CC BY
77
2. Визначено експлуатацшну продуктивнють кранiв iз гаковою пiдвiскою та захватом.
ВИКОРИСТАНА Л1ТЕРАТУРА
1. Бакин В. П. Механизация на разборке завалов // Механизация строительства, 1989. -№ 5. - С. 7 - 8.
2. Марков А. И., Маркова М. А. Аварии зданий и сооружений. - Запорожье: ООО «Настрой», 2008. - 84 с.
3. Мiрошниченко М. Вибух газу - «це урок, який повинна засво1ти держава» // Надзвичайна ситуащя, 2007. - № 10. - С. 8 - 15.
4. Неукротимая планета / Д. Берни, Д. Гилпин, С. Койн, П. Симонс // Пер. с англ. ЗАО «Изд. дом Ридерз Дайджест», 2008. - 319 с.
5. Трапчний вибух у Свпаторп // Надзвичайна ситуащя, 2009. - № 1. - С. 8 - 15.
6. Хмара Л. А., Шатов С. В. Використання будiвельноl техшки для виконання рятувальних та вщновлювальних робгт при лшвщацп наслщюв стихшних лих та аварш / Бущвництво УкраГни, 2008. - № 5. - С. 34 - 39.
7. Хмара Л. А., Шатов С. В. Технолопчш особливост розбирання завалiв зруйнованих бущвель / Вюник Придншр. держ. акад. буд. та архггект. - Д. : ПДАБА, 2010. - № 10. - С.42 -52.
8. Шатов С. В. Оргашзацшно-технолопчш ршення розбирання завалiв декшькох зруйнованих бущвель або споруд / Вюник Придншр. держ. акад. буд. та архтект. - Д. : ПДАБА, 2011. - № 1 - 2. - С. 8 - 14.
9. Шатов С. В. Визначення параметрiв уламюв зруйнованих споруд та елеменпв бущвель, як реконструюються / Вюник Придншр. держ. акад. буд. та архтокт. - Д. : ПДАБА, 2011. - № 3. - С.8 - 14.
10. Цившьний захист - один iз прюрите^в нащонально! безпеки // Надзвичайна ситуащя, 2009. - № 2. - С. 34 - 38.
11. Чумак С. П. Основы разработки технологии и управления процессами аварийно-спасательных работ при разрушениях зданий и сооружений // Пробл. безопасности при чрезвычайных ситуациях. - М. : ВИНИТИ, 2008. - Вып. 4. - С. 55 - 62.
УДК 656.13-049.7
ОСОБЛИВОСТ1 ПОБУДОВИ ЕМП1РИЧНИХ РЕГРЕСИВНИХ МОДЕЛЕЙ ПРИ МОДЕЛЮВАНН1 ТЕХНОЛОГ1ЧНИХ ПРОЦЕС1В П1ДПРИ€МСТВ АВТОМОБ1ЛЬНОГО ТРАНСПОРТУ
Г. В. Заяць, к. т. н., доц.
Ключовi слова: технолог1чний процес, модель, регреыя, корелящя, ¡мов1ртсть, адекватмсть, точмсть
Постановка проблеми. Технолопчш процеси на шдприемствах автомобшьного транспорту, як i машинобущвного виробництва, особливо процеси вщновлення, дуже складш. Дос вщсутш адаптоваш анал^ичш моделi закономiрностi процесiв щодо систем масового обслуговування рухомого складу автотранспортного шдприемства, оптимiзацil процесу замши обладнання виробничих зон, зношування i навантаження iнструменту при рiзних видах ремонту тощо. Тому дуже часто використовують моделi, якi ранiше позначали як емпiричнi. Емпiричнi моделi об'екпв i процесiв е результатом обробки експериментальних даних про поведiнку об'екта або процесу методами математичного статистичного аналiзу.
Аналiз дослiджень та публжацш. Аналiз публiкацiй [1; 3; 4; 7 - 9] дозволив зробити висновок про необхщнють загально! систематизаци напрацювань для можливостi аналiзу !х результатiв iз використанням сучасного програмного забезпечення (МаШЬаЬ&8тиПпк, MathCad, 81а11811еа та ш.).
