CC BY
14
УДК 621.317
К. А. Королёва, С. С. Грицутенко
ВОССТАНОВЛЕНИЕ ВЫПАДЕНИЙ ДИСКРЕТИЗИРУЕМОГО СИГНАЛА, ИМЕЮЩИХ МЕСТО ВО ВРЕМЯ КАЛИБРОВКИ АЦП УНИВЕРСАЛЬНОГО СЧЕТЧИКА ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ НА ПОДВИЖНОМ СОСТАВЕ ПОСТОЯННОГО И ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
Рассмотрен алгоритм полиномиальной интерполяции для аналого-цифрового преобразователя с длительностью калибровки 1 мс. Приведен пример восстановления пропущенных значений для обеспечения заданной точности обработки входного сигнала.
Важнейшей задачей энергетической политики ОАО «РЖД» является эффективный учет использования электрической энергии на тягу поездов. Для этого требуется внедрение счетчиков электрической энергии, обеспечивающих наименьшую погрешность учета. В универсальной измерительной системе учета электрической энергии на подвижном составе постоянного и переменного тока осуществляется преобразование тока, напряжения и мощности в цифровую форму. Однако при работе аналого-цифрового преобразователя (АЦП) в широком диапазоне температур, определяемом спецификой эксплуатации железнодорожного транспорта, его параметры имеют свойство «уходить» с течением времени, что является главной сложностью при разработке систем учета. Для решения данной проблемы АЦП время от времени могут выполнять самотестирование и калибровку. Однако на время этой процедуры аналого-цифровое преобразование сигнала прерывается, что приводит к «выпадениям» в сигнале дискретном, т. е. имеется дилемма - с одной стороны, самотестирование и калибровка увеличивают точность измерения аналогового сигнала, с другой стороны, эта процедура приводит к потере значений аналогового сигнала на некоторых временных отрезках. Решением данной проблемы является восстановление потерянных значений путем их интерполяции по ближайшим известным [1 - 3].
Целью статьи является определение погрешности измерительной системы, вызываемой применением метода интерполяции пропущенных в результате калибровки значений сигнала, с использованием интерполяционного полинома третьей степени.
Задача восстановления аналогового сигнала по его дискретным отсчетам с точки зрения математики это не что иное, как хорошо известная задача интерполяции непрерывной функции F(x) по конечному числу N ее точек. Пусть в точках t0, tj,... tu... tN таких, что a < t0 < t1 < < < tN < b, известны значения функции y = f(t), т. е. на отрезке [a, b] задана табличная функция. Эти точки, в которых значение функции задано, называются узлами интерполяции. В самих узлах значения аппроксимирующих функций должны совпадать с заданными значениями исходной функции.
При интерполяции тригонометрических функций, которые описывают поведение тока и напряжение в тяговой сети, наиболее подходящим представлением будет аппроксимация гладкой функцией [4]. Такое решение дает, например, метод полиномиальной интерполяции. Идея метода состоит в том, что исходная функция аппроксимируется многочленом третьей степени, т. е. функцией вида [5]:
2 3
y(t) = a0 + ait + a4 + ait . (1)
При этом значение интерполирующей функции совпадает со значениями рассматриваемой функции в узлах интерполяции. На основании данного условия составляется система линейных уравнений вида:
70 ИЗВЕСТИЯ Транссиба Nln2!!8)
a0 + + a2t1 + a3ti = y (ti);
a0 + ait2 + a2t22 + a3t23 = y (ti);
a0 + ait3 + a¿ + a3t33 = y(t3);
a0 + a1t4 + a2t4 + a3t4 = y(t4).
(2)
При реализации интерполяционной процедуры коэффициенты полинома аи находятся решением системы уравнений (2) каким-либо численным методом (например, методом Гаусса).
Теперь рассмотрим аналого-цифровой преобразователь, у которого время, необходимое для калибровки, составляет 1мс. В условиях непрерывной работы аналого-цифрового преобразователя возникает систематическая ошибка, вызываемая внешними воздействиями (например, внешней температурой), величина которой может достичь критических значений и внести значительную погрешность в измерения. В заданных условиях при частоте дискретизации 8 кГц мы имеем потерю восьми отсчетов за время калибровки. В зависимости от того, как часто производить калибровку значений, будет изменяться значение общей погрешности представления сигнала. На рисунке 1 показана основная идея предлагаемого метода: в течение времени Тк значения сигнала на входе АЦП не фиксируются. В это время происходит калибровка, т. е. автоматическая компенсация ошибок смещения нуля и коэффициента усиления. Интервал между калибровками Тс может изменяться разработчиком.
