раз идея сближения эпистемологии и конкретных наук в сфере исследований когнитивности. Такое встречное движение присутствует в современной философии и в более широком плане, находя, например, от-
Ф
Рис. 1.
«Оксагон» когнитивной науки [Miller, 2003]
39
ражение в исторической эпистемологии, эволюционной эпистемологии и др. [Лекторский, 2009].
На почве сближения разнородных подходов и знаний сформировался ряд базовых идей и тематик современной когнитивистики. К ним, прежде всего, можно отнести идею неких априорных свойств или оснований когни-тивности, которые рассматриваются в широком эволюционном контексте. В этом ряду также можно назвать: идею комбинаторных программирующих способностей, порождающих бесконечное множество когнитивных проявлений; идею внутреннего и поверхностного слоя в когнитивности; идею системности когнитивности, ее элементов и частей; идею искусственной и естественной когнитивности, воплощаемой на разных субстратах, в том числе порождающей проблему телесной когнитивности (когни-тивность vs телесность) и др. [Pincer, 2003; Gardner, 1985].
Из сказанного видно, что рамки проблематики когнитивистики оказываются существенно шире, чем проблематики традиционной философии и методологии науки. Они простираются далеко за пределы собственно науки и стараются охватить мир когнитивности в самом широком и многоплановом отношении. И с этой точки зрения наш подход к органонам как инструментариям и методологиям научного познания, предложенный ранее, существенно расширяется. Теперь в него включается их видение не только в науке, но и за ее пределами, и даже за пределами общества и культуры, в биологических и небиологических системах и феноменах - в том сложном и многообразном мире когнитивности, который задается современной когнитивистикой. И в то же время наша точка отсчета - методологические органоны в науке - остается. Мы возвращаемся к ней же, но уже обогащенные в этом видении новым, дополнительным знанием, почерпнутым из того «оксагона» наук, который был представлен выше на рисунке.
Нам представляется, что в чем-то эти два видения органонов (до и после когнитивистской рефлексии) могут быть сходны, возможно - в каких-то базовых основаниях, а возможно, и в каких-то менее существенных деталях. Но, во всяком случае, это второе видение может быть развитием и обогащением первого, его более полным, а может быть, и более глубоким описанием и пониманием.
Из трех рассмотренных в предыдущих дискуссиях методологических органонов (математики, семиотики и морфологии) мы вновь обращаемся к математике. Отчасти это связано с попытками уточнить то, что было сказано ранее [Авдонин, 2016], но главное - модифицировать видение (и описание) этого органона в контексте упомянутой выше многослойной когнитивистской оптики.
Здесь важно сделать предварительное замечание. Оно относится к видению математики в рамках философии и методологии науки, где она понимается как формальная наука и входит в кластер так называемых формальных или дедуктивных наук. По отношению к другим наукам она
40
может выступать в качестве метанауки, предоставляя им математический аппарат / язык, в данном случае как метаязык, для применения в изучении их предметных областей. Этот процесс рассматривается как математизация поля наук и является одним из важных средств их междисциплинарной интеграции. Данное обстоятельство следует учитывать при обращении к анализу самой математики, к рефлексивному анализу ее собственных проблем. В этом случае может возникать эффект метаметаязыка, или метаязыка второго уровня, поскольку объектом анализа становится то, что само может являться метаязыком.
Обсуждение возникающих здесь проблем, эффектов и парадоксов происходит в метаматематике и тесно связанной с ней металогике, образующих область анализа методологических проблем математики, которая, с одной стороны, является аспектом самой математики, с другой - фрагментом более широкой сферы методологии и философии науки. Полученные в этой области результаты, в том числе относительно метанаучных и метаязыковых свойств математики, имеют важное значение для рефлексии математики как науки. И было бы неверно не учитывать их при построении нашего видения математического органона сквозь призму когнитиви-стики. Поэтому, прежде чем перейти к нему, мы предполагаем сначала обратиться к метаматематике, чтобы затем сравнить предложенную там рефлексию с когнитивистским подходом.
2. Метаматематическая парадигма изучения математики
Исторически метаматематика возникла в начале XX в. как составная часть проекта по более глубокому и всестороннему обоснованию математической науки, столкнувшейся в этот период с рядом методологических трудностей и парадоксов. В основном этот проект связывают с именем выдающегося немецкого математика Давида Гильберта и его последователей в ряде европейских стран. С точки зрения методологии науки метаматематика была призвана создать пространство методологической рефлексии используемого в математике метода получения знаний, возможностей его обоснования и развития. В философском плане гилбертовскую версию метаматематики связывают с тенденциями получившего в тот период распространение среди философов науки логического позитивизма [Витгенштейн, 1994], а в области философии математики - с течением формализма.
