Особенности поведения сигнальной волны при вырожденном параметрическом взаимодействии Текст научной статьи по специальности «Физика»

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Чирьев А.И., Крауиньш П.Я., Соколович Г.Е., Чирьев А.А. Патент РФ на изобретение №2161439 «Устройство для измерения внутритканевого давления » от 10.01.2001 г.

А.М. Гаврилов

ОСОБЕННОСТИ ПОВЕДЕНИЯ СИГНАЛЬНОЙ ВОЛНЫ ПРИ ВЫРОЖДЕННОМ ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ

Задача вырожденного параметрического взаимодействия (ВПВ) двух акустических волн, частоты которых кратны и отличаются в два раза, давно привлекает к себе внимание [1—4]. Связано это как с попытками генерации и усиления слабых сигналов еще на этапе их распространения в среде [1-3], так и с возможностью исследовать влияние фазовых соотношений на происходящие нелинейные процессы [4]. Однако до последнего времени основное внимание при рассмотрении ВПВ обращалось исключительно на энергообмен между сигнальной волной и мощной накачкой, опуская особенности их распространения. В данной работе на примере сигнальной волны показана взаимосвязь энергообмена и нелинейной дисперсии, реализующихся посредством фазозависимых нелинейных процессов.

Рассмотрение поведения слабой сигнальной волны при ВПВ проведем для без-дисперсионной квадратично-нелинейной среды с диссипацией, распространение в которой плоских волн конечной амплитуды (ВКА) описывается уравнением Бюр-герса:

ди ди ^ д 2и

----и—т = г----—, (1)

д2 д0' д0'2 ^

где и = у/у0 ; 0' = ю( - х/со); г = (е/с^ )ву0х ; Г = 1/(2еЯе); Яе = сороУо/йю - акустическое число Рейнольдса. В рамках задачи распространения слабой сигнальной волны (частота ю1) совместно с мощной волной накачки (ю 2) граничное условие зададим в виде бигармонического колебания

, 2 = 0) = Уо! 5ш[(ю1 /ю)0' + фо! ] + Уо2 81п[(ю^ю)0' + ф02 ] =

= уо1 в1п(0, + фо1 ) + уо2 5Ш(20' + фо2 ) , (2)

где у02 >>у01; ю1 = ю = ю2/2 . Выражение (2) удобно записать в виде

и(0,о) = У018ш(0 + фо) + Бт(20), (3)

где = Уо\1Уо2 ; 0=ю(-х/со); I = (^'-фо^2ю); фо =(фо1 -фо2/2) - начальное

значение фазового инварианта, характеризующее фазовые соотношения между исходными колебаниями.

В отличие от оптики, где частотная дисперсия ограничивает процессы генерации волн высших порядков и поэтому достаточно ограничиться рассмотрением двух-трех взаимодействующих волн, в акустике для описания распространения ВКА необходимо учитывать большое число Фурье-компонент. Поэтому использование спектрального подхода, предполагающего решение укороченных уравнений, записанных для комплексных амплитуд исходных и вторичных волн, в случае звуковых волн ограничено. Вызвано это необходимостью рассмотрения системы из большого числа связанных нелинейных уравнений, что не позволяет получить аналитическое решение. Тем не менее, данный подход позволяет описать начальный этап нелинейных процессов, где истощение накачки еще незначительно и им можно пренебречь. Следуя описанному в [1] подходу, решение уравнения (1) будем искать в виде

u(9, z) = F1 (z )sin(9 +9(z))+ sin (29), (4)

где Fj (z) = vj(z)/v02 ; <p(z) - пространственное изменение фазового инварианта, соответствующее в режиме заданной накачки изменению фазы сигнальной волны.

Укороченные уравнения, описывающие пространственное поведение амплитуды Fj (z) и фазы <p(z) сигнальной волны получаются из уравнения (1) прямой подстановкой в него выражения (4). Поскольку образование разрыва в волновом профиле определяется главным образом накачкой (2ю), учтем это в нормировке координаты и параметре, характеризующем соотношение диссипативных и нелинейных процессов

z1 = (е/c2 )2rav02х = 2z ; Г1 = 1/2еRe1 = йю/ер0c0v02 = 2Г, (5)

где z1 = х/хРН ; хРН - расстояние образования разрыва в одиночной волне накачки. С учетом (5) уравнение (1) перепишется в виде

„5м дм Г д2и

2---------и— = —----- (6)

dz1 д9 2 д92 ’

Выделяя члены с тригонометрическими множителями, содержащими в качестве аргумента (9 + ф), приходим к двум уравнениям, описывающим изменения амплитуды и фазы сигнальной волны [1]:

dFj dz1 + Г1F1 /4 = - F1 cos^)/ 4; (7)

(8)

d(p/dz1 = sin(2ф)/4 .

