Особенности переходных процессов в пневматических виброзащитных системах Текст научной статьи по специальности «Математика»

Елисеев С.В., Логунов А.С.

УДК 62.52

ОСОБЕННОСТИ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ПНЕВМАТИЧЕСКИХ ВИБРОЗАЩИТНЫХ СИСТЕМАХ

Защита транспортных средств от вибраций и ударов во многих практических случаях основана на применении пневматических виброзащитных систем. В работах [1, 2] приведены данные о возможностях таких систем и методах исследования и моделирования.

Для оценки динамических свойств пневматической виброзащитной системы (ПВЗС) можно воспользоваться известными критериями качества, описанными, например, в [3]. Количественная характеристика интенсивности затухания определяется конкретно при введении понятий о степени устойчивости и степени затухания или колебательности переходных характеристик. Необходимым и достаточным условием устойчивости системы является наличие только отрицательных вещественных членов в корнях характеристического уравнения, то есть на комплексной плоскости корни уравнения должны быть расположены лишь в левой полуплоскости. Прямая, параллельная мнимой оси и отстоящая от последней влево на величину п, характеризует степень устойчивости системы. Величина п равна наименьшему модулю действительной части ближайшего к оси ¡о корня характеристического уравнения.

Степень колебательности Я, равная наименьшему модулю отношения действительной части к коэффициенту при мнимой части корня, характеризует затухание колебательных составляющих процесса. Величина Я является весьма важной оценкой режима работы системы, работающей в условиях повторяющихся внешних воздействий.

Для сравнительного анализа динамических характеристик ПВЗС с мембранным и двухкамерным исполнительными механизмами можно ввести соответствующие обобщенные структурные схемы [2], которые приведены на рис. 1а,б. На структурных схемах приняты следующие обозначения:

а) для ПВЗС с мембранным ИМ (рис. 1а) -

3 ккп

ап = -

2 у,

—(а + ЬХр),

а,, =-

2У,

-(а + Ъхр)кк0

10

= -Ак

а13 у к0

У10

Р.у

\Г, /

3/2

(к - 1)Рр- + кР1

3/2

У1'2 ' р

71

12

а14 =- -^Р^'

У10

1 \у1

а5 =--(а + Ъхр)к0 1 1

2У,

10

1

а1б =-

2У„

■(а + Ъхр)к0

а17 =-

10

Ък(к -1)

р1

Е± У1

V,,

(V ррург1+4р1У1 )'

а18 = 5',

(1)

У

10

б) для ПВЗС с двухкамерным ИМ (рис. 1б) -

3

кк0

2(Ую -У20)Ч

1 кк0 ~2(Ую -У20) ^

—(МА + а + ЪЛ/ + Ма^А), 71

= -

а23 = у к0 У10

р1.у

71

3/2

( м50 + а + ЪЛ/ + Мл5л),

(к -1)-тт + к

' Р

Р1

3/2

71

12

а24 =- — Р25'

У20

1 к0(М;50 + а + ЪЛ/ + Мл5Л) \71_

\Рг

2

(к - 1)(У10 - У20)

1к0( Мр0 + а + ЪЛ/ + Мл5Л) 2 (к-1)(У10-У20) '

1

а22

МЕХАНИКА. ТРАНСПОРТ. МАШИНОСТРОЕНИЕ. ТЕХНОЛОГИИ

а27

Ък0(к -1)

а28 — 5.

28 V 20

(2)

и демпфера и элементов активной части системы в виде

5'

аг4Р

Т'р +1

(8)

Анализ динамических характеристик ПВЗС обеих рассматриваемых схем можно провести на основе пвередаточной функции:

Тер3 + (Г2в1 + Г1в0)р2 + •••

где 5' —

5

-а.

Т ' — ■

-а

Ж (р) —

акт > г /

те2р + (те0 (Тзе1 +Т2ео)Р + •••

Т4те1

-Т1е1)р3

• + (те0Т4 + Т1е0 + Т2е1 + й1)р +•..

+Т3е0

+

(3)

+(Т4а1 + Т2е0+Тзе1 + d0)p++тзе0 которая получена в предположении, что передаточная функция цепи управления в общем случае имеет вид:

d0 + d1 р

Ж (р) — -

акт \1г /

е1 р

(4)

где значения коэффициентов di и ei связаны с

параметрами исследуемой системы соотношениями:

а) для ПВЗС с мембранным ИМ и золотниковым РУ -

d0 — К р(а12а17 — а1ба13 ) , d1 — К ра13 , е0 — а11а16 ,

е1 ——(аи — аиа1бТр + а1б); (5)

б) для ПВЗС с двухкамерным ИМ и регулятором «сопло-заслонка»

d0 — К р( а22а27 — а2ба.

