CC BY
175
16 декабря 2011 г. 17:56
T-Comm #10-2010
(Технологии информационного общества)
Особенности применения метода SSA для обнаружения разладки во временных рядах
Статья посвящена модификации и оптимизации метода SSA (Singular Spectrum Analysis) для обнаружения моментов разладки во временных рядах. Предложены конкретные значения параметров метода (длины и ширины окна, длины и расположения тестовой выборки, выбор порога), обеспечивающие корректное и эффективное решение задачи. Особенно следует отметить новизну подхода при выборе собственных троек и формулировку решающем правила для on-line обнаружения момента разладки.
Глушко Е.В., Синева И.С.
Введение
Инвестирование денежных средств в условиях рыночной экономики сопряжено с анализом и минимизацией риска. При этом решаются задачи обеспечения возврата основных сумм и получения дохода при наличии на рынке многообразия финансовых инструментов. Кроме тою. одно из центральных мест в современной ісорин и практике финансов занимаст проблема принятия эффективных управленческих решений в условиях возможности наступления неблагоприятного события, нриво;ипцсго к потерям. Анализ развития методов и средств управления финансовыми инвестициями показывает. что со второй половины прошлого века наблюдается массовое внедрение в практику статистических моделей оценки доходности и риска для оценки чувствительности к экстремальным событиям на фондовых биржах.
Исторически первым методом портфельной оптимизации доходности является метод Гарри Марковица. Эта теория давала возможность оптимального выбора, опираясь на гипотезу о том. что изменение доходностей активов. составляющих портфель, подчиняется нормальному закону распределения. Задача управления портфелем заключается в таком случае в максимизации доходности портфеля при выбранном фиксированном уровне его риска, решением которой является эффективная іра-ница портфельного множества в координатах «риск портфеля - доходность портфеля». На практике колебания цен акций не подчиняются гауссовскому закону, что вызвало ряд критических замечаний в адрес теории Марковица. Работы Б. Мандельброта fl-З] и Е. Фама [4] подхлестнули интерес к эмпирическому анализу распределений финансовых инструментов.
Проведенный нами анализ данных российского фондового рынка за 2006-2008 годы подтвердил высказанные выше опасения. Болес половины временных рядов не согласуются ни с одним из 20 наиболее распространенных распределений при уровне 0.9. Поэтому методы оценки рыночного риска в терминах VaR (value at risk), основанные на гауссовском распределении, дают значительно заниженные оценки риска по сравнению с кванти льным подходом.
В то же время необходимо отмстить, что время от временив любом временном ряду происходят кардинальные изменения. Они могут означать не только смену
тренда, но и его вида, волатильности и т.п. Такие моменты называют точками разладки временного ряда и им
Обнаружение изменений во временном ряде представляет очень важное направление прикладной статистики. Большинство извссгных методов обнаружения точки разладки параметрические и основаны на простых моделях. Метод, который мы рассмотрим далее, является непараметрическим и может быть применен для анализа временного ряда комплексной структуры.
В 70-80-х годах прошлого столетия совершенно независимо и в разных точках земного шара практически одновременно возникла идея метода анализа временных рядов, основанного на сингулярном разложении. При этом его создатели приходили к нему с совершенно разных сторон, иногда не видя всей силы метода из-за узкой области, где он применялся. В зарубежной литературе метод наиболее известен иод названием SSA (Singular Spectrum Analysis), он возник из анализа хаотического поведения ряда и аттракторов [I]. Название имеет довольно условное отношение к сути метода, так как сингулярный спектр здесь — это набор собственных чисел сингулярного разложения траекгорной матрицы, понимаемый как сингулярный спектр соответствующего матрице оператора [5]. В России метод получил название «Гусеница» [6-8]] из-за скользящей процедуры нарезания векторов вложения из исходного ряда (подобно движению гусеницы) и возник из статистических аналогий с методом главных компонент.
