CC BY
13ОСРЕДНЕННЫЕ ТЕЧЕНИЯ В СФЕРИЧЕСКОМ КОНТЕЙНЕРЕ С КОЛЕБЛЮЩЕЙСЯ ЭЛАСТИЧНОЙ СТЕНКОЙ
Н.В. Козлов
Институт механики сплошных сред УрО РАН, ПФИЦ, 614013, Пермь, Акад. Королёва, 1
Экспериментально исследуются течения вязкой жидкости в сферической полости с эластичной границей, совершающей гармонические осесимметричные колебания. Колебания вдоль горизонтальной оси задаются при помощи двух линейных двигателей. Структура течений изучается посредством трассерной визуализации (РГУ). Рассматривается диапазон низких и умеренных безразмерных частот. В указанном диапазоне наблюдается формирование осредненных течений в виде двух тороидальных вихрей. Изучается их интенсивность, проводится анализ влияния положения узлов колебаний границы на структуру.
Ключевые слова: сферическая полость, осредненные течения, колебания, деформируемая граница.
ВВЕДЕНИЕ
Массоперенос является ключевым процессом во многих современных технологиях, что обуславливает важность поиска способов его интенсификации. Вибрации [1] являются одним из перспективных подходов к перемешиванию жидкостей, в частности, посредством установившихся осредненных течений [2]. Последние рассматриваются во многих задачах о течениях жидкости в закрытых контейнерах, где показано, что осредненные течения - это эффективный способ перемешивания. Так, в работах [3-8] рассматрива-
© Козлов Н.В., 2019 БОГ: 10.24411/2658-5421-2019-10903
ются различные типы контейнеров (капли, полости с эластичными стенками), в которых течения возбуждаются колебаниями границы.
Механизм осредненных течений заключается в генерации осред-ненной завихренности вблизи твердой границы при колебаниях жидкости относительно нее в результате вязкого взаимодействия [9]. При угловой частоте колебаний О и кинематической вязкости жидкости V осредненная завихренность локализуется вблизи границы на расстоянии порядка толщины пограничного слоя Стокса д = \/2п / О . Такие течения называют внутренними по отношению к пограничному слою или первичными. На расстояниях, много больших д, формируются вторичные вихревые течения, характеризующиеся противоположным направлением закрутки. В зависимости от соотношения характерного размера полости и толщины пограничного слоя Я / д различают области низких и высоких безразмерных частот, со=(Я /д)2. В области низких безразмерных
частот доминируют первичные течения, а в области предельно высоких - вторичные.
В предлагаемой работе исследуются осредненные течения в сферическом контейнере, эластичная стенка которого совершает гармонические осесимметричные колебания. Изучается область низких и умеренных безразмерных частот, основное внимание уделяется первичным течениям. Данная область параметров подходит для собственных частот капель водной фазы с размерами порядка 1 мм, встречающихся в технологических системах.
1. ПОСТАНОВКА ЭКСПЕРИМЕНТА
Контейнер изготовлен из эластичной силиконовой сферы 1 внутренним радиусом Я = 24.0 мм и толщиной стенок 2.0 мм (рис. 1 и 2). На стенке сферы закреплены активаторы 2, каждый из которых состоит из двух дисков диаметром сС = 15.0 мм, зажимающих между собой стенку контейнера. К активаторам присоединены толкатели 3, передающие усилие от линейных двигателей типа БипкегшоЮгеп 8ТА1112. Кювета располагается горизонтально в жидкостной рубашке 4 со взаимно перпендикулярными гранями, которая заполняется водой и обеспечивает одновременно термоста-тирование и оптическую коррекцию (рис. 2).
Контейнер заполняется рабочей жидкостью - водным раствором глицерина с массовой концентрацией 90 %. Эксперименты проведены при температуре Т = (22.3± 0.2)° С, которой соответствует
вязкость раствора V »161 сСт. Температура в рубашке в ходе эксперимента контролируется при помощи термопары 5, показания с которой считываются прибором Термодат 22К5.
-......... нчтидиюмга—Н|
Рис. 1. Фотографии экспериментальной кюветы
Низ
Рис. 2. Схема экспериментальной установки: 1 - контейнер, 2 - активаторы, 3 - толкатели, 4 - рубашка, 5 - термопара, 6 - лазер
Активаторам сообщаются синхронные гармонические колебания с частотой / = (1 - 5) Гц и амплитудой Ь = (3 - 7) мм, при этом стенка контейнера испытывает периодическую деформацию (см. рис. 2). Амплитуда колебаний измеряется по осциллограммам, сня-
тым при помощи контроллеров Copley Accelnet ACJ-055-18-S, управляющих двигателями. Рассогласование в амплитудах не превышает 0.04 мм.
Для изучения формы колебаний стенок контейнера проводится скоростная съемка с частотой кадров 100 f . Суперпозиция фотографий в крайних положениях активаторов позволяет найти узлы колебаний стенки - точки, остающиеся неподвижными, A и B на рис. 3.
