CC BY
50
Горячев В.Я.
ОСОБЕННОСТИ СОСТАВЛЕНИЯ СХЕМ ЗАМЕЩЕНИЯ МНОГООБМОТОЧНЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ УСТРОЙСТВ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Эффективность анализа работы электромагнитных устройств в большей степени определяется правильным отражением физических процессов в параметрах элементов схем замещения. Особые требования предъявляются к схемам замещения электромагнитных измерительных преобразователей, погрешность которых зависит от геометрических размеров, электрических и магнитных свойств конструктивных элементов датчиков. В этом случае разработчики, как правило, имеют дело с электромагнитными системами, параметры которых распределены в пространстве. Идеализация электрических и магнитных параметров конструктивных элементов электромагнитных устройств не всегда оправдана и приводит иногда к ошибочным результатам.
Для измерения механических величин используются электромагнитные датчики, магнитные системы которых распределены в пространстве. С другой стороны их магнитопроводы работают в линейном режиме, на повышенных частотах перемагничивания и в слабых магнитных полях. Учитывая то, что на повышенных частотах перемагничивания магнитопровода и при слабых магнитных полях кривая намагничивания магнитного материала вырождается практически в эллипс, зависимость магнитной индукции в функции синусоидально изменяющейся напряженности магнитного поля H (t) = Hm sin mt определяется уравнением B(t) = Bm sin(mt -pM) •
Используя комплексную форму записи синусоидальных функций, получим уравнения Hm = HmeJ m и
D — D m~pM) — f> Jmt,p-J<PM Bm = Bme = Bme e *
Абсолютная магнитная проницаемость материала магнитопровода переменными магнитными полями может быть представлена в комплексной форме Ц = i^B^Hm)e jPm . Относительная магнитная проницаемость
о)=м-erJPM ■
Комплексное значение индукции и значение комплексной напряженности магнитного поля связаны между собой следующим уравнением Вт = ММоHm ■
В основу работы датчиков положено использование магнитопровода с распределенными обмотками. Как известно, реальный магнитопровод характеризуется магнитной проницаемостью материала и геометрическими размерами всей электромагнитной системы. Количество электрически не связанных обмоток может быть произвольным.
В процессе анализа электромеханических устройств используют различные электрические схемы замещения многообмоточных индуктивных катушек. Резистивное сопротивление, отражающее наличие потерь электрической энергии в магнитопроводе, включают последовательно или параллельно идеальной индуктивности одной из обмоток.
При анализе измерительных фазовращателей с распределенным магнитопроводом такой подход к получению схемы замещения индуктивной катушки неприемлем, так как потери энергии в магнитопроводе распределяются между обмотками.
Рассмотрим элемент магнитопровода длиной Ах , другие геометрические размеры которого представлены на рисунке 1, где a - ширина магнитопровода, Ъ ~ длина участка магнитопровода изготовленного из магнитного материала с проницаемостью Ц , b - длина участка магнитопровода из материала с проницаемостью М2 • Магнитное сопротивление магнитопровода с участками длиной Ъ и Ъ2 , проницаемости которых равны ц и ц, можно определить из уравнения
Рис. 1. Элемент магнитопровода датчика
2М = (VВ0а ■ Ах) ■ (VВл + VВ2 )
Удельное магнитное сопротивление равно отношению сопротивления участка к его длине 2мо = 2м/^х ' а удельная магнитная проводимость примет комплексную форму:
1мо = Воа/(УВ1 + У В2 ) •
Рассмотрим случай однородного магнитопровода. Пусть В^= и /^ + /2 = /^ • Если длина магнитопровода равна х = с , то его магнитная проводимость 1М = 1^0 ■ с • Если на данном участке магнитопровода имеется три жгута проводников с намагничивающими силами 1^2?, то в магнитопроводе создаётся элементарный магнитный поток, с действующим значением Ф = (/^1 +/2^2 + • При изменении
тока с частотой О значение магнитного потока определится следующим выражением
Фте = 11„^1еЛО,+*а%е"и1 + 12тУе(“+*2%^ + Ь^^+^ме^ •
В полученной формуле (рмх - аргумент удельной магнитной проводимости Ум .
