Особенности векторного пространства упорядоченных (0, 1)-наборов из n элементов над полем по модулю 2 Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.642

Вестник СПбГУ. Сер. 10. 2014. Вып. 1

Е. А. Калинина, Г. М. Хитров

ОСОБЕННОСТИ ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА УПОРЯДОЧЕННЫХ (0,1)-НАБОРОВ ИЗ n ЭЛЕМЕНТОВ НАД ПОЛЕМ ПО МОДУЛЮ 2

Санкт-Петербургский государственный университет, 199034, Санкт-Петербург, Российская Федерация

В статье рассмотрены векторные пространства над полем вычетов по модулю 2. Эти пространства представляют интерес в связи с широким их использованием в теории обыкновенных графов, теории кодирования и других областях знаний, в частности при изучении модулярных систем. Данные векторные пространства обладают рядом особенностей. Так, например, упрощается исследование линейной зависимости и независимости совокупности векторов. Вводится понятие 1-зависимости совокупности векторов, которое применяется при исследовании подпространств и их ортогональных дополнений, при решении систем линейных уравнений. Рассмотрена связь разбиения совокупности векторов на минимальные 1-зависимые системы и фундаментальной системы решений определенной системы линейных уравнений. Доказаны необходимое и достаточное условия наличия ненулевого пересечения линейного подпространства и его ортогонального дополнения. Библиогр. 10 назв.

Ключевые слова: векторное пространство, поле вычетов по модулю 2.

Kalinina E. A., Khitrov G. M. Peculiar properties of vector space of ordered (0,1) «-tuples of elements over residue field modulo 2 // Vestnik of St. Petersburg University. Ser. 10. Applied mathematics, computer science, control processes. 2014. Issue 1. P. 62—71.

In the paper, vector spaces over residue field modulo 2 are considered. These vector spaces are of considerable interest because they are widely used in ordinary graphs theory, theory of coding and others areas, especially in modular systems investigation. Vector spaces over GF(2) have some features, for example, examination of linear dependence and independence for the set of vectors is simplified. The concept of 1-dependence for the set of vectors is embedded. This concept is used to study vector subspaces and their orthogonal complements and to solve systems of linear equations. The connection between fundamental system of solutions of some simultaneous linear equations and decomposition of corresponding vector system into minimal 1-dependent subsystems is considered. The necessary and sufficient conditions for the existence of nontrivial intersection of the vector subspace and its orthogonal complement are proven. Bibliogr. 10.

Keywords: vector space, residue field modulo 2.

Линейная алгебра изучает среди прочего общие свойства векторных пространств над произвольными полями. Необходимость отдельного изучения векторных пространств над полем по модулю 2 продиктована широким использованием этих пространств в теории обыкновенных графов [1-3], теории кодирования [4, 5], математической логике [6] и других областях знания [7, 8].

Поскольку мы собираемся ограничиться n-мерными (n конечно и произвольно) пространствами над полем по модулю 2, то можем ограничиться одним изоморфным им всем n-мерным координатным пространством, т. е. пространством упорядоченных наборов из n элементов (координат), каждый из которых может принимать только два значения: 0 или 1.

Так как упорядоченные наборы из одного и того же числа элементов легче всего представлять себе в виде строк или столбцов, то в дальнейшем будем называть такие наборы столбцами или строками. А поскольку элементами столбцов (строк) будут

© Е. А. Калинина, Г. М. Хитров, 2014

только 0 или 1, то будем называть их (0,1)-столбцами или (0,1)-строками. Мы будем чаще употреблять (0,1)-столбец (координатный столбец) в качестве названия такого упорядоченного набора. Поле по модулю 2 будем, как принято, обозначать через ОГ(2), а элементы поля ОГ(2) 0 или 1 называть числами.

Очевидно, что множество (0,1)-столбцов из п элементов (что будем подразумевать в дальнейшем, не оговаривая специально) относительно операции сложения столбцов и умножения столбцов на числа из ОГ(2) (частный случай сложения матриц и умножения матриц на числа) образует векторное пространство. Будем обозначать его через V. Очевидно также, что размерность этого пространства равна п. Столбцы п-мерного пространства будем иногда называть п-столбцами. Базисом пространства п-столбцов, если не оговорено противное, будем считать столбцы единичной матрицы порядка п. Отметим, что элементы любого векторного пространства называются векторами. Потому для (0,1)-столбцов часто будем использовать также термин «вектор», подчеркивая тем самым, что мы рассматриваем (0,1)-столбец как элемент векторного пространства.

