CC BY
16
УДК 681.511.4
ОСОБЕННОСТИ ОЦЕНКИ УСТОЙЧИВОСТИ АВТОКОЛЕБАНИЙ В РЕЛЕЙНЫХ СИСТЕМАХ С ЦИФРОВЫМ УПРАВЛЕНИЕМ
С.В. Феофилов, А.В. Козырь, Д. Л. Хапкин
Рассматриваются особенности периодических движений и один из подходов к оценке их устойчивости в релейных системах управления с дискретизацией по времени. Как правило, такие движения анализируются в непрерывном времени, однако это может приводить к искаженному представлению о работе реальной релейной системы, даже если шаг квантования очень мал. Предлагается метод оценки устойчивости совокупности предельных циклов, возникающих вследствие дискретизации, который удобен при практическом применении.
Ключевые слова: релейная система, цифровая система, устойчивость автоколебаний.
Автоматические системы с релейным управлением имеют преимущества в простоте конструкции, настройки и эксплуатации. Кроме того, они позволяют добиваться высоких динамических характеристик. В настоящее время подавляющее большинство устройств реализуется в цифровом виде. Это связано с простотой внесения изменений в управляющую часть, меньшей массой и габаритами по сравнению с системой, реализованной на аналоговых компонентах. Однако у таких систем присутствует дискретность управлявшего сигнала как по времени, так и по уровню, которая приводит к качественным изменениям в их поведении.
Исследованию процессов в релейных системах посвящено большое количество работ [1 - 4]. Во многих из них рассматриваются цифровые релейные регуляторы [5 - 9]. Основную сложность при анализе и синтезе составляет дискретизация по времени. В условиях, когда частота выборки достаточно велика, системы управления рассматривают как аналоговые (в непрерывном времени). Однако даже в этом случае, как показано в [10], возникают эффекты, которые существенно сказываются на процессах, и их необходимо учитывать не только в теоретических исследованиях, но и при проектировании реальных систем.
Математическое описание релейной системы в непрерывном времени. В настоящей работе ограничимся рассмотрением систем с двух-позиционным релейным элементом и линейным объектом управления (ОУ). Структурная схема для системы, работающей в непрерывном времени, приведена на рис. 1.
Рис. 1. Структурная схема релейной системы управления
56
На рис. 1 - входной сигнал; у - выходная координата; и - сигнал управления. Управляющее устройство представляет собой двухпози-ционный релейный элемент с амплитудой ир и гистерезисом Ь. Математическое описание ОУ может быть представлено в виде передаточной функции ЖОУ= Запишем соответствующую систему дифференциальных уравнений в пространстве состояний
х=Лх(о+ви а),
(1)
у«)=с*«), ^;
где Л - матрица коэффициентов размерностью пхп, где п - количество переменных состояния; В - матрица управления непрерывной системы размерностью пх1; С - вектор, формирующий выходной сигнал размерностью 1 хп.
Анализ автоколебаний в непрерывном времени. Рассмотрим симметричные автоколебания, когда за один период происходят два переключения релейного элемента. Алгоритмы точного определения параметров автоколебаний в непрерывных системах со структурной схемой, показанной на рис.1, разработаны в рамках метода фазового годографа (ФГ) [1, 2].
Рассматривается релейная система управления (РСУ), представленная на рис.1. Периодическое движение будет задаваться фазовым вектором х =(х 1,х 2,...,х п), соответствующим переключению релейного элемента с «минуса» на «плюс». Каждому периоду автоколебаний будет соответствовать единственное периодическое решение системы (1), т.е. каждому периоду 2Т в фазовом пространстве будет соответствовать единственная точка х*(Т). В общем случае динамику системы можно описать в виде д*
— = F(xo, и, . Тогда основное уравнение ФГ будет иметь вид
* *
х (Т) + F(x (Т),иТ) = 0. (2)
Фазовый годограф релейной системы - векторная функция
* * * *
х (Т) = (х 1,х 2,. .,х п) , выделяющая все возможные симметричные периодические (периода 2Т ) движения в автономной РСУ.