Метою дослiджень е визначення найбшьш оптимального методу моделювання технолопчних процесiв за критерiем адекватностi модел^ похибки результатiв, економiчностi розрахункiв.
Виклад основного матерiалу. Для побудування моделей об'екпв за результатами
експериментальних дослiджень використовують математичний апарат регресiйного i кореляцiйного ан^зу. Термiни «регрешя» «корелящя»були вперше запропоноваш наприкiнцi XIX сторiччя до вживання Ф. Гальтоном i К. Ирсоном, якi вивчали взаeмозалежностi зросту i ваги людей рiзного вiку i виявили необхiднiсть уведення показникiв вказано! залежностi, якi б надавали зв'язок мiж дослiджуваними характеристиками людини, але не визначали б одне одного однозначно. В даний час «регрешя» «корелящя» - основнi поняття статистики.
Основне завдання кореляцiйного аналiзу - виявлення значущостi зв'язку мiж значеннями рiзних випадкових величин. Залежнiсть мiж випадковими величинами, при яких одному значенню одше1 величини (аргументу) вщповщае одне або декiлька цiлком певних значень шшо1 величини, називаеться, вщповщно, однозначною або багатозначною функцiональною залежшстю[6]. Залежнiсть мiж величинами, при якш кожному значенню одше1 величини вщповщае з вiдповiдною ймовiрнiстю безлiч можливих значень шших, називають iмовiрнiсною, яка, в свою чергу, може бути стохастичною чи статистичною.
Прикладами кореляцшного зв'язку (для технологiчних процесiв у машинобудуванш) е залежностi мiж межами мщност i текучостi сталi певно! марки, мiж погрiшностями розмiру i погрiшнiстю форми поверхнi деталi, мiж температурою випробування i мiцнiстю матерiалу тощо.
Математичний апарат регресiйного аналiзудозволяе:
- оцiнити невiдомi параметри пропоновано! до дослiдження регресшно1 моделi;
- перевiрити статистичну значущiсть параметрiв моделц
- перевiрити адекватнiсть моделi;
- ощнити точнiсть моделi.
Вид регресшно! моделi пропонуе виконувач, який повинний враховувати:
- фiзичну суть дослщжуваного об'екта;
- характер експериментального матерiалу;
- наявнiсть i можливiсть аналiзу апрюрно1 шформаци.
Найпростiшим для моделювання е об'ект, у якого один вхвдний i один вихiдний фактор (рис. 1). Вхщний фактор характеризуеться дiею на дослiджуваний об'ект. Наприклад, у технологiчних процесах машинобудування це може бути температура, сила, час, геометричш параметри шструменту, характеристики оброблюваного й шструментального матерiалiв. Вихiдний параметр характеризуе реакщю об'екта на дда видного чинника. Вихiднi фактори в технолопчних процесах машинобудування - довжина пройденого iнструментом шляху, величина зносу, напруга, яюсть оброблено1 поверхнi i т. п.
Рис. 1. Об'ект до^дження в загальному виглядг
Для побудування емшрично1 моделi необхiдна наявшсть даних експериментальних дослiджень об'екта (наприклад, у виглядi таблиць), в яких кожному значенню видного фактора (X) вщповщае значения вихщного фактора (У). Пари випадкових змiнних (Х, У) пiдкоряються ¿мов1ршсному розподшу, граф1чне воображения якого наведене на д1аграм1 розаяння (рис. 2), [7].
Уз ж
/ У1 --
У
ж—■ — __—ж Уд
У1 У'2
Х1Х1Х3 Х4............ХДХ
Рис. 2. Граф!чна интерпретация до^дження з лШею регреси
Необхщно знайти таку криву, яка б найближче апроксимувала експериментальш точки. Для зручносп подальшого дослщження об'екта ця крива для свого опису повинна мати одну едину формулу. Якщо ми з'еднаемо точки на графшу, то отримаемо ламану лшю, складену з декiлькох прямих i описувану вiдповiдною кiлькiстю лшшних моделей. Це вкрай незручно для дослщження. Необхiдно знайти криву, що найкращим чином описуе всi експериментальш точки (рис. 2). Таку криву називають регресшною кривою У по X.