т

Пусть А1,А2,... ,Ат € V, тогда хгАг, где хг € ОГ(2), как это принято, будем

г=1

называть линейной комбинацией системы (совокупности) векторов ((0,1)-столбцов)

т к

А1,А2,..., Ат. Ясно, что хгАг ^^ А^, где € {1,2,...,т}, 0 ^ к ^ т,

г=1 з=1

хг1 = ... = хгк = 1, а остальные хг = 0. То есть линейной комбинацией системы векторов А1, А2,..., Ат является сумма векторов некоторой подсистемы этой системы либо нулевой вектор.

Линейная независимость и линейная зависимость системы векторов (столбцов) определяются обычным образом.

В дальнейшем нам понадобятся определения четных (нечетных) столбцов (строк). Определение 1. (0,1)-столбец называется четным, если число единиц в нем четное, или нечетным, если оно нечетное.

Аналогичное определение дается для строк.

Замечание!.. Число единиц в (0,1)-векторе в теории кодирования называется весом Хэмминга этого вектора.

Теорема 1. Система (0,1)-столбцов А1,А2,..., Ат будет линейно зависимой над полем ОГ(2) тогда и только тогда, когда существует такая подсистема исходной системы, что у матрицы, построенной из столбцов этой подсистемы, все строки будут четные.

Отметим, что упомянутая подсистема может состоять как из одного нулевого столбца, если таковой принадлежит исходной системе, так и совпадать с исходной системой.

Доказательство. Необходимость. Пусть система (0,1)-столбцов А1, А2,...,

т

Ат линейно зависима. Это значит, что хгАг = 0, когда не все коэффициенты

г=1

т

хг линейной комбинации хгАг равны нулю, т. е. существует непустая подсистема

г=1

к

Аг1, Аг2,..., Агк (0 ^ к ^ т) системы А1,А2,..., Ат такая, что Аг^ = 0. Последнее,

3 = 1

очевидно, возможно тогда и только тогда, когда строки матрицы (А^ ,А^2 ,...,А^к) четные. Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть система (0,1)-столбцов А1,А2,...,Ат содержит некоторую подсистему А^1 ,А2 ,...,Агк, где 0 ^ к ^ т, такую, что все строки матри-

к

цы (Аг1, Аг2 ,...,Агк) четные. Но тогда А^^ = 0, и это значит, что подсистема

3 = 1

Аг1, А{2,..., А{к линейно зависима. Но тогда линейно зависима и содержащая ее система А1,А2,..., Ат. Достаточность и теорема в целом доказаны.

Теорема 2. Система (0,1)-столбцов А1, А2,..., Ат будет линейно независимой тогда и только тогда, когда матрица любой подсистемы столбцов будет иметь ненулевое количество нечетных строк.

Доказательство как необходимости, так и достаточности проводится методом от противного.

Отметим еще одну особенность пространства (0,1)-столбцов над полем по модулю

т

2. Пусть система ненулевых (0,1)-столбцов А2,..., Ат такова, что ^^ А^ = 0. Будем

¿=1

называть такую систему 1-зависимой (все коэффициенты линейной комбинации равны 1). В дальнейшем термин 1-зависимости будем применять только к системе ненулевых векторов. Очевидно, что все строки матрицы, построенной из столбцов 1-зависимой совокупности, будут четными. Если 1-зависимая система содержит 1-зависимую подсистему, то подсистема, дополняющая упомянутую 1-зависимую подсистему до исходной системы, будет также 1-зависимой. Таким образом, 1-зависимая система различных (0,1)-столбцов разбивается на непересекающиеся подмножества 1-зависимых подсистем.

Пусть теперь 1-зависимая система (0,1)-столбцов А1,А2,...,Ат не содержит 1-зависимой подсистемы, отличной от самой системы. Такую систему будем называть минимальной 1-зависимой системой (0,1)-столбцов. Очевидно, что минимальная 1-зависимая система различных п-столбцов состоит более чем из двух столбцов, и удаление любого столбца из минимальной 1-зависимой системы будет превращать ее в линейно независимую.