Электродвижущая сила обмоток сцепленных с магнитным потоком Ф будет пропорциональна количеству витков и производной от магнитного потока по времени то есть е = -Щ (СФ/Л) .
Таким образом, электродвижущая сила первого жгута проводников на участке длиной с определится из уравнения
Еху{м+р) = (11тш]еЛш+р> + 12тж2е^,+р2> + 13тже^+рз>).
Представим магнитную проницаемость в алгебраической форме:
1м = Гмерм = Ума + ]Гмг ;
Подставляя в полученную формулу вместо Ум ее выражение и переходя к комплексным действующим значениям получаем
Е = -]Ш12тУМа1_1 -ЩЩ-рУм/2-ММаГшЬ - 2 - 3 .
Рис. 2. Схема замещения намагничивающей цепи трехобмоточного трансформатора
Рассмотрим слагаемое в отдельности. Слагаемое —JW 2^YMaI_l является противо-ЭДС самоиндукции в
первой обмотке индуктивностью L = W^YMa . Слагаемое —jWlW2wYMaI2 = —JrnMl2I2 - противо-ЭДС взаимоиндукции первого и второго жгута наведенная вторым жгутом в первом жгуте. Слагаемое —jWlW3mYMaI з =—jrnMx ъ 13 - противо-ЭДС взаимоиндукции первого и третьего жгута наведенная третьим
жгутом в первом жгуте. Слагаемое —W^mY^I^ = —оТ^Ру - противоЭДС, находящаяся в противофазе с током h . Множитель Т = —W\YMr имеет размерность Ом -сек. Размерность множителя совпадает с размерностью индуктивности. Произведение оТ1х является напряжением, совпадающим по фазе с током, а сомножитель СдТх имеет размерность резистивного сопротивления. Потери энергии в этом резисторе связаны потерями в сердечнике. Назовём Т резистивностью первой катушки. Слагаемая —WW2 oY^.I2 - противо - ЭДС,
находящаяся в противофазе с током I2 . Проведя рассуждения, аналогичные предыдущим, введем понятие взаимной резистивности двух жгутов Т12 = WW^Мг • Тогда третье слагаемое может быть записано в следующем виде оТ22/2 . Слагаемое —W-WO^I 3 определяет влияние третьего жгута на первый Т 3 = WWYm- •
Схема замещения трехобмоточного трансформатора представлена на рисунке 2 где L , L и L - собственные индуктивности обмоток, Т , Т2 и Т3 - собственные резистивности обмоток, Т12 , Т23 и Т31 -взаимные резистивности обмоток, М12 , М2Ъ , M31- взаимные индуктивности обмоток.
Падения напряжения на зажимах обмоток могут быть найдены из уравнений:
U = (®Т + joL )/j + (оТи + jmMl2 )/2 + (оТъ + ]юМЪ1)/3,
Ц2 = (оТ--2 + joM-2 ) + {0Т2 + joL2 )/2 + (оТ2з + jOM23 )/3,
U = (оТ+ j&M^-y )/| + (оТз + jOjM23 )/2 + (оТ3 + joL)/з •
Если трансформатор работает в режиме холостого хода при I2 = 0 и I3 = 0 , то U = ®Т/Х + jrnL/i • Фазовый сдвиг между током и напряжением определится из выражения р = 90 — рм , где рм = arctg{^/L) •
Подставляя в формулу выражения для L = W\YMa и T = W^Y^, , получаем уравнение рм = arctg (YMrfYMa) . Активная мощность, потребляемая первичной обмоткой,
Р- = U-I - cos р = U-I- cos (90 — рм ) = U-I- sin р .
Полученное выражение показывает, что на перемагничивание сердечника затрачивается электрическая энергия с мощностью Р = U-^x sinp- . В полученном уравнении U sin^^ =оТх1 , поэтому Рх = оТ/2 • Другими словами, мощность, рассеиваемая резистором оТх , пропорциональна квадрату действующего значения тока первой обмотки и частоте перемагничивания сердечника.
Резистивность Т представляет собой параметр резистивного элемента, сопротивление которого прямо пропорционально частоте о и потери мощности в котором равны потерям мощности на перемагничива-ние сердечника в том случае, если на сердечнике расположена одна лишь обмотка с количеством витков W, по которой протекает ток Ix частотой о .
