Осцилляции нейтрино в схеме смешивания зарядов (констант связей) Текст научной статьи по специальности «Математика»

ф-

-е

Вестник РУДН, Серия Математика. Информатика. Физика. № 1-2. 2007. с. 53-61 53

ФИЗИКА

УДК 539.123, 539.123.06

Осцилляции нейтрино в схеме смешивания зарядов (констант связей)

Х. М. Бештоев

Объединенный институт ядерных исследований Россия, 141980, Моск. область, Дубна, ул. Жолио Кюри, 6

В стандартной теории осцилляций нейтрино используется схема массовых смешиваний, т. е. параметры осцилляций выражаются через элементы массовой матрицы. В данной работе рассматриваются осцилляции нейтрино, генерированные смешиванием зарядов (констант связей слабых взаимодействий). Получены выражения для углов смешивания и длин осцилляций. Также вычислены выражения для вероятностей переходов трех нейтринных осцилляций. Осцилляции нейтрино в этой схеме (механизме) являются реальными, если массы нейтрино равны, и виртуальными, если массы нейтрино не равны.

Введение

Предположение, что, по аналогии с Кo, Кo осцилляциями, могли бы быть нейтрино-антинейтринные осцилляции (v ^ Р), рассматривалось Понтекорво [1] в 1957. Впоследствии Maki и др. [2] и Pontecorvo [3] предполагали, что могут быть смешивания (и осцилляции) нейтрино различных ароматов (т. е. могут существовать ve ^ v^ переходы).

В общем случае возможны две схемы (типы) смешивания (осцилляции) нейтрино: схема массовых смешиваний и схема зарядовых смешиваний (как это имеет место в модели векторной доминантности или при смешивании векторных бозонов в стандартной модели электрослабых взаимодействий) [4-6].

В стандартной теории осцилляции нейтрино [7-10] предполагается, что физически наблюдаемые нейтринные состояния ve, v^, vT не имеют определенные массы (в этом случае, мы не можем сформулируйте закон сохранения энергии-импульса в строгой форме в реакциях с участием нейтрино [4-6]) и что они прямо рождаются как суперпозиции vi, V2, V3 нейтрино.

Вопрос об осцилляции нейтрино можно рассмотреть в двух подходах.

1. Не интересуясь причиной происхождения смешивания нейтрино, можно просто сформулировать, что ve, v^, vT нейтрино сразу рождаются в суперпозиционных состояниях vi, v2, v3 нейтрино, как это формулируется в стандартном подходе [7-10]. Тогда принцип причинности будет нарушен, так как мы предполагаем, что ve, v^, vT нейтрино в момент рождения уже знают, что они превратятся в суперпозицию vi, v2, v3 нейтрино. Нарушение принципа причинности означает, что в этом процессе закон сохранения энергии-импульса не будет выполняться. Действительно, в этом подходе считается, что ve, v^, vT нейтрино не имеют определенной массы. Это означает, что мы не можем сформулировать закон сохранения энергии-импульса в точной форме.

2. Очевидно, что так как ve, v^, vT нейтрино рождаются в слабых взаимодействиях и являются собственными состояниями этих взаимодействий, то они должны иметь определенные массы, и лептонные числа должны сохраняться. Если присутствует взаимодействие, нарушающее лептонные числа, которые

имеют собственные состояния VI, V2, vз, то тогда V,, vjU, vт нейтрино должны превратиться в суперпозиции VI, V2, vз нейтрино. В этом случае массовая матрица становится недиагональной, и эти недиагональные члены ответственны за нарушение лептонных чисел. Было показано [4-6,11-13], что эти недиагональные члены можно интерпретировать как ширины переходов между ve, V,-нейтрино и что они являются ответственными за возникновение осцилляций нейтрино. При таком подходе мы можем сформулировать закон сохранения энергии-импульса в строгом виде.

В случае, если осцилляции нейтрино генерируются массовой матрицей, тогда параметры смешивания нейтрино выражаются через элементы массовой матрицы нейтрино. Массовый лагранжиан двух нейтрино (V,,, vjU) имеет следующий вид (для упрощения рассматривается случай двух нейтрино)

См = ~\ [т„виеие + т^т/^ + + и1Лие)] =

2 (1)

2 "Ч"« ГП^ )

который диагонализуется вращением на угол в, и тогда этот лагранжиан (1) приобретает следующий вид (см. [7-10]):

См = [тIV!VI + т2т/^2] , (2)

где

1

т1;2 = -

1 /2

(mve + ) ± ((mve - )2 + 4mVM ve) и угол в определяется следующим выражением

tg(260 = , , , (3)

(mv, - )

ve = cos ev1 + sin ev2 , vM = — sin ev1 + cos ev2 .