Приведенные выше рассуждения можно суммировать в виде следующей теоремы.

Теорема 3. 1-зависимая система различных (0,1)-столбцов А1, А2,..., Ат, т > 2, либо является минимальной 1-зависимой системой, либо разбивается на непересекающиеся минимальные 1-зависимые подсистемы.

Определения линейной комбинации, линейной зависимости и линейной независимости векторов позволяют вести речь о системе образующих и максимальной линейно независимой подсистеме данной системы векторов. Базис системы векторов А1,А2,..., Ат, как и в общем случае, может записываться тремя различными способами: как минимальная система образующих, максимальная линейно независимая подсистема и линейно независимая система образующих системы векторов А1,А2,..., Ат. Базис системы векторов как подсистема векторов исходной системы находится неединственным образом. Все базисные совокупности векторов состоят из одного и того же числа векторов (число векторов базиса называют размерностью векторного пространства), и любой вектор системы единственным образом представйм в виде линейной комбинации векторов базисной совокупности.

Вернемся вновь к пространству (0,1)-столбцов над ОЕ(2). Возможность строить матрицы из столбцов одинаковой размерности (длины) позволяет перейти к матричным

записям и матричным формулировкам линейной комбинации, линейной независимости и линейной зависимости системы векторов.

Рассмотрим линейную комбинацию системы векторов ((0,1)-столбцов) А1,А2,...,

т

Ат хгАг, где хг € ОГ(2). Если через А обозначить матрицу со столбцами

г=1

А1,А2,..., Ат, а через X столбец с элементами хг, т. е. положить А = (А1, А2,..., Ат), X = (х1, х2,..., хт)Т (используем обычные матричные обозначения), то линейная комбинация запишется как АХ. Равенство нулю линейной комбинации теперь запишется как АХ = 0, т. е. как система п уравнений с т неизвестными хг, которые могут принимать только два значения: 0 или 1, или как одно матричное уравнение.

Теперь определение линейной независимости и зависимости совокупности (0,1)-столбцов А1, А2, ..., Ат можно дать следующим образом: совокупность (0,1)-столбцов А1,А2,..., Ат будем называть линейно независимой, если матричное уравнение АХ = 0 над ОГ(2) имеет только нулевое решение, в противном случае указанная совокупность называется линейно зависимой.

Приведенные определения конструктивны в том смысле, что дают практический способ нахождения коэффициентов линейной зависимости, поскольку теория решений систем линейных уравнений излагается для произвольного поля, следовательно, и для поля по модулю 2 [9]. В частности, применяемая в теории систем линейных уравнений теория определителей имеет место и для поля по модулю 2, с той особенностью, что здесь определитель совпадает с перманентом. Таким образом, для решения систем линейных уравнений над полем по модулю 2 можно пользоваться методом Гаусса, теоремами Кронекера-Капелли и Крамера, поскольку ранг (0,1)-матрицы над полем по модулю 2 находится как обычно.

Однако пара особенностей решения систем над полем по модулю 2 все же есть: во-первых, это простота (нет вычислительных трудностей); во-вторых, для некоторого класса матричных уравнений, как покажем в дальнейшем, возможна визуальная иллюстрация решений на графах.

Воспользуемся сказанным выше применительно к теореме 3, сделав предварительно замечание.

Пусть совокупность векторов А1,А2,... ,Ат линейно независима, а совокупность

т

А1,А2,..., Ат, Ат+1 линейно зависима. Тогда Ат+1 = ^^хгАг или (А1,А2,...,

г=1

Ат )Х = Ат+1. Последнее равенство можно рассматривать как матричное уравнение

т

относительно коэффициентов линейной зависимости Ат+1 ^^ х'г Аг (х[ - конкрет-

г=1

ное значение переменной хг, а именно 0 или 1). Заметим, что матричное уравнение (А1,А2,..., Ат)Х = Ат+1 в силу линейной независимости столбцов А1,А2,...,Ат имеет единственное решение Х = Х'. Приведенное рассуждение, по сути, есть доказательство единственности разложения вектора Ат+1 совокупности А1,А2,..., Ат, Ат+1 по базису этой совокупности А1,А2,..., Ат.

