CC BY
63
ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 20. ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ. 2015. № 3
АКТУАЛЬНЫЙ ВОПРОС
ОТ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МАЛОГРАМОТНОСТИ
К МАТЕМАТИЧЕСКИМ КОМПЕТЕНЦИЯМ
Е.П. Богомолова
(кафедра высшей математики Национального исследовательского
университета "МЭИ"; e-mail: epbogomolova@yandex.ru)
Сопоставляются базовые математические знания и навыки выпускников школ и требования стандартов высшего инженерного образования. Анализируются причины низкого уровня математической культуры большинства учащихся.
Ключевые слова: математическая культура, математическое образование, программа по математике, инженерный бакалавриат, ЕГЭ, информатизация образования.
В действительности все совсем иначе, чем на самом деле.
Антуан де Сент-Экзюпери
Введение
Парадокс невозможных ситуаций, так же как и парадокс невозможных фигур, основан на том, что наш мозг всегда пытается представить реальность, логически исходящую из данных предпосылок.
Студентка на "отлично" сдала зачет по аналитической геометрии. Быстро и правильно умеет вычислять площади многоугольников и объемы многогранников, записывать уравнения прямых и плоскостей. После зачета: "Можно задать Вам один глупый вопрос?" — "Задавайте". — "А что такое грань и что такое ребро? Я все время путаю. В школе такого не было".
Студент в нужном объеме знает теорию систем линейных алгебраических уравнений, правило Крамера и алгоритм Гаусса, но ни одну систему не может решить правильно. Решаем вместе, он объясняет свои действия. Выясняется: студент не умеет складывать отрицательные и положительные числа.
М.К. Эшер. Водопад (Waterfall). Литография, 1961
На экзамене по математическому анализу ставлю студентке заслуженную оценку "хорошо", на запястье замечаю запись ручкой. "А это еще что такое?!" — "Это — значения тригонометрических функций, я их в школе так и не научилась запоминать". Объясняю на тригонометрическом круге. — "Так просто?!"
На подготовительных курсах школьник решает задачу из ЕГЭ. Пишет полный ответ (как учат в школе): "Скорость пешехода 276 км/ч". Ни тени сомнения.
Студент на экзамене ошибся в вычислении определенного интеграла, при этом правильно нашел первообразную. "Сколько будет 7 умножить на 8?" Студент достает какое-то мобильное
устройство, нажимает на кнопки и говорит: "56". Экзаменатор в шутку: "Неверный ответ, Ваше устройство сломалось". Студент серьезно: "Спасибо, отнесу его в сервис".
Сказанное можно дополнить целым рядом "формульных" примеров [1], которые говорят о том же: катастрофически возросла доля молодых людей, обучавшихся какой-то странной, ненастоящей математике. И начинаешь верить Альберту Эйнштейну: "Существует поразительная возможность овладеть предметом математически, не поняв существа дела".
Таблица умножения и компетенции бакалавра
Примерные образовательные программы подготовки в инженерном бакалавриате для различных направлений техники и технологий содержат одинаковые по сути, но отличающиеся формулировками цели математического образования бакалавра. Приведем некоторые из них [2]: воспитание достаточно высокой математической культуры; привитие навыков современных видов (?!) математического мышления и навыков использования как математических методов, так и основ математического моделирования в практической деятельности.
Там же перечислены математические компетенции бакалавра: способность использовать в познавательной профессиональной деятельности базовые знания в области математики; способность приобретать новые математические знания (используя современные образовательные и информационные технологии); владение математической логикой (?!), необходимой для формирования суждений по соответствующим профессиональным проблемам; владение методами анализа и синтеза изучаемых явлений и процессов; умение составлять математические модели типовых профессиональных задач и находить способы их решений, а также интерпретировать профессиональный (физический) смысл полученного математического результата; умение применять аналитические и численные методы решения поставленных задач (с использованием готовых программных средств); владение способами доказательств утверждений и теорем как основной составляющей когнитивной и коммуникативной функций; обладание математическим мышлением и математической культурой.
Как видим, требования, предъявляемые к математической подготовке бакалавров, очень серьезны. А насколько они ре-
альны? И можно ли за 3—4 семестра поднять математический образовательный уровень выпускника школы до компетентност-ных высот?