Рис. 3. Структура осредненных течений при f = 3.0Гц, Ь = 3.4мм (( = 67.3). На заднем плане - суперпозиция двух фотографий, полученных при максимальных сжатии и растяжении контейнера. На переднем - векторное поле средней скорости
Для изучения структуры и скорости осредненных течений в жидкость добавляются трассеры размера 40 мкм и осуществляется подсветка лазерным ножом 6 в диаметральном сечении контейнера (см. рис. 2). Частота захвата изображений синхронизуется с частотой вибраций, что позволяет вычесть пульсационную компоненту скорости и измерять непосредственно осредненную по периоду колебаний компоненту скорости. Для нахождения векторного поля скорости применяется метод трассерной визуализации (Р1У). Пары изображений, выбранные с временным интервалом п / f (где п -натуральное число), обрабатываются алгоритмом с тремя последовательными итерациями с уменьшающимся размером ячейки: 64 х 64, 32 х 32, 28 х 28 (пиксель х пиксель).
2. РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТА
На фоне колебаний жидкости, вызванных вибрациями стенок, в объеме генерируется установившееся осредненное течение в форме двух тороидальных вихрей. В диаметральном сечении контейнера оно имеет вид четырех вихрей согласованной закрутки (см. рис. 3). Центры вихрей, обозначенные знаком +, смещены от центра полости к стенке, их угловые координаты близки к координатам узлов колебаний стенки. Вдоль оси вибраций наблюдаются два встречных потока, направленные к центру полости. Максимальная скорость в этих потоках Vj будет использована как количественная
характеристика интенсивности осредненных течений.
V], : мм/с 0.1
0.075
0.05
0.025
ус~Ь2
3 4 Ь, мм
мм/с 0.2
0.15
0.1
0.05
2 3 /,Гц
Рис. 4. Зависимость скорости осредненных течений от амплитуды (а) и частоты (б) вибраций при / = 1.0 Гц и Ь = 3.4мм соответственно
Скорость осредненных течений возрастает с амплитудой по квадратичному закону, с частотой - линейно (рис. 4). Этот результат является характерным для осредненных течений, за генерацию которых ответственен механизм Шлихтинга [9]. За примером можно обратиться к работе [8].
3. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
Известно (см., например [10]), что при описании действия вибраций на гидродинамические системы ключевую роль играют два
управляющих параметра: безразмерная частота со=0Я1 V и
пульсационное число Рейнольдса Яер = Ь20/V, где 0 = 1nf . В
б
а
экспериментах [7, 8] было показано, что с определяет структуру осредненных течений, тогда как Яер ответственен за интенсивность вибрационной конвекции при некотором заданном значении безразмерной частоты. Проведенный в [7, 8] анализ экспериментальных результатов показал, что интенсивность осредненных течений определяется на плоскости параметров (с,У /Яер), где
V = V— / V, V и Я - характерные осредненная скорость и размер контейнера.
Согласно [7, 8], в области низких безразмерных частот, с ~ 1 -10, выполняется закон подобия
Яе; ~ с (3Л)
который в терминах нашего эксперимента можно записать в виде:
V —
~Яер с. (3.2)
V р
В высокочастотном пределе, который принято ассоциировать с вторичными осредненными течениями, с перестает влиять на их безразмерную скорость:
V —
~ Яе; . (3.3)
V р
Также, согласно [8], в сфероидальном контейнере при с ~ 100 - 1000 для первичных осредненных течений величина V / Яер не зависит от безразмерной частоты, что математически
эквивалентно выражению (3.3) и может быть записано в виде:
V - —
= = соШС). (3.4)
Яе р Ъ20
Результаты нашего эксперимента хорошо согласуются с (3.2) при с= 22.4 (рис. 5, точки 1) и постепенно отклоняются при
с = 45-112 (точки 2). На плоскости (о,точки 1 и 2
описываются единой зависимостью (рис. 6), которая согласуется с (3.1) при с< 25 и стремится к (3.4) при о> 100 . Также полученные результаты качественно согласуются с результатами [8], представленными на рис. 6 кривой 3, интерполирующей экспериментальные точки (фигура 9 в работе [8]).
~\Г
0.02
0.01
5х10~3
Рис. 5. Зависимость безразмерной скорости осредненных течений от управляющего вибрационного параметра; о= 22.4 (точки 1), со= 22 -112 (2)
Стоит отметить следующие отличия эксперимента [8] от нашего, где, во-первых, рассматривалась сфероидальная полость, имеющая выраженную эллиптичность в плоскости оси вибраций, во-вторых, не использовалась оптическая коррекция, что должно было приводить к систематическому занижению (завышению) измеряемого смещения трассеров. Сравнение двух экспериментов обнаруживает следующее: безразмерная скорость осредненных течений выше в случае контейнера с близкой к единице эллиптичностью, т.е. сферы (см. рис. 6); в исследованной области безразмерных частот трас-серная визуализация обнаруживает структуру течения в виде двух торов в том и другом эксперименте, однако направление закрутки
Яерю
противоположно для случаев сферы и сфероида (ср. рис. 3 и фиг. 6 в в [8]).
