CC BY
80
Scientific journal PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION
Has been issued since 2013.
Науковий журнал Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА
Видасться з 2013.
http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/
Од'нцова О.О. Oco6nueocmi створення математичних моделей задач, що вивчаються в л'нйному програмуванн // Ф'!зико-математична освта : науковий журнал. - 2016. - Випуск 1(7). - С. 105-113.
Odintsova O. The features of mathematical models' construction of linear programming problems // Physics and Mathematics Education : scientific journal. - 2016. - Issue 1 (7). - Р. 105-113.
УДК 378.147.31,34:517.977.5
О.О. Одшцова
Сумський державний педагог1чний университет ¡м. А.С. Макаренка, Украша
ОСОБЛИВОСТ1 СТВОРЕННЯ МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ ЗАДАЧ, ЩО ВИВЧАЮТЬСЯ В Л1Н1ЙНОМУ ПРОГРАМУВАНН1
Постановка проблеми. Серед сучасних математичних методт наукового дослщження найбтьшого поширення набув метод математичного моделювання. BiH також використовуеться як метод навчального тзнання у вищш i в загальноосв^нш школк Так, сучасна програма з математики як для основной', так i для старшоУ школи пщкреслюе надзвичайну важливють навчання учшв елемен^в математичного моделювання для формування в них системи дiевих знань i вмiнь, зокрема одшею i3 цiлей навчання математики в школi е: «...формування усвiдомлення учнями математичних знань як важливоУ складовоУ загальноУ культури людини, необхiдноУ умови УУ повноцiнного життя в сучасному свт на основi ознайомлення школярiв з iдеями та методами математики як ушверсальноУ мови науки i технiки, ефективного засобу моделювання i досл1дження процесiв та явищ навколишньоУ дмсносл» [1]. Ще важливiшим, шж для учнiв, е опанування навичками математичного моделювання студентами педагопчних внз.
Базою для формування таких навичок математичного моделювання та прийомiв дiяльностi, що входять до складу математичного моделювання, е завдання прикладного характеру. У шктьнш математик реалiзацiя прикладноУ спрямованостi навчання сприймаеться як одна з цтей навчання, але, на жаль, не пщкртлена достатньо ш на змiстовому, нi на методичному рiвнях. Проте реалiзацiя прикладноУ спрямованост навчання математики полягае саме в такш оргашза^У навчального про-цесу, що забезпечуе учшв володшням математичним моделюванням як прийомом дiяльностi разом з шшими прийомами дiяльностi. Одшею з причин такого становища е слабке володшня вчителями прийомами та методами математичного моделювання. Отже, варто сформувати навички такого роду дiяльностi ще тд час навчання майбутшх педагопв. Але через брак часу на вивчення математичних дисциплш у педагопчних ушверситетах викладачi досить часто виключають питання, пов'язаш iз побудовою
ISSN 2413-158X (online) ISSN 2413-1571 (print)
математичних моделей та розгляду прикладних задач, що тдводять пщ поняття, i3 змюту вiдповiдного курсу.
Аналiз актуальних дослiджень. У сучасшй науцi моделювання розглядають як один i3 методiв пiзнання реального св^у, для якого чiтко прослiдковуeться зв'язок з такими загальнонауковими методами як метод подiбностi та метод аналоги. Тому методолопя математичного моделювання бурхливо розвиваеться, вона охоплюючи все новi i новi сфери - вщ розробки технiчних схем до аналiзу економiчних та соцiальних процесiв.
Фундаторами сучасноУ методологй' математичного моделювання були В.М.Глушков (1923-1982), Б. В. Гнеденко (1912-1995), А. М. Колмогоров (1903-1987), О.А. Самарський (1919-2008), А.М. Тихонов (1931-2003), В. С.Королюк (р.н.1925), А.Ф. Турбш (р.н. 1940) та шшк Назван вченi, розробляючи методи математичного моделювання та використовуючи Ух в рiзних галузях науки i технiки, прийшли ще в 70-х -90-х роках ХХ столпгя до думки про необхщшсть навчання математичного моделювання студенев унiверситетiв, учшв загальноосвiтнiх шкiл. Розвиток iнформацiйно-комунiкацiйних технолопй пiдсилив потребу такого навчання [2].