Изучим теперь 1-зависимую систему А1 ,А2,..., Ак,..., Ат и предложим конструктивный метод ее разложения на минимальные 1-зависимые подсистемы. Для этого выделим некоторый базис такой системы. Не нарушая общности рассуждений, будем считать в качестве базиса подсистему А1 ,А2,... ,Ак. Обозначим через А матрицу, построенную из столбцов базиса А1,А2,...,Ак. Возьмем произвольный столбец

Ае, где I € {к + 1,...,т}, и рассмотрим единственное решение системы АХ = Ае. Ненулевые компоненты данного решения определяют некоторую подсистему системы Л1,Л2,...,Л*, вместе со столбцом Ае составляющую минимальную 1-зависимую подсистему, которую обозначим как А, системы А1,А2,...,Ак,...,Ат. Тогда система {А^, А2,..., Ак, ■ ■ •, Ат} — А = А будет 1-зависимой системой, из которой, если она не является минимальной, можно вновь по той же схеме выделить минимальную 1-зависимую подсистему, и т. д. Очевидно, процесс выделения минимальных 1-зави-симых систем конечен, проводя его и получим разбиение исходной 1-зависимой системы на минимальные 1-зависимые подсистемы. Пример. Рассмотрим столбцы матрицы

/ 1 0 0 1 1 0 1 \ А = I 0101011 I , \ 0 0 1 0 1 1 1 )

которые составляют исходную 1-зависимую систему. Очевидно, что первые три столбца являются линейно независимыми и составляют базис столбцов матрицы А. Также нетрудно видеть, что четвертый столбец есть линейная комбинация первых двух столб- ( 101 I

цов, т. е. столбцы подматрицы А = 0 1 1 образуют минимальную 1-зависимую

\ 0 0 0 У

систему столбцов матрицы А. Столбцы матрицы А, не входящие в подматрицу А, т. е.

/0 1 0 1 \

столбцы подматрицы А = 0 0 1 1 , будут составлять 1-зависимую подсистему

V1 1 1 1)

и, более того, минимальную 1-зависимую подсистему.

Если бы на первом шаге мы взяли не четвертый, а пятый столбец матрицы А, то

/ 1 0 1 \ / 0 1 0 1 \ получили бы следующие матрицы А и А: А = I 0 0 0 I и А = I 1 1 1 1

\ 0 1 1 ) \ 0 0 1 1 ) соответственно, столбцы которых определяют две другие минимальные 1-зависимые подсистемы, на которые разбивается множество столбцов матрицы А.

Таким образом, с помощью приведенного примера мы не только продемонстрировали процесс разбиения 1-зависимой системы на минимальные 1-зависимые подсистемы, но и показали неоднозначность такого разбиения.

Покажем теперь особенности векторных подпространств над 2), т. е. особенности подпространств (0,1)-столбцов.

Начнем с линейной оболочки произвольной совокупности п-столбцов А1,А2,..., А^,..., Ат над ОЕ(2) как типичного примера подпространства. Обозначать линейную оболочку будем как [А1, А2,..., Ак,..., Ат]. Число возможных линейных комбинаций, которые можно составить из столбцов этой совокупности, равно 2т, число различных линейных комбинаций не превосходит такое число и совпадает с ним тогда и только тогда, когда столбцы данной совокупности линейно независимы. Потому если столбцы А1 ,А2,..., Ак составляют базис совокупности А1,А2,..., Ак,..., Ат, то, во-первых, [А1 ,А2, ...,Ак,...,Ат] = [А1,А2,...,Ак], а, во-вторых, число различных элементов линейной оболочки А1,А2,..., Ак,..., Ат равно 2к. Таким образом, число разных элементов любого конечномерного векторного пространства V над ОЕ(2) не просто четное число, а это число является степенью двойки, а именно, IV| = 2й™у.

Линейная оболочка n-столбцов [A;t,A2,...,Ak,...,Am] с базисом Ai,A2,...,Ak изоморфна над GF(2) векторному пространству k-столбцов с базисом, составленным из столбцов единичной матрицы k-го порядка. Данное замечание позволяет «отождествлять» линейные подпространства размерности k из n-столбцов, где k ^ n, с пространством k-столбцов.

