CC BY
177
6. Маркова А.К. Формирование мотивации учения в школьном возрасте. — М.: Просвещение, 1983. — 96 с.
7. Родионов М.А. Мотивация учения математике и пути ее формирования. - Саранск : Изд-во МГПИ им. М.Е. Евсевьева, 2001. - 252 с.
8. Талызина Н.Ф. Педагогическая психология. М.: Академия, 2001.
Ж.Н. Соломкина
ОСОБЕННОСТИ ОРГАНИЗАЦИИ ИЗУЧЕНИЯ ПРАВИЛ И АЛГОРИТМОВ В СООТВЕТСТВИИ С ТЕОРИЯМИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ОБУЧЕНИЯ
Аннотация. В статье представлены основные понятия правил и алгоритмов, психолого-дидактические теории. Рассмотрены особенности организации правила и алгоритма. Приведены примеры.
Ключевые слова: правила, алгоритмы, технологическое обучение особенности изучения правил и алгоритмов.
G.N. Solomkina
ESPECIALLY THE ORGANIZATION OF THE STUDY OF THE RULES AND ALGORITHMS IN ACCORDANCE WITH THE THEORIES OF TECHNOLOGICAL
LEARNING
Abstract. There are the main rules and algorithms, psychological and didactical theory gu this article. The organization of rules and algorithms are vied here. Also there are some examples.
Keywords. Rules, algorithms, the technical learning of rules and algorithms.
Школьные математические алгоритмы и правила являются важными компонентами школьного математического образования.
Роль правил и алгоритмов в математическом образовании школьников определяется:
1) основными понятиями теорем алгоритмов и правил
2) психолого-дидактические условия
Для начала рассмотрим алгоритмы как компоненты школьного математического образования. Но прежде необходимо понять, что такое «алгоритм». Под алгоритмом будем понимать «объединение элементарных актов и проверяемых условий, которые обеспечивают такой порядок работы (т.е. проверка условий и выполнение элементарных актов), который при любых начальных данных, т.е. исходной информации, приводит к правильному ответу». Именно так данное понятие трактует А.А. Ляпунов [2, 8].
Данное определение отчасти подходит для определения понятия «алгоритма», но для школьного курса математики имеет более широкий смысл по сравнению с тем смыслом, который трактуется в методике школьного математическом образовании. Поэтому необходимо дать такое определение алгоритма, которое не будет идти в разрез с школьным математическом образованием. Понятие, которое нас будет устраивать, это понятие «учебного алгоритма».
Под ним можно понимать:
• «индуктивное предписание (правила, инструкции, памятки), определяющие четкую последовательность элементарных для данного субъекта операций по решению учебной задачи и синтеза» [2, 25];
• «система работы по строго определенным правилам, которая после последовательного их выполнения приводит к решению поставленной задачи» [2, 25].
• «Предписание, пользуясь которым любой ученик, имеющий определенные необходимые знания, и точно выполняющий это предписание, правило решений любую задачу данного вида. Это предписание состоит из указаний последовательности преобразований (операций), которые необходимо проделать над условиями задачи (шаги алгоритма), и логических условий, указывающих в каком случае следует применять тот или иной шаг алгоритма и в каком порядке», которое дает А.А. Ляпунов [4, 49].
В качестве рабочего определения учебного алгоритма возьмем последнее определение.
В рамках данного определения рассмотрим классификацию алгоритмов:
I. Линейный алгоритм - последовательность действий, выполняемых друг за другом.
II. Разветвляющийся алгоритм - алгоритм, содержащий хотя бы одно условие, в результате которого обеспечивается переход на один из двух возможных шагов. Приведем пример из учебника А. Г. Мордковича «Алгебра» 7 класс [1, 44]. Алгоритм сложения (вычитания) одночленов 1. Привести все одночлены к стандартному виду.
2. Убедится, что все одночлены подобны; если же они не подобны, то складывать (вычитать) их нельзя, т.е. алгоритм далее не применяется.
3. Сложить (вычесть) коэффициенты подобных одночленов.
4. Записать ответ: одночлен, подобный данным, с коэффициентом, полученный на третьем шаге.
III. Циклический алгоритм - предусматривает многократное повторение одного и того же действия (одних и тех же операций). Алгоритмы данного вида используются в учебниках математики уже вышеуказанных, но все же имеют место в текстах школьных учебников, например, алгоритм сложения (вычетания) одночленов.
