Особенности применения модели С. П. Тимошенко в задаче определения прогибов балок при совместном учете изгиба и сдвига Текст научной статьи по специальности «Физика»

шести, что обеспечивает их рабочему органу движение в трех линейных и трех угловых координатах. В связи с этим существует еще одно общепринятое обозначение таких механизмов по числу звеньев - гексапод.

Типичный гексапод (рис. 2) выполнен на базе шести механизмов поступательного перемещения, представляющих собой, например, шариковые винтовые передачи.

Рис. 2. Принципиальная схема станка-гексапода

Для изменения их длины служат регулируемые электроприводы. Контроль за величиной перемещения осуществляется датчиками положения. Одним концом штанга шарнирно соединена с основанием, а другим (также шарнирно) - с подвижной платформой, на которой установлен рабочий орган, например, мотор-шпиндель. Управляя вылетом штанг по программе, можно управлять положением шпинделя по шести координатам: X, У, Ъ и трем углам поворота относительно этих осей.

За рубежом на основе таких кинематических схем разработано большое количество устройств для металлообработки, манипуляторов, систем поддержки и ориентации.

Библиографические ссылки

1. Механика промышленных роботов : в 3 кн. / под ред. К. В. Фролова, Е. И. Воробьева. Кн. 1: Кинематика и динамика. М. : Высш. шк., 1998.

2. Крайнев А. Ф. Идеология конструирования. М. : Машиностроение-1, 2003.

© Додорин И. С., Черник А. В., Смирнов А. Н., 2011

УДК 539.3

О. П. Елисеева, К. В. Шадт, Н. С. Тимофеева, Е. Кононова Научный руководитель - Р. А. Сабиров Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Красноярск

ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МОДЕЛИ С. П. ТИМОШЕНКО В ЗАДАЧЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОГИБОВ БАЛОК ПРИ СОВМЕСТНОМ УЧЕТЕ ИЗГИБА И СДВИГА

Разрешающее уравнение в задаче об учете дополнительного сдвига при изгибе балки, содержит члены, имеющие разный физический смысл, что вносит особенности учёта граничных условий.

Общепризнанно С. П. Тимошенко считается автором уточненной теории учета поперечного сдвига в расчетах балок, пластин и оболочек [1]. Его многочисленные работы и в настоящее момент времени представляют огромный интерес для исследователей этого класса задач. В теории Тимошенко следует различать угол поворота касательной к оси балки и ос-редненный угол поворота сечения [2]. Для вычисления прогибов балок используется формула [3; 4]

d2w(x)/dx2 = -Му(x)/Шу -аqz(x)/GS . (1)

Здесь w - прогиб; Е - модуль Юнга; G = Е /(2(1 + ц)); Jy - момент инерции; S - площадь

сечения; M - функция изгибающего момента; qz (х) - нагрузка; а - коэффициент формы.

В [3] постулируется, что при учете дополнительного сдвига, устранена деформация изгиба и сдвиг учитывается независимо от изгиба. По нашим выкладкам (с позиции изученного курса сопротивления материалов), все равно изгиб вызывает сдвиг, а коэффициент а вытекает из формулы Журавского, вид которой зависит от вида распределения напряжений стх . Рассмотрим пример расчета балки [3], длиной l с распределенной нагрузкой q(х) = const (рис. 1). Граничные условия: w(0) = 0, w(l) = 0 . В этом примере,

Актуальные проблемы авиации и космонавтики. Технические науки

прогиб от сдвига увеличивает прогиб от изгиба. Прогиб от сдвига равен

w(x) = a q(lx - x ) /(2GS),

(2)

u(x,z) = -aq(lz - 2xz)/2GS .

(3)

fV2 2

My(x) = bl стxzdz = (1 + yC)aqh /6, J-h/ 2

мент

где

a = 3 / 2 . Таким образом, сдвиг порождает изгиб.

9(0) =

a q 2GS

причём wmax = w(l/2) = aql2 /(8GS). Углы поворота вычисляются как производная функции прогиба 9(x) = dw(x) / dx = a q(l - 2x) /(2GS); их значения в

точках x = 0 и x = l покажем на рис. 1, б. Вторая производная (2) дает d2w/dx2 =-aq/(GS) = const = 1/p. Это приводит к пониманию, что можно без расчетов, через опоры балки провести дугу радиусом p , а затем

измерить прогиб w(l / 2) и углы поворота 9(0), 9(l) от учета сдвига. Если считать, что элементы поперечных сечений, находящиеся у центральной оси, остаются вертикальными и лишь сдвигаются один относительно другого, как это предполагается в [3], тогда картина деформирования сечений балки будет как на рис. 1, в.

Покажем, «единство» сдвига и изгиба. Из сдвиговой компоненты тензора деформаций Y xz (x, z) = dw( x) / dx + du( x, z) / dz выразим

du(x, z) / dz = -dw(x) / dx (здесь yxz (x, z) = 0 - гипотеза Бернулли). Учитывая (2) и нерастяжимость нейтрального слоя u( x,0) = 0, получим

9(l) = -И-, u(0,h) =

2GS 2 4GS

,, h. aqlh u(l-) = —-— . 2 4GS

Заметим, что в формуле (1) члены, содержащиеся в правой части имеют различный физический смысл. Первый член, это закон Гука

d 2 w(x) / dx 2 =-My (x)/EJy

а второй - является уравнением равновесия

d2w(x)/ dx2 =-a qz (x)/ GS.