Непосредственными причинами формирования метаматематического подхода были обнаруженные в основаниях важнейшей для математической науки теории множеств логических парадоксов, проект их преодоления, предложенный А. Уайтхэдом и Б. Рассэлом в знаменитой работе «Принципы математики» [Уайтхед, Рассел, 2005-2006], а также критика ряда положений теории множеств со стороны так называемого интуиционистского направления во главе с Яном Брауэром. Во многом как ответ на
41
эти обстоятельства развития математической науки и был предложен метаматематический подход [Бурбаки, 1963; Вейль, 1989].
Отметим его наиболее существенные для нашей темы черты. Во-первых, базовым компонентом этого подхода стала так называемая формализация математических теорий или их формальная аксиоматизация. Она означала представление теорий из различных разделов математики в некоем формальном или безотносительном к содержанию виде как наборов символов, организованных по некоторым упорядочивающим правилам. При этом шагами или процедурами формализации были: принятие некоего набора различающихся символов в качестве алфавита формализации; определение правил составления из этих символов формул или «слов», позволяющих различать правильность либо неправильность составленных формул; правила вывода или импликации, устанавливающие порядок следования из одних формул других. Представленная таким образом, т.е. в виде формальной системы исчисления, математическая теория, как предполагалось, позволит легче проверять ее точность и строгость, легче обнаруживать в ней ошибки и противоречия. Важным аспектом метаматематики явилась также «теория доказательств», представленная как установление непротиворечивости в последовательности формул теории посредством демонстрации невозможности получения в ней в одном и том же отношении двух разных формул (А и не-А) [Гильберт, Бернайс, 1998].
Во-вторых, в метаматематике построение и исследование формализованных теорий, их свойств, структурных компонентов и правил вывода / импликации предполагает также и исследование проблематики их содержательных интерпретаций. Имеется в виду, что формализованные теории рассматриваются как содержательно неопределенные (несемантизирован-ные), которые должны получить некоторое содержательное значение или приобрести семантическую интерпретацию. Клини выделяет фактически три возникающих в связи с этим уровня: уровень формализованных теорий, уровень содержательных теорий и уровень метаматематики, где первые и вторые, с одной стороны, различаются, а с другой - сопоставляются посредством семантической интерпретации первых в области вторых [Клини, 1957, с. 59]. На метаматематическом уровне, таким образом, образуется рефлексивное пространство для выделения и обсуждения проблематики, связанной как с разделением, так и с взаимодействием формально-синтаксического и содержательно-семантического уровней / языков математических теорий.
В-третьих, основными средствами анализа проблем в метаматематике, по Гилберту, должны были быть так называемые сильные или финитные методы, т.е. методы построения и оперирования конечными объектами посредством конечных процедур. Эта опора на сильные методы, как считается, позволяла укрепить метаматематический подход перед лицом той критики, которая подвергала сомнению основания методов сложившейся математики. Это выглядело так, что, с одной стороны, метаматематика
42
принимала ряд этих критических аргументов и учитывала их в своем подходе, с другой - ограничивала их своей собственной метаматематической областью, но не распространяла на математику в целом. В методологическом плане это выразилось, в частности, в том, что в метаматематике были тесно переплетены методы формальной логики и элементарной математики, образовавшие своего рода логико-математический методологический симбиоз, который и применялся в анализе и решении ее проблем. В отношении же математики в целом подход Гильберта был другим. Здесь математика рассматривалась как значительно более автономный и свободный от формальной логики и элементарной математики метод, ориентированный на решение, прежде всего, собственно математических задач [Гильберт, 1998].
Этим, например, объяснялось отношение Гильберта к применению в математике так называемых «идеальных» математических объектов, которые в отличие от «реальных» объектов не имели обоснования в финитных методах метаматематики. Их он считал вполне разумными и допустимыми, коль скоро они позволяют облегчить математические доказательства и вычисления и выступают «мостиками», построенными между «реальными», т.е. имеющими обоснование в метаматематике, объектами.
Итак, способ анализа математики и ее методологических оснований, предложенный в метаматематике, даже при самом беглом обзоре выглядит вполне насыщенным и продуктивным. Он возник в тесной связи с проблемами в самой математике, был принят математическим научным сообществом, повлиял на становление ряда математических и логических направлений исследований, в то же время он был достаточно влиятелен и в сфере философии и методологии науки, способствуя развитию и этих тематик. Значение и программы Гильберта, и метаматематики как ее составной части признается до сих пор [Расева, Сикорский, 1972].
Во многом это, вероятно, связано также с тем, что этот подход был сформирован в духе «научных программ» Локатоса, допускающих в ходе реализации замену в них различных компонентов при сохранении некоторого теоретико-методологического ядра [Локатос, 1995]. В метаматематике тоже произошло нечто подобное. Ряд ее важных положений были пересмотрены в силу обнаружившихся ограничений, отношение к ней стало более критичным. Иногда это даже трактовалось как ее провал. Но в целом вопрос о том, было ли разрушено в ходе несомненной критики ряда постулатов ее основное ядро, пока все же остается открытым. Он даже, может быть, будет в определенном отношении скорее отрицательным.