В УкраУш на сьогоднi питаннями методологй' математичного моделювання та залученням його до осв^нього процесу займаються Н.Кугай, В.Волошина, С.Раков, б.Борисов та шшк Зокрема Н.Кугай вважае, що метод математичного моделювання е засобом формування методолопчноУ компетентност майбутнього вчителя математики, що е невщ' емним компонентом професшно - педагопчноУ компетентной [3].
Мета CTaTTi. Питання про створення математичних моделей та Ух використання е природним для прикладних роздЫв математичноУ науки, до яких взноситься математичне, зокрема лшшне програмування. Тому варто скористатися потен^алом щеУ науки для вироблення навичок у студенев створення багатовимiрних математичних моделей та Ух опрацювання. Вiдповiдно до цього метою статт е з'ясування науково-методичних особливостей створення математичних моделей задач лшмного програмування.
Виклад основного матерiалу. У навчальному процес пiд час вивчення рiзних математичних дисциплш пропонують два види математичних моделей, як розрiзняють за Ухжм призначенням: математичнi моделi прикладних задач; математичнi моделi абстрактних теорiй та об'еклв.
Для другого виду математичних моделей найбтьше доцiльним е означення Л.Д. Кудрявцева: «Математична модель- це лопчна структура, у якоУ описано ряд вiдношень мiж УУ елементами» [4,41].
Першому ж виду моделей вщповщае означення, сформульоване А.М. Тихоновим: «Математична модель - це наближений опис будь-якого класу явищ навколишнього св^у за допомогою математичноУ символти» [5,62]. I, вiдповiдно до цього означення: математичним моделюванням називають метод наукового дослщження реальних об'еклв, процеав чи явищ, який фунтуеться на застосуваннi математичноУ моделi як засобу досшдження [2].
Як зазначае I.I. Блехман, математична модель у найпрослших випадках «... може бути вiдрiзком, функ^ею, вектором, матрицею, скалярною величиною або нав^ь конкретним числом» [6,57]. У складшших випадках вона уможливлюе зведення дослщження нематематичного об'екта до розв'язання математичноУ задачу користуючись ушверсальним математичним апаратом, i як наслщок - отримати не ттьки кiлькiсну, а й якiсну шформа^ю про дослiджуваний об'ект.
Осктьки лiнiйне програмування вивчае задач! прикладного характеру та розробляе методи Ух розв'язування, то в подальшому будемо користуватися означенням математичноУ моделi та математичного моделювання, що дат А.М.Тихоновим.
Як вщомо, процес розв'язування будь-якоУ прикладноУ задачi складаеться з наступних етатв:
- створення математичноУ моделi;
- розв'язування задачi вiдомими методами або розробка нових методiв;
- аналiз отриманих результалв;
- впровадження результатiв у життя (виробництво).
Психологи розглядають розв'язування задачi як процес УУ послiдовного переформулювання, пiд час якого вiдбуваеться безперервний аналiз умов i вимог задачi через синтетичний акт вiднесення Ух один з одним [7]. При цьому вс переформульоваш задачi е моделями вихщноУ. Тому переформульованi задачi е способом УУ моделювання [8].
Як свщчить iсторiя розвитку математичноУ думки, шктьна практика, власний довщ, процес побудови математичноУ моделi досить часто е доволi складним (прикладом може слугувати вщома модель Леонтьева), iнодi це навiть призводить до появи нових роздЫв математичноУ науки. Не е виключенням i математичне програмування, осктьки бiльшiсть дослiдникiв вважае «вщправною» точкою появи цього роздту прикладноУ науки - спробу побудувати у 1930 роц радянським економктом А.М.Толстим математичноУ моделi задачi про оптимальний сумарний ктометраж (прототипу транспортноУ задачi) [ 9, 5].
Термш «програмування» пояснюеться тим, що першi дослiдження та першi застосування лшмних оптимiзацiйниx завдань були у сферi економiки, а з англiйськоУ мови слово «programming» означае планування, складання плану дш. Термшолопя вiдображае лсний зв'язок, що iснуе мiж математичною постановкою задачi та УУ економiчною iнтерпретацiею.
Оптимiзацiйнi задачi, що розв'язуються у математичному програмуваннi виникають тод^ коли, наприклад, ресурсiв, що е в наявносл не вистачае для виконання роб^ найбiльш ефективним способом. Тому метою розв'язування задачi е вщшукання такого розподiлу ресурсiв при якому: або мiнiмiзуються загальнi витрати, або максимiзуеться загальний прибуток.