Нетрудно видеть, что n-мерное пространство n-столбцов содержит в себе (n — 1)-мерное векторное подпространство четных n-столбцов. Действительно, базисом в таком подпространстве могут служить столбцы матрицы, полученной из единичной матрицы (n — 1)-го порядка приписыванием к последней строки из единиц.

Сумма S и пересечение Q двух векторных подпространств Li и Ь2 пространства n-столбцов V определяются обычным образом, они также являются векторными подпространствами пространства V, при этом справедливо равенство dim S = dim L1 + dimL2 — dim Q.

Однако при определении ортогонального дополнения к подпространству L пространства (0,1)-столбцов V (т. е. еще одного подпространства пространства V) мы тотчас же сталкиваемся с особенностями, вытекающими из свойств поля по модулю 2. Дело в том, что в пространстве (0,1)-столбцов над GF(2) можно получить скалярное произведение столбцов как сумму произведений соответствующих элементов столбцов над GF(2). Называя, как обычно, столбцы ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, мы тотчас же обнаруживаем, что все четные столбцы ортогональны сами себе. Скалярное же произведение нечетного столбца на себя всегда равно 1. Это показывает, что скалярное произведение над GF(2) отличается от привычного скалярного произведения в векторных пространствах, например, от скалярного произведения над полем вещественных чисел. Роднит их то, что скалярные произведения в указанных пространствах линейны по обоим своим аргументам. Скалярное произведение в пространствах над GF(2) нашло большое применение в теории обыкновенных графов [1], что не позволяет оставить его без внимания.

Вернемся к ортогональному дополнению подпространства L пространства столбцов V, которое, как обычно, будем обозначать через LL. Над GF(2) сумма подпространств L и L^, вообще говоря, не совпадает с V, что становится очевидным, если в качестве L взять линейную оболочку [v] ненулевого четного столбца v G V .В этом случае L с L^ или LnL^ = L. Чтобы рассмотреть ситуацию в общем случае, когда LHL^ = 0, напомним определение матрицы Грама G совокупности векторов (столбцов) vi,V2, ...,vm G V.

Определение 2. Матрицей Грама совокупности векторов (столбцов) v1, v2,..., vm G V называется матрица G = G(v1 ,v2,...,vm) с элементами gij(i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., m), где gij = (vi, vj) - скалярное произведение столбцов vi и vj.

Если обозначим через A = (v1,v2,...,vm) матрицу, построенную из столбцов v1,v2,...,vm G V (dimV = n), то, очевидно, что G = ATA.

Пусть теперь v1,v2,...,vm G V образуют базис линейной оболочки L = [v1,v2,..., vm]. Следовательно, m ^ n.

Теорема 4. L П L^ = 0 тогда и только тогда, когда det G(v1,v2,..., vm) = 0.

Доказательство. Необходимость. Пусть u G L П L^ и u = 0. Так как u G L, то u раскладывается по базису L, т. е. u = xivi + X2rv2 + ... + xmvm, где xi G {0,1}, i = 1, 2,...,m, — координаты вектора u в базисе подпространства L. Пусть X = (x1 , x2, ..., xm )T - координатный столбец вектора u. Очевидно, что u = 0 тогда и только тогда, когда X = 0. Поскольку u кроме подпространства L принадлежит также подпространству L^, то (u,vi) = 0 для всех i = 1, 2,...,m. То есть (xivi +

х2 У2 + ... + хт ут, г^) = 0, г =1, 2,...,т. Последние т равенств можно рассматривать как одно матричное равенство ОХ = 0, где Х = 0. На полученное матричное равенство можно смотреть как на систему т линейных однородных уравнений с т неизвестными, имеющую ненулевое решение. Следовательно, определитель матрицы коэффициентов этой системы должен быть равен нулю. То есть det О = 0, что и требовалось доказать.

