Особые оптимальные управления распределенных задач и вольтерровы функционально-операторные уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95 © В. И. Сумин

ОСОБЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ УПРАВЛЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЁННЫХ ЗАДАЧ И ВОЛЬТЕРРОВЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1

Показывается, что для широкого класса задач оптимизации эволюционных (вольтерровых) распределённых систем характерно сильное вырождение особых управлений, когда вместе с необходимыми условиями первого порядка (например, принципом максимума) вырождаются и необходимые условия второго порядка. Излагается способ получения условий оптимальности сильно вырожденных особых управлений.

Ключевые слова: распределённые задачи оптимизации, необходимые условия оптимальности, особые управления, сильное вырождение, вольтерровы функционально-операторные уравнения.

Особые управления (ОУ) принципа максимума (ПМ), на которых он вырождается, играют важную роль в теории оптимизации и её приложениях [1]. Однако, для распределённых систем вопросы получения необходимых условий оптимальности (НУО) ОУ изучены ещё относительно слабо: в основном рассматривались управляемые системы Гурса-Дарбу и близкие им (см. библиографию в [2,3]). В докладе обсуждается предложенная в [2,3] достаточно общая схема изучения ОУ, опирающаяся на возможность представления управляемой начальнокраевой задачи в форме вольтеррова функционально-операторного уравнения вида (1) и использующая теорию тензорных произведений лебеговых пространств для вычисления старших вариаций функционалов [схема обслуживает широкий класс распределённых управляемых систем (разнообразные примеры начально-краевых задач для нелинейных уравнений с частными производными, приводимых к форме (1), можно найти, например, в [4]), а также обширный аксиоматически описанный в [2] класс способов варьирования, включающий большинство способов, традиционно использующихся в теории НУО (классическое варьирование, игольчатое, импульсное на полосах, варьирование пакетами, сдвигом и др.)]. Показывается, что, если воль-террова управляемая система «устроена не слишком сложно», то для неё характерно сильное вырождение ОУ, когда вместе с НУО первого порядка (например, ПМ) вырождаются и НУО второго порядка. Излагается способ получения НУО сильно вырожденных ОУ.

Для примера сформулируем общие условия сильного вырождения ОУ поточечного ПМ (НУО первого порядка при игольчатом варьировании). Обозначения: (•, -)п — скалярное произведение в Кп; £(Х, У) — класс линейных ограниченных операторов из X в У; * — знак сопряжения; П С Кп — заданное ограниченное, измеримое по Лебегу множество; = (Ьр(П))т. Рассмотрим управляемое функционально-операторное уравнение

z{t) = / (£, А[г](£), ^(¿)), £ = {¿1,...,£п} € П С Кп, (1)

где /(£,р, V) : П х К1 х К8 ^ Кт — функция, дважды дифференцируемая по р для всех V при

почти всех £ и вместе с /, /рр измеримая по £ для всех {р, V} и непрерывная по {р, V} для почти

всех £; А € £ (Ьт,Ь1) ; v(t) : П ^ К8 — управление. Считаем: функции /, /р, /^р ограничены

на любом ограниченном множестве; А имеет квазинильпотентную мажоранту В € £ (Ь1,Ь1) ;

В [Ь™] С Ь™; V = {V € Ь^ : v(t) € V, £ € П} — класс допустимых v(•), V С К8 ограничено. При

указанных условиях формула В™ [г] = В [г] , г € Ь™ определяет оператор В™ € £ (Ь™, Ь™) и

поэтому далее говорим о решениях (1) класса Ь™.

Назовём оператор Т, действующий из Ьп в пространство измеримых на П вектор-функций,

вольтерровым на некоторой системе Т измеримых подмножеств П, если для любого Н € Т

сужение Т[г] не зависит от значений г(£) при £ € П \ Н [4]. Пусть: 5 > 0 — некоторое число; н

Т* = {Но, Нь..., Hk}, где 0 = Но С Щ С ... С Hk = П; !ц = Щ \ Hi-l, г = !,...,&; Рн —

хРабота выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки РФ в рамках государственного задания на оказание услуг в 2012-2014 гг. подведомственными высшими учебными заведениями (шифр заявки 1.1907.2011).

оператор умножения на функцию Xh = {1, t € h; 0, t € (П \ h)}. Назовём T* вольтерровой ¿-цепочкой оператора F € L (Lp, Lp), если он вольтерров на T* и \PhiFPhi\\lp—Lp ^ 5 при i = 1,... ,k [4]. Считаем: B™ имеет вольтеррову ¿-цепочку для любого 5 > 0. В этом случае каждому v € D отвечает не более одного L^-решения (1). Пусть П — класс тех v, каждому из которых отвечает такое решение zv, а F : L™ ^ R — дважды непрерывно дифференцируемый по Фреше функционал.