Для того чтобы понять, какое место занимает и должна занимать математика в подготовке современных инженерных кадров, обратимся к самой сути проблемы. Будем исходить из того, что студенты, обучающиеся сейчас во втузах, не являются математиками ни по своим природным склонностям, ни по типу мышления и умственной деятельности, ни по жизненным интересам. Давно прошли те времена, когда талантливый мальчик, поступив в первый попавшийся на дороге технический вуз, вдруг обнаруживал, что его призванием является математика. Сейчас в условиях всеобщей информатизации каждый абитуриент знает, кем он хочет и может быть (и тем более кем не хочет и не может). ЕГЭ по математике прекрасно отделяет математиков от нематематиков, т.е. людей с принципиально другим, нематематическим типом мышления и мировосприятия. В нашем случае речь идет о будущих инженерах — людях с техническим складом ума.
Традиционно считалось, что абитуриенты, выбравшие технический вуз, обязательно любят математику и физику, и не просто любят, но и имеют соответствующую базовую подготовку. Но сейчас сомнительно, что эта любовь осталась на прежнем уровне (как можно любить изнурительные монотонные стандартные упражнения по подготовке к ЕГЭ?). И не вызывает сомнений, что базовая подготовка школьников не выдерживает никакой критики, зато дает о себе знать дефицит компетентности [3].
Как-то с экрана телевизора один профессор социологии сказал, что сейчас таблица умножения не входит в жизненное пространство человека. Социологам нет дела до математики. Они просто констатируют факт, что таблица умножения, а вместе с ней массовая математическая культура действительно выходят за рамки интересов большинства современных молодых людей. А отсюда и нежелание понять, выучить и использовать математику. Отсюда и небрежное отношение к предмету, и взгляд на математические вычисления как на неизбежную школьную обузу, и восприятие математики лишь как очередной ступеньки (ЕГЭ) на жизненном пути. Как с такой базовой платформы дотянуться до высоких математических компетенций?
Попытаемся глубже взглянуть на проблему.
Падение математической культуры
Падение общематематической культуры уже давно не бросается в глаза, поскольку это падение стало обыденным. Наоборот, среди студентов ярко выделяется тот человек, который делает, думает и говорит математически правильно. Правда, тогда уже плохо его понимают многие его однокурсники. Дело дошло до того, что вдогонку всероссийскому "Тотальному диктанту" придуман и будет внедряться "Математический дозор" [4], где одновременно всем участникам предложат 15 простых математических задач и 40 минут для их решения.
Диагноз состояния общей математической культуры молодежи легко ставится после анализа ошибок при решении задач. К типичным ошибкам (устным и письменным), обычно допускаемым школьниками и студентами [5,6], теперь добавляются ранее нетипичные, а сегодня вполне обыденные ошибки, вызванные общим падением уровня математической культуры населения [7].
Рассмотрим явные признаки этого падения.
Культуру речи, в том числе и математической, ученые рассматривают как базовый элемент коммуникативной культуры человека [8]. Осознанность и осмысленность устной и письменной математической речи показывают, насколько учащийся понимает то, о чем он говорит и что пишет.
Устная математическая речь учащихся сейчас предельно вульгаризирована. В употреблении глаголы: "зачеркиваем", "переворачиваем", "вынимаем", "убираем" и т.п. Если спросить, какое арифметическое действие при этом было совершено, то студент еще не сразу и ответит. Привыкнув к нечетким высказываниям, студенты и школьники очень быстро забывают правила действий, свойства преобразований и классы ограничений. Таким образом, вульгаризация математической речи со временем приводит к отключению анализаторов и к изменению сознания: ученик начинает просто зачеркивать и переворачивать, путаясь в действиях.
Математическая речь в целом не развита. Ощущается дефицит школьных математических выступлений у доски. В лучшем случае студент сначала молча пишет, а после затрудняется пояснить товарищам, что, как и почему он решал (хотя решил верно), в худшем — отказывается выходить к доске, объясняя тем, что не привык в школе. Как-то в моей группе оказался студент, которого в течение четырех последних лет учебы на уроках математики ни одного раза не вызывали к доске!
