Асимптотические свойства процедур оценивания параметров и обнаружения разладки обобщенного авторегрессионного процесса с условной неоднородностью Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2012

Управление, вычислительная техника и информатика

№ 2(19)

ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ

УДК 519.2

Ю.Б. Буркатовская, С.Э. Воробейчиков, Е.Е. Сергеева

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОЦЕДУР ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ И ОБНАРУЖЕНИЯ РАЗЛАДКИ ОБОБЩЕННОГО АВТОРЕГРЕССИОННОГО ПРОЦЕССА С УСЛОВНОЙ НЕОДНОРОДНОСТЬЮ

В работе исследованы асимптотические свойства последовательных процедур оценивания параметров и обнаружения момента изменения значений параметров процесса GARCH(p,q), параметры которого предполагаются неизвестными до и после момента разладки. Численное моделирование показало работоспособность предложенных процедур.

Ключевые слова: ОЛКСИ(p,q), момент разладки, метод наименьших квадратов, среднеквадратическое отклонение, гарантированное оценивание, центральная предельная теорема для мартингалов.

Авторегрессионные модели с условной неоднородностью (ОАЯСН) находят широкое применение в задачах последовательного анализа данных. При описании процессов типа ОЛЯСН предполагается, что на текущую изменчивость дисперсии влияют как предыдущие изменения показателей, так и предыдущие значения дисперсии, вследствие чего модель хорошо подходит для описания эволюции финансовых индексов [1].

Данная работа является продолжением статьи [2], в которой дан обзор методов оценивания параметров процесса ОЛЯСН(р,д) и предложена последовательная процедура обнаружения момента разладки процесса ОЛЯСН(р,д) с неизвестными авторегрессионными параметрами, основанная на сравнении оценок на различных временных интервалах. Для построения оценок используется взвешенный метод наименьших квадратов, который позволяет ограничить среднеквадратическое отклонение оценок от истинного значения параметров. Свойства оценок также позволяют получить теоретические границы для вероятностей ложной тревоги и пропуска сигнала. В работе получены асимптотические верхние границы среднеквадратического отклонения оценок от истинного значения параметров вероятностей ошибок в процедуре обнаружения разладки. Результаты моделирования демонстрируют эффективность предложенной процедуры.

где {е„} - последовательность независимых одинаково распределенных случай-

1. Постановка задачи

Рассматривается устойчивый случайный процесс ОЛЯСН(р,д)

(1)

ных величин с нулевым средним, единичнои дисперсиеи и известным распределением. Условная вариация процесса хп имеет вид

р <?

=а+Е Х1 хп-+Е •

/=1 /=1

Параметры {а,} предполагаются неизвестными, а параметры ц, - известными, причем

а > 0Д; > 0, ц ] > 0,1 < г < р, 1 < у < д , 0 < £ + Е И у <1- (2)

/=1 ]=1

Тогда процесс является стационарным [1]. Вектор параметров

Л = [а,Х^...,Xр] меняет свое значение с Л0 на Л] в неизвестный момент времени 0. Начальное и конечное значения параметров удовлетворяют условию

||Л0-ЛЦ2 >А >0,

где А является известным значением, определяющим минимальное расстояние между значениями параметров до и после момента разладки. Требуется по наблюдениям за процессом {хп} определить момент разладки.

2. Г арантированные оценки параметров

В [2] предложены гарантированные последовательные оценки вектора параметров Л. В каждый момент п составляется вектор Г (п, р., х), рекуррентные уравнения для которого имеют вид

<? <?

ро (п, и*) = 1 + Е И]Ро (п - 7> Ихр (п И*) = *1-1 + Е и]р (п - и Их) г = 1, Р;

у'=1 7=1

Р (по - j, И, х ) = [\ -1-7 - р-7 ], 1 = 09 -1

Вводятся следующие обозначения:

тп =тах{{(«,ц,х),...,^(«,ц,х)}, уп = хЦтп, ияг- = ^(«,ц,х)/тп,0<г<р;

ип =[«п,о,-,«п,рГ, Л=[а,^!,.,^р], Сп = (-1)/в, В2 = в(г2п-1)2, Ьп = БЛип.

Сначала для фиксированного значения параметра Н>0 определяется момент остановки

т = т( Н) = М{^ > N +1: итш (N) > Н}, (3)

где иШ]П(^1) - минимальное собственное значение матрицы

N

А(^) = £ v{n,х)ипиТп .