Выражение для амплитуды получим путем интегрирования уравнения (7). Это просто сделать, если принять во внимание, что при z1 << 1 выполняется условие ф^ ) = ф0. Справедливость сделанного допущения покажем после получения точного решения для ф^):

F1 (z1 )= C exp[- (Г1 + с°Фф0 ))z1 /4]. (9)

Постоянную интегрирования C найдем, подставив в (9) начальное значение ам-

плитуды при z1 = 0 : F1 (z1 = 0) = F01. После этого решение перепишется в виде

F1 (z) = F01 exp[- (Г1 + с°фф0 ))z1 /4]. (10)

Поведение экспоненты в (10) существенно зависит от фазовых соотношений. Так,

при ф0 = 0 усиление сигнальной волны в принципе невозможно. При этом пространственная убыль амплитуды наибольшая. Наоборот, для ф0 = п/ 2 ослабление амплитуды наименьшее, причем поведение экспоненты существенно зависит от Г1

F1 (z) = F01 exP[(1 -Г1 )z/4].

Так, в случае слабого проявления нелинейных процессов (Г1 > 1) экспонента убывает из-за доминирующего влияния диссипации, проявление которой не зависит от фазовых соотношений. При больших числах Рейнольдса (Г1 < 1) амплитуда растет, отражая усиление сигнальной волны. Для произвольных ф0 условием проявления усиления является соотношение: Г1 < - cos (2ф0 ) [1].

Начальные участки пространственных распределений амплитуды при различных значениях фазового инварианта ф0 и параметра Г1 приведены на рис. 1. Монотонный рост кривых 4 - 6 является следствием принятого условия о неизменной накачке. В реальных условиях из-за диссипации и перекачки энергии в высшие гармоники накачка заметно ослабляется уже с расстояний z1 > 1 , что было учтено

в работе [2]. Полученные в [2] уравнения в силу громоздкости решений усложняют анализ взаимосвязи энергообмена и нелинейной дисперсии. Поэтому при рассмотрении этого вопроса ограничимся участком малых в рамках решения уравнений (7) и (8), которые весьма наглядно и достаточно точно отражают влияние фазозависимых нелинейных процессов на поведение сигнальной волны.

I,]

0,9

у 1. фо = 0 ~77— 2. Фо = 1^8; 7л/8 3. ф„ = т-, Зя/4 4. Ф„ = Зя/8; 5л/8 8 (Р-ФО). ^ град. 2.ф, = */8; Зя/Я ' 3. фо = я/16; 7л/16 ^ 4. фь = 0;

5. фо = я/2; - я/2 6 - 8. фо = 4 0 13л/8; ±7я/16 - пунктир

1 -5. Г = 0,1 6. Г = 0,5 1 -4 5. Фо = -я/ 16; -7т1/1о\>/>^^^'

" 7. Г = 1,0 6. фо = -я/8; -Зя/8

8. Г =1,5 1111 - 8 7. фо = -я/4 1111

Рис. 1. Пространственные распределения нормированной амплитуды сигнальной волны при различных ф0 и Г1

О 0,1 0,2 0,3 0,4 г.

Рис. 2. Пространственные распределения нелинейного набега фазы сигнальной волны при различных ф0

Для нахождения фазы сигнальной волны проинтегрируем уравнение (8), воспользовавшись «универсальной тригонометрической подстановкой» ф = /:

ф(?1 ) = аг^су1/2).