Исторически критическим периодом для исходной версии метаматематики были 30-е годы прошлого века. В это время в ней стали обнаруживаться существенные ограничения, касавшиеся ряда ее базовых постулатов. Первым здесь обычно называют теорему Гёделя о неполноте, но важную роль сыграли и другие метатеоремы, в том числе теорема Чёрча -Тьюринга, теорема Тарского и др. [Перминов, 2001].
43
Гёдель доказал свою теорему о неполноте формализации теорий, использующих арифметику, отправляясь именно от постулатов метаматематики о роли в формализации финитных методов, связывающих формальную логику и элементарную математику. В соответствии с ней оказалось, что любая формализация достаточно развитой теории, содержащей арифметику, - неполна, т.е. обязательно содержит правильную формулу / формулы, которые не могут быть доказаны ее же средствами или не являются ее теоремами. Для их доказательства надо обращаться к другой теории и, соответственно, к другой формализации [Goedel, 1931].
Затем была доказана еще одна теорема, имеющая метаматематическое значение. Это - теорема Чёрча - Тьюринга о разрешимости / неразрешимости, которая доказывает наличие неразрешимых задач для конечного алгоритма. Она означает, что в математике существует класс задач, которые невозможно решить с помощью финитных, т.е. используемых в метаматематике методов. И, наконец, была доказана теорема Тарского, относящаяся к метаматематической теории доказательств. Она утверждает, что множество доказанных утверждений формальной теории и множество истинных утверждений ее семантической модели не совпадают. Последнее - всегда больше первого [Тагеку, 1944; Тарский, 1948; Тарский, 1972]. Это в новом аспекте, по существу, подтверждало то, что было доказано в теореме о неполноте Геделем.
Все эти теоремы показывали, что дальше использовать метаматематику в исходно предложенном виде для прочного обоснования всей математики и ее методологии не представляется возможным. Необходимо было или что-то менять в уже существовавшей метаматематике, или искать какой-то другой путь. На развитие математики эта ситуация в основном повлияла в том смысле, что проблема оснований математики, а с ней и проблематика метаматематики, утратили приоритетное положение в сфере математических исследований и стали занимать в них более скромное место. Задачи формальной аксиоматизации теорий стали рассматриваться как менее значимые, а усилия, предпринимаемые в этой области, - как не вполне оправдывающие себя. В качестве более актуальных получили развитие разделы математики, с одной стороны, связанные с вычислением и программированием (вычислительная математика), с другой - с созданием все более сложных математических абстракций, способных выступать моделями более сложных областей предметных наук.
3. Изменения в метаматематической парадигме
Что касается самой метаматематики, то в ней изменения выразились в основном в виде ревизии применяемых методов. Ограничительные теоремы метаматематики показали, что методы обоснования математики и методы ее развития оказались в известном противоречии, что здесь нужен
44
новый методологический синтез, сближающий анализ оснований с задачами и результатами практики исследований. Одним из таких направлений стало методологическое сближение традиционной математики с так называемым конструктивизмом.
Конструктивистская методология обычно характеризуется как подход, акцентирующий в математике основополагающую роль конструктивных процессов и конструктивных объектов [Марков, Нагорный, 1984]. Это означает обязательное требование включения в определения математических объектов способов их построения (конструирования). Именно так, как считается, можно избежать появления в математике разного рода иллюзорных объектов, ведущих в расчетах и доказательствах к искажениям и ошибкам. Отчасти это совпадает и с постулатами формализации в метаматематике, где также требуется указывать способ / алгоритм построения объекта. Но в конструктивизме этот принцип применяется значительно шире, распространяясь на всю математику, а в некоторых связанных с ним течениях и еще шире - на всю область наук и даже на сферу практической деятельности1.
Клини применительно к метаматематике отмечает, что в ней имеются два способа рассмотрения объектов: аксиоматический (формальный) и генетический (порождающий). Первый задает объект чисто формально, т.е. безотносительно к существованию его содержания, тогда как второй задает объект генетически, т. е. способ задания / порождения подразумевает его осуществление и, следовательно, существование (по крайней мере потенциальное) [Клини, 1957, с. 31]. На этой почве, как, впрочем, и по ряду других вопросов, между подходами возникают расхождения уже в самой метаматематике и в других областях математических исследований. В конструктивистском подходе ключевую роль играет анализ порождающих алгоритмов, а в формальной аксиоматике - исследование формальных систем.