У загальному випадку крива регреси може мати будь-який вигляд, але вона не повинна мати розривiв. У найпроспшому випадку крива регреси мае вигляд прямо! лши.
Побудування моделей i дослщження об'екта починають iз найпростiших моделей, лшшних. Лшшнш моделi вiдповiдае крива регреси у виглядi просто! лiнi!.
Як правило, е вщхилення експериментальних точок вщ криво! регресi!, що викликано впливом неврахованих у моделi зовшшшх факторiв на дослiджуваний об'ект. У моделюванш вихiдний фактор називають залежною вихiдною змiнною, а вхiдний - незалежною вхiдною змiнною. У процес дослiдження об'екта вхiдний фактор завжди мае детермiнований характер, а вихщний - випадковий.
Рiвняння, яке встановлюе зв'язок мiж випадковою залежною i детермiнованою незалежною змiнними, називають рiвнянням регресi!. Вiдповiдно до [7], термш «рiвняння регреси» е загальноприйнятим, але не коректним. Модель, побудована на основi рiвняння регресi!, називають регресшною моделлю. Для отримання регресiйних моделей ^внянь регресi!) використовуеться математичний апарат регресшного аналiзу.
Отже, пiдбiр криво! регреси i регресiйно! моделi зазвичай починають iз побудування просто! прямо! лши ^ вiдповiдно, з лшшно! моделi.
Вiдповiдно до [7], при необмежено великш кiлькостi експериментальних точок лшшна регресiйна модель може бути представлена у виглядi рiвнянь:
де у - передбаченi значення вихщно! змiнно! для лiнiйно! моделi; х- значення вхщно! змiнно!; Р 0, Р1 - коефiцiенти регресi!; в - нехарактерний залишок.
Визначення коефiцiентiв регреси здшснюеться на основi методу найменших квадратiв, який застосовують у тих випадках, коли випадкова варiацiя вхщного параметра досить мала порiвняно зi спостережуваним дiапазоном його вимiрювання [7], тобто значення вхщно! змiнно! вважаються фiксованими. Суть методу полягае в тому, що розраховуються таю значення р0 i рь при яких сума квадра^в вiдхилень змiряних величин у вщ передбачених убула б мшмальною.
Для пар спостережень доцшьно записати:
У = Ро +Р: 'х + в,
(1)
У = Р о + Р1 • х,
(2)
У = Р о +Р1 • X +в г . Вщхилення змiряно! величини yвiд передбачено! у
вг= у- у = У- (Ро + Р1)х. Сума квадратiв вiдхилень записуеться у виглядi:
(3)
(4)
П
П
(5)
де А- функщя суми квадратiв вщстаней вiд експериментальних точок до прямо!. Значення р0 i р1 перебирають i пiдбирають такими, щоб
(6)
(7)
2
(8)
Найменше значення суми квадратiв вiдхилень досягаеться у тому випадку, коли коефiцieнти р0 i р1 задовольняють умовi [6]:
= ^ = 0. (9)
dв0 dв1
Значення х,, у, е обмеженою вибiркою iз загального числа сташв дослiджуваного об'екта. Тому визначити можливо тшьки коефiцiенти р0 i р1, якi для зручностi позначимо b0i Ъг вiдповiдно. Тодi:
у = Ъ0 + Ъ1х. (10)
Таю моделi називають однофакторними регресшнимимоделями. Коефiцiент регресн Ъ1визначаеться за формулою [7] :
\ ( \
II
х - х
у - у
Ъ1 = г=14 , /чл2 у, (11)
п ( _ \
II х-- х
г =1 V )
де хг— значення вхщного фактора пiд час проведення експерименту;
у, - значення вихщного чинника, вiдповiдного до х,-;
х - середне значення вхщного фактора, яке може бути визначене за формулою:
п
&
х = (12)
п
у - середне значення вихiдного фактора, яке може бути визначене за формулою:
п
I УгУ = (13)
п
Коефщент регресп'Ъ0 може бути визначений за залежшстю:
Ъо = У - Ъ х. (14)
В результатi перетворень отримаемо:
у = у + Ъ^х, - х). (15)
Адекватнють отримано! регресшно1 моделi експериментальним даним слiд оцiнювати за крш^ем Фiшера ^розр) [7]:
п (А - V
II у- у
Ррозр = -, (16)
Р Р V ( л
II Уi - Уi
г =1 V
який е вiдношенням суми квадратiв вiдхилень, зумовлених регресiею, до суми квадратiв вщхилень щодо регресн.