Для вироблення навичок та прийомiв математичного моделювання деяк дослiдники вважають, що задачу що мають сxожi математичш моделi або способи розв'язування, варто розглядати так званими циклами.
Умови бтьшосл задач лшшного програмування традицшно подаються у табличному виглядi, тому доцтьно розглянути створення математичноУ моделi для таких задач.
Задача № 1. (Складання рацюну).
Для того, щоб при вiдгодiвлi тварин вагою 30 - 40 кг одержати середне збтьшення маси на 300 - 400 г на добу, за нормами у щоденному рацюш повинш мютитися такi речовини:
- кормовi одиниц - не менше 1,6 кг;
- протеУн (бiлок) - не менше 200 г;
- каротин - не менше 10 мг.
Для вiдгодiвлi використовують: ячмшь, боби, сшне борошно. Вмiст поживних речовин в 1 кг цих кормiв та варлсть 1 кг корму наведет в таблиц 1.
Таблиця 1
Поживна речовина BMicT поживних речовин в 1 кг корму
ячмшь боби CiHHe борошно
Кормовi одиницi, кг 1,2 1,4 0,8
ПротеУн, г 80 280 240
Каротин, мг 5 5 100
Цша 1 кг корму, грн 13 18 16
n0Tpi6H0 скласти щоденний рацюн, який задовольняв би необхщну пожившсть при м^мальних витратах на корми.
Створення моделк Через xi, Х2, хз (кг) позначають - кiлькiсть KopMiB вiдповiдного виду, що будуть використанi для щоденноУ вiдгодiвлi. Доповнюють таблицю наступним чином:
Таблиця2
BMicT поживних речовин в 1 кг корму Щоденна
Поживна речовина ячмшь боби Сшне борошно необхщна пожившсть
Кормовi одинищ, кг 1,2 1,4 0,8 1,6
ПротеУн (бiлок), г 80 280 240 200
Каротин, мг 5 5 100 10
Цша 1 кг корму, грн 13 18 16
Вага корму, кг Х1 Х2 х5
Отже, кормових одиниць у вах видах кормiв щодня буде:
1,2xi + 1,4x2 + 0,8хз > 1,6(кг), вiдповiдно протешу: 80xi + 280x2 + 240хз > 200 (г), а каротину: 5xi + 5x2 + 100хз > 10 (мг).
Необхiдна щоденна поживнiсть задаеться системою:
(1)
1,2х +1,4х + 0,8х > 1,6 80х + 280х + 240х3 > 200, 5х + 5х + 100х > 1,6,
Д2,э > 0.
Вартiсть усiх використаних кормiв буде становити: 13xi + 18x2 + 16хз . Цей вираз познають Z, називають цiльовою функцiею. З умови задачi випливае, що потрiбно знайти мЫмум Z = 13xi + 18x2 + 16xз при виконаннi умов системи (1). Отже, математичною моделлю розглядуваноУ задачi буде запис:
Z = 13xi + 18x2 + ^з ^ min
за умов
'1,2х +1,4х + 0,8х > 1,6 80х + 280х + 240х > 200, 5х + 5х + 100х > 1,6,
х1,2,3 > 0.
Доцiльно одночасно розглянути узагальнення такого типу задач. Нехай е n видiв продуктiв (кормiв) Pj, в яких мютиться т рiзних поживних речовин Si. Вiдомо: aj - вмiст поживноУ речовини Si в 1 кг продукту Pj , b - необхщна щоденна пожившсть по кожному виду Si, Cj - варткть 1 кг кожного виду корму Pj (i = 1 ^ m, j = 1 ^ n). Потрiбно скласти такий рацюн мЫмальноУ вартостi, щоб забезпечити необхiдну щоденну поживнiсть.