(4)

Тогда массы ve, v„ есть

mVe = m1 cos2 в + m2 sin2 ¿в , mv = m1 sin2 в + m2 cos2 в ,

(5)

в отличие от первоначального предположения, что ve, v^, нейтрино не имеют никакой определенной массы.

Вероятность ve — ve перехода дается следующим выражение:

P (ve —> ve) = 1 — sin2 (2в) sin2 ((m2 — m?)/2p)í, (6)

где

sin 0 = —=

yV^ -m^)2 + (2m,ei/(i)2

(7)

или

Тогда недиагональный член массовой матрицы в (1) может интерпретиро-

ваться как ширина V, ^ vjU переходов [4-6].

В стандартной теории осцилляций нейтрино осцилляции нейтрино являются реальными, даже если массы нейтрино различаются, поэтому закон сохранения энергии и импульса нарушен. В корректированной теории осцилляций нейтрино [11-13] законы сохранения энергии и импульса выполняются, и нейтринные осцилляции являются виртуальными, если массы нейтрино различаются, и реальными, если массы нейтрино равны.

Необходимо отметить, что в физике все процессы реализуются через динамику. К сожалению, в выше рассмотренной схеме массовых смешиваний динамика отсутствует. Вероятно, есть указание на то, что эта схема является неполной, т. е. эта схема требует физического обоснования. Ниже мы рассмотрим осцилляции нейтрино, которые появляются в схеме зарядовых (констант связей) смешиваний, т.е. при использовании динамики [4-6].

1. Осцилляции нейтрино в рамках схемы зарядовых смешиваний

Сначала мы рассматриваем случай смешивания (осцилляции) двух нейтрино, а затем перейдем к рассмотрению случая осцилляций трех нейтрино.

1.1. Случай смешивания (осцилляции) двух нейтрино в

схеме

зарядовых смешиваний

В этой схеме (или механизме) смешивания переходы между нейтрино может быть реализовано путем смешивания нейтринных полей по аналогии с моделью векторной доминантности (7 — po или Zo — 7 смешивания), как это имеет место в физике элементарных частиц. Тогда, в случае двух нейтрино мы имеем

v1 = cos 9ve — sin 9v„ , 1 e (9)

v2 = sin 9ve + cos 9vM .

Заряженный ток в стандартной модели слабых взаимодействий для двух семейств лептонов имеет следующий вид:

ysin 9 cos 9 и тогда лагранжиан взаимодействия есть

г

v = (CO! 9 — sin9), (10)

c=—rw+ + h.c. (11)

(12)

ve = cos 9v1 + sin 9v2 , v„ = — sin 9v1 + cos 9v2

Лагранжиан (10)—(11) можно переписать в следующей форме

C = -^=jaW+ + h.c., (13)

где jа есть

j -Ya (::)t

и

e— e

—e e

ф-

А массовая матрица есть

mi 0 0 m2

В этом случае осцилляции нейтрино не могут иметь место, и даже если нейтринные осцилляций имеют место, то должны быть осцилляции между VI ^ V2 нейтрино, но не между V, ^ ^ нейтрино.

В этом месте возникают некоторые вопросы. Откуда мы взяли V,, ^ нейтрино, если в слабых взаимодействиях, даваемых выражением (13), присутствуют только VI, V2 нейтрино? Из всех ускорительных экспериментальных данных хорошо известно, что в слабых взаимодействиях рождаются V,, ^ нейтрино, и лептонные числа , хорошо сохраняются. Очевидно, мы должны решить эту проблему. VI, V2 нейтрино есть собственные состояния слабых взаимодействий, нарушающие лептонные числа, а V,, ^ нейтрино есть собственные состояния слабых взаимодействий с Ж, Z0 бозон обменом. И мы должны переписать лагранжиан слабых взаимодействий в правильной форме, чтобы корректно описать рождения и осцилляции нейтрино. Тогда

где

c = —rw++ h.c.

jа=<^ y a С: )l

(14)

Каким образом нарушаются лептонные числа? Видимо, необходимо предположить, что после рождения V,, ^ нейтрино имеет место нарушение лептонных

чисел, т. е.

