Особенности расчетов установок для обогащения минерального сырья как систем, распределенных в пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

© В.П. Дьяченко, В.А. Малахов, 2014

УДК 621.892.5; 62-233.27; 621.867.2

В.П. Дьяченко, В.А. Малахов

ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТОВ УСТАНОВОК ДЛЯ ОБОГАЩЕНИЯ МИНЕРАЛЬНОГО СЫРЬЯ КАК СИСТЕМ, РАСПРЕДЕЛЕННЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ

Рассмотрены особенности применения структурного метода для анализа процессов в обогатительных установках как распределенных в пространстве системах на примере магнито-флокуляционного ленточного концентратора.

Ключевые слова: структурный метод, распределенные в пространстве процессы, магнито-флокуляционный ленточный концентратор.

При расчетах сосредоточенных систем различной физической природы широко применяется метод структурных схем, позволяющих рассматривать систему, как набор типовых элементов с известными передаточными функциями, вносить изменения в математической модели системы непосредственно в структурную схему (в частности при рассмотрении ее как объекта управления), а также моделировать на ЭВМ с использованием стандартных прикладных программ (например программы этиНпк). Для распределенных систем также разработана общая теория структурных схем [1], имеется справочник по передаточным функциям типовых распределенных в пространстве элементов [2]. Однако область применения этой теории, в силу ряда особенностей анализа распределенных систем, остается довольно узкой. Ниже рассматриваются особенности применения структурного метода для анализа процессов в обогатительных аппаратах как распределенных в пространстве системах на примере магнито-флокуляционного ленточного концентратора, разработанного в МГГУ [3].

Концентратор представляет собой магнитный шлюз с непрерывной разгрузкой и динамическим шевелением динамической постели за счет вращения магнитного поля в слое при движении постели на ленте, установленной над магнитной системой с полюсами чередующейся полярности. При ходе ленты по направлению движения потока пульпы, дно концентратора

заполняется слоем сфл окулированного магнетита, осажденного из пульпы. В конце этого хода (обратного хода ленты) распределение магнетита и улавливаемых частиц тяжелого металла вдоль постели является практически равномерным. При прямом ходе ленты (против потока пульпы) улавливается основная доля полезного компонента и производится вынос из шлюза накопленного материала. Таким образом аппарат объединяет в себе достоинства сепаратора-концентратора с непрерывной разгрузкой и гидрошлюза мелкого наполнения с динамически движущейся улавливающей поверхностью

Упрощенная модель рассматриваемого процесса для гомогенного потока, имеющего усредненные по сечению канала характеристики, описываются следующим уравнением баланса массы частиц одинакового размера и плотности [3]:

d£+ï_E^l-о (1)

dt h h

где C(x,t) - объемная концентрация массы частиц в потоке; х -координата, направленная вдоль потока пульпы; k - плотность осаждения частиц из потока в природный слой за счет гравитации и диффузии; Кс - коэффициент гидравлического смыва частиц из природного слоя в поток; h - глубина потока.

Накопление массы частиц в придонном слое определяется из уравнения баланса:

ÊS+L-M=о (2)

dt h h

где k = а + (с-s/h).

Обозначая среднюю скорость потока гидросмеси через V1, а скорость движения ленты при прямом ходе - V2, и считая глубину потока постоянной величиной, получаем в неподвижных, жестко связанных с точкой загрузки:

C-C + у —

dt dt 1 dx

dS-dS_V dS

dt dt 2 dx

Отсюда, обозначая с = c1t s/h = c2, a/h = a1, a/h + Kc = a2, получаем уравнения (1) и (2) в виде:

+ ^ -дС1 + а1С1 = а2С2

Ы

дх

>-

(3)

дС2 тг дС2

- Г2—^ + а 2С 2 = аС _ д дх

Таким образом, имеем взаимосвязанную систему уравнений, которая описывает взаимодействие двух подсистем с выходными сигналами с1(х,1) и с2(х,1).

Согласно структурной теории распределенных систем (1), такой системе соответствует структурная схема, приведенная на рис.1.

С2(х,р)

Рис. 1. Структурная схема

Здесь Ш1(х,^,р) и Ш^х^р) - распределенные в пространстве передаточные функции двух подсистем, соответствующие первому и второму однородным уравнениям системы (3) и являющиеся их функциями Грина, преобразованными по Лапласу.