Знаменатель (3) можно переписать, вводя

pi — -Яа + га — (г - Я)а , (9)

что геометрически интерпретируется графиками на плоскости комплексных параметров как показано на рис. 2а [4].

Степень колебательности в этом случае определяется в виде

Я — Ш — ъу. (10)

а

Таким образом, различные ПВЗС с корнями характеристического уравнения, расположенными на линии ЛОБ, имеют одну и ту же степень колебательности Я и степень затухания 5 . Подставляя в (3) (г - Я)а вместо р можно построить ряд кривых, характеризующих свойства ПВЗС в переходном режиме. Значения передаточной функции в этом случае называются расширенными амплитудно-фазовыми характеристиками (АФХ) и обозначаются Ж( Я, га ) [4]. При Я — 0 расширенные АФХ совпадают с обычными, линия равного затухания ЛОБ (рис. 2 а) совмещается с осью га и система переходит на границу устойчивости. Сте-

,), dl — Кра

р™23 '

е0 — а21а26 , е1 —-(а21 - а21а2бТр + а2б) . (6)

Параметры Тг отражают наличие в

ПВЗС конструктивной связи, оказывающей влияние на динамику системы и при неработающей цепи управления

Т1 — Сп , Т2 — Кп - аг 1Са - аг45 ,

(7)

рТ^+1

+

—в • р-а я

Тз — аг1К а

Т4 —-аг1 ,

здесь параметры аг1 и аг4 отвечают схеме с МИМ при г — 1 и с двухкамерным ИМ при

г — 2 [2].

Линеаризованным системам ПВЗС соответствуют структурные схемы, имеющие после исключения перекрестных связей вид как показано на рис. 1а,б. Рассматривая цепь конструктивной связи в представленных структурных схемах, следует Рис. 1. Структурная схема ПВЗС: а- структурная схема ПВЗС с отметить, что они состоит из включенных мембранным исполнительным механизмом ; б- структурная схема

ПВЗС с двухкамерным исполнительным механизмом

параллельно пассивных упругого элемента

1

d0 - Kp(а12а17 - ai6ail)' d1 — Kpai3'

eo — aiiai6' ei — -(aii - aiiai6Tp + ai6)

(12)

Передаточные функции объекта и регулятора имеют вид

W б (p)-

Cp + (K - anC + Sai4)p - anK mp3 + (C - aum)p2 + (K - auC + Sa14)p - anK

(13)

(p) —

d1p2 + (d0 - andj)p -...

Ce1p + (e0C + e1K + Sa14e1 -a]]Ce])p +... (14)

_-aiido_

+(е0К - е0а11С - а145е0 - а11е1К)р - а11е0К Заменой р на (г - Я)а можно получить расширенные АФХ объекта и регулятора, имеющих вид после разделения действительной части и коэффициента при мнимой части в соответствии с

формулой а + Ъг : с + di

аоб — (Я2 -1 )Са2 + (а11С - К - 5а14 )Яа - апК, (15)

Ьоб — -2RCc2 + (ai4C - K - Sai4 )c, соб — mR(3 - R2)c3 + (C - aiim)(R2 -1)co2 + + (a14C - K - Sa14 )Rc - a11K, d6 — (-3R2 -1 )mC + 2R(a11m - C)c2 +

+ (a14C - K - a14S )c, ap — (R2 -1 )djß2 - R(d0 - a11d1)rn - and0, Ьр — -2djRa2 + (d0 - a11d1)m , c — (3-R2)RCec3 + (R2 -1 )(e0C + e1K +

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

Рис. 2. Подходы к построению расширенных амплитудно-фазовых характеристик: а - схема расположения корней характеристического полинома; б - границы устойчивости; в- обобщенная структурная схема

пень затухания 5 связана с Я

5 — 1 - е~2лЯ , (11)

где 2пЯ - логарифмический декремент затухания. При выполнении условия (9) соответствующий выбор параметров ПВЗС, обеспечивающих расположение корней на линии ЛОБ, позволяет внутри области устойчивости построить линию равного затухания (рис. 2 б).