= V

:/L Vv2/L

Vi

V =

f cos 0 — sin 0

ysin 0 cos 0

и тогда ve, V: нейтрино становятся суперпозициями Vi, v2 нейтрино:

ve = cos 0v1 + sin 0v2 , v: = — sin 0v1 + cos 0v2 .

Учитывая, что заряды Vi, V2 нейтрино есть gi, g2, мы получаем

g cos 0 = gi , g sin 0 = g2 ,

т. е.

a gi • a g2

cos и = — , sin v = — .

gg

(15)

(16)

(17)

(18)

Так как sin2 0 + cos2 0 = 1, тогда

9 = \JgÍ+92

-е

cos 0 =

gi

, sin 0 =

\¡9Í+9Í

Если предположить, что gi = g2 = тогда

cos в = sin в =

g2

\¡9Í+9Í

(19)

(20)

В общем случае константы связи 51, g2 и g могут не иметь никакой связи и тогда получим только выражение (19).

и

Что происходит с массовой матрицей нейтрино в этом случае? Первичная массовая матрица нейтрино имеет диагональный вид

0 m

0 ■ (21)

VL

так как в слабых взаимодействиях (с обменом Ж, Z0 бозонами) лептонные числа сохраняются, тогда v|U —собственные состояния этих взаимодействий.

Интересно заметить, что та же самая ситуация имеет место в кварковом секторе, когда мы рассматриваем К0, К осцилляций. В сильных взаимодействиях рождаются только й, 8, Ь кварки, и ароматические числа в этих взаимодействиях хорошо сохраняются, т. е. эти состояния являются собственными состояниями сильных взаимодействий. Тогда осцилляции появляются при нарушении ароматических чисел в слабых взаимодействиях при введении матриц Кабиббо-Кобаяши-Маскавы.

Тогда из-за присутствия нарушения лептонных чисел, в этой матрице появляются недиагональные члены, и тогда эта масса матрицы преобразовывается в следующую недиагональную матрицу (СР сохраняется):

А (22)

тогда массовый лагранжиан нейтрино приобретает следующий вид (V =

(23)

1 2

_ V - ,(rriUB m„e„ \ = — 2 '

См = ~77 [mVeveve + mv^VpVfj, + т^Дг^г^ + v^ve)] =

Массовый лагранжиан новых состояний, полученный диагонализацией этой матрицы при вращении на угле 0, имеет следующий вид (эти состояния являются именно теми же самыми состояниями слабых взаимодействий, рассмотренными выше):

2V е' V 0 m2J '

_ ^ irril COS2 в + Ш2 sin2 в (Ш2 — т\) COS в sin fUe\ ^24)

2 e' м \(m2 — m1>cos 9 sin 9 m1 sin2 9 + m2 cos2 9J VV«/

= [miViVi + m2z/2z/2] ,

где V1, V2 —собственные состояния, а m1, m2 —собственные массы. Из выражении (23), (24) мы получим

(25)

или

v1 = cos 9ve — sin 9vM , v2 = sin 9ve + cos 9vM ,

mVe = m1 cos2 9 + m2 sin2 9 ,

= m1 sin2 9 + m2 cos2 9 , (26)

mVeV = (m2 — m1> cos 9 sin 9

(mv cos2 9 — mv sin2 9)

mi =--^-НЬ^-

(cos2 9 — sin 9) (mVe sin2 9 — mv cos2 9)

(27)

m2

(cos2 9 — sin2 9)

mv

e

e

где sin в, cos в определяется выражением (19). Тогда Am2 = m^ — m2 есть

Am2 =

2 (m^ cos4 в — mVe sin4 в)

(cos2 в — sin2 в)2

(28)

Выражения для временной эволюции VI, V2 нейтрино (см. (25)—(27)) с массами Ш1 и т2 есть

VI = е-гЕ1^1(0), V2(í) = е-гЕ2^2(0), (29)

где

E2 = (p2 + m2), k = 1, 2 . Если нейтрино распространяются без взаимодействий, тогда

Ve(t) = cos ве-*Е1^(0) + sin ве-^2^(0), v^(í) = — sin ве-^Е1^1(0) + cos ве-^2^(0).