Константу С1 найдем через начальное значение фазового инварианта С1 = tg ф0:

ф(21 )= ^ фо

При х1 ^ 0 имеет место ф «ф0, что подтверждает справедливость сделанного ранее допущения. Пространственные зависимости дополнительного набега фазы сигнальной волны Дф^ ) = ф^ )-ф0, возникающего при ее взаимодействии с накачкой, приведены на рис. 2. Видно, что при ф0 = (0, л/2, п,...) сохраняется фазовый синхронизм между взаимодействующими волнами (кривая 4). Совсем иначе ведет себя сигнальная волна при других значениях фазового инварианта. Если 0 <ф0 <П2 или П2 <ф0 <п, то фаза соответственно нарастает (кривые 1 - 3) или уменьшается (кривые 5 - 7) с расстоянием. Такое поведение возможно, если волна, распространяющаяся с фазовой скоростью сф, опережает или отстает от движущейся со скоростью с0 сопровождающей системы координат. Если подставить (11) в уравнение (7), то после интегрирования получим точное выражение для амплитуды волны в виде [2]:

V (г\) = ехР[- (г1 + !)/4] • [Ъ2 ф0 • ^ ф0 + !)|/2 .

Наблюдаемые закономерности отражают тот факт, что при указанных ф0 присутствие накачки приводит к изменению условий распространения сигнальной волны, в результате чего сф ф с0. Достаточно исключить накачку или, сохраняя ее, обеспечить ф0 =(0, П2, п,...), чтобы восстановилось условие распростране-

(11)

ния одиночной волны малой амплитуды сф = с0. Нарушение фазового синхронизма между исходными волнами (<p(zj) Ф const) свидетельствует о наличии дисперсии фазовой скорости, проявление которой (|d<p/dzj |) достигает максимума при Ф0 = (± П4), кривые 1 и 7 на рис. 2.

Амплитудно-фазовые (АФХ) и фазовые (ФХ) характеристики сигнальной волны показаны на рис. 3 и 4. Видно, что их характерные максимумы и минимумы имеют место при различных значениях ф0. Так, при ф0 = ±%j4, ±3тс/4, где дисперсия проявляется наиболее сильно, волна подвержена только диссипативному ослаблению. И, наоборот, при ф0 = 0, ±тс/2, ±п , где амплитуда принимает максимальное и минимальное значения, нелинейный набег фазы равен нулю.

Рис. З. Амплитудно-фазовые характеристики сигнальной волны

О 45 90 135 180

Рис. 4. Фазовые характеристики сигнальной волны

Анализируя АФХ и ФХ, можно проследить аналогию между нелинейной и физической дисперсией, связав нелинейный набег фазы с фазовой скоростью [5]:

1 _ ^ф^ х)

ю дх

1 _ £q дф(ф Q, х) дх

ю

Поскольку изменения скорости малы, сф >> ^ • дсф /дх), то из (12) следует

Сф (фо, х) = с0 [1 + (со /ю) • дф(фo, х)1ЙГ] = с0 + Дс(фо, X).

Из (13) получим выражение для приращения фазовой скорости волны:

Ас/Со = (СФ - Со )/Со =(со/ю)• дф1дх.

(12)

(13)

(14)

(15)

Согласно (8) пространственное изменение фазы имеет вид йф/йх = (і/хРН )-бф/Й71 = (і/4хРН ) 8Іи(2ф).

Подставляя (15) в (14), получаем

Дс/с0 =(с0/4 хРН ю) 8Іи(2ф) = (с0 а 0/4ю)-8т(2ф)Д\ = (с0 а10/ю)-8ш(2ф)Д\ , (16)

где а10 =а 0/4 = Ъю2 /2 р 0с0 - коэффициент диссипативного поглощения сигнальной волны; Г1 = хРН/хЗН =а0 хРН ; хЗН = 1/ а 0 и а 0 - характерное расстояние и коэффициент поглощения накачки. Для х1 ^ 0 выражение (16) перепишем:

^1 ) с0а10 «ІП(2ф0 )+ 2Дф^ ^ )- СОв(2ф0 ) с0а10 вІП(2ф0 )

г,

г,

(17)

Таким образом, для фиксированных параметров волны ( ю ) и среды (аю, со) фа-

c

c

с

ю

ю

Q

зовая скорость зависит от фазового инварианта и параметра Г1, отвечающего за эффективность нелинейных процессов. При ф0 = (о, тс/2, п,...) сигнальная волна

распространяется со скоростью с 0 независимо от величины Г1. Для других значений ф0 приращение фазовой скорости увеличивается по мере усиления нелинейных процессов (Ас ~ 1/Г1 ). Изменения фазовой скорости |Дс| согласно (17) достигают наибольших значений при ф0 = (±л/4, ±3л/4,...).