Для получения расширенных АФХ можно преобразовать исходные структурные схемы (рис.1 а,б) к виду, показанному на рис. 2 в. При этом следует учитывать, что Жрег отражает работу

элементов активной цепи на основании соотношений, выведенных при линеаризации исходной системы уравнений [5].

+Sa14e0 - a11Ce1)C - R(e0K - e0a11C + Sa14e0 -, (21) -a11e1K)a - e0a11K,

dp — -Ce1 (1 + 3R2 )C - 2R(e0C + e1K + Sa14e1 +

+e1K + e0C)c2 + (e0K - e0a11C + Sa14e0 - a11e1K)c.

(22)

Исходным условием расчета системы на заданную степень устойчивости является [6] равенство

Woб (R,ico)- Жрег (R,ico ) — 1. Исходя из (23), можно найти

(R,c) 1

Арег (R,c)e

-e

Щоб (R.c)

A-об (R,c)

(23)

(24)

откуда

alö + Кб — С рег + dрег

<б + d2a

a2 + Ь

рег рег

ЬобСоб - ao6do6 _ Ьрегсрег aрегdрег

a бс б + Ь б d б a с + Ь d

об об об об рег рег рег рег

(25)

(26)

МЕХАНИКА. ТРАНСПОРТ. МАШИНОСТРОЕНИЕ. ТЕХНОЛОГИИ

Выбирая параметры d0 и е1 для апериодического закона управления, найдем для построения кривых равного затухания соотношения

к1г1 - /1

ei =

l1 - t1k1

d0 =

+ r2)li2

Î2

где

f = a\_100 - 35 Re0 a + (R2 - 1)35e0®2~\--(17 - Ra)a35e0,

e1 = a\_-100Ra + (R2 - 1)6œ2]--(17 - Ra)( 100a - 70R®2 ), r} = (17 -Ra)[100 - 35Re0 a + (R2 -1)35e0 a2] +

+35 e0 a,

k1 =

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

k2 =

к + [(-3R2 - 1)a3 - 35Ra2 + 35a~\

Значения параметров системы, обеспечивающих работу в соответствии с заданной степенью затухания при дифференциальном управлении общего вида, определится из соотношений

e = kr'- f'

1-1 _1 ' k1

d 1 =

(e'l t2 + r2)k2

f2

где

f ' = (17 - 2Ra)a[100 - 35Re0 a + (R2 -1 )35e0a2] --a35e0 [-17Ra + (R2 - 1)a2 ],

e\ = (17 - 2Ra)[-100Ra + (R2 - 1)6a2 ]--(100a - 70Ra2)[-17Ra + (R2 - 1)a2],

(42)

(43)

(44)

t1 = (17 - Ra)[-100Ra + (R2 - 1)6a2 ] + +a( 100a - 70Ra2 ),

35a \mR(3 - R2 )a3 + 17(R2 -1)a2 + 35Ra + 10û]--[mR(3 - R2 )a3 + 17(R2 -1)a2 + 35 Ra + 10û]x---к - (35Ra + 100) [(-3R2 - 1)a3 - 35Ra2 + 35a~\ к x (35Ra -100) + 35a [(-3R2 - 1)a3 - 35Ra2 + 35aJ

f2 = (17 - Ra)2 +a2, (34)

r2 =[100 - 35Re0 a + (R2 - 1)35e0a2 ]2 + 1225e20a2 ,(35)

t2 = [-100Ra + (R2 -1 )6a2 ]2 + (100a - 70Ra2 )2, (36)

_(35Ra +100)2 + ..._

[mR(3 - R2 )a3 + 17(R2 - 1)a2 + 35Ra +100]2 + к (37) к + (35a)2

г/ = [-17Яо + (Я2 -1 )о2][100 - 35Яе0 о + +(Я2 -1 )35е0о2 ] + 35е0 о(17 - 2Яо)о, Г' = [-17Яо + (Я2 - 1)о2][-100Яо + +(Я2 -1 )6о2 ] + (17- 2Яо)(100о - 70 Яо2)о

/' = [-17Я + (Я2 -1 )о]2 о2 + (17 - 2Яо)2 о2

На рис. 3 + 5 представлены графики зависимостей do = /(е1), d0 = /(е„е0), ^ = /(е0е1) . Последние получены при Я = 0, Я = 0,095 , Я = 0,221 и Я = 0,336 , что соответствует степени затухания 5 = 0 , 5 = 0,45, 5 = 0,75 и 5 = 0,9 . Оптимальная степень затухания для виброзащитных систем может быть выбрана в пределах 5 = 0,75 - 0,9 . Меньшие значения 5 не обеспечивают достаточное затухание, при 5 > 0,9 увеличивается максимальное отклонение объекта защиты.