Мы рассмотрели классификацию алгоритмов, теперь рассмотрим свойства, которыми должен обладать алгоритм: «Дискретность - «отдельные законченные шаги, каждый из которых в состоянии выполнить исполнитель»; Детерминированность - «однозначность определения первого и каждого следующего шагов, т.е. процесс решения задачи строго направлен»; результативность - «точное выполнение указаний при решении задачи, всегда приводит к результату, т. е. получению математического факта»; массовость - «возможность использования ля любой задачи данного типа» [3, 57].
Приведем пример алгоритма, который обладает выше перечисленными свойствами, из учебника А.Г. Мордковича «Алгебра» 7 класс [1,151].
Алгоритм решения системы двух уравнений с двумя неизвестными методом подстановки.
1. Выразить у через х из первого уравнения системы.
2. Подставить полученное на первом шаге выражение вместо у во второе уравнение системы.
3. Решить полученное на втором шаге уравнение относительно х.
4. Подставить найденное решение на третьем шаге значение х в выражение у через х, полученное на первом шаге.
5. Записать ответ в виде пары значений (х,у), которые были найдены на третьем и четвертом шагах.
Мы рассмотрели понятие алгоритма и учебного алгоритма, но в данной теме мы рассматриваем и правила как компоненты школьного математического образования. Для этого определим, что означает термин «правило».
Правило - это «закон, устойчивая систематическая взаимосвязь между явлениями, а так же высказывание, описывающее это закон» [4, 89]. Можно сказать, что правило - это свернутый алгоритм. Но правило и алгоритм, все-таки более разные понятия, поэтому необходимо выяснить отличительные черты.
Отличия правила от алгоритма заключаются в следующем:
Во-первых, любое школьное математическое правило является компонентом школьного математического образования, но не всякий алгоритм таковым не является. Например, алгоритм , основанный на первом признаке равенства треугольников является средством изучения самого признака.
Во-вторых, правило не содержит четкой последовательности выполняемых действий, в отличие от алгоритм считается компонентом школьного математического образования.
В-третьих, правило не обладает свойством дискретности.
Учитывая важную роль алгоритмов и правил в обучении математики и отличия друг от друга, целесообразно формировать их у учащихся. В основе процесса формирования правил и алгоритмам лежат теории обучения правилам и алгоритмам:Теория поэтапного формирования умственных действий (П.Я .Гальперин. и другие); Технологическое обучение.
В данной статье рассмотрена теория поэтапного формирования умственных действий по П.Я Гальперину, как основа организации изучения правил и алгоритмов в учебном процессе Разновидности действий и их характеристики, такие как: Действие; Сдвиг мотива на цель; Операции.; Материальное действие.; Перцептивное действие.; Речевое действие; Умственное действие.; Обобщение действия.; Свертывание умственных действий.
Кратко выделим ее основные положения.
I. ООД (ориентировочная основа действий), которая делится на три типа: - первый тип ООД; второй тип ООД.; третий тип ООД.
II. Этапы формирования умственных действий: 1) этап составления схемы ООД; 2) этап формирования действия в материальном виде; 3) этап формирования действия как внешнеречевого; 4) этап формирования действия во внешней речи про себя; 5) этап формирования действия во внутренней речи.
Теперь раскроем каждый аспект, входящий в структуру теории поэтапного формирования умственных действий по П.Я. Гальперину. Сначала раскроем понятия действия. «Действие - это такой процесс, мотив которого (т.е. то ради чего оно совершается) не совпадает с его предметом
(т.е. с тем на что направленно)» [5, 174]. Предмет действия есть его осознанная непосредственно цель. В дальнейшем цель может стать мотивом и действие переходит в деятельность, происходит «сдвиг мотива на цель». «Мотив деятельности может, сдвигаться, переходить на предмет (цель) действия» [5, 174].
Следующим аспектами действий являются операции, материальное действие, перцептивного действия; умственного действия; обобщения действия, которые приведены в психологическом справочнике учителя. [5, 210-211]. ««Операции которые являются способом осуществления действия. Образование операций происходит не так, как целеобразование, т.е. порождение действия. Действие имеет разновидности, формы. Такой формой является материальное действие - это «реальное преобразование объекта с целью установления его свойств». Данная форма действия может осуществляться с помощью знаково-символьных средств: схем, чертежей, диаграмм и т.д. Действие может выражаться в форме перцептивного действия - это «идеальное преобразование реальных или знаково-символьных объектов в плане восприятия». Еще одной формой действия выступает речевое действие, которое «осуществляется, как громкая речь или внешняя речь про себя, которые различаются по своей функции: сообщение чего-либо другому или себе». Так же действие может принимать форму умственного действия - это «действие во внутреннем плане, которое осуществляется без опоры на какие-либо внешние средства». В данной теории выделяется аспект обобщения действия. «Обобщение идет не просто на основе выделения общего в предметах - это необходимое, но еще недостаточное условие». Обобщение всегда протекает лишь по тем свойствам предметов, которые вошли в состав ООД, направленных на анализ этих предметов. На конкретном этапе развития умственной деятельности «часть знаний и умственных операций приобретает особую форму существования: они учитываются в процессе мышления, но не актуализируются, не становятся предметом сознания»».