Математические формульные записи и вовсе не выдерживают критики. Не выучив свойств функций, не имея достаточной тренировки в простейших преобразованиях, студенты выдумывают несуществующие действия или абсурдные свойства и применяют их, не задумываясь о последствиях. Так, они легко получают следующие записи: квадрат суммы равен сумме квадратов, а квадрат разности равен разности квадратов; корень любой степени из суммы или разности равен соответственно сумме или разности корней; при переходе от радикалов к дробным степеням часто ставят несуществующий минус в показателе степени; логарифм суммы преобразуют в произведение логарифмов; числовой коэффициент из аргумента тригонометрической функции выносят за саму функцию. Значения элементарных функций не знают или путают. Так, несуществующий логарифм нуля оказывается равным единице. Синус единицы становится равным л/2, а косинус 5л равен 5 (поскольку "косинус л равен единице"!). Все эти ошибки свидетельствуют об одном: школьники либо совсем не знают правил действий, либо путаются в них, либо придумывают свои, те, что кажутся им удобными. Неправильные действия часто сопровождаются вопросом: "А разве так делать нельзя?" И только числовые примеры помогают убедить студентов в том, что "так делать" действительно нельзя.
Многие выпускники школ, чувствуя свою недостаточную подготовку, боятся алгебраических преобразований, поэтому стараются не упрощать выражения. При перенесении записи на другую строку очень часто знак равенства не дублируют. Аргумент: "И так видно, что это продолжение выражения". Недавно один хороший студент преобразовывал факториалы, экономя на скобках. Итог он получил правильный, но вот в записи вместо (3п)! фигурировало 3п! Студенты в аудитории, естественно, не поняли его действий. Когда я указала на отсутствие скобок, студент изумленно возразил: "А зачем? Я и так помню, что они там есть". Математические символы рассматриваются школьниками не как неотъемлемые элементы письменного математического языка, а как значки, удобные или неудобные для их личных записей. Кроме того, наличие в ЕГЭ тестовой части "В" целенаправленно приучает школьников писать "абы как". Ведь все равно никто не проверяет и не снижает оценку, а время на правильные записи тратить не хочется.
Графиков элементарных функций не знают более половины поступивших в вуз. Построение прямой по трем (!) точкам уже
давно не удивляет преподавателей вузов. Для того чтобы студенты не путали график синуса с графиком косинуса, я применяю такое "мнемоническое" объяснение. Рассмотрим часть графика в окрестности начала координат. Слову кОсинус соответствует график, в который можно "вписать" букву "О", а слову сИнус — график, похожий на букву "И". Посмеявшись немного, студенты запоминают. По-моему, здесь я применяю старый метод обучения маршированию безграмотных солдат, неспособных запомнить, где у них левая, а где правая нога. Привязав к одной ноге пучок сена, а к другой пучок соломы, солдаты слаженно шагали под команды: "сено—солома—сено—солома..." Вот так и мы домаршируем до компетенций!
Особый разговор о скобках. Дистрибутивный закон выпускники школы нарушают постоянно. Действия вынесения множителей за скобки и раскрытие скобок зачастую плохо удаются с первой попытки. Сам процесс вынесения за скобки общего множителя многим уже не понятен. У них не только нет стойкого навыка, но даже и нет понимания, для чего это нужно. При просьбе вынести общий множитель за скобки некоторые спрашивают, что нужно вынести, а кто-то даже интересуется: "А где скобки?" Справедливости ради замечу, что процесс раскрытия скобок у школьников отработан гораздо лучше: приведя рациональные дроби к общему знаменателю, они тут же раскрывают все скобки, получая, вопреки всей логике действий с дробями, один многочлен в знаменателе.
Заметим, что сами студенты уверены, что у них со школьной математикой все хорошо. Они считают, что если какой-то ответ получен, то задача решена, а поэтому выполняют задания, не проверяя своих вычислений и преобразований. Некоторые даже не знают, что означает слово "проверка". Но поскольку сам по себе самоконтроль у ученика не рождается, то кто-то должен этому самоконтролю обучать. Раньше это делали учителя. Теперь — преподаватели вузов. Не слишком ли позднее обучение? Ведь часто первокурсник — уже вполне сформировавшаяся личность, уверенная в своей правоте. А что может быть хуже самоуверенного, ни в чем не сомневающегося, не имеющего навыков самопроверки инженера?