Возможные автоколебания в системе с двухпозиционным релейным
элементом определяются из условия
*
С • х (Т) = -Ъ,
Сх*(Т) (3)
С • Сх-(Т) < 0. Л
В случае, если Л -1 существует, то ФГ можно задать в матричном
виде
Сх* = -С(1 + еЛТ)-1 Л-1 (еЛТ - 1)Ви = -Ъ. (4)
Решение уравнения (4) дает точное значение периода возможных автоколебаний. Если обратная матрица не существует, то выражение (4) можно записать в виде
Сх* = С(1 - е АТ )-1У = -Ь,
T - А
где У = |е dt вычисляется численным интегрированием. Условие един-0
ственности переключения релейного элемента задается неравенством
у(')
х(0)=х* > 0 "' ^ (0Т). (5)
Выражения (4), (5) определяют условия существования симметричных автоколебаний в системе (1). В общем случае уравнение (2) можно решать численно.
Математическое описание релейной системы в дискретном времени. Перейдем к рассмотрению системы с дискретизацией по времени. Соответствующая структурная схема показана на рис. 2. Передаточная функция ОУ имеет вид
= ЖОу (2), (6)
и (2) О
где У(2), и(2) - /-преобразования входного и выходного сигналов соответственно, Жоу (2) = (1 - 2 _1)2{/Г1(-—Оу(-))}. Дискретный ОУ можно пред-
£
ставить в виде разностных уравнений
х[к +1] = Фх[к ] + Чи [к ],
у[к ] = Сх[к ]. (7)
Предполагается, что дискретизация не влияет на управляемость и наблюдаемость системы и выполняется условие: (Ф,Ф) - управляемы, (С,Ф) - наблюдаемы. Из теории линейных импульсных систем известно преобразование непрерывной системы с экстраполятором нулевого порядка (ЭНП) в дискретную модель:
Ф = еАТ-, (8)
Т-
¥ = ¡еМЖБ, (9)
0
где Та- период дискретизации. Если существует обратная матрица А-1, то справедливо равенство
Т = А-1 (Ф - 1)В, (10)
где I- единичная матрица размерностью п х п.
Исследование автоколебаний в релейной системе с дискретизацией по времени. Рассмотрим определение автоколебаний в релейно-импульсных системах, структурная схема приведена на рис. 2. Дискретизация по времени приводит к тому, что реле может переключаться только в
58
дискретные моменты времени, а, значит, период колебаний всегда содержит целое число N тактов квантования. Как показано в [10], при этом возникает априори неизвестная задержка переключения релейного элемента, которая зависит от периода дискретизации, начальных условий и от свойств самой системы.
Рис. 2. Структурная схема дискретной релейной системы управления
Предположим, что в такой системе имеется простой симметричный периодический режим с периодом N = 2М. Состояние системы, при котором происходит переключение реле с минуса на плюс, обозначим как
*
х [0]. Т.к. периодический режим симметричный, то с учетом (3) х*[0 + М] = -х*[0] = ФМх*[0] - (Ф -1)-1(ФМ - 1)Т^рел,
х*[0] = (ФМ +1)-1 (ФМ - 1)(Ф -1)-1 ЧПрел . (11)
Движение системы на полупериоде определяется следующим выражением:
М * М-1 . х[М -1] = Ф х [к] - £ Ф3ЧИрел =
3=0
= ФМх[к] - (Ф -1)-1 (ФМ -1)ЧИрел, (12)
к = 0...М.
Отличительной особенностью исследования предельного цикла в релейно-импульсных системах является то, что состояние системы в момент переключения реле может не принадлежать поверхности переключения, а находиться в некоторой окрестности. Таким образом, все возможные предельные циклы, возникающие в таких системах, определяются системой условий
*
Сх[М ] >-Ь, Сх*[М -1] < -Ь.
Тогда алгоритм поиска всех возможных периодических движений можно представить следующей последовательностью действий.
1. Задается массив значений полупериода М = 1,2,3,....
*
2. Для каждого значения М вычисляется х [0], используя (11).
3. С помощью равенства (12) определяется состояние системы через М тактов.
4. Если условие (13) выполняется, то в системе возможны свободные симметричные периодические движения с периодом N = 2MTs. Для того, чтобы такие колебания наблюдались на практике, необходимо, чтобы они были устойчивыми.
