CC BY
45
18 января 2012 г, 2:24
ТЕХНОЛОГИИ ИНФОРМАЦИОННОГО ОБЩЕСТВА
Особенности применения методов интерполяции сигнала с нерегулярной дискретизацией
При создании современных приемников прямого цифрового преобразования возникает проблема перегрузки АЦП в результате действия мощных сосредоточенных помех. Для борьбы с данным явлением, в дополнение к имеющимся, предлагается простой и эффективный метод восстановления пропущенных в результате перегрузки значений сигнала. Приводится сравнение с ранее описанным методом восстановления сигнала на неравномерной сетке, как по быстродействию, так и по точности.
Курахтенков Л.В.,
м.н.с., [email protected]
Постановка задачи
Рассмотрим дискретный сигнал на временном промежутке Г с шагом дискретизации А/. При добавлении к сигналу мощной помехи возникает перегрузка АЦП. в результате которой на выходе Л ЦП возникает максимально возможное значение, обусловленное разрядностью Л ЦП. а на дополнительном выходе АЦП возникает индикация перегрузки. Задача состоит в восстановлении суммарного сигнала для последующей фильтрации помехи.
Данная проблема сводится к задаче аппроксимации некоторой действительной функции но набору заданных значений в некоторых точках. При зтом предполагается, что функция ограничена, интегрируема с квадратом (сигнал имеет ограниченную энергию) и имеет компактный носитель преобразования Фурье (ограниченный спектр сигнала). В качестве точек с известными значениями будем брать не все отсчеты, а только тс. в которых не возникает перегрузки АЦП. Отметим, что в общем случае их распределение является неравномерным.
Лзя простоты будем считать: у :[0.1] —> Р. |/(/)| й А
при некотором /(>0. м|рр />с[-П.П]« Имеется разбиение отрезка [0.1]: О»/, <...</* *1* такое что
/ -/(1 = А/. / = I...N • Кроме того определено множество
индикаторов перегру зкн | у()' . такое что 0. /у>и/(/,)* у,,[у,\*Л;
у; = А, при /(/,)> А;
-А. при/(/,)< -А.
При аппроксимации предполагается, что функция / периодически продолжается за пределы отрезка |о,|]. гак что фактически функция предполагается равной тригонометрическому многочлену степени П с периодом 1:
и и
/(') = Х(и.*1п(2»я) + А.с05(2*"))= £ с/-"-
г- и
Такая аппроксимация сразу даст набор значений для спектра сигнала.
Аппроксимация сит нала тригонометрическим
многочленом
Искомый тригонометрический многочлен Р будет, по методу наименьших квадратов, решением задачи минимизации суммы
о»
Рассмотрим следующий итеративный алгоритм, заключающийся в последовательном восстановлении неизвестных значений дискретизованного сигнала в точках г .
таких что у(/у) * о •
Л.пори 14 I. В указанных предположениях решение Р ^ может быть вычислено по следующему итеративному
алгоритму:
Шаг 1. Для каждой серии пропущенных отсчетов
!т...| найти три точки, такие что значение сигнала в
этих точках определено. Естественным образом находятся две точки из трапиц пропущенного интервала 1т * N-к ■ В качестве третьей точки можно
выбрать 1т , или а в случае, когда эти отсчеты не-
определенны или пропущены, следует выбрать ближайший к краям интервала принятый отсчет.
Шаг 2. По трем найденным отсчетам построить кубический сплайн и присвоить пропущенным отсчетам сигнала значения сплайна в соответствующих точках.
Шаг 3. Произвести дискретное преобразование Фурье по всем Л' отсчетам и получить N коэффициентов Фурье.
Шаг 4. Если все. кроме искомых О коэффициентов Фурье равны нулю, то произвести обратное преобразование Фурье и завершить выполнение алгоритма. В противном случае обнулить «лишние» коэффициенты Фурье и произвести обратное преобразование Фурье.
Шаг 5. Для тех отсчетов / , для которых по-
ложить /М«^. Для тех отсчетов, для которых НО /(/,)< А ИЛИ у(|() = -Л. НО /(1:)>-А но-дожить /(*у) равным значению соответствующего сплайна в точке г . Перейти к шагу 3.
Замечание. Условие выхода из алгоритма на шаге 4 на практике проверяет не абсолютное равенство нулю избыточных коэффициентов Фурье, а их незначительность, т.е.
|Л|<*.* >п
Утверждение I. Итеративный процесс, определяемый алгоритмом I. сходится к точному решению задачи минимизации (I).
Замечание. Следует отметить, что время работы алгоритма на каждой итерации одинаково, и в общем случае не зависит от ширины спектра О. требуя порядка 0(Л'к^, Л ) арифметических операций.
48
Т-Сотт, #11-2011