К сожалению, как это часто случается, метод, разработанный математиками, оказывается достаточно стожен для применения практиками финансового анализа. Причина этого кроется в необходимости корректной настройки процедуры, что требует именно математической квалификации, а не владения методами технического финансового анализа. Далее будет описана модификация метода SSA и сю настраивание д.тя применения к текущим данным российского финансового рынка, который имеет ряд особенностей, связанных как с механизмами формирования цены акций, так и с объемами торгов.
Описание алгоритма
Пусть t/j,временной ряд, a S(N^T) — ширина окна и L(L< Л/2)—длина окна. Ill,р — фиксированные целые числа, такие что т < L <* N / 2 и
25
0 < /Ху. Для каждою и = 0,1,_______Т - N мы выполня-
ем следующие действия.
Этап 1.11остроение т-мерного пространства На этом этапе выполняются первые три шага стандартного алгоритма «Гуссница» -55Л во временном интервале^-И, n + N].
I. Построение траекторией матрицы:
\(«» _
И —
./я+1 и fп+Ъ * ■ Jп+К
J /л.З J
/„.і .1if+4 Jп* 5 * • fmK*l
ff>+i ■ ./;*v
(1)
где К. = П -1. + і (в алгоритме обнаружения разладки такие матрицы называются основными матрицами).
Столбцами матрицы X',”’ являются векторы
.....где 7=1................к
2. Выполнение сингулярною разложения ковариа-
ционной матрицы с запаздывающим аргументом = Х°''(\‘ . это даст набор из Ь собственных
векторов.
3. Процедура выбора группы I из ІТ1 < Ь собственных векторов, определяющих подпространство
ҐЇ tl.fi ■ 4* І I
Д. L -мерного пространства .
Эган 2.1 Іостроение критериальной матрицы Матрица X1,'" размера Сх() со столбцами
Х)":и = Р + 1
( /'
.* п*р+-\
/и-,.-’
У ІІ * /) - ’
ХГ =
■ P+Q)
f J n+4
Ai - /i*-4 *' ‘' ./b*v+I
5 • * * fn+q+2
y+L-1
01.1.г-ч во временном интервале [j+1, j +1]. где гипотеза об отсутствии изменений может быть принята. Мы используем V,, = , где /- максимальное число
/ < п такое, что гипотеза об отсутствии изменений принята.
• Кумулятивная статистика
и; = if;,., = (if; + - л, - а- / ,/!£>) ,» > i
где (с/)* = max j0,</| для любого «е R и к- небольшая отрицательная консганта (уменьшится в случае основной гипотезы об отсутствии изменений) наиболее подходящее значение к : к = 1 / (3yjLQ) (подобно известному правилу «3 О »).
Способ формирования основной и критериальной матриц отображен на рис. 1.
Основная маїріша
Критериалміан маїрнца
n+l . . n+K
n+M n+N
n+p+1 ... n+q
tl+D+M ... n+u+M-l
К векторов
Q векторов
УЛ/*/с1т| п+р+1,+2
для с] = р + О, называется критериальной матрицей.
Этап 3. Вычисление статистики обнаружения
Статистиками обнаружения являются
• £), / - сумма квадратов евклидовых расстояний между векторами Д* :(/ = /? + !..<у) и т -мерного
подпространством £п1} С .
I ((•'?’)' *Г-{К')г иигг;’) (2)
/жр«т
• Лп = ///„/— нормализованная сумма
квадратов расстояний. Здесь
(сумма квадратов расстояний нормализована относительно числа элементов критериальной матрицы) и V -оценка нормализованной суммы квадратов расстояний
Рис. 1. Формирование основной и критериальной матриц
Выбор параметров
Существенные изменения в структуре временного ряда будут обнаружены при любом разумном выборе параметров. Чтобы обнаружить небольшие изменения в зашумленном ряду, может потребоваться более строгий подбор нарамегров.