п=N+1

Положительные весовые функции у(и, х) на интервале [ N +1, N + ст-1], где о -наименьшее значение N, для которого матрица Л(^1) не вырождена, задаются следующим образом:

V(п,х) = \ЦГкитпип . (4)

Веса у(и, х) на интервале [ N + ст, т] находятся из условий

= £ V2(и,х)итпип, > £ V2(и,х)иТип, и(т) = Я. (5)

N n=N+ст Г N n=N+ст

Множитель Гм используется для компенсации неизвестной дисперсии помех и выбирается в одной из форм:

-2

( N 2 N '

а) ГN _ СЖ X *, Е 2 В Xе?

V1 -*0 У 11 -N0 і

N ' N Л-1

Ь) Г N = єм X *2, См = В2Е X ^

1-Щ \1-Щ ,

2П = *л/тіп|^0 (п,р,хРр (п,р,х)}. Из соотношений (6) следует, что

( Р Л1

Е— < —, Ь2 < С = В1

С> ”

а+Ех і

V і=і У

(6)

(7)

Затем строится оценка параметров вида

Л* (Н) = Г £ у(и, х)7яияг 1А-1 (т), А(т) = £ у(и, х)и„ияг (8)

V п=N+1 У и=N+1

Свойства предложенной оценки определяет теорема 1 [2]:

Теорема 1. Для любого значения параметра процедуры Н > 0 момент прекращения наблюдений т(Н) конечен с вероятностью единица и средний квадрат нормы отклонения оценки Л* (Н) от истинного значения вектора параметров Л удовлетворяет неравенству

1* II— + Р

Л (Н)-Л <------------£.

II Н2

3. Асимптотические свойства оценки

Для изучения асимптотических свойств оценки (8) нам понадобится следующий результат (аналогичные результаты для одномерного случая рассматриваются в [3, 4]).

Теорема 2. Пусть }>о - неубывающий поток о-алгебр, такой, что

тп

^0” = {0,0}, с ^”+1 для всех 0 < к < п . Пусть У1 = ^ £ 1 , тп < п, - марков-

к=1

ский момент относительно [Рк}к>0. Пусть при каждом п > 1 последовательность ) является последовательностью мартингал-разностей, е||^"Ц <да , и

(А) тах ||^”||2 --0; (В) ±Е()

1 <к <Т 11 -

к=1

->2,

где 2 - случайная положительно определенная матрица, ЕЕ < да. Тогда уп ——, где У - случайный вектор с характеристической функцией

Ее^ = Е ехр{-1 Хт Ех}.

Доказательство. Рассмотрим вектор Уп . Здесь и далее для упрощения записи положим тп = т . Рассмотрим асимптотическое поведение его стохастической

экспоненты ¥” (X). Представим ее в виде

¥" (X) = П Е

= ехр ІЕ Е

к=1

к=1

1 Т *П

Т7п

^к-1

-1 - ІХТ ЇП Х(к ,т)

ехР і-Е Е

к=1

а-Т Ці(к <т)

-1 - ІХТ ^п Х(к 5т)

п

хП I1+Е к=1

еІХ 3Х(к<т) -1 - ІХТ ЇПХ(к,т)

к-1

[ к-1

п

^к -1

(9)

Введем обозначение а к = Е

к-1

и покажем, что про-

изведение двух последних множителей в (9) стремится к единице

^кх(к<т) _ 1 -П Т^П^

єхр і-Е Е

к=1

^П Х(к <т)

к-1

*П [і+Е |>Т&(к<т) -1 - атХ(к<т) Рк?-11] =

к=1V Ь _1/

к=1 п

=п и+Е

к=1

Т <т)

1 - &т ^п Х(к <т)

к-1

:ехр

{-Е {Х(к <т) -1 -аг ^п Х(к <т) РкП-1 ]} = П (1+а к )ехР {-ак }•

Воспользовавшись неравенством ех -1 < ех |х|, получаем

П ( + ак )ехР {~ак }-1 к=1

< ехр

ехр 11п1 П І1+ак )ехр{-ак} ІМ

к=1

1п1 П(1+ак )ехр {-ак}

к=1

1п1 П(1+ак )ехр {-ак}

к=1

= ехр

Ё (1п (1+а к)-а к)

к=1

Ё (1п (1+а к)-а к)