Табличний запис умови задачк
Таблиця3
Поживна речовина Вмкт поживних речовин в 1 кг корму Щоденна
Pi P 2 Рп необхщна пожившсть
Si aii ai2 ain bi
S2 Û21 a22 a2n Ь2
Sm ami am2 amn bm
Цша 1 кг корму Ci C2 Cn
Псля уведення невщомих ( Xj - вага корму Pj ), таблиця набуде наступного вигляду:
Таблиця4
Поживна речовина Вмют поживних речовин в 1 кг корму Щоденна
Pi P 2 Pn необхщна пожившсть
Si aii ai2 ain bi
S2 a2i a22 a2n Ь2
Sm ami am2 amn bm
Цша 1 кг корму, гр.од. Ci C2 Cn
Вага корму, кг Xi X2 Xn
■ ... Vf
I математична модель узагальнено! задач1 матиме такий запис:
Z = с1 х1 + с2 х2 + ... + сп хп ^ min
за умов
а,,х, + +... +а. х > b,
111 122 1n n 1 ?
а,X + а„х9 +... + а x > b,
21 1 22 2 2n n 2
а х + а ^х +... + а х > b ,
m1 1 m 2 2 mn n m~
X > 0, i = 1 ^ m, j = 1 ^ n.
1нший тип задач, що розглядаються в лiнiйному програмуваннi, - це так зван задачi планування виробництва. Досить часто умова таких задач подаеться структурованою, як i у вищерозглянутоУ задачi складання рацюну. Якщо умову задачi не записано у таблицю, то для спрощення створення математичноУ моделi, варто структурувати умову.
Задача 2 ( планування виробництва ).
Продукщею молокозаводу е: фасован молоко, кефiр, сметана. На виготовлення 1 т молока, кефiру та сметани потрiбно 1010, 1010 та 9450 кг молока вщповщно. Витрати робочого часу на фасування молока та кефiру складають 0,18 та 0,19 машино-годин. На фасування 1 т сметани спе^альними автоматами - 3,25 год.
Всього на виготовлення продукцм завод може використовувати 136000 кг молока.
Основне обладнання може бути зайнято протягом 21,4 машино-годин, а автомати по фасуванню сметани - 16,25 год. У таблиц 5 наведено прибуток вщ продажу 1 тонни кожного виду продукцм.
Таблиця5
Прибуток вщ продажу 1 т
Молока 30 гр. од.
Кефiру 42 гр. од.
Сметани 136 гр. од.
Завод повинен виготовляти не менше 100 т молока. На виготовлення шшоУ продукцм обмежень немае. Потрiбно скласти план виробництва, щоб одержати максимальний прибуток.
Створення модель Структурують умову задачi в таблицю, що мiстить данi задачi (таблиця 6).
Таблиця6
Молоко Кефiр Сметана Загал
Незбиране молоко, кг на 1 т 1010 1010 9450 136000
Витрати робочого часу основного обладнання, машино-годин 0,18 0,19 21,4
Витрати робочого часу спе^ального обладнання, години 3,25 16,25
Прибуток , гр. од 30 42 136
Необхщна кшьшсть молока, т > 100
Позначивши кшьшсть молока, кефiру та сметани, що плануеться випускати, вщповщно через х\, Х2, хз тонн, та дописавши ще рядок у таблицi, отримаемо наступну математичну модель задачк
Система обмежень, що враховуе витрати на виробництво:
1010 х, +1010 х, + 9450х3 = 13600, = 21,4,
0,18х + 0,19х2
+ 3,25х, = 16,25,
X > 100,
х. > 0, j = 1 3.
Цшьова функцiя I, що враховуе прибуток вщ виробництва мае вигляд: I = 30x1 + 42x2 + 136хз. I математична модель дано' задачi :
I = 30x1 + 42x2 + 136хз^ тах
за умов
1010 х + 1010х2 + 9450х = 13600,
0,18Xj + 0,19 х2
= 21,4,
+ 3,25х = 16,25,
X > 100,
х. > 0, j = 1 3.
I, j 'J
Доцтьно пiсля створення математичноУ моделi задачi планування виробництва обговорити зi студентами данi, що мiстяться в умов^ а саме: що таке незбиране молоко? (Молоко вщ корови), що таке нормоване молоко? (Це молоко, жиршсть якого вщповщае нормам 2,5%, 3,2% тощо), чому на виговлення 1 т молока чи кеффу потрiбно бiльше 1 т незбираного молока? (Бо молоко вщ корови мае бтьшу жирнiсть, шж нормоване), чому на виготовлення 1 т сметани сшд використати сттьки незбираного молока? (Сметану роблять iз вершкiв) i подiбнi.