(4)

(5)

По высоте сечений балки перемещения изменяется по линейному закону и наибольших значений и(х ± И /2) = ±а д(/ - 2х)И /(4ОБ) достигают у опор балки. Изменение перемещения (3) по координате х даст деформацию ех(х,г) = ди(х,г)/дх = адг/ОБ . Деформация вызывает напряжение

стх = Еех = 2(1 + |)ад& . Появится изгибающий мо-

Рассмотрим консольную балку (рис. 2), длиной I; с нагрузкой д(х) = д (рис. 2, а). Решение уравнения (1) требует учета двух краевых условий: ^(0) = 0 и 9(0) = йw(x)/ йх|х=0 = 0 . Прогиб от изгибающей компоненты равен w(х) = дх4 /(24Е/), а от сдвиговой компоненты равен w( х) = -а дх2 /(2ОБ) и происходит против действия нагрузки (рис. 2, б). Вообще-то уравнение упругой линии изгибаемой балки должно иметь четвертый порядок. Продифференцировав дважды уравнение (1), получим

й\(х)/йх4 = д(х)/Ыу -а(й2д(х)/йх2)/ОБ . (6)

Из (6) видим, что сдвиг будет учитываться, если д(х) имеет порядок два и выше.

Вернёмся к уравнениям (4) и (5). При интегрировании уравнения (4) применим граничные условия w(0) = 0 и 9(0) = йw(х)/ йх|х=0 = 0, а при интегрировании уравнения (5), применим граничные условия w(0) = 0 и 0(0) = д1 (или 0(1) = 0). Здесь 0(х) -поперечная сила. Тогда уравнение (5) дает функцию прогиба от сдвига w(х) = ад1 /(ОБ)(1х - х2/2), показанную на рис. 2, в.

MHlt

"Щз-7

Рис. 1

НННЖ

l

Рис. 2

z

l

б

а

в

x

б

а

в

Теперь направления прогибов, вызванные изгибом и сдвигом, совпадают. Суммарный прогиб является суперпозицией прогибов изгиба и сдвига.

Библиографические ссылки

1. Доннел Л. Г. Балки, пластины и оболочки. М. : Наука, 1982.

2. Пановко Я. Г. Механика деформируемого твердого тела: Современные концепции, ошибки и парадоксы. М. : Наука, 1985. С. 16.

3. Тимошенко С. П. Сопротивление материалов. Т. 1. ОГИЗ; Гостехиздат, 1945. С. 151.

4. Тимошенко С. П., Гере Дж. Механика материалов. М. : Мир, 1976. С. 247.

© Елисеева О. П., Шадт К. В., Тимофеева Н. С., Кононова Е., Сабиров Р. А., 2011

УДК 62-2

П. А. Зайцев, Д. Ф. Баляков Научный руководитель - Н. А. Смирнов Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Красноярск

ОБЗОР ШАРНИРНЫХ УСТРОЙСТВ В СОВРЕМЕННОЙ РАКЕТНО-КОСМИЧЕСКОЙ ТЕХНИКЕ

Рассматриваются основные типы шарниров применяемых в ракетно-космической технике, указываются их достоинства и недостатки. Производится выборка наиболее удачных конструкций.

Шарнирным механизмом называется вращающаяся кинематическая пара [1]. В отличие от шарниров и шарнирных узлов (далее ШУ), применяемых в гражданской технике, ШУ ракетно-космической техники должны удовлетворять ряду требований необходимых для корректной работы аппарата, на котором они установлены. Для изделий ракетно-космической техники характерны сложные эксплуатационные условия такие как: вакуум, радиация, высокие и низкие температуры, динамические нагрузки, возникающие при раскрытии развертываемых элементов конструкций космических аппаратов. При этом от шарнирных узлов требуется высокая надежность, точность и полнота развертки элементов космического аппарата на орбите, минимум деталей и простота изготовления [2].

В настоящее время в ракетно-космической технике нашли применение следующие типы шарниров:

Цилиндрический шарнир - подвижное соединение двух тел, при котором их относительное движение есть вращение вокруг оси. Относится к низшей кинематической паре, так как соприкосновение сопрягающихся деталей происходит по поверхности. Выполняется в виде цапфы, вращающейся в подшипнике скольжения или качения. Простота изготовления, не требует больших материальных затрат (рис. 1). Недостатком является низкая износостойкость и массивность конструкции.

Шаровой шарнир - подвижное соединение двух тел, при котором их относительное движение есть вращение вокруг точки. Так же как и цилиндрический шарнир, шаровой шарнир относится к низшей паре. Шаровой шарнир более сложен в изготовлении, так как выполняется в виде шара, входящего в шаровую выточку, или в виде сферического подшипника качения. Поэтому заменяется карданным механизмом, который состоит из двух или трёх последовательно соединённых цилиндрических шарниров, оси вращения которых, пересекаются в одной точке.

Карданный или универсальный шарнир - механизм, обеспечивающий вращение двух валов под переменным углом, благодаря подвижному соединению звеньев или упругим свойствам специальных элементов (рис. 2). Недостатком простого карданного механизма является неравномерность скорости вращения ведомого вала при постоянной скорости ведущего. Пружинный шарнир - подвижное соединение, использующее внутреннюю энергию деформации плоской пружины для преобразования во вращательное движение.

Рис. 1. Цилиндрический шарнир

Рис. 2. Универсальный шарнир

Рис. 3. Пружинный шарнир