При формулюваннi нульово! гiпотези (Н0: Ъг = 0) розрахункове значення коефщента ^розр. порiвнюеться з табличним значенням^табл(п i а), де п- загальна кшьюсть експериментальних спостережень (хг, у,), яка впливае на кшьюсть ступенiв свободи при визначенш критерiю Фiшера; а - ймовiрнiсть невiрноl гiпотези.
Зазвичай в моделюваннi використовують значення а = 0,05; 0,01. При ^розр>^таблнульова гшотеза вiдкидаеться, модель вважаеться адекватною, а регресiя - значущою. При ^розр < ^табл регресiйна модель неадекватна i використання И для аналiзу i дослiдження неприпустиме. У цьому випадку необхщно знову проаналiзувати апрiорну iнформацiю, знову спланувати i провести експеримент.
Значення коефiцiента Фшера зазвичай данi в довiдниках iз математично! статистики i теорн ймовiрностi.
Для оцiнки точностi регресiйних моделей з одшею вхiдною використовуеться вибiрковий коефiцiент кореляцн Пiрсона Р (X), який визначаеться за формулою:
Ё| х-- х
Л
Р( ху) =
г =1 1
(
Уг - У
(17)
хг - х ] {Уг - У
г =1 V ) г =1 V У
Коефiцiент кореляци ИрсонаР(хУ) характеризуе тiсноту зв'язку мiж вихiдною змiнною yi вхiдною змшною х. Значення коефiцiента кореляциИрсонаР(хУ) знаходиться в межах вщ -1 до +1 включно.
Можна видшити декшька окремих випадкiв значення коефiцiента кореляци.
Чим вище значення Р(ху), тим тюшший зв'язок мiж вихiдною у i вхiдною х змiнними, тим точшша математична модель.
Якщо модель мае низьке значення Р(ху),то вона мае низьку точшсть оцiнки i прогнозу поведiнки або властивостей об'екта. Таку модель використовувати для дослщження, опису i прогнозу об'екта не рекомендуеться. З декшькох моделей, проанатзованих пiд час моделювання, для дослщження об'екта вибираеться та модель, у яко! коефiцiент кореляцi! р(ху) мае найбшьше значення.
Пiсля розрахунку коефщента кореляцi! проводять перевiрку його значущосп за допомогою критерiю Стьюдента. Коефщент кореляцi!, розрахований для моделi (Ррозр), порiвнюеться з граничним значенням (Ртабл).
Якщо Рро3р > Ртабл, то Ррозр приймаеться як показник щшьносп зв'язку i навпаки [8]. Табличш значення Ртаблможна знайти в довщниках з теорi! ймовiрностi i математично! статистики.
При оцiнюваннi стандартно! помилки для передбачених значень вихiдного фактора треба розум^и, що якнайкращi прогнози будуть у «центрi тяжшня» експерименту, i чим далi вiд «центру тяжшня», тим найменш точними будуть прогнози значень вихщного фактора [7].
Якщо в результат розрахунку коефiцiента кореляци р(ху) лiнiйна модель визнана недостатньо точною, переходять до дослщження складшших моделей: статично! (у = ЬдхЬ1), експоненцшно! (у= ехр(Ь0 + Ь1х)), полiнома (у= Ь0 + Ь1х+ Ь2х2) чи зворотно! (у= Ь0 + Ъ1/ х або
У = 1—1—).
Ь0 + Ь1 • х
Полшом i зворотнi моделi е лшшними за параметрами, тому для оцшки !х коефiцiентiв регресi!, кореляци i критерiю адекватностi можна використовувати формули (11), (14), (16),
(17).
Статична й експоненщальна моделi вимагають додаткових перетворень у виглядi логарифмування.
Для побудови моделi необхiдно мати даш експериментальних дослiджень процесу, наведенi у виглядi таблицi, де кожнiй комбшаци значень вхiдних чинникiв вiдповiдае значення вихщного фактора (табл.).