Отметим, что определение параметров ПВЗС, отвечающих требованию заданной степени затухания, не означает, естественно, их соответствия всем требованиям оптимального процесса управления движением. Более точно выбор параметров можно сделать на основании параллельного анализа переходных процессов. Переходные процессы можно рассмотреть с помощью частотного метода, если (3) представить предварительно в виде

W(p) =

Ç0p3 +ïlP2 +Ç2P + P3

p4 + D2p3 + D3p2 + D4p + D5

__P(p) ,

( p2 + ap + b)( p2 + dp + c)'

(45)

где

p = ^Ji p = T2e1 + T1e0 bû 5 Ç1 —

m me,

P2 =

Te + Te

a= meL

(38)

(39)

(40)

(41)

T e

Ps = ^ me1

D = me0T4 + T1e0

U3

me

■ T4me1

me1 T1e1

me1 T2er

d1

D4 = ^

1

■T2e0 + T3e1 + d0 D = TAl

' 5

-T3e0

me,

4 ' ^5

me1

Изображение выходного сигнала принимает

вид

z(p) =

R1 R2p + R3 R4p + R5

(46)

p p + ap + b p + dp + c где Ri определенно из следующей системы уравнений

Я1 + Я2 + Я4 = 0, Б2Я1 + Я2й + Я3 + Я4а + Я5 =

т

Б3Я1 + Я2с + Я3й + Я4Ь + Я5а = Б4Я1 + Я3с + Я5Ь = <Ц2, Э5Я1 = £.

Переходя в область оригиналов, найдем:

(47)

п Ь а2 й2 а2 й2

1) При Ь > _ 5 с >_ 5 ^ =1Ь - _ =^с,

2(г} = Я1 + е 2

а

Я2 cos а1Ч +—| Я3 — Я2 — | ят а1Ч

(48)

й

—г

о 2

1 I й

Я4сояа2Ч +--1 Я5 — Я4— I ята2Ч

а2 ( 2

„ , а2 й2 а2 й2

2) при Ь <~' с>Т' а Ч4"Ь Чс—Т'

Я2 +--1 Я3 — Я2 —

2 а, { 3 2 2

ф) = ^ + 1еА{2 а

1 -а+2 и

+—е { 2

1

а,

Я2--1 Я3 — Я2 '

+

й

—г

2

Я4 соя а2Ч +--1 Я5 — Я4 — I ят а2Ч

а2 { 2

3) Ь а' й2 а2 й2

3) при Ь > 4' с < ~' а ЧЬ—4 а2 Чт "с'

2(4} =

= Я1 + е

1 I а2— -¿г + — е{ 2

1 — \а2 + 2 \> + — е ( 2 2

-2

-а ( а1 { Я3 - Я2-21'

а2 | Я5- <)

а2 IЯ4 2—-

.. а й2 а2 и й2

4) при Ь < —, с <—, а1 =.--Ь ,а2 = 4--с ,

4 4 1 V 4 2 V 4

2(4} = Я + ^ 2 а — :а) Я2 1 + а1 {Я3—

+1е1 2 й Л а2 - 2 / Я4 + а а 2 Я5 - Я42

1 — +—е 2 а+:а) Я2 — ^ а1 Я3 - Я2 —

+—е — 2 й Л а2 + ~2 )' Я4 — а ( а2 Я5 — «■2

+

+

Т = Сп = 0,01; Т2 = Кп — апСя — а^ = 35; Т3 = —аиКа = 100; Т4 =—ап = 17 .

В случае управления ПВЗС в соответствии с пропорциональным управлением выражение (45) ^ (51) упрощаются. В этом случае коэффициенты определяются из системы уравнений

кр4 =%3< Я3 = — Я1 — Я2 ,

Я2(а2 — аЬ + с} = £ — £а — Я1с, (52) Я4 =£1 — ЯЬ + Я2(а — Ь},

т т т

где = т, £2 = ^, £3 = ^, т т т

£2 = те0Т4 + т1е0 £3 = т2е0 + й0 В = Т4й0

те,

0

те,

0

тс

(49)

Уравнение движения ПВЗС принимают соответствующий вид:

п Ь2

1) при с > —, а =

4

Ь2

с — -

—Ь-г

г(ч} = Я + Я2е а + е 2 (Я3 соя аЧ + Я6 ят аЧ); (53)