к=1

Используя неравенство |1п (1 + х) - х| < |х|2 , имеем

Ё (1п (1+ак)-

а

к=1

< Ё І1п (1+ак) -ак I < Ё Іак I2 < тах 1ак1 Ё к I-

к=і к=1 1йкйп к=і

Поскольку |е“ -1 - ixI < x2/2 , то

верно

maxіakisiaki*-4maxE (r^n) x(kst) Fkn-l ze ^) x(k<t)

k=l

4 l<k<n

max E

k=l

k-l

4 l<k <n

2 n 2

И X(k<t) Fkn-l ZE ||^n| X(k<t)

k=l

k-l

Учитывая условия (A), (B) теоремы, получаем

max E

1<k <n

ІЙ2 J7n k-1 n Z E k=1 ||^k|| X(k<x) т-тП k-1 < max E 1<k <n И2 т-тП k-1

tr z—— 0.

Итак, произведение последних двух слагаемых в (9) стремится к единице. Рассмотрим первое слагаемое:

exp\£Е -1 -aTgх„s,)

Lk=1 l

-,ТуП

k-l

= exp

±E\- 2(T\n )2 X(k)

k=1

xexp\±E Є-1 -iXT%X(k£T) + 2(T^)2X(k£T)

k=l

k-1

Используя оценку |e" -1 - ix + x2/2 ^ |x|3 /б и учитывая условия (A), (B) теоремы, получаем

exp

< exp E lk=1

| E |>Г^> -1 - аГ ^ X(k.T) + 1 (Г ^n )2 X(k.T)

б£ IE [fc

n

Fk-1

6

< exp

1 V ^n |3 X(k .т)

< exp<^

n IІЧ 3

k Fk-1

max

б 1.k<n^

n

Fk-1

->1.

;H|e[||5

Итак, нами получено предельное выражение для стохастической экспоненты

lim ^n (k) = lim exp j]TE\-1 kT^ fef к F-i 1j = exp(-1 kTZk) = ^(к), (10)

n^^ n^rc I k=1 L і JJ (,2 j

где сходимость понимается по вероятности.

Покажем теперь, что Eel7 Y ^ ET (X). Представим ¥n (X) в следующем виде:

n ЗХ(к,т)

k=1

k-l

k=1

= П |1 - E

1 + iXT%X(k*) - eiXSx(kST)

k-1

Используя неравенство |e“ -1 - ix\ < x2/2 , получаем

n

(X) - П

k=1

1 + E

1 -л T rn 1

1 + iX ^X(k<т) - e

І^Т <t)

! k-1

г П I1 - E

k=1

1 + iXT t,nX(k<т) - X(k<t)

n

Fk-1

4

n

k-1

* П -Ц- E [й|2 X(k

k-1

= exp

I ln

k=1

ЛЛ

Учитывая условие (А), получаем, что для последнего выражения можно применить неравенство 1п (1 - х) > -2х, которое верно для х е [0,^2]:

( Тп г__ -Л

Чn (X)| > exp l-| E ||X||21|^|| X(^)

k=1

k-1

> exp

k1

k-1

Используя затем условие (B), получаем

n (X)| > exp(-\\X\\2 trZ) = c(X) > 0.

Рассмотрим случайную величину mn (X) = e x Y /¥n (X). Тогда

l<

(11)

Еег'^ Г -ЕЧ(X) < Е\шп (X)Чп (X)-Ч(X)|:

< Е\шп (X)Чп (X)-тп (X)Ч(X)| + Е|отп (X)Ч(X)-Ч(X)| <

< Е|тп (X )| |чп (X )-Ч (X )| + Е ((X) - 1)ч (X )|. (12)

Из (11) следует, что |тп (X)| < 1/с(X) < да. В силу (19) и теоремы Лебега о мажорируемой сходимости, первое слагаемое в последнем выражении стремится к нулю. Рассмотрим второе слагаемое:

(X) -1) (X )|

= E

e Y -Wn (X)

Из (10), (11) следует, что (X)/¥ ” (X )| < 1 с (Х) < да . Раскладывая функции в ряд

Тейлора, имеем

Ж У"

-у

(х)|-П|

1 7—1 1

-E

п

к=1

k=1

1 , -л Т rn iaXTh". т-т ^ -л T rn /л T rn \2 i'P^T /-*

1 + iX £кe - E i +iX £к - (X £к) e /2

к-1

к=1

n

П1 Wll||£:

к=1

|£П

к-1

к-1

В силу условия (А) и теоремы Лебега о мажорируемой сходимости, второе сла-

;'\Т уП ,

гаемое в (12) стремится к нулю. Отсюда получаем, что Ее ^ Е¥ (X).