Рисунок 1 - Графикf = sin t; Тк - время калибровки АЦП
Изменяя соотношение Тс и Тк, мы изменяем скважность процесса калибровки. Очевидно, что если калибровку АЦП делать чаще, уход параметров АЦП, вызванный внешними воздействиями, будет меньше, но, с другой стороны, будут чаще возникать периоды сигнала (Тк), на которых измерения не производятся вообще, что также приводит к снижению точности измерительной системы.
Рассмотрим, существенно ли применение интерполяции пропущенных при калибровке АЦП значений снижает величину погрешности представления сигнала.
На вход АЦП подаем сигнал (как показано на рисунке 2):
40
f (t) = 2 A, ■ sm(2^-F ■ i ■ t + )
i=1
где АI - амплитуда 1-й гармоники; F - частота основной гармоники; ф - амплитуда 1-й гармоники.
<
№ 2(18) OA«i Л ИЗВЕСТИЯ Транссиба 71
^2014 i
Рисунок 2 - График входного сигнала
Таким образом, входной сигнал представляет собой сумму из 40 синусоид различной амплитуды (в соответствии с требованиями ГОСТ 13109), с различными фазами, частотой основной гармоники 50 Гц, суммарное значение амплитуд неосновных гармоник не превышает 20 % от частоты основной:
А >
40
I А2( -
(4)
1=2
Моделируя калибровку АЦП, исключим значения сигнала у(*з), у(^4), у(^5) ••• у(^). В соответствии с описанным методом интерполяции полиномом третьей степени для нахождения пропущенных значений воспользуемся известными значениями сигнала у(^), у(^), у(^ю), у(^п), а также примем во внимание, что значения I известны. В нашем случае интервал между отсчетами составляет 0,000125. Подставив в матрицу значения ¿¿, найдем решение в общем виде для неизвестных коэффициентов матрицы А:
[А] =
Ж);
-87200/9 у(Г1) + 1000 у(^) - 10000/9 у(Гш) + 800 у(Гп);
128000000/9 у(Г1) - 152000000/9 у(^) + 88000000/9 у(Гш) - 64000000/9 у(Гп);
-51200000000/9 у(г0 + 64000000000/9 у(^) - 64000000000/9 у(Гш) + + 51200000000/9 у(гп).
(5)
Тогда для нахождения значения сигнала в произвольной точке требуется вычислить функцию вида:
у(П = у(Н) + (-87200/9 у(^)+1000 у(^) - 10000/9 у(Гш) + 800 у(Гп)Н + + (128000000/9 у(Ь) - 152000000/9 у(Г2) + 88000000/9 у(Г10) - 64000000/9 у(Гп)К2 + (6) + (-51200000000/9 у(Ь) + 64000000000/9 у(^) - 64000000000/9 у(Гш) +
+ 51200000000/9 у(Гп)К3.
72 ИЗВЕСТИЯ Транссиба _№ 2(18) 2014
В результате мы имеем возможность вычислить значения сигнала в момент выпадения измеряемой величины. График входного сигнала без пропущенных значений и график интерполированного сигнала приведены на рисунке 3.
Рисунок 3 - Графики входного и интерполированного сигнала на периоде
Как видно из рисунка 3, отклонение интерполированного сигнала от входного незначительно (графики сливаются), для лучшей наглядности на рисунке 4 показан увеличенный интерполированный участок сигнала.
Рисунок 4 - Графики входного и интерполированного сигнала в течение калибровки
Значения у(1г) могут быть вычислены в любой точке отрезка [а, Ъ], на котором определен сигнал, поэтому можно исследовать качество получающегося приближения, например, найти среднеквадратическое отклонение у(1г) от значений функции _/(/). На качество приближения существенное влияние оказывают количество и расположение узлов и гладкость функции _/{/).
№ 2(18) 2014
ИЗВЕСТИЯ Транссиба
Так как входной сигнал не нормирован, для определения ошибки интерполяции следует произвести нормирование значений. Для этого найдем квадрат нормы исходного сигнала:
Т у 40 40 1 у
2 = 11Е А2 • + фг =£ |-Л,2 • ът\2ф + фг=
0 1 ¿=1 ¿=1 0 1
40 Т
= £Т-Л2- -+ Д = £(}±Л,2¿X + 11Л2С°52(^ + *') А) = (7)
40 Т
Т
2 1=1 0 2Т ' 0Т
40 40 2
= Л, =(Г - 0) =£ Л2 •
¿=1 21 ¿=1 2
Для того чтобы проследить изменение среднеквадратичной ошибки интерполяции, в среде Ма1ЬаЬ произведем формирование случайного сигнала с учетом заданных параметров 1000 раз [6]. Среднеквадратичную погрешность при каждом повторении рассчитаем по формуле:
Ш8Ек =
9
, Еж) - / (п))
1 п=3
7 1 40
7 -ЕЛ2
2 1=1
(8)
где к = {1,1000}.