Параметры алгоритма 55/1
Параметрами разложения 88А являются длина окна /. и множество и идс кс о в / . Их выбор должен зависеть от свойств исходною рада и цели анализа.
Для правильно сделанною разложения ББА компонент г, в
/=2,+е, (4)
может быть трендом исходного рада, колебательным рядом (например, сезонность) или их суммой; компонента е,- остаток - часто может содержать шум. Колебательный рад - периодический или квазиисриодиче-ский рад, чистый или амнлитудно-модулированный. Шум - любой апериодический ряд без видимою тренда. Тренд ряда здесь и далее понимается в узком смысле, т.е. как медленно изменяющаяся аддитивная компонента ряда со всеми удаленными колебаниями.
Отмстим, что никакая параметрическая модель для компонентов в (4) не установлена, и эти компоненты произведены непосредственно радом. Таким образом, анализируя реальный ряд с помощью ББА. трудно надеяться получить как точную периодичность или линейный тренд, например, даже если эта периодичность или линейный тренд действительно присутствуют в ря-
26
ду. Это следствие влияния шума и непарамегрической природы метода. Однако часто мы можем получить хорошее приближение к этим рядам.
Во многих случаях некоторые из собственных векторов (У; и факторных векторов У можно опознать, если рассмотреть как временной ряд. Структура векторов, отобранных для фуппы / на третьем шаге алгоритма ЯЯА. унаследована рядом Г,.
В идеальном случае компоненты в (4) должны быть «независимыми». Достижение «независимости» (или «отделимости») компонентов г, и е, в разложении ЯвА
(4) имеет важное значение в 55А. Одна из особенностей отделимости - так называемая О) -корреляция, которая определена как
(5)
(§чфи |
где
(О. -
(6)
/ для 1 < / < А,
А для Л </2 К,
К + 1.-1 для К <1< К +
0 иначе.
Чтобы выбрать значения длины окна /. и группу / индексов собственных векторов, нужно следовать стандартным рекомендациям. Особенности отделимости (включая (О-корреляцию) играют очень важную роль.
Если N не очень велико, что является самым интересным случаем на практике, мы выбираем Ь. = N12 (напоминаем, что /V, как предполагается, является четным). и/ = т), где 111 таково, что первое П1
компонент хорошо описывают ряд. а следующие /. — /II компонент соответствуют шуму.
Чтобы выбрать Ш, следует визуально оценить разложение ЯЯА всею ряда и некоторых сто больших частей прежде, чем применить алгоритм обнаружения точки разладки. В случае, если задача действительно последовательна, и предварительное исследование временного рада невозможно, то рекомендуется использовать все визуальные инструменты ЯВА в первой части ряда, чтобы выбрать ш.
Нели 111 слишком мало (недооценка модели), то часть сигнала будет потеряна, и поэтому разладка так же может быть пропущена (разладка может произойти в недооцениваемых компонентах). В случае, если 111 слишком велико (переоценка модели), то мы аппроксимируем часть шума вместе с сигналом и поэтому обнаружение разладки затрудняется.
Длина и расположение тестовой выборки: />. ц
В общем случае рекомендуется выбрать р>К- В этом случае столбцы основной и критериальной матриц будут независимы. Тогда алгоритм более чувствителен к изменениям, чем его стандартная версия (в смысле /,. используемого на каждой итерации), в то время как при р < К некоторые из столбцов основной и критериальной матриц совпадают.
Рассмотрим четыре важных частных случая для пары (/>.</) в алгоритме обнаружения точки разладки:
А|- (/’ </) = (0.А ). где А' = .V- А +1; в этом случае основная и тестовая выборки совпадают ;
А2. (/>.^) = (А'.Л^ + |); в этом случае мы используем 21.-\ наблюдений ...включая /.