Для борьбы с описанным явлением я ввела в практику требовать у студентов компьютерной проверки результатов вычислений пределов, производных, интегралов и экстремумов, компью-
терного построения графиков, решения систем уравнений. Этим я достигаю сразу нескольких целей. Во-первых, студенты начинают понимать, что самопроверка инженеру необходима. Во-вторых, они перестают бездумно списывать, так как им разрешено официально использовать компьютерные ресурсы (а ведь компьютер может все!). И в-третьих, они частенько сталкиваются с тем, что компьютер может не все и не все, что он делает, является правильным. Например, я предлагаю решить систему линейных уравнений с очень малыми коэффициентами, которые компьютер принимает за ноль. Получается, что у "компьютерного вычислителя" определитель равен нулю, а поэтому система решений не имеет. А на самом деле достаточно все уравнения умножить на подходящие степени десяти, чтобы получилось единственное решение. Еще интереснее обстоят дела с решением неопределенных систем, так как внешний вид решения студента и решения компьютера, как правило, различные. Часто в компьютерных графиках не дорисованы асимптоты или разрывы. Не до конца преобразована производная или найдена другая первообразная. Обсуждаем, понимаем, делаем выводы.
Еще одна проблема — неготовность большинства первокурсников выполнять домашнее задание. Они считают это пустой тратой времени и не понимают, зачем тренироваться самим, когда есть готовый образец решения. То, что не все задачи в жизни решаются по шаблонам и требуют индивидуального подхода, даже не приходит им в голову. Многие первокурсники морально не готовы к тому, что дома нужно самостоятельно решить 10—20 простых примеров (так много?!). Я уже не говорю об устоявшейся привычке бездумно списывать готовое решение из Интернета!
Отсутствие должной математической культуры и самоуверенность дилетанта у потенциального инженера не так безобидны, как кажется нашим студентам. Как правило, человек, получивший плохое образование, не относится к себе критически. Он уверен, что то, что не разобрал и не выучил сейчас, он либо доучит после, либо найдет в Интернете. В итоге малограмотные, самоуверенные, недоученные нами инженеры становятся потенциально опасными для общества и могут послужить причиной техногенной катастрофы (неверный расчет, неверный прогноз, "человеческий фактор"). Человек, со школы зажатый в рамках бюрократических (а не математических!) условностей
(ЕГЭ), не привыкший четко исполнять законы (математические), за внешним формализмом не видящий сути явления, не может всего за 4 года обучения во втузе переродиться в свободомыслящего, устремленного к совершенствованию профессионализма, математически компетентного специалиста. И о каких же инженерных компетенциях и прорывах передовой инженерной мысли в будущем тут может идти речь? Для того чтобы внушить своим студентам мысли о катастрофичности нынешней ситуации, я частенько повторяю расхожую фразу: "Когда я вспоминаю, какой я инженер, я опасаюсь ходить к врачу". Смеются, задумываются.
А теперь спросим себя: почему же все чаще и чаще наши школьники "недоучены"? Выдвинем гипотезы.
Гипотеза 1. Учителя разучились объяснять
Действительно, как показано в работе [9], существующие в ряде современных учебников и пособий объяснения никак не содействуют пониманию. Излишнее наукообразие при знакомстве детей с новыми понятиями обыденной жизни приводит лишь к господству в решении задач трафарета и шаблона. В результате запоминание преобладает над пониманием. О бездумном формализме и о его последствиях написано, например, в работе [10]. Формализация школьной математики, вызванная желанием "бурбакизировать школьную математику" [11:23], не способствует пониманию сути и запоминанию, хотя и направлена на "осовременивание" школьной и вузовской программ.
Постоянные инновации в преподавании, внедряемые за последнюю четверть века, приводили только к ухудшению ситуации. Интересно, почему теперь учат решать квадратное уравнение, не преобразуя его коэффициенты к максимально простому виду (либо деля, либо умножая на подходящий целый множитель)? В результате все чаще и чаще встречаются студенты, неспособные решить квадратное уравнение, хоть и правильно записывающие формулы корней. И почему в школе практически не используют такую понятную пропорцию, а требуют при решении уравнений все время писать знаменатель?
А что означает высказывание "пи третьих", т.е. (л/3) или "пи шестых" (л/6)? Только одно: учитель не объяснил, что такое доля числа и простая дробь, что невозможно взять одну третью или одну шестую часть "л раз". Маленькое непонима-
ние сути математических действий в детстве может обернуться большими ошибками. Попробуйте восстановить ход мыслей студента, написавшего на доске (2/5) : 6 = —(4/5).