Теорема 3. Пусть плотность распределения величин [г1} такова, что

( N Л-3

Z£/2 <да’ E(-1) <“•

n

Тогда для достаточно больших значений параметра процедуры Н>0 вероятность отклонения оценки Л* (Н) от истинного значения вектора параметров Л удовлетворяет неравенству

P{Л (H)-Л >5[< 1 -

2Ф

H + p

-1

(13)

где Ф (х) - функция стандартного одномерного нормального распределения.

Доказательство. Рассмотрим отклонение оценки от истинного значения параметра

Л (Я)-Л =

X bkzkv(n, x)Uj I А-1(т)

k=N+1

1

Я2

X bkz k v(«>x)U

k=N+1

. (14)

Изучим асимптотическое распределение вектора в правой части последнего неравенства. Для этого введем обозначения

Y" ="/= I bkCkv(k>x)UJ = £ £k, xn = min{x,«}, £k =~lbkt;kv{k,x)UJ. (15)

k=N+1 n=N+1

Процесс } является мартингал-разностью, поскольку

E[ЫF-]= bV(kH)UT E[[\Fk-] = [0,...,0],

Проверим для этих величин условие (A) теоремы 2. Используя свойства условных математических ожиданий и неравенство Коши - Буняковского, имеем

P {{I {2 >5Н P I 1,1«I2 X (II «I2 >s) >5Ц E f. 1 „II «I2 x (I Ml2 >s)'

V k=N+1

4 Z EEfcf x(t-%(||£n||2 >О1 F-11=ОE Z x(t-k)E

0 k=N+1 L V /I J О k=N+1

*12 x(| fell2 >0| Fk-

Используя соотношения v(k, x) < 1Д/ГN , b2 <C и UJU* <p +1, Коши - Буняковского и неравенство Чебышева, имеем

И2 X (I£ nil2 >H

k-1

Cv2 (k, x)UTUk H

неравенство

k- 1

s

Отсюда, учитывая (4), (5), получаем

2

C {p+1)

Cv (k, x)Uk Uk JEZn 1C {p +1)

H

H Г

>Б <

C3 (p + 1)EZ n 1

БИ

И

-j= £ v2 (Л, xx

N k=N +1 у

C3 (p + 1)EZn 1

БИ

И

N+a-1

1 ^ 2" ,r,T^ 1

л/Г N k=

£ v2 (Л, x)UkTUk

N +1

-= £ v2 (Л, x^T

Vr N k=N+a у

<4(C3 (p + 1)EZn P + И E

БИ

И

r3/2

Vі N У

/

Пусть множитель Гм выбран в форме (6а), тогда

' -рЗ/2 с3/2 ‘

1 N

I *

V1-Щ у

<

с 3,2 с^2

Ґ N А

I В?

V1У

Если плотность распределения величин [г1} такова, что математическое ожидание в правой части неравенства существует, то условие (А) теоремы 2 выполнено. Случай, когда множитель Гм выбран в форме (6Ь), может быть рассмотрен аналогично.

Проверим условие (В) теоремы 2:

\Т

р п _

к 1 - ^

(к {(к) Кл ] = НЕ[Ь2^V2 (к, х)икитк | ^ ] =

= Н Ьк2 V2 (к, х)ик иТ Е [С21! ] = Н ЬУ (к, х)ик и

Отсюда

к=N+1

к -1

і х«

1 ^ ,лгг ггГ

н

£ ь2у2 (к, доци1

к+1

Поскольку Ьк < С, и учитывая (4), (5), получаем, что каждый элемент матрицы Хп ограничен сверху

2, ('•■ Л< -1 £ Ф2(к.*)|Ы| 5 % £ V2(к,*)|Ы| <

н

н

Г N н

к=N+1 11 к=N+1

Таким образом, Ъп (і, ]) является ограниченным сверху субмартингалом и, как показано в теореме Дуба [3], имеет предел, т.е.