Аналогiчнi питання можна поставити до будь-якоУ прикладноУ задачi, модель якоУ створюеться. Вони дозволяють з'ясувати рiвень життевих компетенцм студентiв.
Слiд постiйно акцентувати увагу на сптьних та вiдмiнних рисах створених моделей.
К^м розглянутих титв задач, як видно, умови яких досить легко структуруються у таблицю, iснуе цiлий ряд задач, умови яких не дозволяють таких дм.
Задача 3 (про розкрш).
Для виготовлення певного виробу потрiбнi 3 планки: одна на 2 м, двi по 1,5 м кожна. Запас становить: 400 рейок по 5 м i 100 рейок по 6,5 м.
Визначити, як треба розрiзати рейки, щоб одержати найбтьшу кшьшсть виробiв iз вказаних планок.
Створення моделк
Спочатку слщ з'ясувати, всi можливi способи розрiзання кожного виду рейок для отримання необхщних планок при мiнiмальнiй кшьшсть вiдходiв:
V г- рейки по 5 м рейки по 6,5м
1 споаб 2 • 2м + 0 -1,5м (1м), 4 споаб 3 • 2м + 0 -1,5м (0,5м),
2 споаб 1 • 2м + 2 -1,5м ( 0м), 5 споаб 2 • 2м + 1 -1,5м (1м),
3 споаб 0 • 2м + 3 -1,5м ( 0,5м), 6 споаб 1 • 2м + 3 -1,5м (0м),
7 споаб 0 • 2м + 4 -1,5м (0,5м).
Через х\ позначають кшьшсть рейок, що буде розрiзаною /'-им способом. Тодi з рейок по 5 м буде отримано планок
1 способом 2 • 2м + 0 -1,5м (1м) - Хг рейка,
2 способом 1 • 2м + 2 -1,5м ( 0м) - Х2 рейки,
3 способом 0 • 2м + 3 -1,5м ( 0,5м) - хз рейки,
а з рейок по 6,5м
4 способом 3 • 2м + 0 -1,5м (0,5м) - Х4 рейки,
5 способом 2 • 2м + 1 -1,5м (1м)- Х5 рейок,
6 способом 1 • 2м + 3 -1,5м (0м)- Хб рейок,
7 способом 0 • 2м + 4 -1,5м (0,5м) - Х7 рейок.
Вщповщно, рейок довжиною 5 м буде використано: хг + Х2 + хз = 400, а довжиною 6,5м : Х4 + Х5 + Хб + Х7 = 100. При цьому 2-х метрових планок буде утворено 2хг + Х2 + 3х4 + 2X5 + Хб , а 1,5 м - 2x2 + 3хз + Хг + Х5 + 3хб + 4x7. Осктьки на 1 вирiб потрiбно 2 планки по 1,5м i 1 по 2м, то
2 ( 2X1 + Х2 + 3X4 + 2X5 + Хб) = 2X2 + 3Хз + Х5 + 3Хб + 4X7,
4хг - 3Хз + 6X4 + 3X5 - Хб - 4X7 = 0.
Тепер система обмежень буде мати вигляд:
X + X + х3 = 400,
X + х5 + х + X = 100, ^
4х - 3х + 6х. + 3х - х, - 4х = 0,
1 3 4 5 6 7 '
х > 0, j = 1 ■ 7.
Оскiльки число готових виробiв - це число двометрових планок, то цтьова функ^я задаеться так
Z = 2xi + Х2 + 3x4 + 2x5 + Хб ^ max. I математична модель - потрiбно знайти максимум функцп
Z = 2xi + Х2 + 3x4 + 2x5 + Хб
X + х + х = 400,
х + х + х + х = 100, 4х - 3х + 6х + 3х - х - 4х = 0,
1 3 4 5 6 7 '
за умов
х > 0, у = 1 ■ 7.
Висновки. Як показуе досвщ, створення математичних моделей рiзних задач, що
вивчаються у лiнiйному програмуванш, дозволяе:
1) мотивувати студентiв до подальшого вивчення дисциплiни (традицiйне
питання, що у них виникае: як це розв'язуеться?);
2) демонструвати практичну значущють математики;
3) розширювати св^огляд студентiв, як через самi прикладн задачi, так i через
розгляд сумiжних питань, пов'язаних з умовою задачi;
4) формувати навички та прийоми математичного моделювання.