Рассмотрим задачу нахождения Lf-локального максимума: J[v] = F[zv] ^ max, v € П. Пусть vo — решение этой задачи, zo = zv0, а и € L™ — функция Рисса функционала F'(zo) € (L™)*. Формула S[z] = z — fpA[z], где / = fp(t, A[z0],v0), определяет оператор S € L (L™,L™) . Положим n(t, w) = (^(t), Aw/(t))m, t € П, w € U, где ф € L™ — решение уравнения S*[ф] = и, Aw/(t) = /(t,A[zo],w) — /(t,A[zo],vo). Пусть: E — совокупность всех наборов ст = {т, w}, в каждом из которых w — элемент U, т € П — некоторая правильная точка Лебега для n(-,w); H — семейство всех пар h = {ст, е} , в каждой из которых ст = {т, w} € E, а е > 0 таково, что П£ (т) = т — е[0,1]n С П. Каждому h = {ст, е} € H отвечает допустимое управление vh(t) = {w, t € П£(т); vo(t), t € П \ П£(т)} , а каждому набору параметров варьирования ст = {т, w} € E — семейство функций {vh}h={a ej&H , простейшая одноточечная игольчатая варианта (ПОИВ) управления vo. Положим Av J = J [v] — J [vo], v € П. Предел

¿7-n+ij(ст) = Jim e-YAvh J, если он существует при некотором y ^ n, назовём вариацией по-£——o

рядка y — n + 1 функционала J на ПОИВ; соответственно НУО вида ¿7-n+1 J(ст) ^ 0 (ст € E) назовём НУО порядка y — n + 1 при данном варьировании. Справедлив поточечный ПМ (НУО первого порядка): для каждого w € U при почти всех т € П имеем 51 J(ст) = п(т, w) ^ 0.

Для краткости рассмотрим случай полного вырождения поточечного ПМ: управление vo назовём ОУ ПМ, если п(т, w) = 0 для каждого w € U при почти всех т € П. Типична ситуация, когда для ОУ vo вместе с 51 J(ст) = 0, ст € E имеем ¿Y-n+1 J(ст) = 0, ст € E, n < y < n + 1 и содержательными могут быть лишь НУО, начиная с порядка 2. Поэтому назовём ОУ vo сильно вырожденным, если ¿2J(ст) = 0, ст € E. Укажем простые для проверки, но важные для приложений случаи, когда при n > 1 заведомо происходит сильное вырождение ОУ ПМ vo: 1) фф = 0, t € П; 2) A[Lf] С L™ 3) /(t,p,v) = /i(t,pi)p2 + /2(t,Pi,v), p = {pi,P2}, Pi € R1i (i = 1, 2), li + ¿2 = l, /i — (m x ¿2)-матрица, A[-] = {A(i)[.],A(2) [■]}, A(i) : L^ ^ Lf (i = 1, 2), причём A(i) [L™] С L™,. В каждом из этих случаев для ОУ vo вырождаются все НУО до порядка n включительно, а схема [2,3] даёт конструктивные НУО vo порядка n + 1.

Список литературы

1. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. М.: Наука, 1973. 256 с.

2. Сумин В.И. Сильное вырождение особых управлений в распределённых задачах оптимизации // ДАН СССР. 1991. Т. 320. № 2. С. 295-299.

3. Сумин В.И. Об особых управлениях поточечного принципа максимума в распределённых задачах оптимизации // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2010. Вып. 3. С. 70-80.

4. Сумин В.И. Функциональные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 1992. 110 с.

Поступила в редакцию 15.02.2012

V. I. Sumin

Singular optimal controls in the distributed problems and Volterra functional-operator equations

It is showed that for a broad class of distributed optimization problems a sufficiently typical condition is strong degeneration of the singular controls, when together with a first-order necessary optimality conditions (for example, maximum principle) a second-order necessary optimality conditions also degenerates. It is described a general conclusion scheme of necessary optimality conditions for strong degenerated singular controls.

Keywords: distributed optimization problems, necessary optimality conditions, singular controls, strong degeneration, Volterra functional-operator equations.

Mathematical Subject Classifications: 49K20

Сумин Владимир Иосифович, заведующий кафедрой математической физики, Нижегородский государственный университет, 603950, Россия, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23. E-mail: [email protected] Sumin Vladimir Iosifovich, Head of the Department of Mathematical Physics, Nizhni Novgorod State University, pr. Gagarina, 23, Nizhni Novgorod, 603950, Russia