Достаточность. Пусть det О = 0. Тогда уравнение ОХ = 0 имеет решение Х = 0. Подставляя решение в уравнение, получим равенство ОХ = 0. Расписывая данные равенства поэлементно и делая необходимые преобразования, получим т равенств: (х1«1 + х2«2 + ... + хт ут, = 0, г = 1, 2,...,т, которые говорят о том, что вектор и = х1У1 + х2У2 + ... + хтут, во-первых, принадлежит подпространству Ь, во-вторых, не равен нулю и, в-третьих, принадлежит Ь^. Следовательно, Ь П Ь^ = 0, что и требовалось доказать.

Следствие 1. Пространство V является прямой суммой подпространства Ь и его ортогонального дополнения Ь\ т. е. V = Ь ф Ь^, тогда и только тогда, когда det О = 0.

Следствие 2. Пусть Х^ = (хц,хг2,...,хгт)Т - г-й координатный столбец (г = 1, 2,...,к) фундаментальной системы решений Х1, Х2,..., Хк уравнения ОХ = 0. Тогда вектора щ = х^1у1 + х^2у2 + ... + х^т, г = 1, 2,...,к, образуют базис подпространства ь п ь^.

Следствие 3. dim(L П Ь^) = т — гапкО.

Доказательство сразу же следует из следствия 2.

Следствие 4. Если detО(у1,у2,...,ут) = 0, то векторы у1,у2,...,ут линейно независимы.

Доказательство. Если векторы У1,У2,... ,ут линейно зависимы, то det О(У1,У2,..., ут) = 0.

Замечание 2. Частный случай следствия 4, когда О - единичная матрица, рассмотрен в книге [10].

Особенностью векторных пространств над полем по модулю 2 является то, что утверждение, обратное доказанному в следствии 4, не является верным. Так, векторы (1,1,1,1,1)Т и (1, 0,1, 0,1)Т линейно независимы, а определитель матрицы Грама этих векторов равен нулю.

Кроме перечисленных выше способов построения подпространств пространства п-столбцов V: линейная оболочка, сумма и пересечение подпространств, ортогональное дополнение подпространства, можно рассмотреть еще подпространства решений систем линейных однородных уравнений АХ = 0, где матрица А имеет п столбцов.

Если обозначим подпространство решений через Ь, то, очевидно, что Ь = [Х1,Х2,...,Хк], где Х1,Х2,...,Хк - фундаментальная система решений уравнения АХ = 0. К особенностям базиса подпространства Ь (уравнение решается над полем по модулю 2) следует отнести тот факт, что вектора фундаментальной системы решений, построенной стандартным способом, будут «выделять» в множестве столбцов матрицы А минимальные 1-зависимые подсистемы (т. е. линейные комбинации АХ{ после удаления в них нулевых столбцов будут минимальными 1-зависимыми совокупностями).

Особый интерес подпространство решений уравнения АХ = 0 может представлять в случае, когда столбцы матрицы А 1-зависимы. Особенностью такого случая является то, что уравнение АХ = 0 имеет решение Х = I, где I - столбец из единиц (следует из определения 1-зависимости). На основании теоремы 3 столбцы матрицы А разбиваются на минимальные 1-зависимые подсистемы столбцов: А1,А2,...,Ак -

обозначения подсистем. Тогда существует такая матрица перестановки Р, что АР = (А1,А2, ...,Ак) = А. Поскольку АХ = (АР )(РТ X) = АУ, то вместо уравнения АХ = 0 можно рассматривать эквивалентное ему уравнение АУ = 0. Причем уравнение АУ = 0 также допускает решение У = I, так как РТI = I .В соответствии со структурой матрицы А решение У = I может быть представлено в виде IТ = (1Т, 12Т ,...,1'Т), где А-1- = 0 (' = 1, 2,...,к; I- - столбец из единиц соответствующей размерности). Если ввести столбцы У1 = (!Т, 0Т,..., 0Т )Т, У2 = (0Т I,..., 0Т )Т,..., Ук = (0Т,...,0Т-1ЛТ )Т, то очевидно, что столбцы У1,У2,...,Ук будут решениями уравнения АУ = 0, так как АУ- = А-У- = 0. Рассмотрим вопрос, когда решения У1,У2,...,Ук образуют фундаментальную систему решений уравнения АУ = 0. Ответив на него, мы фактически ответим и на более общий вопрос: когда система уравнений АХ = 0, допускающая решение X = I, имеет фундаментальную систему решений, число решений в которой совпадает с числом минимальных 1-зависимых подсистем, на которые разбивается совокупность столбцов матрицы А.