Переменная £ - переменная сдвига по координате х в функции Грина, р - переменная Лапласа. К12 и К21 - передаточные функции переходных блоков, связывающих две подсистемы:

К12 = а!ё(х-£), К21 = а2д(х-$,

8(х-£) - импульсная функция Дирака.

С1 и С2 - изображения соответствующих функций по Лапласу, ш1, и/2 - изображения входных сигналов. При отсутствии

в системе (3) внешних возмущений вида входные сигналы включают в себя только начальные и граничные условия для системы уравнений (3)(2):

Ш1(х, $ = Сг(к, От) + ^1С1(0, №), (4)

Ш2(х, I) = С2(х, 0)Щ) - П-х),

>-

где 1 - длина рабочей зоны шлюза.

Начальные и граничные условия должны задаваться так, чтобы они стыковались в точке х=0, 1=0, т.е. не противоречили друг другу.

Примем, что в начальный момент времени 1=0, после выполнения обратного хода ленты и накопления мгновенного активного слоя концентрации С1(х, 0)=С01 и С2(х, 0)=С02=з0/Ъ постоянны вдоль постели. Концентрация С1(0,1)=Сисх(1) - это входная концентрация в потоке пульпы - заданная величина. Концентрация С2(0, $ неизвестна и является выходной величиной в точке разгрузки. Но С2(1, $ можно принять всегда равной С2(х,0) - некоторой равновесной концентрации, установившейся после обратного хода ленты.

В работе [3] рассмотрен случай, когда лента неподвижна (V2=0). При этом длина шлюза не влияет на процесс накопления осажденных частиц в отдельных сечениях шлюза. В данном случае такое влияние имеет место.

Очевидно, концентрации С1(х,0)=С01 и С2(х,0)=С2(1, $=С02 взаимосвязаны условиями равновесия, определяемыми уравне-

ёС 2

С

ниями (3) при -= 0

= 0 (начальное равномерное

ёх ёх

распределение), а также условием баланса С01+С02=С1(0,

^)~Сиох:

дСо

дт дС,

' + а\ С01 а2 (Сисх С01 )

(5)

дт

+ а2 С02 а1(Сисх С02 )

где т- время работы шлюза при обратном ходе ленты.

и

Эти уравнения должны решаться при нулевом начальном условии для Со2(т). Поскольку время т формирования равномерного активного слоя постели не известно (оно может быть определено экспериментально), примем, что задана величина Бо. Тогда

С2(х, 0)=СЖ I) =Со2=Бо/Ъ Сг(х, 0)=Сисх-Со2=Сисх-Бо/И

(6)

В дальнейшем, без ограничения общности способа решения задачи, считаем Сисх=сопв1 - независящей от времени величины. Соотношения между входами и выходами системы приведенной на рисунке 1 , в матричной форме имеет вид [1]:

Г ^ Т

Г С]

С2

ЩЦ W12 Щ21 М22

г л

Щ1

Щ2

где Т- символ транспонирования матрицы; Шц=Ш1 + Ш1 *К12*Ш2*М21 Ш22=Ш2+Ш2*К12*Ш1 *К21 *Щ22 Щ12=К21*Щ12+Щ2*К12*Щ1 Щ21=К12*Щ21 + Щг *К21 *Щ2,

где * - символ свертки по переменной Эти соотношения следуют из известных соотношений для передаточных функций систем с обратной связью и представляют собой систему интегральных по х уравнений. В справочнике [2] приведены функции Щ и Щ для аналога системы уравнений (3), так как она аналогична системе уравнений распределения температур в противоточном теплообменном аппарате. Трансформируя приведенные в справочнике выражения применительно к рассматриваемой задаче, найдем изображение концентрации С2(о, У в точке разгрузки х=о: I

С 2 (0, р) = | [ж22 (0, £ р 2 (Ъ, р) + ж12 (0, £ р ) ^ (Ъ, р )У Ъ

Для этой точки:

Ж22(0,4,р) = 1 7-4) -а„е

У о

21

^ 2( 7-4) ]■(27 - а-

п^7 )-1 ,

^(0, 4, р ) = - УУ [е.1( 7-4) - е.2( 7-4) ]■(

а27

а 21 е а 11 е

.17

г1,

а1 7-4) - е.2(7-4)"

УУ

где и /л2 наибольший и наименьший корни (всегда действительные) уравнения:

.2 , .. Р(У1 - У2) - а1У2 + а2У1 Р2 + Р(а1 + а2)

а11 =.1 +

УУ2

р + а1

а21 = .2 +

У У2

р + а1

У

= 0

У1 ' У

Для более общего случая (х не равно нулю) эти выражения имеют громоздкий вид и здесь не приводятся. Согласно принятым граничным и начальным условиям,

ч (4, р) = (Сисх - С02)+-1УСисх5(4),

р

Ч2(4,р) = С02 - — У2С02§(/-4) . р

При этом получаем : С2(0, р) = (а21ер27 - а11ер17 )-1 х

С02 У

а.