Вместе с тем история конструктивного направления показывает, что в нем имелись разные варианты отношений к формальной аксиоматике -от резко критических до весьма лояльных и ориентированных на сближение. На фоне кризиса 30-х годов в формальной метаматематике конструктивное направление испытывало определенный подъем, но в то же время в нем усилились тенденции к сближению с реформируемым формализмом. Одним из направлений здесь стала разработка так называемой теории типов.
1 Здесь можно упомянуть пример так называемой Эрлангенской школы методологии науки, возникновение которой было тесно связано с конструктивистским направлением в метаматематике. Ее основатель и лидер Лоренцен долгое время занимался метаматематикой и внес в нее значительный вклад. В дальнейшем он перешел к специализации в области логики и методологии науки, научной дидактики, образования и этики. Эрланген-ская школа также оказала существенное влияние на формирование современных подходов к трансдисциплинарности в методологии науки и науковедении.
45
Особый вклад в нее внес шведский математик Пер Мартин-Лёф, получивший образование в школе Андрея Коломогорова и хорошо знакомый с подходами конструктивного направления, развивавшегося в советской математике. Основная задача теории типов Мартина-Лёфа состояла в сближении подходов формальной аксиоматики и порождающих алгоритмов конструктивизма. Базовой идеей здесь было выделение иерархических типов формализаций / формальных систем, отношения между которыми строились на основе порождающих алгоритмов [Мартин-Леф, 1975].
Как выяснилось, в дальнейшем эта разработка теории типов дала весьма продуктивный результат. Используя методологию этого подхода и ряд его содержательных постулатов, в начале 2000-х годов американо-российский математик Владимир Воеводский предложил так называемую гомотопическую теорию типов (ГТТ), став в результате лауреатом премии Филдса. Он показал, что связь между типами формализованных систем может быть установлена через точки топологического пространства, имеющего гомотопические свойства [Voevodsky, 2014]. В аспекте обсуждаемой нами темы это означает, что ограничения, налагаемые на формальные аксиоматические системы вышеупомянутыми метатеоремами, могут быть преодолены посредством перехода к формальной системе другого типа. А областью такого перехода является область топологического пространства с гомотопическими свойствами [Homotopy Type Theory, 2013]. На базе теории ГТТ с 2012 г. международной группой математиков во главе с Воеводским осуществляется международный проект создания так называемой унивалентной математики1. Имеется в виду формирование в математике базы аксиоматических теорий, которые будут сводимы через точки в гомотопическом пространстве. Эта сводимость позволяет создавать программы автоматического доказательства математических теорем и их проверки. В этом случае, по мнению ряда авторов, математику может ожидать принципиально новый этап развития [Ковалев, Родин, 2016].
Таким образом, кризис методологического анализа математики в метаматематике был постепенно преодолен. Хотя это стало возможным при изменении целого ряда постулатов, традиций, границ, присущих этой парадигме рассмотрения математики. Были, например, частично демонтированы барьеры между чисто формалистским и конструктивистским подходом, были пересмотрены границы внутри самой математической логики, а также и между достаточно внешними по отношению к ней областями, в том числе между топологией и вычислительной математикой и программированием. Все это может свидетельствовать об определенной тенден-
1 Связь ГТТ с метаматематикой символически отразилась в обстоятельствах европейской презентации программы унивалентной математики. Она состоялась в 2014 г. в Цюрихе в виде Бернайсовских чтений, в мемориальном зале швейцарского математика Пауля Бернайса - ближайшего соавтора Гильберта и одного из основателей метаматематики [Mathematik auf neuer Grundlage, 2014].
46
ции. Но вместе с тем это представляет собой лишь один из путей методологического анализа математики в современных исследованиях. Другой путь, к обсуждению которого мы переходим, может быть связан, как уже было сказано выше, с осмыслением математического органона в поле исследований когнитивной науки.
4. Когнитивистская парадигма: Сходства и различия с метаматематикой
Теперь, уже имея перед собой некий общий обзор опыта рефлексии математики в рамках метаматематической парадигмы, обратимся к особенностям видения математического органона в парадигме когнитивистики. Вполне естественно здесь возникает вопрос о параллелях, сходствах, особенностях. Попробуем разобраться и в тех и в других.
Главное сходство, на наш взгляд, можно усмотреть в информационном подходе к основаниям когнитивности, о котором уже говорилось в начале статьи. Математику, по сути, тоже можно представить как информационный объект и информационный процесс и на этой почве соотнести с когнитивностью. Дополнительное сходство здесь возникает также в силу того, что теоретическое представление об информации, принятое в когни-тивистике, возникло именно в математике как одна из ее теорий. Но в этом сходстве заключено и различие. Дело в том, что мы не можем применить к математике теорию информации напрямую, так как теория информации сама построена на основе математики. В этом случае мы бы имели автореференцию, чреватую логическим парадоксом. Поэтому информационный подход к математике применяется в когнитивистике как метатеория к объектной теории. И в этом смысле когнитивистика аналогична метаматематике, которая тоже рассматривает математику как объект.