Гипотеза 2. Появились "вредные" инструкции
Одна из самых странных учительских инструкций (ныне отмененная) требовала для обозначения как отрезка [а, Ь], так и интервала (а, Ь) (а также полуинтервала) использовать только квадратные скобки. Отрезок обозначался [а, Ь], интервал — ]а, Ь[, а полуинтервал — [а, Ь[ или ]а, Ь]. Неужели было доказано, что эти невнятные обозначения лучше читаются и лучше воспринимаются? Нет. Оказалось, что просто в тот период наша промышленность стала выпускать печатные машинки без значков круглых скобок, а именно на таких печатных машинках методисты и печатали свои рекомендации. Все закончилось с распространением компьютеров, но скольким детям это помешало понять и полюбить математику! Тот же эффект имела замена всех типов скобок только одними круглыми. Зачем? Начинающим изучать математику детям легче воспринимать порядок действий, регулируемый традиционным способом расстановки скобок {[(...)]}. Ведь от монотонных круглых скобок просто рябит в глазах! Хорошо, что постепенно квадратные и фигурные скобки возвращаются. А к какому осознанному пониманию теории множеств могло привести недавнее требование записывать в ответе выражение х е {2} и [3, вместо понятного школьнику: х =2и х > 3? Кстати, это нововведение недавно отменили.
Какая-то новая инструкция рекомендовала для построения графика линейной функции искать не две точки, а три (одну для контроля), и в вуз рекой потекли выпускники, проводящие прямую линию через три точки. А задумался ли инструктор, что идея проведения прямой через три точки противоречит устоям геометрии? Какой вывод должен был сделать ученик? Что геометрия и алгебра могут вступить друг с другом в противоречие и что это нормально. Главное — выполнять инструкцию.
Как-то мой коллега взялся готовить школьника (11-й класс) к ЕГЭ и выяснил, что тот считает так: 3а — а =3. Объяснил ему правило: "У тебя было 3 яблока, забрали одно яблоко, сколько осталось?" Школьник все понял. И самостоятельно (произнося вслух) стал решать пример 4а — а. "Четыре а минус а равня-
ется три", — и после секундного замешательства добавил: "Яблока". Вот вам торжество инструкции и формализма!
Но самый вопиющий пример учительской инструкции я почерпнула из недавней горячей дискуссии в Интернете. Это была инструкция против закона! Время от времени мои коллеги-математики возмущенно рассказывали истории о том, что их детям или внукам снижают оценку за перестановку сомножителей. Например, нельзя было менять местами число карандашей и стоимость одного карандаша и т.п. Нам казалось, что это — самодурство учителей. Выяснилось, что это — самое настоящее требование методистов. В руководстве для учителей [12] написано, что перестановка местами двух сомножителей — это ошибка. В пример приводится подробное решение задачи [12: 184]: "В 5 чашек положили по 2 куска сахара. Сколько всего кусков сахара положили в эти чашки?" Решение: нужно писать только 2-5=10 (к.), поскольку "при записи задачи с помощью умножения важен порядок множителей... Число 2 обозначает куски сахара, а 5 обозначает количество чашек. Если поменять их местами... то в ответе будут чашки, а не куски сахара... Некоторые учителя полагают, что данное требование формально и необязательно к соблюдению. Однако оно важно для формирования осмысленного отношения к процессу решения задачи".
Заметим, что число 2 на самом деле обозначает не "куски сахара", а количество кусков в одной чашке, т.е. (кус.)/(чаш.), если следовать теории физических размерностей. И тогда (чаш.) в числителе прекрасно сокращаются с (чаш.) в знаменателе, оставляя в любом случае только "куски". В интервью [13] автор пособия утверждала (это уже о задаче про продажу девяти покупателям по два литра молока каждому), что писать надо именно 2-9, потому что «эта запись читается как "по два взять девять раз"».
Очень хочется посоветовать неометодистам освежить в памяти работу выдающегося учителя и первого в СССР доктора педагогических наук И.В. Арнольда [14: 36]. Он пишет: «Для устранения из учебного обихода случайно ставших традиционными, чуждых русскому языку оборотов речи, крайне затрудняющих преподавание, следует ввести в начальной стадии преподавания в качестве стандартного способа запись множителя на первом, а множимого на втором месте с соответствующим чтением символа Ь • а так: "Ь раз по а" или просто "Ь раз а" (в случаях числового множителя — обычное русское "дважды", "трижды"
и т.д.)». Вывод ясен: новая методика не облегчает, а затрудняет преподавание.