В теорию П.Я. Гальперина. Одним из главных аспектов входит ООД (ориентировочная основа действий), которая характеризуется системой условий, на которую реально опирается человек при выполнении действия. ООД подразделяется на следующие типы:
1. «Первый тип характеризуется, неполным составом ООД, выделяются самим субъектом путем слепых проб» [5, 177].
Рассмотрим следующий пример, в 3 классе предлагается вычислить при каких значениях х выполняется неравенство 2 + х < 7. Ученик начинает подбирать такие числа, которые бы удовлетворяли данному неравенству, и приходит к следующим числам 0, 1, 2, 3, 4.
2. «Второй тип характеризуется наличием всех условий, необходимых для правильного выполнения действия. ООД дается в готовом виде» [5, 177].Одним из примеров для данного типа ООД служит обучение алгоритму или правилу имеется в виду конкретное правило.
3. «ООД третьего типа имеет полный состав, ориентиры представлены в
обобщенном виде, характерном для целого класса явлений» [5, 177]. В качестве примера данного типа ООД, является обучение по правилу не какому-то отдельно взятому правилу, а, например, всем правилам линейной структуры. Другими словами, ООД данного типа касается работы с обобщенным, а не конкретизированным компонентом школьного математического образования.
Мы рассмотрели два главных аспекта теории обучения по Гальперину П.Я., теперь рассмотрим последний, третий аспект, это собственно этапы формирования умственных действий, которые лежат в основе данной теории.
««Этап составления схемы ориентировочной основы действия. «Учащиеся получают необходимые разъяснения о цели действия, его объекте, системе ориентиров» [5, 208]. «Этап формирования действия в материальном (или материализованном) виде. «Учащиеся выполняют действие во внешней, материальной (или материализованной) форме с развертыванием всех входящих в него операций» [5, 208].Этап формирования действия как внешнеречевого. «На этом этапе, где все элементы действия представлены в форме внешней речи, действие происходит дальнейшее обобщение, но остается еще неавтоматизированным и несокращенным» [5 ,208]. «Этап формирования действия во внешней речи про себя. «Этот этап отличается от предыдущих тем, что действие выполняется беззвучно и без прописывания - как проговаривание про себя» [5, 208]. «Этап формирования действия во внутренней речи. «На этом этапе действие очень быстро приобретает автоматическое течение, становится не доступным самонаблюдению» [5 ,208]. В рассматриваемой теме «психолого-дидактические теории обучения правилам и алгоритмам», для обучения алгоритмам и правилам подходит ООД второго типа, так как она содержит все компоненты необходимые для введения алгоритма.
Приведем пример, как работает теория поэтапного формирования умственных действий по Гальперину П.Я. на примере алгоритма сложения (вычитания) одночленов из учебника Мордко-вича А.Г. «Алгебра» 7 класса» [1, 44].
На основе вышеуказанного приведем примеры.
Пример 1. Описания двух этапов теории поэтапного формирования умственных действий для алгоритма сложения (вычитания) одночленов
Этап составления схемы ориентировочной основы действия В: Что называется одночленом?
О: «Одночленом называют алгебраическое выражение, которое и представляет собой произведение чисел и переменных в степени с натуральными показателями». В: Приведите пример одночлена? О: 6аЬ,9пт2,(—3)х2у3. Задание №1.
Приведите одночлен к стандартному виду.
a) 2аЬ2т3 • (-5)аЪт
b) 6а2Ьт2 • 5Ъ2т2 Решение.
a) 2аЬ2т3 • (-5)аЪт = 2 • (-5) • а • а • Ь2 • Ъ • т2 • т2 = —10а2Ь3т4
b) 6а2Ьт2 • 5Ъ2т2 = 6 • 5 • а2 • Ъ • Ь2 • т2 • т2 = 30а2Ь3т4 Давайте сравним два одночлена, которые получились —10а2Ь3т4 и 30а2Ь3т4. В: Что можно сказать о буквенной части данных одночленов?