Различие же здесь состоит, прежде всего, в теоретико-методологическом арсенале этих метаподходов. Если в метаматематике он ограничен средствами логики и самой математики - с учетом, разумеется, опасностей самореференции, о которых говорилось выше, - то в когнити-вистике он является намного более широким. В него включаются отнюдь не только информационный подход, о котором уже упоминалось, но и множество других подходов, привлекаемых, по сути, из всего комплекса («оксагона») когнитивистики. В данном случае к рассмотрению математики могут подключаться подходы психологии, нейробиологии, лингвистики, искусственного интеллекта, поведенческих наук и т.д. И тогда математика собственно и превращается из научной области или даже метанауки в то, что мы назвали органоном, т.е. в некую фундаментальную когнитивную способность, получающую проявление как в сфере когнитивности науки, так и за ее пределами.
47
Исследование такой математики, взятой как органон, становится чрезвычайно комплексным и многообразным. Это, разумеется, позволяет существенно расширить и обогатить наши знания об этом феномене, но в то же время требует их систематизации, упорядочивания и интеграции в некоторую целостность. И одним из вариантов здесь могут быть параллели и соотнесения, взятые из метаматематики как некоего образца.
Мы видели, что в метаматематике главными аспектами рассмотрения математики были: а) формализация ее содержания, включавшая также описание процедуры этой формализации (введение алфавита символов, правил / алгоритмов образования формул и их преобразований); б) семантическая интерпретация полученных формул в различных содержательных областях.
Теперь посмотрим на когнитивистику. Здесь математическая способность обычно относится к категории высших когнитивных способностей деятельности мозга, обозначаемых как мышление. С точки зрения психологии она представляет собой переработку психических репрезентаций низших уровней (ощущений, восприятий) в новую форму логико-символических репрезентаций и оперирование ими. С информационной точки зрения здесь происходит переработка / перекодирование информации в новые коды со значительно большей информационной емкостью, что позволяет мозгу сохранять значительно больший объем информации и более эффективно его использовать. С точки зрения нейронауки все это сопровождается передачей и переработкой электрохимических сигналов в нейронах и нейронных сетях новой коры (неокортекса) мозга, к которым также подключаются клеточные образования других его отделов. Экспериментальная нейронаука также показала, что в основном эти процессы локализуются в зоне левого полушария, хотя имеется и параллельная им активация некоторых зон правого полушария мозга. Сюда можно добавлять также точку зрения психолингвистики, эволюционной биологии и т.д. [Меркулов, 2006].
Как на этом фоне и с учетом опыта метаматематики мог бы рассматриваться математический органон? Здесь пока можно предложить лишь гипотезу, опирающуюся, впрочем, на некоторые прошлые обсуждения, в том числе касавшиеся «очищения» и «насыщения» органонов [Ильин, 2014; Круглый стол.., 2014].
Во-первых, идею «очищения» органона можно соотнести с формализацией в метаматематике. При этом она же может подсказать, как могла бы выглядеть такая процедура применительно к органону. В этом случае «очищенный» органон мог бы быть представлен в виде абстрактной системы символического кодирования с некоторым алгоритмом. Тогда было бы важно определить для него способ кодирования и программирующий алгоритм, а возможно - и правила преобразований или допустимых операций с его кодом. Тем самым «очищенный» органон приобретал бы сходство с формализованной теорией в метаматематике.
48
Во-вторых, идею «насыщения» тоже можно было бы уподобить процедуре семантической интерпретации в метаматематике. Там, как известно, эта процедура состоит в сопоставлении выражений формальной теории с объектами в области истинных и ложных значений. Можно предположить, что и «насыщение» органона происходит неким сходным образом. Абстрактные формулы / алгоритмы кода «чистого» органона получают методологическую значимость (методологическую интерпретацию) в различных предметных областях. Хотя здесь, вероятно, сходство с логико-семантической интерпретацией метаматематики было бы меньше, так как там речь идет об интерпретациях в областях содержательных математических теорий, обладающих достаточной специфичностью в предметном плане.
Что касается непосредственно математического органона, то в свете предложенной гипотезы сходств его сходство с метаматематикой было бы еще больше. Можно даже полагать, что области рефлексии «чистого» математического органона и метаматематики фактически совпадают. В значительной мере с метаматематикой, особенно с областью исследования логико-семантических моделей формальных теорий, пересекается и проблематика «насыщения» математического органона. Хотя специфика «насыщения» этого органона в различных предметных областях предполагает здесь также существенные отличия.
