CC BY
115На основе математической модели построенной по результатам опытного пробега, ключевыми параметрами процесса, влияющими на остаточное содержание целевых компонентов в СОГе, являются: - давление в колонне К-302 и температура низа К-302.
Оценочный экономический эффект составляет до 3 % дополнительной выработки ШФЛУ.
Список литературы
1. Гидрогенизационная переработка жидких продуктов пиролиза (i стадия). Федоров Ю.А., Дмитриев Ю.К., Исламутдинова А.А В сборнике: Фундаментальные и прикладные исследования в технических науках в условиях перехода предприятий на импортозамещение: проблемы и пути решения Сборник трудов Всероссийской научно-технической конференции с международным участием. 2015. С. 172-174.
2. Результаты исследования деэмульгаторов для разрушения водонефтяных эмульсий в присутствии ингибиторов солеотложений. Александрова С.Ю., Исламутдинова А.А., Минниханова Э.А В сборнике: Фундаментальные и прикладные исследования в технических науках в условиях перехода предприятий на импортозамещение: проблемы и пути решения. Сборник трудов Всероссийской научно-технической конференции с международным участием. 2015. С. 294-296.
3. Ингибитор коррозии нефтепромысловых сред. Хайдарова Г.Р., Исламутдинова А.А., Дмитриев Ю.К., Сидоров Г.М. Иванов А.Н. Нефтегазовое дело. 2015. Т. 13. № 4. С. 249-253.
4. Р.М.Акчурин, А.А.Исламутдинова, Л.С.Седаева. Математическая модель системы управления установки осушки попутного газа. 60-я научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых: материалы конф. - Кн.2./редкол.: Ю.Г.Матвеев и др. - Уфа: Изд-во УГНТУ, 2009. - 333-335 с.
5. Р.М.Акчурин, А.А.Исламутдинова. Способ осушки попутного газа. 60-я научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых: материалы конф. - Кн.2./редкол.: Ю.Г.Матвеев и др. - Уфа: Изд-во УГНТУ, 2009. - 335-336 с.
6. Р.М.Акчурин, А.А.Исламутдинова. Увеличение эффективности осушки попутного нефтяного газа. ISBN 978-5-902159-24-7 Нефтегазопереработка-2010: международная научно-практическая конференция: Материалы конференции. - Уфа Издательство ГУП ИНХП РБ, 2010. - 83-84 с.83-84.
ОСОБЕННОСТИ МАТРИЧНОЙ ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Максимова Екатерина Александровна
ассистент кафедры «Компьютерные системы и сети» Калужского филиала Московского государственного технического университета имени Н.Э. Баумана, 248000, Россия, г. Калуга, ул. Баженова, 2
FEATURES OF THE MATRIX FORM OF PRESENTATION COMPLEX NUMBERS
Maksimova Ekaterina
assistant, Chair «Computer systems and networks», Bauman Moscow State Technical University (Kaluga Branch), Russia, , Street Bazhenov, 2, Kaluga, 248000
Аннотация. В статье представлены результаты исследований особенностей матричной записи комплексных чисел. Показано, что такая форма представления комплексных чисел зависит только от структуры матрицы мнимых единиц. Получены десять разновидностей этих матриц. Алгебра специальных матриц изоморфна алгебре комплексных чисел.
Ключевые слова: комплексные числа, матрицы, матричная запись комплексного числа
Abstract. Research results matrix notation of complex numbers are presented in the article. It is shown that this form of complex numbers representation depends only on the matrix structure of the imaginary units. We received ten varieties of these matrices. Algebra special matrices is isomorphic to the algebra of complex numbers.
Keywords: complex numbers, matrices, matrix notation of a complex number.
При проектировании сложных технических систем в настоящее время разработчиками широко применяется матричный аппарат математического моделирования как отдельных элементов этих систем, так и поведения их в целом [1]. В качестве элементов матриц, как правило, разработчики используют действительные функции и числа и очень редко комплекснозначные. Такое состояние можно объяснить отсутствием инженерных методик моделирования матричными методами элементов комплексного множества с учетом их внутренней связанности и по модулю, и по фазе, с учетом алгебры элементов комплексного множества. В тоже время есть теоретические наработки, кото-
b'
рые показывают, что алгебра матриц второго порядка вида Z
a -b
a
с действи-
тельными элементами изоморфна алгебре комплексных чисел [2 - 5]. Поэтому целью настоящей работы является выработка практических рекомендаций по применению матричной формы представления комплексных чисел.