новых точек, чтобы построить /-. векторов
Х)"’{] = К + \...Л/);
АЗ. (/;.(/)“(Л , Л + /.); в этом случае мы используем 21.-1 новых наблюдений / ...........■ чт°бы
построить /- векторов У " (/ = Л' +1...Л' + :
А4. (/>.</) = (Л'.Л' + 1); в этом случае мы используем I. новых наблюдений ...........- чтобы произве-
сти один испытательный вектор.
Если данных достаточно и в тренде недопустимы медленные изменения, то (АЗ) предпочтительнее в сравнении с (А1) и (А2); различие между (А2) и (АЗ) является незначительным. Алгоритм в случаях (А2). (АЗ) и (А4). где основные выборки отличаются от тестовых выборок, более чувствителен к изменениям, чем в случае (А1).
Выбор (/ - р = 1. см. (А4), часто является разумным. Чтобы получить гладкое поведение статистики критерия V,, I . необходимо выбрать ц немного большим, чем р . Если различие (/- р является слишком большим, то поведение £) (( становится слишком гладким; это случается, например, когда /> = () и </ = К (т.е. основная и критериальная матрицы совпадают). Нет никаких специфических причин, почему 0 = ч~р должен равняться А.
Ширина окна N
Выбор ширины окна зависит от того, какие структурные изменения мы ищем. Если допустимы небольшие постепенные изменения во временном ряду, то нельзя брать слишком большое N. Также если N велико. то мы можем пропустить или сгладить изменения во временном ряде. Если N мало, то выброс может быть расценен как точка разладки. Общее правило состоит в том. чтобы выбрать N разумно большим.
Порог Л
Предложенный алгоритм не является автоматическим инструментом для обнаружения точки разладки, а скорее инструментом, обеспечивающим построение и визуализацию модели, помогающей увидеть неоднородности времени. Однако алгоритм можно считать статистической процедурой определения порога И . Рассмотрим очень простую модель, основанную на приближении распределения квадратичной формы Э.; подходящим нормальным распределением и порогом И так. чтобы для фиксированного 11 вероятность случая (1.7) была приблизительно равна ОС в гипотезе об отсутствии изменений (здесь а > 0 - уровень значимости).
Если изменение в механизме генерации /' происходит в определенной точке Г, то ожидаем, что векторы X = Л"” . где /> т. лежат дальше от !Т1-мерного подпространства , чем векторы .V , /< г• Это означает. что мы ожидаем возрастания последовательности О(и) = 3)„( . рассмотренной как функция от п, на-
чиная с Ив такого, что »„+</ + Л -1 = г. (Значение й0 = Г—</ — /.+1 является первым значением /7(| таким, что тестовая выборка .........содержит точку
разладки). Этот рост продолжается в течение некоторого времени; ожидаемое время роста зависит от сигнала и отношений между р. (/ и N. Самыми интересными случаями являются /> = и </-/;< Л и случай единственного изменения, когда функция /}(„) прекращает рост после ц-р итераций, т.е. около точки /I = Г -/)-/- • Тогда во время следующих /„-(</-/>) итераций можно ожидать разумно высоких значений функции £)(н). которые должны сопровождаться ее
уменьшением к. возможно, новому уровню. (Это является следствием того, что разложение 5ЯА должно включит!. новый сигнал в интервалах [л + 1.я+/], где
и>Г-А.)
Решающее правило предложенного алгоритма состоит в том, что изменение в структуре ряда есть, если для некоторого п
Я,.,,
(7)
принять, например:
- V 2-І
V*
с небольшим количеством членов. Таким образом, мы принимаем (4), где <?,- шум. а 2< удовлетворяет разностному уравнению
2, =а,2,-1+...+ о,/г,^ (8)
с некоторыми коэффициентами и опреде-
ленными начальными условиями. (Заметим, что некоторые из коэффициентов а, могут быть нулевыми и, таким образом, порядок авторегрессии (8) будет меньше /..) Шум может быть случайным или детерминированным, но в любом случае не должен аппроксимироваться решением разностного уравнения. (Белый шум. конечно, удовлетворяет этому условию).