Получим выражение для дифференциального коэффициента поглощения сигнальной волны, учитывающее фазозависимые нелинейные процессы, для чего воспользуемся уравнением (7):

_L

V1 дх

д¥1

XPHV1 dz1

4 х

- [Г1 + cos^)] = <

PH

1 +

cosi

(2Ф)

(18)

С учетом условия z1 ^ 0 соотношение (18) перепишется в виде

1 +

cosi

Г1

1+

cos

Г1

(19)

Здесь первое слагаемое описывает диссипацию сигнальной волны, а второе отвечает за вклад фазозависимых нелинейных процессов, которые могут как вносить дополнительной ослабление (при -л/4 <ф0 <л/4), так и частично компенсировать потери, вызванные диссипацией (при л/4 < ф0 < 3л/4). Наибольшие и наименьшие потери сигнальная волна испытывает при ф0 =(0, п,...) и

ф0 =(±л/2, ±3л/2,...) соответственно. Фазовые зависимости коэффициента поглощения и приращения скорости на начальном этапе распространения сигнальной волны приведены на рис. 5 и 6.

- 5

■ 10

Деи

\ /А / <-VOo / \ / \

\ 1 \ \ / \

5 / Л 2 \

ц 0

\ " \ "—^ \ 1. Г = 0,1 \

\ I. Г = 0,1 \ с - \ / 2. Г = 0,5 \

. \ 2. Г = 0.5 \ \ 3. Г =1,0 \

\ 3. Г =1,0 \ \ / 4. Г = 1,5 \ /

\J 4. Г =1,5 \у - m \у \у

Фо, град. Фо, град. . L1.I..

0 90 180 270 360

Рис. 5. Фазовая зависимость коэффициента поглощения

0 90 180 270 360

Рис. 6. Фазовая зависимость приращения скорости сигнальной волны

Если уравнение (8) продифференцировать по переменной ф

д

дФ 1 dz1

и выражение для cos(2ф) подставить в (7), то получим соотношение

1

1

Г

а

10

1 2 д

1 +----------------

Г1 дф

ю дДс 2с0 дф

+ ТТ ~, (20)

чдг1

связывающее между собой фазовые зависимости коэффициента поглощения и приращения скорости. Для случая х1 ^ 0 равенство (20) перепишется в виде

а1 (ф0 ) = а10 + (®/2с0 )- д(Дс(ф0 ))/дф0 . (21)

Выражение (21) имеет формальную аналогию с соотношениями Крамерса-Кронига, которые связывают для электромагнитных волн частотные зависимости действительной и мнимой составляющих диэлектрической проницаемости среды. Физический смысл такой взаимосвязи состоит в том, что диспергирующая среда принципиально является поглощающей, и наоборот. Применительно к ВПВ акустических волн принципиальным отличием является то, что здесь поглощение и дисперсия отражают зависимость энергообмена и фазовой скорости сигнальной волны не от частоты, а от фазовых соотношений исходных волн. Это непосредственно следует из выражений (17) и (19).

Помимо формальной аналогии между физической и нелинейной дисперсией можно проследить ряд сходных количественных закономерностей. Например, в области, где дс/дф0 или дс/дю положительны (аномальная дисперсия) и принимают наибольшие значения (ф0 = 0, л,...), коэффициент поглощения волны имеет максимальное значение. Напротив, в области, где дс/дф0 < 0 , наблюдается “отрицательное” поглощение, приводящее к частичной или полной (зависит от параметра Г1) компенсации диссипативных потерь за счет параметрического усиления сигнальной волны. Причем коэффициент поглощения и производная дс/дф0 принимают минимальные значения при одних и тех же значениях фазового инварианта ф0 = (л/2, 3л/2,...). На границе “аномальной” и “нормальной” дисперсии

(д^ дф0 = 0) поведение амплитуды волны не зависит от фазозависимых нелинейных процессов и определяется исключительно диссипацией.

Рассмотренные закономерности поведения сигнальной волны подтверждаются численными расчетами уравнения (1) для больших расстояний и результатами эксперимента, изложению которых посвящена отдельная работа. Ранее наличие такой же взаимосвязи, а также фазозависимого характера нелинейной дисперсии и нелинейного поглощения показано на примере узкополосной трехчастотной ВКА [6]. Из этих двух случаев видно, что изменение направления энергообмена между волнами посредством фазозависимых нелинейных процессов неизбежно сопровождается дисперсией, указывая на проявление фундаментального принципа причинности, связывающего между собой АЧХ и ФЧХ волнового отклика.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Руденко О.В. О параметрическом взаимодействии бегущих звуковых волн // Акуст. ж., 1974. Т. 20. - № 1. - С. 108-111.