Т \Г “

к-1

->2,

причем ЕЕ (г, у) < « .Условие (В) теоремы 2 выполнено. Устремляя в (15) п ^<х>, получаем

1

У =

Ііт У” =^= £ Ък^У(к, х)итк = X

"V Н к=N+1 п= N+1

п=N+1

Учитывая (14), Р{Л*({)-ЛІІ >б|<Р{{Р >5И}. Применяя теорему Фубини

об изменении порядка интегрирования, получаем

1

, Етг

УУ1 >8и 1

р

{11^112 >^Я}= |

( Л

■ ехр І--У Е-1Ут

7(2п)р++Щ I 2

(ІУ =

(

= Е

л/(2пГ‘ |Щ

УУ1 >8и

I ехр{--УЕ-1Ут }У

Поскольку матрица £ симметрична и положительно определена, существует ортогональное преобразование, которое приводит ее к диагональной матрице £' [5]:

ТЕТт = Е', ТТт = ТтТ = I, где I - единичная матрица. Делая замену переменных 5 = 7Е-1/2Г т , получаем

||2 0) „ 1 Г (1

рЦл’т-л| >8)<і ехр}-

= Е , ^ | ехр{5^ } < Е , * | ехр|-{я7’}.

) ^т(^) тах >5Н

0<j< р

Здесь 5 = [ 50] - стандартный нормально распределенный вектор. Отсюда

Р {Л* (Я) -ЛІІ2 >§)< ЕР і тах ^ >_^[ = 1 - еП Р і 4 <-^Я-)|1 11 ( '0< 1< р 1 іг (Е )/ [ 1 іг (Е)

= 1 - Е

2Ф

іг (Е)

-1

у у

Используя свойства условных математических ожиданий и соотношения (4), (5) и (7), имеем

1г(Е) = £Е22 = Н£ЕГ £ Ъп^(я, х)ип

I=0 Н ;=0 V п=N+1

=р Е Е Е Е [ь«с2 ("> х)ип,іХ(т>и) е„-і ]+

Р і=0 п=N+1

2 р т п-1

+ РЕ Е Е Е Е [ЬкЬпСкСпЧк> ХМ"х)ик,іип,іХ(т>п)| Еп-1 ]:

Р і=0 п=N+2к=N+1

= 77ЕЕ Е ьп2^2 (" х)и2,іХ(т>п)Е[С2| Еп-1 ] +

Р і=0 п=N+1

2 р т п-1

+77ЕЕ Е Е ЬкЬпСк у(к,х>(«, х)Ыкіипі Х(

т >п )Е [п| Еп-1 ]

Р і =0 п=N+2к=N+1

^ С Vі Е Vі 2 ( ) 2 ^ ЕС (Т7 + Р) ^ р + р[

^ р ЕЕ Е у (", х)ип,і ^ Е г р •

р і=0 п=N+1 г пр р

Отсюда получаем (13). Теорема доказана.

4. Построение процедуры обнаружения разладки

Рассмотрим процедуру определения момента разладки. Пусть матрица

Т

А(Т ,Т2 )= ЁК«, х)ияияТ ,

Т

\п, х)и пСТ

П=Т]

а ит;п (71,72) - ее минимальное собственное значение. Весовые функции у(п, х)

определяются аналогично (4), (5). Строится последовательность моментов остановки

то = N, Т = т^п {т > т/-1 : иш1п (VI +1 т) ^ н} > * ^ !•

На каждом интервале [т!-_1 +1, тг- ] находим оценку параметров Аг- (Н) процесса (1), построенную по формуле, аналогичной (13). С интервалом [х!_1 +1, тг- ] для г > т связывается статистика ^ :

3 = (Л*-Л_т )т (Л*-Л_т). (16)

Алгоритм определения точки изменения параметров процесса заключается в следующем: значение заданной статистики (16) сравнивается с пороговым значением 5. Решение о наличии разладки принимается при превышении значения статистики ^ значения 5.

Теорема 4 [2]. Пусть 0 < 8 < А , тогда вероятность ложной тревоги Р0 и вероятность ложного спокойствия Р1 на любом интервале наблюдений [т^+1, т] являются ограниченными

4(Н + р)

Р0 (Н, 8) < 4(Н +Р, Р1(И, 8) <

Н 28

н 2 (а-л/8 )2

(17)

Следующая теорема задает асимптотическую границу для вероятностей ошибок процедуры.