Зависимость среднеквадратичной ошибки от номера повторения приведена на рисунке 5.
Рисунок 5 - Распределение среднеквадратичной ошибки интерполяции
Среднеквадратичное значение погрешности интерполяции при проведении 1000 повторений в случае, приведенном на рисунке 5, составляет 0,009. Таким образом, вносимая погрешность из-за неточности восстановления пропущенных значений составляет в среднем 0,9 % (максимально - 3,7 %). С учетом того, что скважность калибровки в нашем случае составляет 1:1000, вносимая интерполяцией пропущенных измерительной системой значений
74 ИЗВЕСТИЯ Транссиба №„2(!8)
погрешность будет составлять величину в тысячу раз меньшую, а именно 0,0009 %. Такой точности достаточно, чтобы система измерения соответствовала самым высоким требованиям к результатам аналого-цифрового преобразования данных, полученных при проведении измерений электрических параметров на железнодорожном оборудовании.
Список литературы
1. Новицкий, П. В. Оценка погрешностей результатов измерений [Текст] / П. В. Новицкий, И. А. Зограф.- Л.: Энергоатомиздат, 1991. - 304 с.
2. Грицутенко, С. С. Адекватность использования аналогий в цифровой обработке сигналов [Текст] / С. С. Грицутенко // Известия Транссиба / Омский гос. ун-т путей сообщения. -Омск, 2010. - № 2(2). - С. 80 - 86.
3. Грицутенко, С. С. Введение понятия «дельта-вектор» в пространстве Гильберта для корректного представления данных в информационных системах [Текст] / С. С. Грицутенко // Известия Транссиба / Омский гос. ун-т путей сообщения. - Омск, 2010. - № 1 (1). - С. 73 - 78.
4. Грицутенко, С. С. Метод расширения динамического диапазона при аналого-цифровом преобразовании [Текст] / С. С. Грицутенко, Э. А. Бибердорф, К. А. Фирсанов // Омский научный вестник / Омский гос. техн. ун-т. - Омск, 2010. - № 2(90). - С. 200 - 202.
5. Макс, Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях [Текст] / Ж. Макс. - М.: Мир, 1983. - 312 с.
6. Гончаров, В. Л. Теория интерполирования и приближения функций [Текст] / В. Л. Гончаров. - М.: Гостехтеориздат, 1954. - 328 с.
References
1. Novitskii P. V. Otsenka pogreshnostei rezul'tatov izmerenii (Errors of estimation of results of measuring). Leningrad: Energoatomizdat, 1991, 304 p.
2. Gritsutenko S. S. Аdequacy of using analogs in digital signal processing [Adekvatnost' ispol'zovaniia analogii v tsifrovoi obrabotke signalov]. Izvestiia Transsiba - The Trans-Siberian Bulletin, 2010, no. 2 (2), pp. 80 - 86.
3. Gritsutenko S. S. Description of term «delta-vector» in Hilbert space for the correct presentation data in informational systems [Vvedenie poniatiia «del'ta-vektor» v prostranstve Gil'berta dlia korrektnogo predstavleniia dannykh v informatsionnykh sistemakh]. Izvestiia Transsiba - The Trans-Siberian Bulletin, 2010, no. 1 (1), pp. 73 - 78.
4. Gritsutenko S. S.,Biberdorf E. A., Firsanov К. А. Method of expansion dynamical range for ADC [Metod rasshireniia dinamicheskogo diapazona pri analogo-tsifrovom preobrazovanii]. Omskii nauchnyi vestnik - Omsk scientific Herald, 2010, no. 2 (90), pp. 200 - 202.
5. Maks G. Metody i tekhnika obrabotki signalov pri fizicheskikh izmereniiakh (Methods and technics of signal processing for physical measurements). Moscow: Mir, 1983, 450 p.
6. Gontcharov V. L. Teoriia interpolirovaniia i priblizheniia funktsii (Theory of interpolation functions). Moscow: Gostehtheorizdat, 1954, 328 p.
УДК 625.12.033.38
Ш. Ш. Абдукамилов
ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА БАРХАННЫХ ПЕСКОВ, УЛОЖЕННЫХ В ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОЕ ЗЕМЛЯНОЕ ПОЛОТНО
Приведены результаты натурных исследований колебательного процесса земляного полотна, отсыпанного барханными песками. Проведен анализ записей колебаний частиц барханных песков на уровне основной площадки, в теле земляного полотна и за его пределами. Даны результаты исследования изменения значения амплитуд колебаний барханных песков в зависимости от скорости поездов. Выявлена аналитическая зависимость определения затухания колебаний в теле земляного полотна из барханных песков и за его пределами.
^Г* ИЗВЕСТИЯ Транссиба 75