Если попытаться представить в исследовании математического органона соотношение метаматематики и когнитивной парадигмы в целом, то можно было бы отметить следующее. Первая имеет явный приоритет на «верхних этажах». В рефлексивном анализе абстрактной формы «чистого» органона она практически полностью с ним совпадает. Метаматематическая парадигма также может играть важную роль при анализе проблематики «насыщения» органона, появления и функционирования его предметных версий. Хотя здесь, как уже сказано, совпадение является далеко не полным. Если же обращаться к «нижним этажам» анализа математического органона, особенно связанным с его исследованием как когнитивной способности, взятой в эволюционном, генетическом, нейробиологическом, психосоматическом и многих других аспектах, то приоритет когнитивист-ского подхода становится очевидным. Схематически это может быть представлено на рисунке (рис. 2).
Хотя здесь, как и на всякой очень упрощенной схеме, не могут быть переданы все нюансы, исключения и обратные связи, возникающие во взаимоотношениях метаматематической и когнитивистской парадигм. О некоторых их них, вероятно, следует упомянуть.
Можно, например, отметить, что метаматематика, локализованная преимущественно на «верхних этажах» исследования математического органона, в некоем фоновом режиме присутствует и в когнитивистском подходе. Он, как известно, во многом базируется на информационной парадигме, в основе которой лежит теория информации, созданная матема-
49
тическим методом. Следовательно, в этом своем качестве информационная теория может быть объектом метаматематики. Таким образом, последняя может присутствовать в анализе и на «нижних этажах», хотя и в фоновой, многократно опосредованной форме.
Рис. 2.
Схема соотношения метаматематики и когнитивистики в исследовании математического органона
С другой стороны, когнитивистский подход может проникать и на «верхние этажи» исследования. Хотя пока в основном в форме гипотез, но частично уже подтвержденных экспериментально во многих отраслях когнитивной науки. Здесь, например, можно упомянуть целую серию экспериментальных открытий в нейронауке и исследованиях искусственного интеллекта, которые, возможно, могут пролить свет на процессы «верхних этажей» интеллекта, где, как считается, в основном и локализована математика.
Одним из таких открытий были вполне изученные нейронаукой характерные особенности функционирования полушарий головного мозга человека. Было установлено, что зоны левого полушария активируются при выполнении логико-аналитических операций, а правого - при образном, синтетическом мышлении. В когнитивистике были выработаны концепции двух различных стратегий мышления (аналитической и синтетической), связанных соответственно с активацией левого и правого полушарий. Вместе с тем исследования показали, что левополушарная аналитическая стратегия не может осуществляться без подключения к зонам синтетического правого полушария, в какой-то момент оно обязательно происходит. Человеческая мысль не может без этого обойтись.
Эти вполне известные в когнитивной науке обстоятельства могут быть при определенных условиях связаны и с темами математического органона и метаматематики. Важную роль в понимании этой связи сыграли идеи американского физика и математика Дугласа Хофштадтера, изложенные в знаковой для современной когнитивистики работе «Гёдель, Эшер, Бах: эта бесконечная гирлянда» [Хофштадтер, 2001]. В ней знаме-
50
нитые ограничительные теоремы метаматематики рассматриваются в расширенном когнитивистском ключе в сопоставлении с примерами живописи, музыки, работой мозга и искусственным интеллектом. Ограничения, налагаемые метатеоремами на формальную математику, автор связывает с наличием в нейронных сетях мозга каналов / точек «скрещивания» (посредством рекурсии) логико-аналитического (математического) мышления с пространственно-образным [Хофштедтер, 2001, с. 689]. То есть, по сути, с каналами / точками входов / подключений правого полушария к левому. (Вспомним точки переходов в гомотопической теории типов Воеводского.)
Другим важным открытием в сфере когнитивных наук, позволяющим признать их «право голоса» в исследовании «верхних этажей» математического органона, можно считать, на наш взгляд, изобретение нейрокомпьютеров. Как известно, при их создании используются не оптимизированные логические схемы обычных компьютеров, а нейроморфные (подобные нейронным сетям мозга) логические схемы. Сравнительные исследования обычных и нейронных компьютеров показали отличия тех и других. Первые явно мощнее в выполнении логико-вычислительных задач, но очень слабы в простых задачах, легко доступных интеллекту человека. Вторые - слабее в вычислениях, но намного ближе и соразмернее мышлению человека, включая и способности к обучению. В когнитивистике различия между этими видами компьютеров обычно сопоставляют с различиями в работе левого и правого полушарий мозга [Меркулов, 2005].
