Особенности вычислительных методов для решения задач диффузии при газовом азотировании Текст научной статьи по специальности «Математика»

Материаловедение

УДК 518:517.944/.94 Т.А. Бенгина

ОСОБЕННОСТИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МЕТОДОВ

ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДИФФУЗИИ ПРИ ГАЗОВОМ АЗОТИРОВАНИИ

В настоящей работе предлагается анализ методов решения задачи многофазной диффузии, приводится обоснование выбора одного из них для реализации возможности формирования определенного фазового состава поверхностного слоя стали.

Газовое азотирование - один из процессов химико-термической обработки металлов и сплавов, в результате которых на поверхности деталей образуется многофазный диффузионный слой.

Толщина и фазовый состав диффузионного слоя определяются технологическим режимом процесса, который в общем случае является неизотермическим и переменным по составу газовой атмосферы. Прогнозирование кинетики диффузионного насыщения в многофазных системах при нестационарных режимах насыщения осложняется вследствие существенной нелинейности таких систем и возникающими в результате этого трудностями их описания и численного расчета.

Задачи теплопроводности и диффузии с наличием фазовых переходов классифицируют как задачи с подвижной границей (типа задачи Стефана). Аналитические методы применяются в основном для исследования однофазных или двухфазных линейных моделей различных физических процессов. Получить точное решение нелинейной модели с помощью существующих аналитических методов крайне затруднительно. В связи с этим при моделировании все чаще используются численные методы решения подобных задач, однако и с их помощью не всегда удается достаточно точно отследить закон движения границы раздела фаз. Подобная проблема возникла при изучении математической модели процесса диффузионного насыщения металла. Многофазная диффузия описывается параболическим уравнением переноса для каждой фазы, которые в совокупности с краевыми условиями и условиями сохранения баланса на границах фазовых переходов представляют собой задачу Стефана.

Наиболее распространенная в расчетной практике математическая модель газового азотирования имеет вид

дх дх, дх,

(I)

где т >0;0 <* < ¿;С(х,т) - концентрация азота в точке х в момент времени т; Ц.(С) - коэффициент диффузии азота в г-той фазе. Краевые условия

,дС{х,х)

А (с)

дх ЭС(*,т)

я»

дх

= 0,

(2)

(3)

¿-о

где

я.

— коэффициент массопереноса г-той фазы;

— азотный потенциал печной атмосферы;

ТСдг —равновесный азотный потенциал соответствующей фазы. Начальные условия задачи:

СМТЦ)=СВЫ = 0;

И)

«л

где (х) -— граница /-той фазы.

Условия на границах раздела фаз

= с, ;

(5)

Закон движения границы, разделяющей две различные фазы, выражает условия баланса вещества при фазовых переходах и имеет вид

дС

у ~ = Б —

II I д„

ек

дх

■ О

1 ]

дс

дх

(6)

* -О

где у, - С, - С*; / = 1, Л'; N— общее число областей, разделенных фазовыми переходами.

Предложенная модель процесса азотирования позволяет связать его основные технологические параметры (состав газовой атмосферы, давление, температуру) со структурой, фазовым составов и толщиной азотированного слоя, которые определяются распределением концентрации азота по толщине диффузионного слоя.

Дня решения задач многофазной диффузии обычно используются методы с выделением фрон тов ¡ 8], которые обладают высокой точностью, но оказываются неприемлемыми или очень сложными алгоритмически при решении задач с возникновением и рассасыванием фаз.

Методы сквозного счета [2] позволяют решать такие задачи в теории теплопроводности, однако не могут быть использованы для решения неизотермических задач многофазной диффузии. В связи с этим для решения модели позднее использовался способ [5]т занимающий промежуточное положение между указанными выше методами. Такой подход основан на приведении вариационного соотношения, полученного из уравнений (1)-(6), к виду, удобному для построения конечно-разностной аппроксимации по времени, и на применении метода конечных элементов по пространственной переменной к возникающим на каждом временном слое краевым задачам.

Используемый способ расчета позволяет учитывать такие существенные особенности кинетики формирования многофазного диффузионного слоя при нестационарном процессе по температуре и азотному потенциалу, как переменное число границ и фаз, разрывы концентраций на их границах, появление и рассасывание фаз и (в общем случае) произвольное их количество.

Однако данный вариант решения не дает возможности явно выделить межфазные границы в произвольных областях, рассчитать скорости их движения. Поэтому целесообразно использовать метод, основанный на преобразовании координат, которое трансформирует изменяющуюся во времени область в стационарную. Этот подход впервые был предложен Ландау.

В задаче (1)-(6) рассмотрим отдельно произвольную фазу, заключенную между границами

и £,,и введем безразмерные координаты

Уравнение (I) в новых координатах примет вид

0<п, ¿1-

дс_

М)

—1_ < т ж

(7)

(8)

где

дх,

1

Для крайних фаз уравнение (8) имеет тот же вид, только одна из границ характеризуется нулевой скоростью. Соответственно преобразуются граничные условия: для последнего уравнения

Р,

дС

дх

Пу"1

для первого уравнения

Щн

Скорости V, = —— находятся на каждом шаге по времени из уравнений (6), которые после ах

преобразования принимают вид

0Пм йс,_,

(10)

5,-0

Появление в уравнениях (8) членов, аналогичных конвективным, требует соблюдения консервативности при выборе численной аппроксимации. В преобразованных координатах расчетная область остается неизменной, что позволяет применять известные численные методы решения подобных задач с фиксированным числом узлов в каждой фазе.