Та блиця
Результати експериментальних досл1джень_
№ експерименту Вхщний фактор Вихiдний фактор
Х1 Х2 Хз Хт У
1 Х11 Х21 Х31 Хт1 У1
2 Х12 Х22 Х32 Хт2 У2
3 Х13 Х23 Х33 Хт3 Уз
4 Х14 Х24 Х34 Хт4 У4
п Х1п Х2п Х3п Х лтп Уп
Моделювання процесу зi складною зовшшньою дiею у виглядi декiлькох вхiдних факторiв, так само, як i для процесу з одним вхщним фактором, починаеться з лiнiйно! моделi.
Якщо мати необмежено велику кшьюсть експериментальних точок, то лшшна регресiйна модель з декшькома вхiдними змiнними мае вигляд:
у = во + Рх + Р2Х2 + РзХз + • • • + РшХ„
(18)
де х1, х2, хз.. ,хш - значення вхщно1 змiнноl; во, Рь Р2, • ••, вт- коефiцieнти регреси.
Експериментальнi данi у виглядi комбшацш (х1,, х2,, х3,, ... хт,, у) е лише обмеженою вибiркою iз загального числа сташв дослiджуваного процесу. Тому можливо визначити тшьки коефiцiенти р0, р1, р2, ..., якi позначають, вiдповiдно, Ь0, Ь1, Ь2, Ь3, ..., Ьт.
у = Ьо + Ь1х1 + Ь2х2 + Ь3х3 + ... + Ьтхт• (19)
Таю моделi називаються багатофакторними, в яких визначити коефщенти регреси Ь, так, як це робиться для однофакторной модел^ не уявляеться можливим. Необхщно використовувати основи алгебри матриць i матричного числення.
У вщповщносп з даними таблицi, мат
X =
зищ Х, У, В мають виг ляд:
1х11 х21 х31 •••хт1
• ••х„
1х12 х22 х32 • 1х1з х2з хзз
т2
•••х
тз
1х1тх2тхзт •••хтп
(20)
У матрицi X всi елементи першого стовпчика дорiвнюють одиницi. Вважатимемо це фштивною вхiдною змiнною Х0з постiйним значениям.
У =
В =
У1
У2 Уз
Ут
'ЬГ Ь2
Ьз Ь
(21)
(22)
Розмiрнiсть матриць така: У - вектор спостережень (т ■ 1); X - матриця незалежних змшних [т(к + 1)]; В - вектор коефщенпв регресп [(к + 1) ■ 1]
Правила множення матриць i векторiв вимагають, щоб вони були узгодженими i мали вiдповiдну розмiрнiсть [5; 7]
Вважаемо, що матриця А мае розмiрнiсть (п ■ р):
- на матрицю А тiльки злiва може бути помножена матриця В розмiрнiстю (т ■ п):
В ■ А = (т ■ п ■ п ■ р) = С(т ■ р); (2з)
- на матрицю А тшьки справа може бути помножена матриця В розмiрнiстю (р- д):
А- С= (п р- р д) = Щр 4). (24)
Отже, додаток В ■ Х не iснуе i лiнiйна регресiя може бути записана у виглядi
У= Х- В. (25)
Використання апарату лшшно! алгебри дозволяе отримати загальну залежшсть для визначення вектора, що мютить коефiцiенти регресп [5]:
В = (X ■ X) -1 = X ■ У, (26)
де (X' ■ X) - 1 - зворотна матриця; X' - транспонована матриця •
Необхщно визначити адекватшсть i точшсть запропоновано' багатофакторно' модель Адекватнють моделi характеризуе вiдповiднiсть моделi експериментальним даним i статистичну значущють рiвняння регресп.
Адекватнiсть регресiйно1' моделi оцiнюеться коефiцiентом Фiшера:
VГл Л Ц У!- У
р = '=1 V_у (27)
розр п / ^2 • ^ '
Х| уг - у
! =1 V
Розрахункове значення коефщента Ррозр необхiдно порiвняти з табличним ртабл (т, а), де т - загальна кiлькiсть експериментальних спостережень, а - рiвень знaчущостi.
Для багатофакторних моделей табличне значення критерда Фiшера залежить ще i вщ числа вхiдних змiнних [5].