Предлагаемый методистом подход воспитывает у детей скованность, и когда начнется изучение алгебры, то всех надо будет переучивать. В результате дети воспримают математику не как систему, а как скопище несвязанных фактов, которые объяснить невозможно, а поэтому приходится зазубривать. Мало того, они привыкают к тому, что в математике допустимо все: до 5-го (6-го, 7-го,...) класса правило действует, апотомуже оно не действует. Вот и студенты часто спрашивают: "А можно ли все члены уравнения перенести направо или можно только налево, как в школе?" То есть в школе для математики есть одни правила, в институте — другие, а на работе, возможно, появятся и третьи. Вот, кстати, и еще один повод вообще никакие правила не учить. Достаточно в нужный момент спросить, как действовать сегодня. И быстренько, не тратя времени на упражнения в математических законах, добраться до требуемых математических компетенций.
Гипотеза 3. Математике мешают электронные устройства
Специфическое влияние информационных технологий на обучение математике заметно всем. Только некоторые считают это благом, а некоторые — вредом. Однозначно положительного эффекта от информационных технологий пока не наблюдается. Зато отрицательный эффект находится на поверхности. Очень быстрый и легкий доступ к любой информации с любого мобильного устройства приводит в первую очередь к неумению учиться. Зачем учить, если можно посмотреть в Интернете? Даже студенты теперь не пишут шпаргалки. В лучшем случае они фотографируют конспект (или даже доску, на которой пишет лектор!), в худшем — просматривают статьи из Википедии. Все это — непредвиденные результаты огульной информатизации образования, в том числе и математического.
Исследователями установлено, что чем больше у человека стаж интернет-активности, тем выше скорость запоминания простого материала [15]. Что же касается сложного материала, то тут успехов нет. Ведь привычка читать с экрана провоцирует лишь беглое, поверхностное просматривание текста. А увлечение Интернетом в целом негативно влияет на математическую подготовку как старших школьников, так и студентов [16].
Чтение лекций и проведение уроков по математике с помощью электронных презентаций [17] не только не улучшают обучение, но при неправильной организации даже вредят здоровью учащихся. Попытки побудить школьников больше и лучше заниматься математикой посредством проектной деятельности, т.е. путем поиска в Интернете сведений по вопросам, относящимся к математике [18], на практике не достигают целей. Ведь математическая деятельность по сути своей — это деятельность по решению задач как практических (вычисления), так и теоретических (рассуждения). А в большинстве стандартных математических проектов есть лишь виртуальный образ математики, но не сама математика.
Попытка передать информационным технологиям обучение математике как школьников, так и студентов усугубляет и проблему понимания. С этой проблемой без диалога с учителем ученик справиться не может, даже при использовании самых современных компьютеров и электронных образовательных ресурсов. Более того, безоглядная компьютеризация учебного процесса сводит обучение к примитивной передаче информации и практически исключает из задач учителя задачу ликвидации непонимания [19].
Постоянное обращение к калькулятору, компьютеру или интернет-источнику создает лишь иллюзию владения математическими знаниями, убеждает в наличии простых решений всех возможных задач. При общении с Интернетом создается впечатление, что все задачи имеют решение, что все решения одинаковы и уже давно получены и их надо только выучить [20]. Следствием безоглядной веры в компьютер является реальное снижение уровня математических знаний и навыков. Сейчас уже очевидно, что именно неоправданная надежда и бездумная опора школьников и учителей на "прогрессивную" информатизацию образования приводят к поверхностному и небрежному изучению математики в школе и вносят весомый вклад в математическую малограмотность учащихся.
Бесспорно, при овладении всеми методами математики на определенном этапе компьютер в качестве исполнителя аналитических преобразований просто необходимо внедрять в учебный процесс. Но это можно делать лишь тогда, когда человек твердо понимает все действия, которые выполняет электронное устройство [21], а совсем не тогда, когда ребенок лишь учится решать математические задачи.
Гипотеза 4. Во всем виноват ЕГЭ
Многие исследователи считают: постоянные тестирования и натаскивание на ЕГЭ направлены не на развитие способностей детей, а на утилитарное потребление ими готовых знаний. В результате такого обучения существенная часть полученной информации быстро забывается. Математический багаж значительного числа выпускников формируется из догматически усвоенных разрозненных сведений, а также некоторых навыков выполнения немногих стандартных типовых операций и заданий. Представление о математике как о цельной науке у выпускников школ зачастую отсутствует.
Одной из полезных функций единого государственного экзамена как итоговой аттестации могла бы стать функция мониторинга состояния уровня школьного математического образования. Однако используемая методика шкалирования результатов ЕГЭ делает их в принципе непригодными для оценочных целей [22]. Ведь результаты школьников не сравниваются с требованиями школьной программы. Они соотносятся между собой. Поэтому полностью утрачивается важная функция единого государственного экзамена как объективного измерителя положения дел в сфере образования. Более того, желание сдать ЕГЭ любой ценой приводит к прямой фальсификации общего результата [23].