В результате конечно-разностной аппроксимации система уравнений (8) запишется следующим образом:

(П)

Граничные условия:

КС-КЧ^0 = 0; (12)

Я^С-М| (13)

" 1ть=1 11 1

(И)

л,-1-0

поле концентрации С(.Т, г) и из уравнений (10) определяются скорости V, = ~~. С найден-

где Х.т, X , Хх -дифференциально-разностный оператор по т , Г|, х соответственно.

Система уравнений (11-14) решается неявным методом с ограниченным числом итераций, количество которых определяется порядком системы уравнения.

Данный метод позволяет моделировать процессы с любым конечным числом одновременно существующих фаз в расчетной области [0, ¿]. Порядок чередования фаз определяется моделируемым процессом, В начале очередного шага по времени делается проверка на появление

новой фазы и выбор соответствующих граничных условий. Затем методом прогонки находится

<

дх

ными значениями скоростей проводятся итерации и далее — уточнение скоростей:

-

* = — 1

где V, — значения на предыдущем временном слое.

По окончании итерационного процесса осуществляется проверка на исчезновение фаз. При этом из системы уравнений (8) исключаются уравнения, соответствующие фазам, область существования которых оказалась меньше некоторой заранее заданной точности. Соответственно преобразовываются расчетные области.

Предложенный метод численного решения задач Стефана позволяет достаточно точно отследить положение границы раздела фаз; учесть переменное число фаз, разрывы концентраций на их границах, появление и рассасывание фаз, а также их толщину.

Контрольный расчет подтвердил адекватность модели экспериментальным данным.

Материал Температура, С Азотный потенциал Время, ч Толщина слоя, мкм

а У £

Техническое железо 520 2,63 9 300/260 0,6/1-2 1,4/1-2

I 1римечание. В таблице указаны дробные значения толщины слоя. В числителе приведены расчетные данные, а и знаменателе экспериментальные.

Таким образом, для решения задачи прогнозирования диффузионных слоев с заданными составом и структурой, отвечающими определенным критериям качества, целесообразно использовать метод, основанный на подстановке Ландау.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Рубинштейн ЛИ ! 1роблема Стефана, Рига: Звайганс, 1967. 238 t.

2. Самарский А.А , Моисеенко БД. Экономическая схема сквозного счета для многомерной задачи Стефана // Вычислит. математика и математич. физика. 1965. Т. 5. Кв 5. С. 816 - 827

3. Будак БЫ, Соловьева E.H., Успенский А.Б. Разностный метол сглажинания коэффициентов для решения задач Стефана // Вычислит, математика и математич. физика, 1965 Т. 5. Na 5. С. 828 - 840.

4. Калиткин H.H. Численные методы. M.: Наука, 1978, 252 с.

5. Приго.жин Л.Б., Булгач A.A. Численное решение одномерных задач Стефана в теплопроводности и диффузии И Численные методы механики сплошной среды: Сб. науч. тр. Института прикладной и теоретической механики и вычислительного центра СО АН СССР. 1981. Т. 12. №2. С. 71 -83.

6. Landau Н С. Hc3t conduction in a melting solid П Q, App maths. VII!. 1950. P. 81-94.

7. Furgeland R.M A comparative study of numerical methods for moving boundary problems. J. Inst. Maths. Appl 26. 19ÜÜ. P. 411-429.

8 RandickE., Goldstein 1. Met Trans, 1975, V. 6A, NS. P. 1553-1560.

Статья поступила в редакцию 30 сентября 2005 г

УДК 669.01:669.15 А. Г, И щук

О МЕТАЛЛУРГИЧЕСКОМ КАЧЕСТВЕ СТАЛИ

Выполнен анализ современного состояния вопроса о металлургическом качестве стали. Показано, что большинство макро- и микродефектов стали формируется при кристаллизации. Описывается .макроструктура слитка, указывается причина образования в нем дефектов, влияние их на качество стшш. Дается понятие "волокно", указываются причины его возникновения и его влияние на механические и эксплуатационные характеристики. Приводится классификация неметаллических включений в стаи и по природе, условиям возникновения, дисперсности. Рассматриваются сферы их влияния на различные механизмы разрушения и качество стали. В соответствии с классификацией примесей в сталях подробно описывается ta природа, распределение в стали и влияние на механические и эксплуатационные свойства. Указываются методы и механизмы устранения вредного влияния примесей. Обсуждается роль редкоземельных металлов, влияние газов. Показывается влияние размера зерна на качество спит и и методы и механизм регулирования размера действительного зерна.

Как известно, при классификации сталей используется понятие качества сталей, главным показателем которого является предельно допустимое содержание вредных примесей, прежде всего таких, как фосфор и сера, в сталях разной категории качества [1]:

Категория качества Фосфор, % Сера. %

обыкновенного качества 0,040 0,050

качественная 0,035 0,035

высококачественная 0,025 0,025

особовысококачественная 0,025 0,015

Содержание именно этих примесей влияет, в первую очередь, на свойства сталей. Однако такой показатель характеризует качество сталей в упрощенном, узком смысле.

В более широком смысле под качеством стали понимают совокупность свойств, определяемых металлургическим процессом ее производства [2, 3], и в данном контексте оно равнозначно понятию «металлургическое качество стали» [1]. Содержание этого понятия вместе со сферами применения стали значительно менялось на всем протяжении XX в. [4].

В начале XX в. химический состав и прочность стали практически исчерпывали требования к ее качеству. Металлургический процесс выплавки стали и обработки давлением давал проказ