Любое комплексное число можно представить в виде:
z = a• E + b • I = a-
"1 0" + b • " 0 1" a b
0 1 -1 0 -b a
(1)
Здесь: Е - единичная матрица, выполняющая функцию единицы для действительной части комплексного числа, I - единичная матрица для мнимой части. Собственно комплексное число в алгебраической форме представляется либо элементами первой строки матрицы г, либо элементами второго столбца снизу вверх: z = а + &. Элементы второй строки и первого столбца представляют комплексное число сопряженное исходному числу z = а — Нетрудно заметить, что определитель матрицы г, представляющей комплексное число, равен квадрату модуля этого числа. В нашем
примере это а2 + Ь2.
Представление комплексного числа в виде матрицы (1) не является единственным. Если в формуле (1) заменить матрицу мнимой части I на транспонированную
I1
zT =
0 -1
1 0
a -b
b a
то матричная форма комплексного числа примет вид матрицы
. Комплексное число в матрице zT определяется либо элементами перво-
го столбца, либо элементами второй строки справа налево [5].
Отметим, что именно единичная матрица мнимой части I в (1) определяет изо-морфность алгебры квадратных матриц с действительными элементами комплексного числа алгебре комплексных чисел. Так, например, правила умножения матриц действительной и мнимой единиц имеют вид [2,3]:
Е хЕ = Е, ЕХ1 = 1ХЕ = 1, 1X1 = —Е
Эти правила полностью соответствуют правилам умножения комплексных чисел. Отмеченная особенность единичной матрицы мнимой части I делает правомерной по-
становку вопроса о единственности её представления в приведенных выше видах. Попытаемся ответить на этот вопрос.
Пусть задана квадратная 2х2 матрица общего вида z =
'11
'12
'21 22
. Определим
I = z • z = -Е =
условия принятия элементами этой матрицы таких значении, при которых квадрат этой матрицы равен —Е, то есть
-1 0 ~ 0 -1
Возведя матрицу z в квадрат и приравняв элементы матрицы результата соответствующим элементам матрицы -К, получим систему 4-х уравнений от 4-х неизвестных:
211211 + 212 221 = 211 + 212 2 21 = — 1
211212 + 212 222 = 212 (211 + 2 22 ) = 0 211221 + 221222 = 2 21 (211 + 2 22 ) = 0 212 221 + 2222 22 = 222 + 212221 = — 1
(2)
Решение системы (2) упростится, если придать произвольные значения любым двум переменным. Очевидно, что вариантов такого произвола может быть шесть: гц-Z12, гц-г21, гц-г22, г12-г21, г12-г22, г21-г22. Однако связка гц-гг2 не даст желаемого результата упрощения решения так, как, исходя из первого и четвертого уравнений этой системы, следует что всегда = , а из второго и третьего более жесткое условие -7п = — 222. По этой же причине связка г12-г21 также не даст желаемого упрощения решения системы (2). Обе эти связки в общем случае работают лишь с каким-либо другим, третьим членом матрицы. Но они могут быть использованы для решения в частных случаев. Например: при 7п = 722 = 0 или 212 = 221 = 0 . Получим решение системы (2), используя первую связку.
Пусть гц и г12 произвольные действительные числа не равные нулю. Тогда из первого уравнения системы получим
2 21 =
4 + 1
2-
12
Из четвертого уравнения после подстановки в него последнего равенства получим = . А поскольку по принятому условию 212 Ф 0, то из второго уравнения системы 222 = — ^ 1. Таким образом, искомая единичная матрица мнимой части, представленная произвольными действительными числами при гц и г12 не равными нулю, имеет вид:
'11
'11
+1
'12
11
12
Выполним аналогичным приемом решение системы (2) для трех других связок произвольных действительных чисел, а именно, г12-г22, г21-г22. В результате всех
решений получим четыре вида единичной матрицы мнимой части:
<
I
'11
'11
+1
'12
11
11
+ 1
12
22
21
22
+1
12
22
21 11
2 222
+1
12
22
21
21 22
В (3) нижние индексы у матриц означают связку, на основе которой получено решение системы (2).