■ (ер17 -1) -аИ(е.27 -1) .1 .2

С02 (а21 а11) |

р

УУ (Сисх С02) У1У2

—(ер17 -1) -—(ер21 -1) .1 .2

--У Сисх (е.17 - е.27) } рУ2

(7)

Установившейся режим для С2(0, $ возможен только теоретически, так как длина рабочего хода ленты, а следовательно, его время, ограничены. Но теоретическое установившееся значение позволяет установить тенденцию изменения концентра-

ции в точке разгрузки (растет она или падает в зависимости от параметров):

С2 (о, да) = limp^o [ (о, p) ■ p] =

V- И^ )-Co2(ß2-ß>ßl' V2

^ -ßje^1' )-1

где в 1=^/^1, в2=а2/^2.

Для окончательного анализа решения (7) необходимо рассмотреть интегральную величину С2(о) за все время рабочего хода ленты, а это требует и рассмотрения и обратного хода, при котором формируется величина Со2 и коэффициент а1.

Однако выражение (7) уже задает передаточную функцию эквивалентной сосредоточенной системы (причем ее можно получить для любого сечения с координатой х). По ней возможно моделирование работы обогатительного аппарата на ЭВМ. Для этого удобнее аппроксимировать экспоненциальные функции дробно - рациональными функциями переменной Лапласа р, например помощью разложения Паде [4].

Таким образом, использование метода структурных схем позволяет воспользоваться физической аналогией с уже решенной достаточно сложной задачей. При этом, отталкиваясь от имеющегося решения, возможно рассмотрение усложненной математической модели процесса обогащения.

- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бутковский А.Г. Структурная теория распределенных систем. - М.: Наука, 1977.- 320 с.

2. Бутковский А.Г. Характеристики систем с распределенными параметрами. (Справочное пособие). - М.: Наука, 1979.- 224 с.

3. Малахов В.А., Обоснование основных параметров ленточного магнито-флокуляционного концентратора для доизвлече-ния мелкого золота из отвальных продуктов золотодобычи. Дис. канд. техн. наук. - М.: 2001. - 151 с.

4. Кармазин В.В., Малахов В.А. Измалков В.В., Совершенствование конструкций магнитно-флокуляционных концентраторов для доизвлечения мелкого и тонкого золота из хвостов промывки золотосодержащих песков. -Горный информационно-аналитический бюллетень, № 7. - М.: МГГУ, 2001, с. 30 - 36. \ГШ

КОРОТКО ОБ АВТОРАХ

Дьяченко Вячеслав Петрович - профессор, кандидат технических наук, Малахов Валерий Алексеевич - доцент, кандидат технических наук, МГИ НИТУ МИСиС.

Dyachenko V.P., Candidate of Engineering Sciences, Professor

Malahov V.A., Candidate of Engineering Sciences, Assistant Professor

Moscow mining Institute National University of Science and Technology "MISIS" (MISIS)

REFERENCES

1. Butkovskii A.G. Strukturnaya teoriya raspredelennykh sistem (Structural theory of distributed systems). Spravochnoe posobie. Moscow, Nauka, 1977, 320 p.

2. Butkovskii A.G. Kharakteristiki sistem s raspredelennymi parametrami (Characteristics of systems with distributed parameters). Spravochnoe posobie. Moscow, Nauka, 1979, 224 p.

3. Malakhov V.A. The Substantiation of the basic parameters tape MAG-nito-flocculation hub for small extract gold from dumped product of gold mining. Cand. Diss. Moscow, 2001l 151 p.

4. Karmazin V.V., Malakhov V.A. Izmalkov V.V. Improvement of designs of magnetic flocculation hubs to extract fine gold from tailings washing the gold-bearing Sands. Gornyi informatsionno-analiticheskii byulleten', no. 7. 2001, pp. 30-36.