О: У данных одночленов буквенная часть одинаковая. В: Что можно сказать про коэффициенты данных одночленов? О: Коэффициенты данных одночленов разные. В: Сформулируйте определение подобных одночленов?
О: «Определение: два одночлена, состоящие из одних и тех же переменных, каждая из которых входит в оба одночлена в одинаковых степенях (т.е. с равными показателями степеней), называют подобными одночленами». Задание №2.
Выберите подобные одночлены
a) 5аЬ2с5
b) —15аЬ2с5 О 7сЬп2 Решение.
Подобные одночлены a и Ь.
В: На основе чего вы сделали такой выбор?
О: На основе определения подобных одночленов.
В: Что вы можете сказать про одночлен б?
О: Оставшийся одночлен не подобен.
Задача №3.
Дана сумма двух подобных одночленов: 5 а2Ь + 23 а2Ь.
Воспользуемся методом введения новой переменной: пусть а2Ь = с. Тогда сумма 5а2Ь + 23а2Ь перепишем в виде 5с + 23с. Ясно, что сумма равна 28с. Тогда данная сумма одночленов будет равна 5 а2Ь + 23 а2Ь = 28 а2Ъ.
Нам удалось сложить подобные одночлены. Для этого нам нужно было сложить их коэффициенты. Так же можно и вычитать одночлены. Например:
7 аЪс3 — 9 аЪс3 = (7 — 9 )аЪс3 = —2 аЪс3. Пусть дана такая сумма одночленов 5аЬ + 7а. В: Что вы можете сказать про переменные данных одночленов? О: Переменные данных одночленов разные. В: Можем ли, сделать вывод о данных одночленов? О: Нет. В: Почему?
О: Так, как у данных одночленов разные переменные, поэтому их нельзя сложить. В: Какой мы можем сделать из этого вывод?
О: То, что складывать или (вычитать) только подобные одночлены.
При сложении или (вычитать) мы выполняли определенный порядок действий. На основе этого составим алгоритм сложения или (вычитания) одночленов.
В: Какое первое действие выполняли при нахождении суммы одночленов? О: Привели все одночлены к стандартному виду. В: После этого, какое следующее действие выполнили? О: Сложили коэффициенты подобных одночленов. В: Какое следующие выполнили?
О: Записали в ответ полученный одночлен.
Мы составили алгоритм сложения одночленов. Для того, чтобы данный алгоритм выполнялся для различных случаев нахождения суммы или разности одночленов, нужно добавить еще один шаг. Он будет вторым в алгоритме.
-Убедимся, что все одночлены подобны; если же они не подобны, то складывать или (вычитать) нельзя, т.е. алгоритм далее не применяется.
Этап формирования действия в материальном (или материализованном) виде.
Алгоритм сложения (вычитать) одночленов.
1. Привести все одночлены к стандартному виду.
2. Убедится, что все одночлены подобны; если же они не подобны, то складывать или (вычитать) нельзя, т.е. алгоритм далее не применяется.
3. Сложить или (вычитать) коэффициенты подобных одночленов.
4. Записать ответ: одночленов, подобный данным, с коэффициентами, полученным на третьем шаге.
Задача №4.
Упростите выражение 2а2Ь — 7а • 0,5ba + 3Ь • 2а • (-0,5)а.
Решение.
В данной задаче выражение состоит из суммы, разности и произведения одночленов. Для упрощения выражения применим алгоритм.
1. Приведем все одночлены к стандартному виду
Первый одночлен 2 a2 b -представлен в стандартном виде.
Второй одночлен ( —7а • 0,5Ьа) —представлен не в стандартном виде, тогда приведем его к нему. —7а • 0,5Ьа = (—7 • 0,5) • (а • а) • b = —3,5а2Ъ.
Третий одночлен 3Ь • 2а • (—0,5)а - так же представлен не в стандартном виде. Для применения приведем его к стандартному виду. 3Ь • 2а • (—0,5)а = 3 • 2 • (—0,5) • (а • а) • b = —3a2b.
2. Убедится, что все одночлены подобны; если же они не подобны, то складывать или (вычитать) нельзя, т.е. алгоритм далее не применяется.
Получили три одночлена 2a2b, —3,5а2Ь, —3а2Ъ.
Задача №5.
Представьте в виде суммы одночлен 25 ab2.
Решение.
При решении данной задачи, главное, чтоб сумма коэффициентов была равна 25. Здесь в виде такой суммы одночленов 25ab2 = 15аЬ2 + 10аЬ2, или в виде разности 25ab2 = 50ab2 — 25аЪ2.
В: Приведите пример разности подобных одночленов таки, что сумма коэффициентов была равна 25.