Из приведенных в (3) результатов видно что, два последних решения можно было получить путем замены в первых двух 211 на -222. Основанием для такой замены является общее свойство всех решений системы (2) в виде 222 = — 2П. Более того матрицы 12,
13, 14 можно получить из матрицы 11 путем её транспонирования, путем обмена местами первого и второго её столбцов, путем обмена местами столбцов с последующим транспонированием.
Рассмотрим некоторые частные случаи решений системы (2). Наиболее интересными с практической точки зрения, очевидно, будут случаи, когда диагональные элементы попарно равны нулю.
Пусть элементы главной диагонали равны нулю: 2П = 222 = 0 . Тогда из первого и четвертого уравнений системы получим
1 1
212 =
221 =
221 212
В этом случае две матрицы мнимой части представляются как
0 212 0 1
1 0 , 16 = I? = 2 21
- 0
212 _ 2 21
(4)
Очевидно, что при 212 = 1 или 221 = 1 полученные матрицы совпадают с матрицей I из (1) и матрицей 1Т Этот результат можно было получить путем непосредственной подстановки 2П = 222 = 0 и, например, 212 = 1 в матрицы II или 12 решений (3).
Рассмотрим частный случай когда 212 = 221 = 0. Подставив исходные данные в
первое и четвертое уравнения системы (2), получим 2^ = 222 =—1. Тогда искомые матрицы мнимой части примут вид:
\ о 1 „ Г—/ о 1
(5)
Появление в матрицах (5) элементов в виде мнимых единиц г значительно расширяет возможности матричного метода представления комплексных чисел и требует особого рассмотрения. С появлением решений системы (2) в виде (5) нетрудно получить еще один вид матрицы мнимых единиц. Подставим в (4) значения 212 и 221 равными комплексной единице г. После несложных преобразований получим
"0 /
Г / 0 1 Г — / 0"
17 = 0 —/_ , 18 = I?? = _ 0 / _
1п
(6)
I
5
Эта матрица также имеет право на формирование матричной записи комплексного числа, поскольку 19 • 19 = — Е.
Для завершения отыскания возможных решений системы (2) приведем вид мат-
рицы мнимой части для случая, когда иг произвольное число, а 721 = 0
I
10
i 0
'12 -i
(7)
Несложно показать, что транспонируя матрицу 1ю, мы получим еще один вариант искомой матрицы для представления комплексных чисел.
Мы рассмотрели практически все варианты возможных решений системы (2). Проверим наличие изоморфизма алгебры матриц, построенных на основе матриц II. Пусть заданы два комплексных числа
и = а + ¡Ъ, w = с + id
Используя в качестве единичной матрицы мнимой части II, получим из (1) матричные представления чисел и и н:
u = aE + bIx =
w = cE + dIx =
a 0
0 a
"c 0"
0 c
+
bz,
ii
bz,
12
b
z2i + 1
bz
11
12
a + bz
11
bz
12
-b Z11 +1 a - bz
12
12
+
-d
dzxx z 2 +1
dz
12
11
-dzu
12
c + dz z 2 +1
dz
12
-d
11
c - dz
12
12
Вычислим алгебраические операции с комплексными числами и и н и сопоставим результаты этих операций с результатами таких же операций над матричными представлениями этих комплексных чисел.
Определители матриц и и w, квадраты модулей комплексных чисел и и н:
72 + 1
Ли =(а + Ъ7П)(а — Ъ7П) — (Ъ712)(—Ъ- 11 ^ ■ ^
2
-) = a2 + b2,
12
z2 +1
Aw =( c + dzn ) (c - dzn) - (dz12 )(-dz11-) = c2 + d
z12
mod2 ( u ) = a2 + b2, mod2 ( w) = c2 + d Сумма матриц u и w, сумма комплексных чисел u и w:
ra
2
u + w =
z
(a + c) + (b + d )zn (b + d
( a + c ) — (b + d ) zn
-(b + d)
'12
и + w = ( а + с) + i (Ъ + d). Произведение матриц и и w, произведение комплексных чисел и и н:
u • w
(ac - bd) + (ad + bc) zu (ad + bc) zX2
( ad + bc )( zfx +1)
( ac - bd ) - ( ad + bc ) zn
и • w = (ас — bd) + (^ + Ьс).