Дискуссии вокруг нейрокомпьютеров сопровождались и полемикой вокруг так называемой «компьютерной метафоры» в когнитивистике. Суть ее, коротко говоря, в том, что чему может быть уподоблено: мозг компьютеру или компьютер мозгу. Сторонники этой метафоры полагают, что мозг функционирует подобно компьютеру на основе некоторого управляющего программного обеспечения (software). Это, впрочем, не означает, что они готовы уподоблять содержание программ мозга и компьютера. Скорее, наоборот, ими подчеркивается принципиальное различие этих программ. Вторая позиция - коннекционизм - исходит из того, что логическая сеть компьютера должна быть уподоблена нейронной сети мозга, и именно с этим связаны большие перспективы [Gray, 2001].
Вот с этой второй позицией может быть определенным образом сопоставлена наша тема соотношения когнитивистики и метаматематики. Дело в том, что исключительная сложность связей нейронных сетей в мозгу не может быть напрямую воспроизведена в нейрокомпьютере. От прямого воспроизведения приходится отказаться и заменять его по возможности сходной схемой. Для построения таких схем требуется математический аппарат, близкий к метаматематике. Известный в мире разработчик нейрокомпьютеров Рэй Курцвэйл пишет, что решить проблему создания таких схем ему помогла теория скрытых моделей Маркова, связанная с областью метаматематики [Курцвэйл, 2015, с. 164]. Суть этой теории - в том, чтобы при последовательном переходе от одних состояний системы к другим исклю-
51
чать из процесса наименее вероятные состояния. Исключение таких состояний может составить алгоритм функционирования системы. Курцвэйл пишет, что использовал этот алгоритм при создании нейрокомпьютерного устройства по распознаванию человеческого голоса, которое затем стало применяться в смартфонах.
Но для нас более существенно то, что с помощью этой теории предлагается объяснить известные экспериментальные данные Ван Видена, который обнаружил в кортексе мозга некую микроскопическую и строго организованную трехмерную сеть волокон [Geometric Structure of the Brain... 2012]. Эта сеть, вероятно, формируется генетически в ходе рождения и роста организма и сохраняется во взрослом мозгу. Предполагается, что нейроны могут подключаться к этой сети, образуя устойчивые либо неустойчивые сетевые комбинации. При этом они, возможно, могут функционировать в соответствии с алгоритмом теории скрытых моделей, т.е. путем исключения (отказа от использования) в сети тех связей, которые наименее вероятны.
Таким образом, еще одно пересечение когнитивистики с метаматематикой может иметь весьма впечатляющие результаты. В случае экспериментального подтверждения гипотезы нейроалгоритма возможен новый виток в развитии нейрокомпьютеров и их более тесного взаимодействия с человеческим мозгом. В перспективе они также могут стать эффективным связующим звеном между традиционным компьютерным интеллектом и человеком.
* * *
Итак, предложенное видение математического органона сквозь призму парадигмы когнитивистики, предваренное рассмотрением метаматематической парадигмы, позволяет, на наш взгляд, лучше представить определенные сходства, но также и различия этих оптик. С одной стороны, мы пытались показать широту одного подхода и узость другого (что было проиллюстрировано схемой). Но, с другой стороны, было также понятно, что узость видения в метаматематике ведет к большей четкости и контрастности картины. И в этом смысле узкий подход, как нам кажется, может поддержать и внести вклад в другой - более широкий. Но и широкий подход когнитивистики может быть очень полезен. Математический органон, взятый в этой оптике, получает более объемное и многоплановое видение. В приведенных примерах мы в основном коснулись пересечения парадигм на «верхних этажах» исследования, что на первых порах показалось наиболее интересным. Но пока, по существу, не был затронут «нижний» пласт исследования математики как органона, который открывается когнивистской оптикой анализа и куда метаматематическое видение проникает весьма опосредованно. Но этот путь, несомненно, впереди, и, возможно, именно там нас ожидает много интересного.
52
Список литературы
Авдонин В.С. Методологическая интеграция в науке // МЕТОД: Московский ежегодник трудов из обществоведческих дисциплин. - М., 2014. - Вып. 4. - С. 12-32.
Авдонин В.С. Методы в «вертикальном» измерении (метатеория и метаязыки-органоны) // МЕТОД: Московский ежегодник трудов из обществоведческих дисциплин. - М., 2015. -Вып. 5. - С. 265-278.
Авдонин В.С. Математика как органон: Формализации, алгоритмы, модели // МЕТОД: Московский ежегодник трудов из обществоведческих дисциплин. - М., 2016. - Вып. 6. -С. 90-108.
Бурбаки Н. Очерки по истории математики. - М.: Иностранная литература, 1963. - 292 с.
Вейль Г. Математическое мышление. - М.: Наука, 1989. - 400 с.
Витгенштейн Л. Философские работы. - М.: Гнозис, 1994. - Ч. 2: Замечания по основаниям математики. - 612 с.