Используя понятия комплексной индуктивности в форме произведения комплексной магнитной проводимости на квадрат количества витков катушки и комплексной взаимной проводимости в форме произведения числа витков катушек на комплексную магнитную проводимость сердечника, получим простейшую схему замещения трехобмоточного трансформатора без учета потоков рассеяния и сопротивления проводов обмоток. Для эквивалентной замены магнитных связей между обмотками электрическими связями широко используется приведение трансформатора к одной из обмоток путем изменения количества витков приводимых обмоток при сохранении мощностей. При равенстве количества витков обмоток и при отсутствии магнитных потоков рассеяния индуктивности катушек и их взаимные индуктивности будут равны между собой,
так как L = Ym ■ Wk и Мпк = Ym • WnWk. Количество витков обмоток приведенного трансформатора равны между собой, поэтому L = L' = L ' = М12' = М23' = М13 ' = Ym ' W- . Для выбранного положительного направле-
ния токов у приведенного трансформатора падения напряжений иа\-Ь і = Ц_'а2-Ь2 "—и одноименные зажимы обмоток можно соединить. Напряжение иа\-Ъ і = * її _ \2 * I 2 _ '13 • /3 = (її _ I \ ~ I з ) * В
полученном уравнении выражение, заключенное в скобки, равно току /0 .
Г2а1і^ І2° 2
/ Тіа ->ъ
І,
ч
Рис* 3* Схема замещения трехобмоточного приведенного трансформатора
/0 = її _I 2_I з * Таким образом, иа\-Ъі = • /0 • Полученные уравнения соответствует трансформато-
ру, магнитный поток которого сосредоточен в сердечнике * Магнитные потоки рассеяния данной схемой не учитываются* Если под магнитными потоками рассеяния подразумевать потоки, сцепленные лишь с собственными обмотками и проходящими частично по ферромагнитному сердечнику, то на схеме замещения сопротивления рассеяния должны быть представлены индуктивностями и резистивностями рассеяния* Полная схема замещения трехобмоточного трансформатора представлена на рисунке 3.
В полученной схеме замещения трехобмоточного трансформатора элементы отражают следующие физические явления*
Р, К2, Д3 - резисторы, сопротивления которых равны сопротивлениям проводников обмоток и потери
энергии в которых обуславливают нагрев проводов*
Т-і, Т^2, Т,3 - резистивности, отражающие потери энергии в магнитопроводе, обусловленные магнитными
потоками рассеяния* Предполагается, что магнитные потоки рассеяния не сцепляются с другими обмотками и частично проходят по магнитопроводу*
, Ь^2, - индуктивности, отражающие наведение в обмотках электродвижущих сил потоками рассе-
яния*
При составлении схем замещения измерительных фазовращателей необходимо учитывать зависимость электрических параметров обмоток от геометрических размеров магнитопровода* Магнитопровод линейного фазовращателя представляет собой линейку из магнитного материала с распределенными по линейке обмотками и магнитного шунта изменяющего магнитное сопротивление в месте его расположения* Введение магнитного шунта эквивалентно изменению величин Ь и Ь2 при сохранении длины средней линии магнитопровода (рисунок 1). Конструкция магнитопровода линейного фазовращателя в упрощенном виде представлена на рисунке 4.
Рис. 4. Конструкция магнитопровода линейного фазовращателя
Магнитопровод информационной линейки фазовращателя 1 представлен в форме пластины из ферромагнитного материала. На магнитопровод уложены обмотки 2, активные стороны которых расположены вдоль пластины. Активные стороны обмоток показаны на рисунке пунктирными линиями. На магнитопроводе линейки расположен магнитный шунт 3. Линии магнитного поля шунта показаны стрелками на поверхности шунта. Если удалить магнитный шунт, то магнитопровод линейки является однородным, так как его удельное магнитное сопротивление будет неизменным в любом сечении магнитопровода. В зоне расположения магнитного шунта результирующее удельное магнитное сопротивление значительно меньше.
Для анализа магнитной системы фазовращателя введем обозначения. 1М5Г - длина средней линии магнитного поля измерительной линейки, / - длина участка средней линии магнитного поля по магнито-
проводу измерительной линейки, - длина участка средней линии воздушного эквивалентного зазора
информационной линейки при отсутствии шунта, при выполнении условия /м + /^ = /^ , ^мск - длина средней линии магнитопровода шунта, ё - длина воздушного зазора в зоне расположения шунта. Для упрощения анализа примем допущение, что выполняется следующее соотношение: /^ = /МсИ +ё .