О: 25ab2 = ab2 + 24аЬ2.
В: Приведите пример разности подобных одночленов таких, что при вычитании разность коэффициентов была равна 25.
О: 25ab2 = 35аЪ2 — 10аЬ2.
Данный одночлен 25аЬ2можно представить не только в виде суммы или разности двух одночленов, а так же трех и более.
Например: 25ab2 = 7ab2 + 8ab2 + 10аЬ2.
Мы рассмотрели только первую теорию, входящую в обзор данной темы. Теперь рассмотрим некоторые особенности технологической теории.
I. Составление технологической схемы, в состав которой входит отражение закономерностей процесса обучения, состоящий из:
Формулировки цели; Введения нового материала.; Закрепления.; Контроля обучения.
II. Этапы технологического обучения
Подготовительный этап.; Этап непосредственного обучения понятию.; Этап диагностики.
В основе технологического обучения лежит составление технологических схем. Составление которой обуславливается моделью, для которой осуществляется обучение. В соответствии с понятием, которому необходимо обучить, можно подойти разных сторон. Примеры составления технологических карт приведены в учебнике, написанным Н.Л. Стефановой и другими «Методика и технология обучения математике». Обозревая их подробное составление, в их основе лежат этапы: подготовительный этап на данном этапе идет постановка цели введения понятия, выбор технологии обучения понятию, разработка систем задач и их методическая обработка.; этап непосредственного обучения понятию.; этап диагностики.
Пример 2. Этапы составления технологической схемы для обучения алгоритмам
Этап
1. Подготовительный
2. Этап обучения алгоритму
3. Этап диагностики
Содержание этапа
Данный этап включает в себя
V
V
V
вила,
V
отбор теоретического содержания, формулировку цели,
выполнение логико-математического анализа пра-
разработку в случае необходимости алгоритмического предписания,
^ разработку содержания этапа актуализации знаний, необходимых для обоснования необходимости и введения алгоритма.
Непосредственно обучению алгоритму. Происходит закрепление алгоритма, правильное воспроизведение действий, шагов алгоритма.
В данной статье были рассмотрены, во первых основные понятия теорем алгоритмов; во-вторых психолого-дидактические теории обучения правила и алгоритмам, такие, как теория поэтапного формирования умственных действий по П.Я. Гальперину и сущность технологическое обучение. В третьих за основу в теории обучения правил и алгоритмов по П.Я. Гальперину были взяты ТПФУД разработки и его ученики. В четвертых, с учетом специфики данного исследования в качестве ориентировочной основы действий выбрана ориентировочная основа действия второго типа. В пятых рассматриваемые нами теории являются полностью равноправными и пригодными для обучения правилам и алгоритмам. Выбор теории обучения целиком и полностью зависит от учителя. В шестом приведены примеры, демонстрирующие необходимость и целесообразность исследования правил и алгоритмов как инструменты обучения пошаговому применению математических действий.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Мордкович, А.Г. Алгебра. 7 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.- 4-е изд., испр. - М.: Мнемозина , 2001.
2. Подходова, Н.С., Ложкина, Е.М. Введение в моделирование. Математическое моделирование в естествознание (биология, химия, экология): Учеб. пособие для вузов, СПб.: Изд-во РГПУ им А.И. Герцена, 2009.
3. Стефанова, Н.Л., Подходова, Н.С. Методика и технология обучения математики. Лабораторный практикум: Учеб. пособие для вузов, М.: Дрофа, 2007.
4. Философский словарь / Под ред. И.Т. Фролова - 4-е изд. М.: Политиздат, 1981.
5. Фридман, Л.М., Кулагина, И.Ю. Психологический справочник учителя. - М.: Просвещение, 1991.
Н. Е. Ляхова, И. В. Шевченко
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ В ЗАДАЧАХ НА НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ
Аннотация. В статье представлены методические аспекты затруднений учащихся при решении задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений, предложены пути преодоления этих затруднений.
Ключевые слова: непрерывные функциональные модели, наибольшее и наименьшее значения функции.
N. E. Lyakhova, I. V. Shevchenko
FUNCTIONAL MODEL IN THE TASK OF FINDING THE MAXIMUM AND
MINIMUM VALUES
Abstract. The article presents the methodological aspects difficulties of students when solving problems of finding maximum and minimum values and the ways of overcoming these difficulties.
Key words: a continuous functional model, the maximum and minimum values of the function.
Российский математик XIX в. Пафнутий Львович Чебышев отмечал, что «особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды». Задачи подобного рода носят общее название - задачи на оптимизацию.