(30)

Используя выражения (25) для VI и V2 и подставляя это в (20), получаем следующее выражение:

Ve(t) =

V^(í)

e cos2 в + e- iE2Í sin2 в Ve(0) +

+ e-iEií — e-iE2Í' sin в cos 0vm(0) ,

e -iEií sin2 в + e-i E2Ícos2 в VM(0)+

+ e-iEií — e-iE2í" sin в cos вve(0).

(31)

Вероятность того, что нейтрино ve, произведенный во время £ = 0 перейдет в ^ за время дается квадратом абсолютной величины следующего скалярного произведения:

1

P{ve - = Ы°) • ve(í)) = - sin2 (20) 1 - cos ((m2 - m\)/2P)t

(32)

где предполагается, что р ^ т1, т2 и ~ р + /2р.

Выражение (32) определяет вероятность осцилляции ароматов нейтрино. Угол в (угол смешивания) характеризует величину смешивания. Вероятность Р^ является периодической функцией расстояний, где период определяется следующим выражением:

Ьа = 27Г-—2-о~Г • (33)

| т2 — т2 |

И вероятность Р(^ ^ ve), что нейтрино ve, произведенный во время £ = 0, сохраняется как ve нейтрино во время дается квадратом абсолютной величины амплитуды ve(0) в (31). Так как состояния в (31) являются нормализованными состояниями, то

Р^ ^ Ve) + Р^ ^ = 1 . (34)

Итак, мы видим, что осцилляции аромата, вызванные недиагональностью массовой массы нейтрино, нарушает закон сохранения лептонных чисел —^ и Однако в этом случае, как можно видеть из (34), полное число лептонов I = ^ + сохраняется.

Необходимо подчеркнуть, что нейтринные осцилляции в этой схеме (механизме) являются виртуальными, если массы нейтрино различаются, и реальными, если массы нейтрино равны и если эти осцилляции происходят в рамках соотношения неопределенностей.

2

ф-

1.2. Случай смешивания (осцилляции) трех нейтрино в

схеме

зарядовых смешиваний

Для случая трех нейтрино мы можем выбрать параметризацию матрицы смешивания V в форме, предложенной Майани [14]:

(35)

/ 1 0 0 ^ / св 0 «в \ / се 0

V = 0 с7 «7 1 ( 0 1 0 ) ( —^е се 0

\ 0 — «7 с7 у V —«в 0 св / 0 0 1

= соя в, = 8Ш в , 22 с + е — 1 1;

cer = соя в , ^т = 8Ш в , 2 1 2 = ^т + ^т 1; (36)

= соя 7, = 8Ш 7 , 2 1 2 = сдт + «дт 1.

Перейдем к рассмотрению случая трех типов нейтрино ve, vjU, vт. Для первого и второго семейств (при осцилляции ^ нейтрино) мы получаем

соя в = соя =

91

92 + 92

(37)

яш (2в)

2^192 91+92

Тогда вероятность ve ^ ve перехода определяется следующим выражением 1

В случае 91 = 92

Р^ ^ Ve) = 1 — яш2(2в) эш2 (п£(ш2 — т2)/2р^е) . (38)

й1П в„.*.. = соя в„.*.. =

1

(39)

Для первого и третьего семейств (при осцилляции ve, vт нейтрино) мы получаем

соя в = соя =

91

92 + 9з

• /одл 2919З 8111 = 72 •

91 + 93

(40)

Тогда вероятность перехода ve ^ ve дается следующим выражением

Р ^ ^

В случае, когда 91 = 93

Р(ve ^ ve) = 1 — эш2(2в) яш2 (п£(т3 — т?)/2р^е).

соя в^Т = ят =

1

71

(41)

(42)

Для второго и третьего семейств (при осцилляции ^, ^ нейтрино) мы получаем

92

соя 7 = соя

92 + 9з

• /0 л 2д29з

ф"

ф

ф

е-

-е

Тогда вероятность v^ ^ v^ перехода дается следующим выражением

P(vM ^ vM) = 1 - sin2(2Y) sin2 (nt(m| - m|)/2p„ ).

В случае, когда g2 =

cos 7„„„T = sin 7^ = -J= .