При использовании непрерывной модели для определения возможных свободных колебаний в релейной системе с дискретизацией по времени необходимо учитывать задержку переключения управления. Для этого можно ввести параметр e, изменяющийся от 0 до 1 [10]:
x(t) = eA(tе\[kTs], k = (0,1,2,...,0 < e < 1),t = kTs + eT
* * * ATI*
При e = 0, Cx [kTs] = Cx (T0), если e = 1,Cx [kTs] = C (eAIs)-1 • x (T0) Учитывая, что eA Ts = Ф , справедливо равенство
И« И« 1 И«
Cx (T0,e) = Cx (T0) • (1 -e) + C • e • Ф x (T0) = -b • (14)
Для определения всех возможных периодических движений в дискретной системе необходимо построить семейство ФГ в зависимости от
*
0<e< 1 (14) и определить все точки пересечения с прямой Cx (T},e) = -b . Точки, принадлежащие сетке дискретизации, будут соответствовать возможным периодам автоколебаний в дискретной РСУ. Если взять задержку s, равную 0 и 1, то можно найти минимальный Mmin и максимальный Mmax полупериоды автоколебаний в рассматриваемой системе.
Устойчивость периодических движений в дискретной РСУ. Как было показано, дискретизация в РСУ приводит к возникновению совокупности предельных циклов. Какое именно периодическое движение установится в системе, будет зависеть от начальных условий. Указанные колебания могут иметь период 2Tsk, k = 1,2,....
Используя понятие задержки переключения управления, для оценки устойчивости периодических движений можно построить эквивалентную РСУ в непрерывном времени. Задержку обозначим t, которая будет принадлежать некоторому диапазону te[t1,tN ], где N определяется количеством предельных циклов в цифровой РСУ. Значение t, соответствующее каждому предельному циклу, можно определить из (15). С практической точки зрения удобно оценивать устойчивость периодических движений в цифровой РСУ по непрерывной модели с эквивалентным фазовым запаздыванием t* , соответствующим максимальному предельному циклу в дискретной системе. Это позволит гарантировать схождение фазовой траектории к локальной совокупности предельных циклов, что и требуется на практике. Структурная схема РСУ с запаздыванием приведена на рис. 3.
Воспользуемся известным критерием устойчивости автоколебаний в релейных системах [1, 2] и учтем транспортное запаздывание. Тогда периодическое движение x (t) в замкнутой релейной системе будет асимптотически орбитально устойчиво, если все собственные числа матрицы W будут находиться в окружности единичного радиуса \eig (W )| < 1.
Рис. 3. РСУ с эквивалентным запаздыванием
В общем случае W = W1W2: = т (
АПъ~ (Ах**_ + Виь )с
САЬ_ (А*_ + Виь )
=
I _
АЩ+ А*+ + Виь
ь * САь+ (А*+ + Виь_)
)с
А(г+Г_)
А(г+Г+)
(15)
(16)
где щ и щ + - целые положительные числа, которые определяются из решения следующей системы:
а+1
СА1+1хь_ + СА1Би = 0, I = 0,..., пь+ ,
САЩ++!хЬ_+ САПь+ Би < 0,
СА]+!хЬ_ + СА-^Би = 0, I = 0,...,пь_ , Пь_+1 * /(П_+
(17)
СА хь_ + СА _+ Би < 0.
Таким образом, устойчивость периодических движений в РСУ с дискретизацией по времени можно оценивать с помощью рассмотрения РСУ в непрерывном времени и введения эквивалентного запаздывания. Приведённый критерий позволяет оценить сходимость фазовой траектории к одному из возможных предельных циклов с периодами повторения N, что и требуется в инженерной практике.
Пример. Рассмотрим систему с двухпозиционным релейным эле-
2
ментом (рис. 4), где Ж (-) =-=-.
(0.095-2 + 0.3- + 1)(- + 1)(5- +1)
Параметры реле: Ир = 27, Ь = 0.1. Тогда матрицы коэффициентов
А
-4.53 -3.828 -1.75 -0.556
4 0 0
0 2 0
0 0
0.5
0 0 0
В = [1 0 0 0] Т, С = [0 0 0 1.11]
Найдем период автоколебаний в непрерывной РСУ. Совместное решение уравнения (4) и неравенств (3) дает Т = 1,8399.
т
Рис. 4. Фазовый годограф непрерывной системы
Введем дискретизацию с шагом квантования Ts = 0,01. Из уравнений (8) и (9) имеем матрицы Ф и
"0.9549 - 0.0376 - 0.0171 - 0.0054" "0.0098"
0.0391 0.992 - 0.0003 - 0.0001 0.0002
ф = , ¥ =
0.0004 0.02 1 - 0 0
_ 0 0 0.005 1 _ _ 0 _
Зададим вектор возможных значений полупериода автоколебаний в дискретной системе М = 1...1000. Для каждого значения М вычислим х* (11,12). Условия 13 выполняются для М = 184,185,186.