Готовясь к ЕГЭ в школе, хорошие ученики вынуждены непродуктивно тратить большое количество времени на решение типовых задач среднего и низкого уровня сложности, поскольку учителя равняются на слабых. Оттачивать навыки решения сложных и интересных задач увлеченный математикой ученик может лишь с помощью многочисленных пособий, подавляющее большинство которых содержит такое количество опечаток в ответах, что школьник перестает верить в собственную способность правильно решить задачу.
Новая концепция математического образования
Правительство РФ недавно приняло новую концепцию математического образования в России [24]. В качестве основной проблемы выделена низкая учебная мотивация школьников, что связано с недооценкой математического образования со стороны важнейших общественных структур, а также пере-
груженностью как программ, так и методических, учебных и оценочных материалов техническими элементами и устаревшим содержанием.
С одной стороны, школьная программа по математике стала сложнее. Сегодня за единицу времени учителю приходится давать чрезвычайно большой объем информации, который усваивается намного хуже, чем 20—30 лет назад [25]. С другой стороны, все это сопровождается наблюдаемыми нами деградацией и упрощением большинства учебных программ по математике в вузе. Старые, выверенные годами программы не осваиваются студентами, поскольку предельно деградированы и упрощены практические базовые математические компетенции новых поколений выпускников школ.
Заимствуя из работы [26] аналогию с пустым множеством, перенесем ее на нынешнее математическое образование у школьников и студентов. Вроде бы оно и есть — с ним можно оперировать, например объединить с другим множеством, и вроде бы его и нет, так как, по сути, состоит оно из ничего.
Конечно, математические знания вслед за развитием науки и общества должны трансформироваться и обогащаться [27, 28]. Но это возможно лишь тогда, когда методика преподавания подвергнется перестройке, отказавшись от примитивной проверки памяти учащегося [29], а сегодняшние школьники и завтрашние студенты не будут относиться к математике как к компьютерному приложению, необязательному для понимания и твердого освоения.
В "Концепции развития математического образования" [24] говорится, что "нужно обеспечить прорыв в математикоемких стратегических направлениях", что "математическое образование должно обеспечивать необходимое стране количество выпускников, математическая подготовка которых достаточна для продолжения образования в различных областях знаний и практической деятельности". А для этого "необходимо обеспечить отсутствие пробелов в базовых знаниях для каждого обучающегося". Но, к сожалению, первокурсники демонстрируют нам эти пробелы все чаще, сами пробелы становятся все обширнее, а у преподавателей остается все меньше возможностей что-либо "обеспечить".
Подытоживая сказанное, процитирую Г. Галилея: "Математика — наука опасная, она разоблачает обманы и просчеты".
Список литературы
1. Богомолова Е.П. Диагноз: математически малограмотный // Математика в школе. 2014. № 4. С. 3—9.
2. Сборник примерных программ математических дисциплин цикла МиЕН ФГОС ВПО / Научно-методический совет по математике Минобрнауки России (URL: http://www.fgosvo.ru/uploadfiles/ppd/ 20110329002116.pdf 03.03.2015).
3. Боровских А.В., Попов Л.В., Розов Н.Х. Что такое стандарт и что такое "не-стандарт"? // Педагогика. 2013. № 2. С. 45—57.
4. Всем выйти из сумрака: "Математический дозор" пройдет в Новосибирской области (URL: http://www.edu.ru/index.php?page_id=5& topic_id=7&sid=33031 03.03.2015).
5. Далингер В.А. Анализ типичных ошибок, допускаемых в курсе алгебры и начал анализа // Математика в школе. 1998. № 6. С. 13—18.
6. Далингер В.А. Начала математического анализа. Типичные ошибки, их причины и пути предупреждения: Учебное пособие. Омск: Издатель-Полиграфист, 2002. 158 с.
7. Костенко И.П. Кризис отечественного математического образования // Педагогика. 2012. № 7. С. 41—49.
8. Горчаков А.С. Развитие математической речи школьников в контексте теории поэтапного формирования умственных действий // Известия Волгоградского государственного педагогического университета. 2012. Т. 71. № 7. С. 70—73.
9. Боровских А., Розов Н. Что же такое процент? // Математика.