Теорема 5. Пусть столбцы

У1 = !Т, 0Т,..., 0Т )Т, У1 = (0Т, II,..., 0Т )Т, ...,Ук = (0Т,..., 0Т-1,4Т )Т (1)

являются решениями уравнения АУ = 0. Они образуют фундаментальную систему решений уравнения АУ = 0 тогда и только тогда, когда определяемое этими решениями разбиение столбцов матрицы А = (А1,А2,. ..,Ак) на 1-зависимые подсистемы А1,А2,...,Ак единственно и сами подсистемы минимальные.

Доказательство. Необходимость. Пусть У1,У2,...,Ук - фундаментальная система решений. Она определяет разбиение множества столбцов матрицы А на минимальные 1-зависимые совокупности. Предположим, что имеется еще одно разбиение множества столбцов матрицы А на минимальные 1-зависимые подсистемы столбцов, отличное от А1,А2,...,Ак. Тогда этому разбиению соответствует хотя бы одно решение системы уравнений АУ = 0, не являющееся линейной комбинацией У1,У2,...,Ук. Действительно, поскольку два рассматриваемых разбиения различны, то хотя бы одна подсистема столбцов второго разбиения не совпадает ни с одной из подсистем А1,А2,..., Ак, т. е. в решении, которое соответствует данной подсистеме столбцов, в каждой из к частей есть нули и единицы. Тем самым оно не может быть линейной комбинацией векторов У1,У2 ,...,Ук, что противоречит условию.

Достаточность. Пусть разбиение А1,А2,..., Ак столбцов матрицы А на минимальные 1-зависимые системы единственно (с точностью до перестановки столбцов в каждой из совокупностей, составляющих разбиение). Предположим, что векторы (1), соответствующие данному разбиению столбцов матрицы А, не образуют фундаментальной системы решений уравнения а4У = 0. Такое предположение эквивалентно утверждению, что уравнение а4У = 0 имеет решение У, не являющееся линейной комбинацией совокупности векторов (1). Компоненты вектора У определяют выбор 1-зависимой системы столбцов матрицы А. Так как У не выражается через векторы (1), то соответствующая 1-зависимая подсистема не есть объединение никаких подсистем из А1,А2,..., Ак. Отталкиваясь от этой 1-зависимой подсистемы, на основании теоремы 3 можно получить разбиение множества столбцов матрицы А на минимальные 1-зависимые подсистемы, отличное от А1,А2,..., Ак. Данное противоречие завершает доказательство теоремы.

ЗамечаниеЗ. Столбцы 1-зависимой совокупности можно всегда считать различными. Действительно, после удаления из 1-зависимой совокупности четного числа одинаковых столбцов она снова будет 1-зависимой совокупностью. Далее, любую

ненулевую совокупность различных столбцов можно превратить в 1-зависимую совокупность различных столбцов добавлением или удалением одного столбца, если, конечно, она изначально не является таковой. Действительно, пусть нам дана совокупность ненулевых различных столбцов Ai,A2,... ,Am. Построим из этих столбцов матрицу A и столбец Am+i следующим образом: в столбце Am+i поставим единицы на тех местах, где соответствующие строки матрицы A нечетные. Тогда, если в искомой совокупности нет столбца, равного столбцу Am+1, добавляя к совокупности столбец Am+1, получим 1-зависимую совокупность Ai,A2,...,Am,Am+i. Если в искомой совокупности оказался столбец, равный Am+i (таким может оказаться только один столбец), то удаляем его. Оставшаяся совокупность m — 1 столбцов будет 1-зависимой совокупностью.

Замечание4. На множестве всевозможных (0,1)-столбцов одинаковой длины можно задать три бинарные ассоциативные операции, результатом действия которых будет снова (0, 1)-столбец этого же множества: сумма столбцов по модулю 2, булева сумма столбцов и адамарово (поэлементное) умножение столбцов. Если обозначим указанное множество через V, операцию сложения по модулю 2 знаком +, операцию булева сложения знаком +, операцию адамарова умножения знаком о, то для любых u,v G V будем иметь (u + v) + (u+v) + (u о v) = 0.