Определители суммы и произведения матриц и и w, квадраты модулей суммы и произведения комплексных чисел и и н:
\+w =( а + с )2 +(Ь + d )2,
\2 / 7 1 \ 2
ас - bd ) +( ad + bc ) mod2 (u + w) = (a + с )2 + (b + d )2,
mod2 (u • w) = (ac - bd)2 + (ad + bc)2. Матричные представления сопряженного комплексного числа w = с — id и произведения w • W = с2 + d2:
w =
с — dz
ii
-dz,
12
d
z2 +1
ii
с + dz.
ii
'12
w • w =
с + dz
ii
dz
i2
d
z 2 + i
ii
с — dz,
ii
'12
с — dz,
ii
dz
i2
d
z 2 +1
'ii
с + dz,
ii
'12
= ( с2 + d2) 1 0 =( с2 + d2) E
Обратное комплексное число н"1, обратная матрица w-1, произведение взаимообратных чисел н и н"1, произведение взаимообратных матриц w и w-1:
1
^ =
W"1 =
mod2 (w) w с2 + d2 (с ld)3
w • w 1 = 1,
w
-1
А..
с dz^Y dzx ^
d
(z,2, +1)
с + dz,
'12
w • w
-1
А
с + dz
ii
dz
12
d
( z,2, +1)
с — dz,
ii
'12
11
с d^z^Y dzx ^
d
(z,2, +1)
с + dz,
ii
'12
1
с2 + d2
= E
"с2 + d2 0 0 с2 + d2 _
Частное от деления комплексных чисел и на н, матрица частного от деления матриц и на w:
1
1
u u • w (ac + bd) + i (bc-ad) mod2 ( w) c2 + d2
w
u u • w 1
^(ac + bd ) + (bc-ad ) zu (bc-ad ) z12
w A c + d
( ad-bc )( z2 +1)
( ac + bd) + ( ad - bc) zn
12
Анализ полученных результатов показывает, что алгебраические операции с матицами изоморфны соответствующим алгебраическим операциям с комплексными числами прототипами. Причем структура матричных результатов полностью соответствует уравнению (1) с матрицей мнимой части I1. Осуществлять операции с матричными эквивалентами комплексных чисел возможно, если при задании этих матриц применяется одинаковая по структуре единичная матрица мнимой части.
Для матричного представления комплексных чисел u и w в рассмотренных выше примерах была взята самая сложная по структуре матрица мнимой части - I1. Представляют интерес результаты матричных операций при использовании матриц I5, I7, I9, I10. Эти матрицы интересны потому, что каждая из них получена при отличных друг от друга исходных данных для решения системы (2) и не является результатом операции транспонирования какой либо другой. Ограниченность объема статьи не позволяет привести все полученные результаты. Но можно констатировать: применение любой из матриц мнимой части комплексного числа I5, I7, I9, I10 дает результаты, идентичные для I1.
Выводы.
1. Структура матричного представления комплексного числа определяется структурой специальной единичной матрицы мнимой части этого числа.
2. При организации вычислительных операций с комплексными числами, представленными в виде матриц, необходимо матричные представления всех комплексных чисел строить на матрице мнимой части какой-либо одной структуры.
Список литературы:
1. Матричные методы расчета и проектирования сложных систем автоматического управления для инженеров /Под ред. К.А. Пупкова и Н.Д. Егупова.- М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007.-664с.
2. Арнольд И.В. Теоретическая арифметика .-М.: Учпедгиз, 1938.-481с.
3. Математическая энциклопедия в 5-ти томах .-М.: Сов. Энциклопедия, 1982.
4. Фурманов Я.А. Комплекснозначные и гиперкомплексные системы в задачах обработки цифровых сигналов /Фурманов Я.А., Кревецкий А.В., Роженцев А.А. и др./ Под ред. Фурмана Я.А.-М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.-456с.
5. Каратаев Е.А. Преобразования гиперкомплексных чисел .-М.:
СОЛОН-ПРЕСС, 2016.-300с.
References:
1. Matrix methods of calculation and design of complex automatic control systems for
engineers.- Moscow, 2007.-664p.
2. Arnold I.V. The theoretical arithmetic . -Woscow, 1938. - 481p.
3. Mathematical encyclopedia .-Woscow, 1982.
4. Furmanov A.J. Complex-valued and hypercomplex systems in multidimensional
signal processing problems.--Woscow, 2004.-456p.
5. Karataen E.A. Conversion hypercomplex numbers.--Woscow, 2016.-300p.