Результатом алгоритма ЗБА с длиной окна /. во
временном интервале [и + 1,/? + Л^] будет модель (4). Таким образом, мы получаем
Г=:'"‘+е'"
-її -/ ' N
(9)
где Л - фиксированный порог, и гп - оценка суммы квадратов расстояний ; , в интервале [/ + 1. / + /]. где гипотеза об отсутствии изменений принята. Можно
где :1 - аппроксимация Г, алгоритмом БвА, решение
(5). Асимптотически, при N —»<*>, /. —»°° и шум е, случайный эргодический процесс с конечной дисперсией. эти два процесса асимптотически слабо отделимы в том смысле, что (О-корреляции, определенные в (6), стремится к 0. При вычислении порога И мы принимаем следующую основную гипотезу:
І. модель (1.4) справедлива и нет изменений в па-
раметрах уравнения (8).
ii. 2, = 2, для всех П И I,
iii. і или 0 = ч~р стремится к бесконечности,
IV. е,=е1"'- последовательность независимых
одинаково распределенных случайных величин, е, ~ Л'(0, СГ ), где дисперсия <Х~ неизвестна.
Вышеупомянутые условия подразумевают, что в алгоритме обнаружения разладки на итерации П
(10)
В случаях, когда мы допускаем медленное изменение в структуре временного ряда или множественные точки разладки или когда П велико, усреднение по / от 0 до // — /2 — 1 в прежней формуле может быть заменено
на усреднение в более узком интервале, скажем, от п - /2 до /I — N / 2 -1.
Модель основной гипотезы
Метод ЯЯА вообще и предложенный алгоритм обнаружения точки разладки в особенности основаны на предположении о том, что начальный временной ряд хорошо аппроксимирован рядом Г,, решением разностного уравнения, являющегося моделью авторегрессии порядка с/ (модель АКМА(с1,0)):
У/ = + • • • + *
т.е. процессом вида
/, =£«,(/)<’“ sm{2mo:t + ф,)
где вид подынтегральной функции представлен на рис. 2. Если і < О,
Р Ч
Рис. 2. Функция 0)1 г
М-р q+M
Л»
28
,0 1/1 = и если о <Q<L. Щ W
1-р дляp<t< р + L.
L для р + L<t <q.
q + L-t для q<t£q+L.
0 иначе
1-р для p<l<q.
Q для q<t<L + p,
q + L-t для L + p<t£q + L.
0 иначе.
(11)
(12)
Отношение (1.15) означает, что асимптотически вероятность события
равна а. Тогда перепишем это неравенство в форме
>и - Утог(°^>>,
*®.лм •'-* Л/С„,„
где
(Ift)
(17)
Вид весовой функции 0)1п (/) обоснован струк-
турой траекторной матрицы (1). где /] используется один раз. /, - два раза, и так далее.
Очевидно, что (10) - квадратичная формам'Вс. где е=(е,,е,,...,еЛ)г и В = В(/../)./).(/) - диагональная матрица с диагональными элементами
с .
(18)
Моменты квадратичной формы ї)„ , :
Л/(/ Вс) =<Г/;В = ЛО<Г.
(13)
/Лі' Вс | = 2<т‘//В
Решающее правило примет необходимый вид (7). если принять
= 1 + С9)
и заменить А/Эл/ его состоятельной оценкой V,, в
знаменателе статистики критерия в (7). Эта замена не нарушит асимптотическую нормальность статистики критерия в левой части (7). как это вытекает из приведенной выше теоремы Слуцкого.
Формулы (3) и (14) подразумевают, что
у12п-В:
LQ
где
//•В- =
-/.(3/-0 + 1-//) если £?>/,,
|у(ЗА£> + 1-^') если 0< 1..