С учетом введенных обозначений удельная магнитная проводимость информационной линейки в зоне отсутствия шунта Умо = Воа!(/мш/В + /мь) • Удельная магнитная проводимость магнитопровода датчика в зоне
расположения магнитного шунта У^ск=Во^{{/мш + /мок)/в~^ёё • Проводимость ¥МОсИ представим в другой
форме. Введем понятие проводимости неоднородности Умоп , равной разности ¥МОп = Умос/г — • Введение
понятия удельной магнитной проводимости неоднородности в значительной степени упрощает процедуру получения выражения для определения электрических параметров фазовращателей.
Данная магнитная проводимость показывает, на какую величину изменится удельная магнитная проводимость линейки при введении шунта.
YM On м YM Och YM O м MMo ^Mch {М 1)/{lMm + 1Mch + №p) {lMm + Мм ) *
Для получения бегущего магнитного поля на магнитопроводе информационной линейки расположены синусная, косинусная и равномерная обмотки, количество активных проводников которых распределены вдоль оси информационной линейки по синусному, косинусному и равномерному закону. Зажимы обмоток обозначены соответствующими буквами ЕЕ' , Ж* и СС .
Эквивалентная схема замещения датчика представлена на рисунке 5.
Рис. 5. Схема замещения датчика линейных перемещений Элементы схемы замещения датчика отражают физические процессы в датчике. R^ , R^ , Rсу- сопротивления проводов равномерной, синусной и косинусной обмоток. L , L , L ~ индуктивности рассеивания равномерной, синусной и косинусной обмоток. Lrp , LSp , Lcp - комплексные индуктивности пассивных сторон обмоток. L , Lsq , Lcq ~ комплексные индуктивности активных сторон обмоток. Lm , Lsn ’ Lcn ~ комплексные индуктивности обмоток, обусловленные наличием неоднородности магнитопровода. М ^ , Mrc , Msc - комплексные взаимные индуктивности катушек.
На схеме замещения индуктивности представлены в комплексной форме. Параметры схемы замещения определяются конструкцией датчика.
Ksc = !м= {Ч 4^) sin (IkIJ I )-sin (АжхЦ ). Mrc =YM 0nWrWm (l/ ^)sin =/= )-cos (inx/l)
Mrs = YM°nWrWm M K)sin (Klchll )'sin ( 2kX/1) Lcq = 05 ' ^ (YM 0l + YMoJch )
Lcn = YmonW(l/4*)sin(Ixljl)cos(4ЖХ/1) Lsq = 0.5-W2m (Ym°1 + LmoJcP)
Ln = ~YM°nWm (ll4k) sin(2Klchll) COs (4kX/1 ) Lrq = WrYM°l
16
Lrn м W2YmOnlch LSp м Lcp м YY_pW
i м0
2
sp ■
Рис. 6. Эквивалентная схема замещения измерительного фазавращателя
В приведенных формулах l - длина информационной линейки, I ^ - длина шунта, Шт - максимальное
расчетное количество витков синусной и косинусной обмоток, Ш - количество витков равномерной обмотки, Ш - количество пассивных проводников соответствующей обмотки, х - расстояние от начала информационной линейки до середины магнитного шунта, Умо ~ удельная проводимость магнитопровода информационной линейки в зоне отсутствия шунта, ¥МОп - удельная магнитная проводимость внесенная магнитным шунтом, У - проводимость магнитопровода пассивных сторон обмоток.
В представленной схеме параметры большинства элементов не зависят от геометрических размеров и места расположения магнитного шунта на информационной линейке. Поэтому последовательное соединение элементов представим полными комплексными сопротивлениями обмоток. ~ К/ + + ]фЬ
2 с = Кс- + + ]тЬср +
Полученная схема замещения измерительного фазовращателя представлена на рисунке 6.
Схема замещения позволяет получить передаточную функцию датчиков, в которых используется электромагнитная система с неоднородным бегущим магнитным полем. Кроме этого, она позволяет определить влияние изменения параметров элементов датчика на его погрешность.