Теорема 5. Пусть 0 <8<А и выполнены условия теоремы 3. Для больших значений параметра Н вероятность ложной тревоги Р0 и вероятность ложного спокойствия Р1 удовлетворяют неравенствам

( ( !Гг=—ЛР+1

(

Р0 (Н ,8) <1-

2Ф

|2(Н+р)

\р+1

-1

, Р(Н,8) <1-

2Ф

\(а-4ь)н

2 (Н+р)

-1

(18)

где Ф (х) - функция стандартного одномерного нормального распределения.

Доказательство. Рассмотрим вероятность ложной тревоги. В этом случае значение статистики 3 превышает порог 5 до момента разладки 0. Используя свойства нормы вектора и неравенство Чебышева, а также утверждение Теоремы 1, получаем

Р0(Н,8) = Р{3, >81 т, <0} = Р{|ст, -а,_т\\2 > 8}.

Для нахождения вероятности ложного спокойствия рассматриваются случаи, когда момент разладки уже наступил, а значение статистики (16) не превысило пороговое значение 5. Учитывая, что ||Л1-Л0||2 > А > 0 и используя свойства нормы, получаем

Р(Я,8) = Р{ < 8 | х,_т < 0 < т^} = Р{{ -Л0 + Стг -стг_Л2 < 8} <

< Р {ТА-|стг. - СТг._ т\\ < = Р { - СТг_ Л < >/А- ^} .

Аналогично доказательству теоремы 3 можно показать, что для случайного вектора стг- - стг--т вероятность больших уклонений от среднего не превышает аналогичной вероятности для нормально распределенного вектора с нулевым вектором средних и ковариационной матрицей, след которой удовлетворяет условию 1г(£) < 2(Я + р)/Я . Отсюда получаем (18). Теорема доказана.

Границы для вероятностей ложной тревоги и ложного спокойствия совпадают при 8 = Д/4, и это обеспечивает минимальное значение параметра Н при данной верхней границе вероятности ошибки.

5. Результаты численного моделирования

Для определения качества получаемой оценки неизвестных параметров процесса и проверки работоспособности процедуры обнаружения разладки было проведено численное моделирование процесса ОЛЯСН(2,2) со стандартными гауссовскими шумами

Хп = Ст«е« , = а + Х1ХП-1 + Х2 ХП-2 + Й1°П-1 + Й2СТП-2 • (19)

Проводилась серия из 100 экспериментов. Моделировались реализации процесса (19) длиной по 20 000 значений. Параметры р1 и р2 предполагались известными и равными р,1 = 0,2, р,2 = 0,1. Истинные значения неизвестного вектора параметров Л = [а, Х1, X2 ] задавались равными а = 0,1, Х1 = 0,5, X2 = 0,1.

Таблица 1

Оценки параметров процесса

Л Л* Т М8БП MSE^

Н=45 ( 0,1 > 0,5 V 0,1, ( 0,11314 0,4813 V 0,0818, 1274 0,0075 0,023

Н=55 ( 0,1 > 0,5 V 0,1, ( 0,102 Л 0,4624 V 0,1122 , 1857 0,007 0,018

Н=65 ( 0,1 > 0,5 V 0,1 У ( 0,1033 Л 0,4992 V 0,1056 , 2024 0,0056 0,016

* Г" * * * ~I

Здесь через Л = I а , Х1 , Х2 I обозначен вектор построенных оценок неизвестных параметров, МБЕ^ и МБЕ^ - значения среднеквадратического отклонения оценок от их истинных значений, полученные с помощью соотношений, доказанных в теореме 1 и в результате моделирования соответственно, Т - средняя длина интервала оценивания параметров.

Для проверки работоспособности процедуры обнаружения разладки были проведены следующие численные эксперименты:

- для определения среднего значения момента изменения параметров процесса ОЛЯСН(2,2) было смоделировано 100 реализаций процесса длиной 20 000 значений. В каждой реализации задавался один момент разладки 0 = 10 000 . Вектор

параметров Л = [а,Х1,Х2] в момент 0 = 10000 изменялся с Л0 = [0,1, 0,5, 0,1] на

Л1 = [0,6, 0,1, 0,3]. Исследовалась процедура определения момента разладки для

различных значений параметров процедуры Н и 5;

- для вычисления вероятности ложной тревоги и среднего времени между ложными тревогами рассматривалась реализация процесса длиной один миллион значений, не содержащая момента изменения параметров процесса. Фиксировались те моменты времени, когда процедура обнаруживает разладку;

- для нахождения вероятности запаздывания в обнаружении и среднего времени запаздывания рассматривалось 100 реализаций процесса (19) длиной 20 000 значений каждая, для которых момент разладки параметров процесса моделиро-

вался как равномерно распределенная случайная величина на интервале [9500, 10500]. Учитывались только те реализации процесса, для которых существовала задержка в обнаружении момента разладки.