В первых трех (важных) специфических случаях алгоритма (А1)-(АЗ) (предполагается, что I. =N/2 в случае (А1)). имеем ()- I. и поэтому
/, = | + - д 1+Ц&.+еК1~>,2\/.-»”• <20)
3/.“
Для от = 0.05 мы получим /;= 1 +1.9 >/Г. довольно хорошее приближение для (20) даже при небольшом Ь .
В случае (А4) имеем () = I и поэтому разумный выбор
^U3LQ+i-L:) если@>А,^|^
-QQLQ+\-Q!) если Q<L.
Теорема (Слуцкого). Пусть дано вероятностное пространство (£2.Т.Р), и Хп,:U —» R./i.me N
т>
случайные величины Тогда если х —ь.Х.где Л’:Ц—»R-т
случайная величина, и У —*с.где с€ R—фиксирован-
г> г>
ная константа, то Ха + )'( —>X +си Л ) —*сХ.
Допустим, шум -{е,} состоит из независимых одинаково распределенных е.в. с математическим ожиданием Me, =0и дисперсией /)<• _а Мы также полагаем L
достаточно большим для того, чтобы vn, являющееся состоятельной оценкой Л/г = Л/Х) , . , = LQo~. см. (7), оказалось близко к !.(>а . Используя теорему Слуцкого, заменяем О на v / LO- это не повлияет на асимптотическое распределение Х>п ,. В соответствии с формулой (10) и согласно центральной предельной теореме трудняет. во-первых, нестрого описанный механизм
„ группировки собственных троек. Так как собственное
е.в. Vn, имеет нормальное распределение. Далее r г
число Д является характеристикой вклада матрицы X
в разложение, то выбор таких ill компонент, которые хорошо описывают ряд, можно осуществить следующим образом: начиная с наибольшего Л(. вычисляем значение вклада в последовательность по формуле Л
/
Суммируя эти значения, получаем накопленную сумму, которую всякий ра* сравниваем с порогом, установленным в 0.95 - как только порог преодолен, цикл
(21)
Использование алгоритма
Практическую реализацию описанного алгоритма за-
стандартизнруя е.в. Э„ асимптотически получаем
-;V(0.1).
(15)
Выбор порога И
Пусть а фиксированный уровень значимости (допустим. « = 0.1), и такое что Ф( „) = !-«. где ГЬя- квантиль стандартного нормального распределения N (0.1) (например, г,м5 = 1.2815).
29
России стоит особняком среди других отраслей экономики [9-10]. Тому есть несколько причин. Во-первых, на модернизацию сетей связи и поддержание их в надлежащем состоянии отечественные операторы вынуждены тратить очень большие средства, в то время как, например. в сырьевой промышленности инфраструктура, оставшаяся с советских времен, позволяет поддерживать добычу на стабильном уровне. Во-вторых, в силу различных обстоятельств в отрасли практически отсутствует конкуренция. Одной из причин является то, что телекоммуникационная отрасль находится под пристальным контролем государства. Оно регулирует и утверждает тарифы на услуги междугородной и местной телефонной связи, выдаст лицензии компаниям, сертифицирует оборудование, а также регулирует порядок оказания услуг связи общего пользования и выделяет частотные ресурсы.
Все основные компании отрасли можно разделить на две группы. Это операторы фиксированной и сотовой
связи. Основным игроком, практически монополистом, на рынке фиксированной связи является государственный холдинг «Связьинвест». Главными активами «Свя-зинвсста» являются его «дочки» - семь межрегиональных компаний связи (МРК): «ЦентрТелеком». «СевероЗападный Телеком», «ВолгаТелеком», ЮТК. «Урал связьинформ», «Сибирьтелеком», «Дальсвязь».
Для анализа решено было взять данные по трем таким компаниям: ОАО «ЦентрТелеком». ОАО «Сибирьтелеком» и ОАО «ВолгаТелеком».