Замечание5. Множество n-столбцов из нулей и единиц с операциями сложения + и умножения о, упомянутыми в замечании 4, образует конечное ассоциативное коммутативное кольцо с единицей. Роль единицы в этом кольце выполняет n-столбец I (столбец из единиц).

Заключение. Отметим, что исследования по теме статьи «укладываются» в более широкую область исследований по линейной алгебре над конечными полями. Заметим, что исследования по линейной алгебре даже только над полем по модулю 2 имеют большое значение как для приложений, так и для образовательного процесса в высшей школе. Для приложений потому, что такая отрасль математики, как теория обыкновенных графов, является, по сути, разделом линейной алгебры над полем по модулю 2. Действительно, на обыкновенный граф можно смотреть как на линейное отображение пространства ребер в пространство вершин, отображающее каждое ребро в пару его концевых вершин. Тогда в подходящих базисах этих пространств графу, как линейному отображению, будет соответствовать так называемая матрица инцидентности, например, B. Тогда ядром этого отображения будет служить подпространство пространства ребер, известное в теории графов как «пространство циклов». Ортогональным дополнением к подпространству циклов будет служить подпространство в пространстве ребер, называемое в теории графов «пространством разрезов». В координатных пространствах нахождение базисов упомянутых подпространств сводится к нахождению фундаментальных систем решений линейных алгебраических систем над GF(2). Так, например, базис в пространстве циклов находится через систему фундаментальных решений уравнения BX = 0. Поскольку граф имеет простую геометрическую интерпретацию, то решения уравнения BX = 0 можно не только легко находить (вычисления ведутся над GF(2)), но и «видеть» на графе. Это обстоятельство является большим благом для образовательного процесса. К сожалению, в рамках этой статьи мы эту тему не можем развивать дальше.

Литература

1. Свами М., Тхуласираман К. Графы, сети и алгоритмы / пер. с англ. М.: Мир, 1984. 454 с. (Swamy M. N. S., Thulasiraman K. Graphs: Theory and Algorithms.)

2. Deo N. Graph Theory with Applications to Engineering and Computer Science. New York: Prentice-Hall, 1974. 478 p.

3. Тараканов В. Е. Комбинаторные задачи и (0,1)-матрицы. М.: Наука, 1985. 192 с.

4. Seelinger G., Sissokho P., Spence L., Vanden Eynden C. Partitions of finite vector spaces over GF(2) into subspaces of dimensions 2 and s // Finite Fields and Their Applications. 2012. Vol. 18, N 6. P. 1114-1132.

5. Coppersmith D. Solving linear equations over GF(2): block Lanczos algorithm // Linear Algebra and its Applications. 1993. Vol. 192. P. 33-60.

6. Жегалкин И. И. Арифметизация символической логики // Матем. сб. 1928. Т. 35, № 3-4. C. 311-377; 1929. Т. 36, № 3-4. С. 205-338.

7. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: в 2-х т. / пер. с англ. М.: Мир, 1988. Т. 1. 430 с. (Lidl R., Niederreiter H. Finite fields.)

8. Couceiro M., Foldes S. Definability of Boolean function classes by linear equations over GF(2) // Discrete Applied Mathematics. 2004. Vol. 142, issues 1-3. P. 29-34.

9. Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984. 416 с.

10. Babai L., Frankl P. Linear Algebra Methods in Combinatorics with Applications to Geometry and Computer Science. Preliminary version 2 (September 1992). Chicago: The University of Chicago, 1992. 216 p.

Статья рекомендована к печати проф. А. М. Камачкиным. Статья поступила в редакцию 31 октября 2013 г.

Контактная информация

Калинина, Елизавета Александровна - кандидат физико-математических наук, доцент; e-mail: [email protected]

Хитров Геннадий Михайлович - кандидат физико-математических наук, доцент; e-mail: [email protected]

Kalinina Elizaveta Alexandrovna - candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, St. Petersburg State University, 199034, St. Petersburg, Russian Federation; e-mail: [email protected]

Khitrov Gennady Mikhajlovich - candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, St. Petersburg State University, 199034, St. Petersburg, Russian Federation; e-mail: [email protected]