Ь2 I 2

2) при с < ь- 5 а, =л4 - с , 2(4} = Я1 + Я2е~аЧ +

1 +—

2

(Я3 + Я6 )<

ь )

а. — |г 1 2 ]

(( — Я6 )

а1 + 2

, (54)

(50)

здесь Я6 =

Я4 — Я3 ~2 а1

(51)

На рис. 3-5 представлены соответствующие переходные характеристики при значениях

Анализ зависимостей переходных процессов, представленных на рис. 3-5 дает возможность определить показатели качества, приведенные в таблице 1. Управление ПВЗС по интегральному закону при нулевых отклонениях регулируемой величины в установившемся режиме (хш) характеризуется небольшими начальными отклонениями (процессы 28 и 3) и временем затухания.

Однако при установившихся режимах данное управление не является достаточно эффективным. Пропорциональное управление предопределяет значительное начальное отклонение, время затухания, а также большее, чем при апериодическом управлении, величинами хш при одинаковой

степени затухания (процесс 29 рис. 4). При управлении на основе дифференциального закона общего вида можно получить меньшие начальные отклонения и время затухания, чем при чистом дифференцировании (процессы 26, 23-25 рис. 5).

+

2

а

+

+

МЕХАНИКА. ТРАНСПОРТ. МАШИНОСТРОЕНИЕ. ТЕХНОЛОГИИ

w 1.5 го

Рис. 3. Зависимости коэффициентов цепи управления при интегральном законе управления

Рис. 4. Зависимости коэффициентов цепи управления при апериодическом законе управления (плоскость параметров

d0 - е , при е0 = 0.1 )

Рис. 5. Зависимости коэффициентов цепи управления при апериодическом законе управления (плоскость параметров d1 - е1)

Определенный выбор параметров ПВЗС при апериодическом управлении, соответствующих заданной степени затухания, позволяет приблизить характер переходного процесса к процессу при интегральном управлении с точки зрения статического отклонения (хш) (процессы 11, 12, 16

рис. 4). При таком управлении начальное отклонение и время затухания близки к минимальным. Для всех законов управления при заданной степени затухания свойственны квазиоптимальные значения показателей качества при выборе параметров ПВЗС, соответствующих несколько меньшим значениям частот о , чем те, которые определяют экстремальную точку данной кривой (процессы 28, 7, 18, 17, 21, 24 рис. 3,4,5). Выбор конкретных параметров ПВЗС, определенных в соответствии с вышеуказанными соображениями, ведется согласно (10).

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Хоменко, А.П. Динамика и управление в задачах виброзащиты и виброизоляции подвижных

объектов/ А.П. Хоменко.- Иркутск: Изд-во ИГУ, 2000 ^N-5-7430-0096-4.- 296 с.

2. Логунов, А.С. Структурное моделирование пневматических систем в задачах вибрационной защиты объектов. Обобщенные подходы/ А.С. Логунов// Современные технологии. Системный анализ. Моделирование.- 2008.- Вып. № 4(20).- С.82-89.

3. Барковский, В.В.Методы синтеза систем управления/ В.В. Барковский, В.Н. Захаров, А.С. Шаталов.- М.: Машиностроение,1969.-326 с.

4. Стефани, Е.П. Основы расчета настройки регуляторов теплоэнергетических процессов/ Е.П. Стефани.- М.: Энергия, 1972.- 412 с.

5. Елисеев, С.В. К динамике элементов активной цепи пневматической виброзащитной системы/ С.В. Елисеев, П.А. Лонцих// Вибрационная защита и надежность приборов и механизмов: сб. ст.- Иркутск: ИрГТУ, 1998.- С. 42-51.

6. Дудников, Е.Г. Основы автоматического регулирования тепловых процессов/ Е.Г. Дудников.- М.: Госэнергоиздат, 1986.- 618 с.

Таблица 1

Показатели качества переходных процессов

№ п'п

Х„ _

Номера кривых на рис. 3-5

1 2

3 Й

5 6

о"

10

■о о"

11 12 13 14 15

го о"

г-, о

16 17

г-о'

18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

Я ©

х >

I

"О

>

I

о о

"О

>

Е

^

I

О о н

"О

о

у гг>

ООО

00 <ч

г-

<ч

о о'

—I

■-н ГЧ

(Ч О

О

о

(М

чо

ООО

т

X I О ь о

ш