При Ррозр > ртабл модель вважаеться адекватною, а регресiя статистично значущою.
При Ррозр < Ртабл регресшна модель неадекватна, а регресiя статистично незначуща.
Для оцiнки точностi регресшних моделей з декiлькома вхiдними змшними використовуеться множинний коефiцiент кореляцй (Я2) [4], який визначаеться за формулою:
Ц Уг - У
Я2 = -(28)
п ( _ ^
Е1 Уг - У
i характеризуе щiльнiсть зв'язку мiж вихiдними i вхiдними змшними. При цьому 0 < Я2 < 1.
При Я2 = 0
вихщний фактор у лшшно не залежить вiд вхiдних факторiв х1, х2,... хк, тобто кореляцшний зв'язок мiж вихiдним чинником i вхiдними факторами вiдсутнiй.
При Я = 1
вихiдний фактор у лiнiйно залежить вiд вхiдних х1, х2,..., хк- тобто в наявност сильний кореляцiйний зв'язок. При вищому значеннi Я2, присутнiй iстотний зв'язок у моделi мiж змiнними вихщними i вхiдними змiнними факторами. При низькому значенш Я2 будемо мати низьку точшсть оцiнки i прогнозу поведшки або властивостей об'екта, а використання тако! моделi для дослщження, описання i прогнозу об'екта недоцшьне.
З декiлькох моделей для дослщження вибираеться та, у яко! вщношення Я2 мае найбiльше значення. Якщо в результатi розрахунку вiдношення Я2 лшшна регресiя визнаеться недостатньо точною, то переходять до дослщження складшших моделей, таких як:
у= Ъ0 + Ъ1х+ Ъ2х2 + Ь3х3; (29)
- пол1нома з деюлькома незалежними змтними
у= Ъ0Ъ1х1 + Ъ2х2 + Ъ3х1 х2 1 + + Ъ4 х2 х22 + Ъ5х1х2; (30)
- зворотног модел1
, Ъ Ъ2 Ъ3 Ъ4 , Ъ Ъ2 Ъ3 Ъ4 Ъ4 ,.
у = Ъо + + + + -Ч у = Ъо + + + -2 + -2 + —; (31)
х1 х2 хз х4 х1 х2 х х2 х1 * х2
- комбiнованоí модели
У= Ъ0 + Ъ1 •х1 + Ъ2•Vx + Ъ3-1пх+ Ъ4-ехр(х). (32)
Дослiдник сам може запропонувати вид багатофакторно! на основi аналiзу апрюрно! шформацй. Оцiнка коефiцiентiв регресй, критерiю адекватностi моделi i множинного коефiцiента кореляцй здiйснюеться за формулами (27), (28), (29). Якщо в результат побудови лшшних моделей жодна з них не була визнана достатньо точною, переходять до дослщження бшьш складних моделей. Будь-яку модель, записувану в результат перетворення у виглядi (18), доцiльно аналiзувати методами лшшного регресiйного аналiзу.
На практищ використовують такi види перетворень для нелшшних моделей [7]:
- зворотне перетворення;
- логарифмiчне перетворення;
- перетворення типу квадратного кореня.
Якщо за допомогою будь-яких перетворень нелшшна модель може бути приведена до вигляду множинно! лшшно! регресй, то вона називаеться нелшшною моделлю з «внутршньою лшшшстю» [6]. До таких моделей належать:
- статична (мультиплтативна)модель
У = Ъо • хЪ1 • хЪ2 • хЪ3 •...• х\* . (33)
Пюля перетворення: 1пУ = 1пЪ0 + Ъ11пх1 + Ъ21пх2 + ... + Ък1пхк.
Якщо ввести наступнi перетворення: 1пхг = zl, w = Ь0 + Ь^1 + Ь^2 + ...+Ь^к, то модель матиме вигляд багатофакторно! лiнiйно! регресi!, аналогiчний (18).