ю
Рис. 6. Зависимость перенормированной безразмерной скорости от безразмерной частоты в нашем эксперименте (точки 1 и 2) и в эксперименте [8] (кривая 3)
В теории [4] рассмотрен случай, когда граница сферической полости (капли) совершает колебания по закону R = R0 + be~iatP2 (cos в), где P2 (cos в) - полином Лежандра второго рода. Согласно [4], осредненные течения в такой полости имеют вид четырех торов, или восьми вихрей, если рассматривать сечение в плоскости оси колебаний. Границы между торами, расположенными в одной полусфере, согласуются с положением узлов колебаний границы сферы. Угловая координата узла, отсчитываемая от полюса колебаний (активатора у нас), вп составляет в нашем эксперименте приблизительно 38 град., в [4] - 55 град., в [8] - порядка 70 град. Данное сравнение позволяет предположить, что в области малых и умеренных w при сравнительно больших или малых значениях вп возможна ситуация, когда в одной полусфере останется лишь один из двух торов, тогда как второй будет задавлен либо вытеснен к границе и практически не заметен. При этом условие
выбора будет зависеть от величины вп. Следует также отметить, что структура осредненных течений, представленная на рис. 3, является характерной для капель жидкости, подвешенных в акустическом поле [3, 5].
Заключение. Экспериментально изучены осредненные течения в сферическом контейнере, эластичные стенки которого совершают осесимметричные колебания. Изучена область низких и умеренных безразмерных частот, w= 22-112, а также область малых безразмерных амплитуд, b / R = 0.12 - 0.30. Обнаружены осредненные течения в форме двух тороидальных вихрей. Безразмерная скорость течений описывается на плоскости параметров (w, VjRb~2W-1) и
качественно согласуется с динамикой жидкости в осциллирующих контейнерах различной геометрии. Интересной особенностью выполненного эксперимента является структура осредненных течений. Сравнение с результатами других исследований позволяет предположить, что структура течений определяется видом колебаний границы. В частности, в зависимости от положения узлов ее колебаний возможна ситуация, когда один из двух соседних торов (вихрей) будет доминировать, а второй исчезнет. В результате, при различных параметрах вибраций может генерироваться течение в виде двух или четырех торов.
Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда (грант № 17-71-10189).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ССЫЛКИ
1. Блехман И.И. Вибрационная механика. М: Наука, 1994. 394 с.
2. Riley N. Steady streaming // Ann. Rev. Fluid Mech. 2001. Vol. 33. P. 43-65.
3. Trinh E, Wang T.G. Large-amplitude free and driven drop-shape oscillations: experimental observations // J. Fluid Mech. 1982. Vol. 122. P. 315-338.
4. Murtsovkin V.A., Muller V.M. Steady-state flows induced by oscillations of a drop with an adsorption layer // J. Colloid Interf. Sci. 1992. Vol. 151. P. 150-156.
5. Yarin A.L., Brenn G., Kastner O., et al. Evaporation of acoustically levitated droplets // J. Fluid Mech. 1999. Vol. 399. P. 151-204.
6. Yarin A.L. Stationary d.c. streaming due to shape oscillations of a droplet and its effect on mass transfer in liquid-liquid systems // J. Flu-
id Mech. 2001. Vol. 444. P. 321-342.
7. Kozlov V.G., Kozlov N.V., Schipitsyn V.D. Steady flows in an oscillating deformable container: Effect of the dimensionless frequency // Phys. Rev. Fluids. 2017. Vol. 2. P. 094501.
8. Козлов В.Г., Сабиров Р.Р., Субботин С.В. Осредненные течения в осциллирующей сфероидальной полости с эластичной стенкой // Изв. РАН. МЖГ. 2018. № 2. С. 16-26.
9. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М: Наука, 1974. 711 с.
10. Gershuni G.Z., Lyubimov D.V. Thermal Vibrational Convection. New York, USA: Wiley, 1998. 358 p.
STEADY STREAMING IN A SPHERICAL CONTAINER WITH OSCILLATING ELASTIC BOUNDARY
N.V. Kozlov
Abstract. Viscous fluid flows are investigated experimentally in a spherical cavity with an elastic boundary that performs harmonic axisymmetric vibrations. The oscillations along the horizontal axis are set using two linear motors. The flow structure is studied by means of particle image velocimetry (PIV). The range of low and moderate dimensionless frequencies is considered. In the indicated range, the steady streaming in the form of two toroidal vortices is observed. Their intensity is studied and the analysis of the influence of the position of the boundary oscillation nodes on the flow structure is carried out.
Key words: spherical cavity, steady streaming, oscillations, elastic boundary.