Таблица 2

Оценки моментов изменения параметров и характеристики процедуры обнаружения

0* РоР РоА РоС То Р1Р РіА РіС То

Н=45, 8=0,1 10889 0,034 0,415 0,928 46038 0,034 0,235 0,738 1031

Н=55, 8=0,08 10959 0,0238 0,324 0,942 78417 0,017 0,159 0,501 874

Н=65, 8=0,06 11590 0,0181 0,252 0,906 91130 0,01 0,108 0,384 678

Здесь 0* - среднее значение оценок моментов изменения параметров, вычисленное по 100 реализациям процесса; Т0 - среднее время между ложными тревогами; Т - среднее время запаздывания в обнаружении; РоЛ, Р0С и Р0р обозначают вероятности ложной тревоги, полученные по формулам (18), (17) и в результате моделирования соответственно. Вероятности ложного спокойствия обозначены РЛ Р1С и Рр.

Результаты исследований демонстрируют эффективность предложенного метода оценки параметров процесса ОАЯСН(р,д) и предложенной процедуры определения момента разладки. Точность оценки неизвестных параметров процесса зависит от выбора значения параметра Н. С увеличением значения параметра Н

уменьшается ошибка оценивания параметров. Таким образом, оценки получаются более точными, что показано на рис. 1-3, однако при этом увеличивается интервал оценивания. С уменьшением параметра процедуры 5 уменьшается вероятность ложной тревоги и увеличивается интервал между ложными тревогами. С ростом Н увеличивается точность оценивания параметров, что приводит к тому, что даже при уменьшении 5 уменьшается вероятность запаздывания и сокращается время запаздывания. Во всех случаях выборочные характеристики процедуры обнаружения не превышают асимптотических теоретических границ, что позволяет сделать вывод о возможности их применения.

Заключение

В работе изложены последовательные процедуры оценивания параметров и обнаружения момента изменения значений параметров процесса GARCH(p,q), параметры которого предполагаются неизвестными до и после момента разладки. Исследованы асимптотические свойства предложенных процедур. Приведены результаты численного моделирования.

ЛИТЕРАТУРА

1. Bollerslev T. Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity // J. Econometrics. 1986. V. 86. P. 307-327.

2. Буркатовская Ю.Б., Воробейников С.Э., Сергеева Е.Е. Оценивание параметров и обнаружение момента их изменения для обобщенного авторегрессионного процесса с условной неоднородностью // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2012. № 1(18). С. 48-57.

3. Ширяев А.Н. Вероятность: в 2 кн. Кн. 2. 3-е изд., перераб. и доп. М.: Изд-во МЦНМО, 2004. 408 с.

4. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Теория мартингалов. М.: Наука, 1986. 512 с.

5. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976. 352 с.

Буркатовская Юлия Борисовна Томский политехнический университет

Воробейников Сергей Эрикович, Сергеева Екатерина Евгеньевна Томский государственный университет

E-mail: tracey@tpu.ru; sev@mail.tsu.ru; sergeeva_e_e@mail.ru Поступила в редакцию 14 декабря 2011 г.

Burkatovskaya Yulia B., Vorobeychikov Sergey E., Sergeeva Ekaterina E. (Tomsk Polytechnic University, Tomsk State University). Asymptotic properties of parameter estimation and change-point detection procedures for a generalized autoregressive process with conditional heteroscedasticity.

Keywords: GARCH(p,q), change-point, least squares method, mean square error, guaranteed estimation, martingale central limit theorem.

Problem of change-point detection of the parameters of GARCH(p,q) process is considered. The autoregressive parameters of the process before and after the change point are supposed to be unknown. A sequential procedure for estimating the parameters based on the weighted least squares method is developed. The choice of the weights and the stopping rule allows one to construct an estimator with a preassigned mean square error depending on parameter H of the procedure. The asymptotic properties of the proposed estimator are studied. The asymptotic bound for the mean square error is determined. The procedure of change-point detection is based on comparison of the parameter estimators at different observation intervals. The upper bounds for probability characteristics of the proposed procedure: probabilities of the false alarm and the delay are found. The results of numerical simulation demonstrating the performance of the procedure are reported.