Дана модель мае вигляд багатофакторно! лшшно! регреси (див. формулу (18)), отже, статична модель може бути перетворена логарифмуванням до вигляду багатофакторно! лшшно! регреси з вщповщним розрахунком коефщенпв регреси, критерда адекватност i множинного коефiцiента кореляцi!. Але тсля розрахункiв необхiдно виконати потенщювання [6] i повернутися до початкового статичного виду модет;
- експоненцгальна модель
У = ехр(Ь + Ьх + Ь2х2 + Ьзхз + . + Ькхк). (34)
Логарифмування дозволяе перетворити експоненцiальну модель до виду багатофакторно! лшшно! моделi i використовувати для !! дослщження апарат лшшного регресiйного аналiзу;
- зворотна модель
У =-1-. (35)
Ь0 + Ь1 • х1 + Ь2 • х2 + Ь3 • х3 + Ьk • хк
Пюля виконання перетворень (1 = Ь0 + Ь1 • х2 + Ь3 • х3 +... + Ьк ■ хк ) та введення позначень
У
(— = w, w = Ь0 + Ь1 • х1 + Ь2 • х2 + Ь3 • х3 +... + Ьк ■ хк ) будемо мати багатофакторну лiнiйну модель, У
що дозволяе використовувати для !! дослщження апарат лшшного регресшного аналiзу.
У випадку неможливост перетворення нелiнiйно! моделi до вигляду множинно! лiнiйно! регреси (так звана нелшшна модель з «внутршньою нелiнiйнiстю») для !х дослщження, слщ використовувати апарат нелiнiйного регресшного аналiзу [7].
На практищ при дослiдженнi технологiчних процесiв на пщприемствах автомобiльного транспорту i побудуванш регресiйних моделей з декiлькома вхщними змiнними використовують кроковi (iтерацiйнi) методи, що дозволяють обгрунтовано вводити в модель тшьки найбшьш впливовi i найбiльш значущi вхiднi фактори. Частше всього використовуеться метод виключення змшних i метод включення змiнних.
Метод виключення змшних,згщно з [7], складаеться iз семи етапiв.
Етап перший: пропонуеться регресшна модель, що включае вс дослiджуванi вхiднi змiннi.
Етап другий: розраховуеться значення критердаФшера для кожно! вхщно! змiнно! Fхli оцшюеться статистична значущiсть кожно! вхiдно! змшно! аналогiчно тому, як це виконуеться для моделi в цiлому.
Етап третш: встановлюеться вхiдна змiнна з мшмальним значенням Fхl.
Етап четвертий: мшмальне значення критерiю Фiшера порiвнюеться з граничним значенням. При Fmln > Fтабл (ш, а) вщповщна вхiдна змiнна вважаеться статистично значущою i залишаеться в моделi. Отже, запропонована на першому етапi модель статистично значуща, адекватна i може бути використана для дослщження об'екта. Аналiз шших вхiдних змiнних, що залишилися, не проводиться. Далi розраховуються коефщенти регресi! i множинний коефщент кореляцi!. При Fmln<Fтабл, вхiдна змшна вважаеться статистично незначущою i повинна бути видалена з моделi як неадекватна. Слщ пам'ятати, що для багатофакторних моделей табличне значення критерда Фшера залежить ще i вщ числа вхiдних змiнних [5; 7].
Етап п'ятий: пiсля видалення статистично незначущих вхiдних змiнних для вхщних змiнних, що залишились, знову перераховуються !х частиннi критерi! Фiшера.
Етап шостий: знову встановлюеться вхiдна змшна (з тих, що залишилися з мшмальним значенням Fхi).
Етап сьомий: четвертий, п'ятий i шостий етапи повторюються доти, поки в моделi не залишаться тшьки статистично значущi змшш.
Якщо пiсля виконання вказаних процедур в моделi не залишиться жодно! статистично значущо! змiнно!, модель побудувати неможливо. Причиною е прорахунки при плануванш експерименту на основi аналiзу апрiорно! iнформацi!. В цьому випадку слщ знову уважно проаналiзувати апрiорну iнформацiю, наново спланувати i провести експеримент i обробити його результати.
Якщо в моделi залишаються вхiднi змшш, то переходять до розрахунку коефщеипв регреси i оцiнки точностi модель
Метод включення змшних складаеться з восьми етатв:
Етап нульовий: у «моделй> визначаеться вiдсутнiсть вхщних змiнних.