2. Ляхов Г.А., Руденко О.В. Об эффекте параметрического усиления слабых сигналов в нелинейной акустике // Акуст. ж., 1974. Т. 20. - № 5. - С. 738 - 744.

3. Зарембо Л.К., Сердобольская О.Ю. К вопросу о параметрическом усилении и параметрической генерации акустических волн // Акуст. ж., 1974. Т. 20. - № 5. - С. 726 - 732.

4. Гаврилов А.М., Савицкий О.А. К вопросу об использовании эффекта вырожденного параметрического усиления // Акуст. ж., 1992. Т. 38. - № 4. - С. 671 - 676.

5. Гаврилов А.М., Ситников Р. О. Измерение геометрической дисперсии в звуковом пучке // Акуст. ж., 2006. Т. 52. - № 4. - С. 1 - 7.

а, = а

= а

6. Гаврилов А.М. Нелинейная дисперсия трехчастотного волнового пакета в бездисперси-

онной квадратично-нелинейной среде. Теория. Электронный журнал «Техническая акустика», <http://www.ta.org.ru> 2005, 28.

А.А. Борисов, С.А. Борисов

КОРРЕКТИРОВКА ИЗМЕРЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ РАЗНОСТИ ФАЗ В СИСТЕМЕ СО СВЕРХКОРОТКОЙ АКУСТИЧЕСКОЙ БАЗОЙ

В последнее время при проведении подводных исследований большое распространение получили системы подводной навигации со сверхкороткой (ультракороткой) базовой линией (СКБ-системы). Эти системы состоят из приемной антенны, расположенной на корпусе судна и излучающей антенны, находящейся на подводном аппарате (ПА) или маяке. Судовая антенна состоит из трех элементов, расстояние между которыми лежит в интервале от десяти до нескольких десятков сантиметров [1],[2].

Принцип действия СКБ-систем основан на измерении разности фаз приходящего сигнала между различными элементами судовой антенны, которая вызвана различием времен прохождения сигнала между передающей антенной на ПА или маяке и элементами судовой антенны. При расчетах координат ПА принципиально важно, чтобы измеренная разность фаз соответствовала бы пространственному положению всех элементов судовой антенны в один и тот же фиксированный момент времени. Значения разностей фаз, которые были бы измерены при неподвижной во время приема судовой антенне, назовем «истинными» значениями. Движение судна во время последовательного процесса приема сигнала различными элементами судовой антенны приводит к тому, что измеренная с помощью фазометра разность фаз между элементами может отличаться от «истинной». Это происходит из-за доплеровского сдвига частот.

В данной работе анализируются условия необходимости корректировки разностей фаз, а также даются приближенные расчетные формулы для проведения данной корректировки без проведения дополнительных измерений. Во многих практических случаях это позволяет существенно увеличить точность расчета координат.

Рассмотрим СКБ-систему, состоящую из трех элементов, образующих две взаимно перпендикулярные базы. Данные базы расположены в плоскости, параллельной плоскости палубы. Ось х базы элементов 12 направлена вдоль осевой линии судна, а ось у базы элементов 13 - по траверзу вправо [2]. Начало координат системы, связанной с приемной антенной, находится в месторасположении первого элемента.

Обозначим: Д/12, Л/13 - измеренные значения разностей фаз между элементами; dAf12, dAf13 - их погрешности, связанные с движением судна во время приема; a, b - длины баз 12 и 23 соответственно, а а ив - углы между приходящим сигналом и базами. Назовем первоначальными координаты xo, y0, z0 ПА, которые не откорректированы с учетом крена, дифферента и курса судна.

Тогда, при известной глубине ПА H для относительных погрешностей горизонтальных координат х0, y0 можем записать выражения:

Sx0 cos2 а ч dA/12 cos2 в dA/12

—;Г = (1 +------5-------+-----------------5--^“5------Г712, (1)

х0 1 - cos а- cos в Д/12 1 - cos а- cos в Д/п