Гильберт Д. Аксиоматическое мышление // Гильберт Д. Избранные труды / Пер. с нем. Ю.А. Данилова. - М.: Изд-во «Факториал», 1998. - Т. 1. - 575 с.
Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики / Пер. с нем. Н.М. Нагорного под ред. С.И. Адяна. - М.: Наука, 1982. - Т. 2: Теория доказательств. - 652 с.
Гильберт Д. Основания геометрии / Пер. с нем. И.С. Градштейна. - М.: Гос. изд-во техни-ко-теорет. лит-ры, 1948. - 491 с.
Ильин М.В. Методологический вызов // МЕТОД: Московский ежегодник трудов из обществоведческих дисциплин. - М., 2014. - Вып. 4. - С. 6-11.
Ковалев С.П., Родин А.В. Аксиоматический метод в современной науке и технике: прагматические аспекты // Философия и эпистемология науки. - М., 2016. - № 1. - С. 153-170.
Клини С.К. Введение в метаматематику. - М.: Издательство иностранной литературы, 1957. - 527 с.
Круглый стол «Математика и семиотика: Две отдельные познавательные способности или два полюса единого органона научного знания?» // МЕТОД: Московский ежегодник трудов из обществоведческих дисциплин. - М., 2014. - Вып. 4. - С. 122-141.
Курцвэйл Р. Эволюция разума / [Пер. с англ. Т.П. Мосоловой]. - М.: Издательство «Э», 2015. - 352 с.
Лекторский В.А. Реализм, антиреализм, конструктивизм и конструктивный реализм в современной эпистемологии и науке // Конструктивный подход в эпистемологии и науках о человеке / Отв. ред. В.А. Лекторский. - М., 2009. - С. 4-40.
Лакатос И. Фальсификация и методология научно-исследовательских программ. - М.: Медиум, 1995. - 236 с.
Марков А.А., Нагорный Н.М. Теория алгорифмов. - М.: Наука, 1984. - 432 с
Мартин-Лёф П. Очерки по конструктивной математике. - М.: Изд-во «Мир», 1975. - 136 с.
Меркулов И.П. Когнитивные способности. - М.: ИФ РАН, 2005. - 182 с.
ПерминовВ.Я. Философия и основания математики. - М.: Прогресс-Традиция, 2001. - 320 с.
Расева Е., Сикорский Р. Математика метаматематики - М.: Наука, 1972. - 592 с.
Тарский А. Истина и доказательство // Вопросы философии. - М.,1972. - № 8. - С. 136-145.
Тарский А. Семантическая концепция истины и основания семантики // Аналитическая философия: Становление и развитие. - М.: Дом интеллектуальной книги: Прогресс-традиция, 1998. - С. 95-114.
Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. - М.: Иностранная литература, 1948. - 326 с.
Хофштадтер Д. Гёдель, Эшер, Бах: эта бесконечная гирлянда. - Самара: Издательский дом «Бахрах-М», 2001. - 752 с.
53
Anderson J.R. The architecture of cognition. - Cambridge, Mass.: Harvard univ. press, 1983. -345 р.
GardnerH. The mind's new science: a history of the cognitive revolution. - N.Y.: Basic Books, 1985. - 423 p.
Gödel K. Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I // Monatshefte für mathematik und physik. - Wien, 1931. - Т. 38, N 1. - S. 173-198.
Gary M.F. The Algebraic Mind: Integrating Connectionism and Cognitive Science (Learning, Development, and Conceptual Change). - Cambridge, MA: MIT Press, 2001. - 224 p.
Homotopy Type Theory: Univalent Foundations of Mathematics. - Princeton: Institute for Advanced Study, 2013. - 603 p.
Mathematik auf neuer Grundlage // ETH - News. - Mode of access: https://www. ethz.ch/de/news-und-veranstaltungen/eth-news/news/2014/09/bernays-lecture-2104.html (Дата обращения: 24.08.2016.)
Miller G.A. The cognitive revolution: a historical perspective // Trends in cognitive sciences. -Oxford, 2003. - Vol. 7, N 3 - P. 141-144.
Pinker S. How the mind works. - N.Y.: Norton, 1997. - 660 p.
Tarski A. The Semantic conception of troth and the foundations of semantics // Philosophy and phenomenological research. - Buffalo, 1944. - Vol. 4, N 3. - P. 341-375.
Geometric Structure of the Brain Fiber Pathways / Van J. Wedeen, Douglas L. Rosene, Ruopeng Wang, Guangping Dai, Farzad Mortazavi, Patric Hagmann, Jon H. Kaas, Wen-Yih I. Tseng // Science. - N.Y., 2012. - Vol. 335. - P. 1628-1634.
Voevodsky V. The Origins and Motivations of Univalent Foundations. - Mode of access: https://www.ias.edu/ideas/2014/voevodsky-origins (Дата обращения: 24.08.2016.)
54