Список використаних джерел
1. Програма з математики: http://iitzo.gov.ua/serednya-osvita-navchalni-prohramy.
2. Панченко Л.Л. Про понятшний апарат математичного моделювання в загальноосв^шй школi та педагопчному вуз^ Панченко Л. // Науковий часопис НПУ iм. М.П. Драгоманова. Серiя № 3. Фiзика i математика у вищм i середнiй школк - К.: Вид-во НПУ iм. М.П. Драгоманова, 2004. - № 1.- С.89-97.
3. Кугай Н. Математичне моделювання як зааб формування методолопчноУ компетентностi вчителя математики/ Н.Кугай. б.Борисов // Математика в рщнш школi. - 2015.- № 5.- С.31-34.
4. Кудрявцев Л.Д. Современная математика и её преподавание / Л.Д. Кудрявцев. - М.: Наука, 1985.- 170 с.
5. Тихонов А.Н. Математическая модель/ А.Н.Тихонов // Мат. Энцикопедия. Т.3. - М.: Из-дво физ.-мат. Лит-ры, 1982. - 592с.
6. Блехман И.И. Прикладная математика : предмет, логика, особенности подходов / И.И.Блехман, А.Д.Мышкис , Я.Г.Пановка.- К.: Наук. думка, 1976. - 272 с.
7. Рубинштейн С.Л. О мышлении и путях его исследования/ С.Л.Рубинштейн.- М.: Педагогика, 1989. - 488с.
8. Волошена В. Математичне моделювання в процес розв'язування фiзичних вправ/В.Волошена// Математика в рщнш школк - 2015.- № 6.- С.30-32.
9. Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.Б. Математическое програмирование. -М.: Высшая школа, 1980. - 304 с.
Анотац'я. Од'шцова О.О. Особливост'1 створення математичних моделей задач, що вивчаються в л'/н'/йному програмуванш.
У cmammi аргументовано важлив'сть навчання елементам математичного моделювання майбутшх вчител'в математики. Розкрито сутшсть таких понять як математична модель та математичне моделювання для прикладних задач. Наведено приклади створення багатовим'!рних моделей таких задач л'н'шного програмування як: задача планування виробництва, задача складання рац'юну та задача про розкрiй. Для задач'1 складання рац'юну розглянуто як частинний так i загальний випадки. Наведено методичн коментар'1 щодо створення моделей вах розглядуваних задач, а до деяких з них,- список питань, що доцльно обговорити пiд час або псля створення модел'1. Встановлено вплив створення моделей зазначених задач на процес навчання математичному програмуванню.
Ключов'1 слова: математична модель, математичне моделювання, лiнiйне програмування, прикладнiзадач'1.
Аннотация. Одинцова О.А. Особенности создания математических моделей задач, которые изучаются в линейном программировании.
В статье аргументирована важность обучения элементам математического моделирования будущих учителей математики. Раскрыто суть таких понятий как математическая моделей и математическое моделирование для прикладных задач. Рассмотрены примеры создания многомерных моделей таких задач линейного программирования как: задача планирования производства, задача составления рациона и задача про раскрой. Для задачи составления рациона рассмотрено как частный, так и общий случаи. Приведены методические комментарии к созданию математических моделей всех задач, а к некоторым из них, - вопросы, которые стоило бы обсудить во время или после создания модели. Установлено влияние создания моделей выше упомянутых задач на процесс обучения всему математическому программированию.
Ключевые слова: модель, математическое моделирование, линейное программирование, прикладные задачи.
Abstract. Odintsova O. The features of mathematical models' construction of linear programming problems.
There are the arguments of importance to teach the elements of mathematical modeling in curricula of mathematical programming in pedagogical university in this article. It's revealed such concepts as mathematical model and mathematical modeling for applications. It's consider the examples of the creation of multidimensional models of such linear programming problems as the problem of production planning, the problem of drawing up the diet and the problem about the cutting. It is consider particular and the general case for the problem of drawing up the diet. It's given the methodical comments to creature of mathematical model for all problems, it is given the questions that should be discussed during or after the creation of the model for some of them. It is found the influence of creating models of the above-mentioned problems in the learning process throughout the mathematical programming.
Key words: model, mathematical modeling, linear programming, applied problem.