Етап перший: розраховуеться кореляцшна матриця (з часткових коефiцiентiв кореляцй вхiдних змiнних - одна з шшою i з вихiдною змшною):
Я1 УЯ11Я21Я31Я41.Як1
Я2 УЯ12 Я22 Я32 Я42 .Як 2 ЯкУЯ1кЯ2кЯ3кЯ4к -.Якк
(36)
де Яку - частинний коефщент кореляцй к-! вхщно! i вихщно! змiнних;
Яу - частинний коефщент кореляцй 7-! i у-! вхiдних змiнних (7 Ф/).
Етап другий: пiдбираеться вхщна змiнна з максимальним коефiцiентом кореляцй Я7У, яка першою вводиться в модель.
Етап третш: визначаеться частинний критерш Фiшера введено! вхiдно! змшно!, який одночасно е критерiем адекватносп всiе! моделi. При Ррозр < Ртабл вщповщна вхвдна змiнна статистично незначуща, тобто повинна бути видалена з моделi, а сама модель визнаеться неадекватною. Вхiднi змiннi, що залишились, мають з вихiдною змшною ще менш тiсний кореляцiйний зв'язок. Отже, в данш ситуацi! побудування моделi неможливе.
При Ррозр>Ртабл(т, а) вщповщна вхвдна змiнна враховуеться статистично значущою i залишаеться в модель
Етап четвертий: кореляцшна матриця перераховуеться без урахування впливу вибрано! вхщно! змiнно!.
Етап п'ятий: з вхщних змiнних, що залишилися, вибираеться змшна з максимальним коефiцiентом кореляцi! Я7У. Ця змiнна вводиться в модель наступною.
Етап шостий: визначаеться критерий Фшераново! моделi. При Ррозр<Ртабл введена в модель вхщна змiнна статистично незначуща i повинна бути видалена з моделi як неадекватна, а в моделi залишаеться одна вхщна змiнна.
Етап сьомий: етапи чотири, п'ять i шiсть повторюються до тих шр, поки не буде сформований остаточний вигляд модел^ тсля чого обов'язковi розрахунки коефiцiентiв регресй i оцiнки точностi моделi.
Висновки. 1. Основною вимогою до побудування емтричнихрегресивних моделей е адекватшсть модет, точнiсть i економiчнiсть розрахункiв.
2. При моделюванш технологiчних процесiв шдприемств автомобiльного транспорту найбiльш оптимальними е кроковi методи побудування регресiйних моделей.
ВИКОРИСТАНА Л1ТЕРАТУРА
1. Цирлин А. М. Оптимальное управление технологическими процессами / А. М. Цирлин.
- М. : Энергопромиздат, 1986. - 400 с.
2. Тихонов А. Н., Уфимцев М. В. Статистическая обработка результатов экспериментов: учебн. пособ. / А. Н. Тихонов, М. В. Уфимцев. - М. : Изд-во Моск. ун-та, 1988. - 174 с.
3.Евсеев Д. Г., Тарасевич О. М., Корноухов А. П. Автоматизация производственных процессов в машиностроении / Д. Г. Евсеев, О. М. Тарасевич, А. П. Карнаухов. - М. : МИИТ, 2005. - 93 с.
4. Советов Б. Я., Яковлев С. А. Моделирование систем :учебн. издан. / Б. Я. Советов, С. А. Яковлев. - М. : Высшая школа, 2001. - 343 с.
5. Корн Г.Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. - М. : Наука, 1972. - 830 с.
6. Рогов В. А.Методика и практика технических экспериментов: учебн.пособ./ В. А. Рогов.
- М. : Академия, 2005. - 288 с.
7. Дрейпер Н.Прикладной регрессионный анализ: пер. с англ. / Н. Дрейпер, Г. Смит. 3-е изд. - М. : Вильямс, 2007. - 912 с.
8. Спирин Н. А.Методы планирования и обработки результатов инженерного эксперимента: учебн. пособ. / Н. А. Спирин [и др.]; под ред. Н. А. Спирина; ГОУ ВПО УГТУ -УПИ - Екатеринбург, 2003. - 260 с.
9. Говорущенко Н. Я. Основы управления автомобильным транспортом / Н. Я. Говорущенко. - Харюв : Вища школа, 1976. - 224 с.