В таблице 1 сведены все «подозрительные» точки по трем рассматриваемым компаниям. Они подтверждают сделанные выше выводы об общности характера изменений: значения не сильно отличаются друг от друга. Все это говорит о том, что происходили некоторые события. повлиявшие на котировки ценных бумаг в данной сфере - они были успешно обнаружены.
Таблица I
Свищам таблица ни занным телекоммуникационных компаний
Компания Точки разладки
ЦентрТелеком 201 265 322 361 411 450
ВолгаТелеком 204 255 311 352 408 451
СибирьТелеком 191 251 310 361 418 468
Таблица 2
Сравнение компаний раин.» секторов рынка
Компания Точки ратлалки
МГС 238 342 447
ЛУКОЙЛ 181 232 278 347 382 410
Г атпром 177 277 348 405 454
Северсталь 164 235 350 443
Норникель 169 354 409 444
11енф Телеком 201 265 322 361 411 450
ВолгаТелеком 204 255 311 352 408 451
СибирьТелеком 191 251 310 361 418 468
В таблице 2 представлены оценки точек разладки для ряда компаний. Обнаруживаются любопытные закономерности: так изменения в поведении котировок у большинства контрактов происходили в апреле-марте 2007 г. (вторая половина первой сотни наших массивов), у всех без исключения - в конце октября-началс ноября 2007 г. и опять же у большинства - в начале февраля и в апреле 2008 г. Этот анализ де-факто выделяет чувствительные к одним и тем же факторам сегменты экономики и отдельных эмитентов.
Заключение
Использование статистических методов анализа временных рядов корректно только на однородных данных, поэтому задача обнаружения разлядки ряда, то есть нарушения условия однородности, является весьма актуальной. Различные подходы к ее решению имеют общие недостатки, поскольку часто опираются на параметрические (как правило гауссовские) модели исходных данных. В то же время анализ реальных данных российского рынка не позволяет использовать подобные предположения в чистом виде, поэтому асимптотический алгоритм 58А. опирающийся на центральную предельную теорему для взвешенной суммы, представляется наиболее привлекательным в силу своей корректности. В то же время варьирование различных параметров этого
алгоритма (длина и ширина окна, расположение тестовой выборки, выбор порога и т.д.) возможно в довольно широких пределах. В целом получается многомерная задача подбора если не оптимальных, то корректных и эффективных значений данных параметров. Не решение и предложено в данной статье.
Литература
1. Mandelbrot. В.В. Application of thermodynamical methods in communication theory and in econometrics, Instiutt Mathcmatiquc dc I'Univcrsite dc Lille. 1957.
2. Mandelbrot, B.B. New methods in statistical economics. Journal of Political Economy 71:421440.1963.
3. Mandelbrot. B.B. Statistical Self-Similarity and Non-Laplacian Chance. Tniumbul! lectures. Yale University. 1970.
4. Faina. E.F., Miller, M.H. The Theory of Finanec.llolt. Rinehart and Winston. 1972. p. 34b
5- kiii\ S. Tsay Analysis of financial time series. John Wiley and Sons. 2005. p. 205
6. 1 о пт until II.Э. Метод *<rycenHtta»>-SSA: анализ временных рядов: Учеб. пособие. СПб.. 2004. 76 с.
7. Golyandina N.. Nekrutkin V. and Zhigljavsky A. Analysis of Time Series Structure: SS.A and related techniques. London: Chapman and Hall. 2001. 305 p.
■V V. Moskvina and A. Zhigljavtky. An algorithm based on singular spectrum analysts for changc-poinl detection. Communications in Statistics Part B: Simulation and Computation, vol. 32. no. 2. pp. 319 352. 2003.
9. I реонек Л. Акции телекоммуникационных компаний. ПИФшГо ■\8 12 (39) or 30 нюня 2008
10. Федоюв И. Динамика стоимости акций телекоммуникационных компаний с 2007 г., РЦБ Л |0 (36| 1200Х.
34