(44)

(45)

Итак, смешивания (осцилляции) нейтрино появляются вследствие того, что рождаются нейтрино, являющиеся собственными состояниями слабых взаимодействий vT нейтрино), а не VI, Vз нейтрино, являющиеся собственными состояниями слабых взаимодействий, нарушающих лептонные числа. И тогда, при прохождении нейтрино через вакуум, они преобразовываются в суперпозиции VI, V2, Vз нейтрино, и через эти промежуточные состояния происходят осцилляции (переходы) между ve, vjU, vт нейтрино.

Заключение

Необходимо отметить, что в физике все процессы идут через динамику. К сожалению, в стандартной теории осцилляций нейтрино, основанной на схеме (механизме) массовых смешиваний, динамика отсутствует. Вероятно, это признак того факта, что эта схема является неполным, т. е. эта схема требует физического обоснования.

В данной работе рассматриваются осцилляции нейтрино, генерированные смешиванием констант связей слабых взаимодействий (зарядов) [4-6], как это имеет место в модели векторной доминантности [15, 16] или в модели электрослабых взаимодействий [17-19] при смешивании векторных бозонов. Получены выражения для углов смешивания и длин осцилляций при трех нейтринных осцилляциях. Осцилляции нейтрино в этой схеме (механизме) являются реальными, если массы нейтрино равны, и виртуальными, если массы нейтрино не равны.

Литература

1. Pontecorvo B. M. // JETP. - Vol. 33. - 1957. - P. 549.

2. Maki Z. et al // Prog. Theor. Phys. - Vol. 28. - 1962. - P. 870.

3. Pontecorvo B. M. // JETP. - Vol. 53. - 1967. - P. 1717.

4. Beshtoev K. M. - JINR Commun. E2-2004-58. - Dubna, 2004.

5. Beshtoev K. M. - hep-ph/0406124. - 2004.

6. Beshtoev K. M. - hep-ph/0503202. - 2005.

7. Bilenky S. M., Pontecorvo B. M. // Phys. Rep. - Vol. 41. - 1978. - P. 225.

8. Boehm F., Vogel P. Physics of Massive Neutrinos. - Cambridge Univ. Press, 1978. - Pp. 27, 121.

9. Bilenky S. M., Petcov S. T. // Rev. Mod. Phys. - Vol. 59. - 1977. - P. 631.

10. Gribov V., Pontecorvo B. M. // Phys. Lett. B. - Vol. 28. - 1969. - P. 493.

11. Beshtoev K. M. - JINR Commun. E2-92-318. - Dubna, 1992.

12. Beshtoev K. M. // Proc. of 27th Intern. Cosmic Ray Conf. - Vol. 4. - Hamburg, Germany: 2001. - P. 1186.

13. Beshtoev K. M. // Proc. of 28th Intern. Cosmic Ray Conf. - Vol. 1. - Tsukuba, Japan: 2003. - P. 1503.

14. Maiani L. // Proc. Intern. Symp. on Lepton-Photon Interaction, DESY. - Hamburg, Germany: 1977.

15. Sakurai J. J. Currents and Mesons. - Univ. of Chicago Press, 1967.

16. Beshtoev K. M. - INR Preprint P-217. - 1981.

17. Glashow S. L. // Nucl. Phys. - Vol. 22. - 1961. - P. 579.

18. Weinberg S. // Phys. Rev. Lett. - Vol. 19. - 1967. - P. 1264.

19. Salam A. // Proc. of the 8th Nobel Symp. - Stockholm: Almgvist and Wiksell, 1968. - P. 367.

e— e

—e e

е

■е

UDC 539.123, 539.123.06

Neutrino Oscillations in the Scheme of Charge (Couple

Constant)

In the standard theory of neutrino oscillations, a scheme of mass mixings is used, i.e. oscillation parameters are expressed in terms of mass matrix. In this work, neutrino oscillations generated by charge (the weak interaction couple constant) mixings are considered. Expressions for angle mixings and lengths of oscillations are obtained. The expressions of the probability for three-neutrino oscillations are given. Neutrino oscillations in this scheme (mechanism) are virtual if neutrino masses are not equal and real if neutrino masses are equal.

Kh. M. Beshtoev

Laboratory of Particle Physics Joint Institute for Nuclear Research

e

■e

Ф

Ф