2012. № 1. С. 23—27.
10. Доценко В.С. Пятое правило арифметики // Наука и жизнь. 2004. № 12. С. 20—27.
11. Арнольд В.И. Нужна ли в школе математика? Стенограмма пленарного доклада (Дубна, 21 сентября 2000 г.). М.: МЦНМО,
2013. 32 с.
12. Белошистая А.В. Обучение решению задач в начальной школе: Книга для учителя. М.: Русское слово, 2003. 288 с.
13. Математика для младших классов: множители местами не менять! (URL: http://www.kp.ru/daily/26065/2973249/03.03.2015).
14. Арнольд И.В. Операторное истолкование числа в курсе элементарной математики // Известия АПН РСФСР. 1946. Вып. 4. С. 21—36.
15. Черемошкина Л.В. Интернет-активность как фактор влияния на когнитивные способности старших школьников // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 20. Педагогическое образование. 2013. № 1. С. 94—114.
16. Богомолова Е.П., Максимова О.В. Анализ методами математической статистики влияния интернет-поддержки на процесс обучения математике во втузе // Информационно-технологическое обеспечение образовательного процесса современного университета: Сб.
докл. Междунар. интернет-конф., Минск, 1—30 нояб. 2013 г. Минск: БГУ, 2014. С. 273—286 (URL: http://elib.bsu.by/handle/123456789/89685 03.03.2015).
17. Богомолова Е.П. Презентационные лекции по дисциплинам естественно-научного цикла: практика и теория // Открытое образование. 2014. №4. С. 53—61.
18. Тестов В.А. Особенности формирования у школьников основных математических понятий в современных условиях // Концепт. 2014. № 12 (декабрь) (URL: http://e-koncept.ru/2014/14333.htm 03.03.2015).
19. Громыко Н.В. Интернет и постмодернизм — их значение для современного образования // Вопросы философии. 2002. № 2. С. 175—180.
20. Новаковская Ю.В. Какое образование нам нужно // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 20. Педагогическое образование. № 1. С. 13—30.
21. Розов Н.Х. Некоторые проблемы применения компьютерных технологий при обучении в средней школе // Вестник МГПУ Сер. Информатика и информатизация образования. 2003. № 1. С. 102—106.
22. Малинецкий Г.Г., Подлазов А.В. ЕГЭ как катализатор кризиса российского образования // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 20. Педагогическое образование. 2011. № 3. С. 18—59.
23. Богомолова Е.П., Максимова О.В. Проблемы оценивания результатов ЕГЭ по математике // Alma Mater: Вестник высшей школы. 2014. №9. С. 56—60.
24. Распоряжение Правительства Российской Федерации от 24.12.2013 № 2506-р. Опубликовано 27 декабря 2013 г. на интернет-портале "Российской газеты" (URL: http://www.rg.ru/2013/12/27/matematika-site-dok.html 03.03.2015).
25. Болотов В.Б. Математика — это наш второй язык, который нельзя не учить! (интервью) // Математика в школе. 2012. № 8. С. 3—7.
26. Сухомлин В.А. Полная победа инноваций над российским образованием // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 20. Педагогическое образование. 2009. № 1. С. 16—39.
27. Богомолова Е.П., Бурковская М.А. Пять тезисов в пользу концептуальной перестройки учебных программ по высшей математике в техническом вузе // Инновации и современные технологии в системе образования: Материалы III Международной научно-практической конференции 20—21 февраля 2013 года. Прага: Vedecko vydavatelske centrum "Sociosfera-CZ". 2013. С. 21—23.
28. Рыжик В.А. Какой быть концепции математического образования? (тезисы) // Математика в школе 2012. № 8. С. 9—13.
29. Боровских А.В., Розов Н.Х. Эволюция целей и ценностей образования // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 20. Педагогическое образование. 2012. № 2. С. 3—17.
FROM THE MATHEMATICAL ILLITERACY TO MATHEMATICAL COMPETENCIES
E.P. Bogomolova
The basic mathematical knowledge and skills of high school graduates are compared with the standards of higher engineering education. The reasons for the low level of mathematical culture of the majority of students are analyzed.
Keywords: mathematical culture, math education, program in mathematics, bachelor of engineering, Unified State Exam, informatization of education.
Сведения об авторе
Богомолова Елена Петровна — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики Национального исследовательского университета "МЭИ". E-mail: epbogomolova@yandex.ru