Таким образом, в дискретной РСУ возможны колебания с периодами 2 ЫТ5: 3,68, 3,7, 3,72 с. В системе устанавливается один из этих режимов в зависимости от начальных условий (рис. 5).
Рис. 5. Периодические процессы в непрерывной и дискретной РСУ
Проверим устойчивость совокупности периодических движений в системе с дискретизацией. Согласно уравнению (14) найдем задержку, соответствующую предельному циклу с максимальной амплитудой. Она равна 0,0088 с.
Далее из 15 имеем
W ■
-0.5198 -0.1263 0.0256 0.2466
-0.6257 -0.0616 -0.0281 0.2827
-1.0850 -0.1138 0.0013 0.4649
-2.0929 -0.0496 -0.2743 0.8645
Модули собственных чисел матрицы W:
"0.3476"
\eig (W ) =
0.3476 0.0425 0.0425
Все модули собственных чисел матрицы меньше 1, что позволяет говорить об устойчивости локальной совокупности предельных циклов в релейной системе с дискретизацией по времени.
Таким образом, рассмотрены методы определения периодических движений в релейных системах с цифровым управлением. На примере показано, что процессы, протекающие в таких системах, могут существенно отличаться от непрерывного случая. Предложен метод оценки устойчивости локальной совокупности предельных циклов с использованием понятия эквивалентной задержки переключения управления.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ проект № 1808-01141.
Список литературы
1. Фалдин Н.В. Точный метод исследования релейных систем // Машиностроение (энциклопедия). Т. 1 - 4. Автоматическое управление. Теория / под ред. Е.А. Федосова. М.: Машиностроение, 2000. С. 231 -253.
2. Методы классической и современной теории автоматического управления: учебник в 3 т. Т. 1. Анализ и статистическая динамика систем автоматического управления / под ред. Н. Д. Егупова. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000. 748 с.
3. Gilbert E.G., Tan K.T. Linear systems with state and control constraints: the theory and application of maximal output admissible sets // IEEE Transactions on Automatic Control. 1991. Vol. 36. No. 9. P. 1008 - 1020.
4. Galias Z., Yu X. Analysis of delayed sliding mode control systems under zero-order holder discretization // IEEE Transactions on Automatic Control. 2016. Vol. 61. No. 9. P. 2739 - 2744.
5. Pai M.A. Oscillations in Nonlinear Sampled-Data // AIEE Transactions, 1963. P. 355 - 362.
6. Complete and Exact indetification of self-sustained oscillations in relay sampled-data systems // AIEE Transactions. 1963. P. 350 - 355.
7. Цыпкин Я.З., Попков Ю.С. Теория нелинейных импульсных систем. М.: Наука, 1973. 416 с.
8. Bazanella A.S., Parraga A. Limit cycles in sampled-data relay feedback systems / IEEE Transactions on Automatic Control. Springer. 2016.
9. Феофилов С.В. Периодические движения в релейных системах с цифровым управлением // Мехатроника, автоматизация, управление. 2006. №5. С. 11 - 17.
10. Феофилов С.В., Козырь А.В. Анализ периодических движений в цифровых автоколебательных системах управления // Мехатроника, автоматизация, управление. 2018. №9. С. 587 - 594.
Феофилов Сергей Владимирович, д-р техн. наук, доцент, svfeofilov@,mail. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Козырь Андрей Владимирович, аспирант, Kozyr_A_V@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Хапкин Дмитрий Леонидович, аспирант, dima-hapkin@ya. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
FEATURES OF THE SELF-OSCILLATION STABILITY ESTIMATION IN RELAY SYSTEMS
WITH DIGITAL CONTROL
S. V. Feofilov, A. V. Kozyr, D.L. Hapkin
The paper discusses the features of periodic motions and one of the approaches to the assessment of their stability in time-controlled relay systems. As a rule, such movements are analyzed in continuous time, but this can lead to a distorted view of the operation of a real relay system, even if the quantization step is very small. The paper proposes a method for assessing the stability of a set of limit cycles arising from discretization, which is convenient for practical use.
Key words: relay system, digital system, self-oscillation stability.
Feofilov Sergey Vladimirovich, doctor of technical sciences, docent, svfeofilov@,mail. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Kozyr Andrey Vladimirovich, postgraduate, Kozyr_A_V@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University,
Hapkin Dmitry Leonidovich, postgraduate, dima-hapkin@,ya. ru, Russia, Tula, Tula State University
