Особенности логнормального распределения и прогрессивная шкала подоходного налога в России Текст научной статьи по специальности «Математика»

С.К. Г орлов,

кандидат технических наук, доцент

В. А. Родин,

доктор физико-математических наук, профессор

ОСОБЕННОСТИ ЛОГНОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРОГРЕССИВНАЯ ШКАЛА ПОДОХОДНОГО НАЛОГА

В РОССИИ

FEATURES OF LOGNORMAL DISTRIBUTION AND ASCENDING

SCALE OF SURTAX IN RUSSIA

Построена модель прогрессивной шкапы подоходного налога, учитывающая современные статистические данные по распределению доходов населения районов России. С помощью компьютерной программы проведен анализ целесообразности введения прогрессивного налогообложения.

The model of an ascending scale of the surtax, considering modern statistical data on distribution of incomes of the population of areas of Russia is constructed. By means of the computer program the analysis of expediency of introduction of the progressiv e taxation is carried out.

Одним из ведущих положений балансировки финансовой структуры в обществе выступает социальная направленность схем и методов налогообложения во всем мире. Так, президент США выступил в 2011 году с предложением довести высший процент прогрессивного подоходного налога США до 30-35%. Многие развитые страны Европы (Дания, Швеция и др.) давно и успешно используют прогрессивную шкалу налогов на доходы населения. В настоящее время в России происходит стихийное введение «дифференцированного подхода» в «побочное», косвенное налогообложение. Так произошло с системой дорожных штрафов в разных регионах страны, есть проект введения «налога на роскошь». В основе этих новых реформ лежит принцип, по мнению авторов, абсолютно правильный, когда более богатые слои общества платят больше, чем бедные. В НК РФ отмечено, что положение по введению и исполнению налогов должно сглаживать финансовые неравенства разных слоев населения. При равномерном подоходном налоге в 13% это положение остается пустым заклинанием.

Опираясь на современные статистические исследования, мы привели определенную модель прогрессивного налогообложения. С помощью компьютерной программы исследуется численная зависимость всей суммы сбора налога по данной шкале от параметров распределения легальных доходов населения в различных районах России. Аналитически вычислена относительная предельная возможность логнормального распределения. Данные можно использовать для косвенного определения возможных нетрудовых доходов отдельных физических лиц.

Определение налоговой шкалы

Пусть T = ^0 ; а1, t1;...; ak, tk) — упорядоченный набор 2k +1 чисел. Числа a1,...ak строго возрастают и называются делениями шкалы. Числа t0, ^,..., tk из

промежутка [0,1) называются налоговыми ставками. Величина налога определяется по по формуле:

Введение

' 10 x,

tx, N(x)=\ 1

0 < x < a1 a1 < x < a 2

tkx, x > ak

Налоговая шкала называется прогрессивной, если налоговые ставки строго возрастают.

Функция распределения легальных доходов населения

Известно [1], что легальный доход в расчёте на одного налогоплательщика представляет собой случайную величину X, принимающую значения x е [0,+«>) и распределённую по логнормальному закону с плотностью распределения

f (x) = —1— — expj- x—1, где s> 0. В отличие от нормального закона, мате-

sV 2p x { 2s2 J

матическое ожидание и дисперсия случайной величины X для данного логнормального закона взаимозависимы. Формулы для их определения имеют вид:

m*= M(X) = em+s-/2, s = (s*)- = D(X) = (es- -1 -m+s-. (2)

Эти формулы имеют два параметра, которые связаны с нормальным распреде-

лением и статистическими данными. Современные статистические данные мы используем из работы [2]. Несмотря на то что логнормальное распределение непосредственно связано с нормальным распределением, оно имеет одно важное качество, существенно влияющее на результаты моделирования в нашей работе, а именно аналитическую зависимость между математическим ожиданием и дисперсией.

Пусть N — количество налогоплательщиков, t( x) — ставка подоходного налога, зависящая от величины дохода. Тогда совокупный налог, собранный со всех налогоплательщиков, равен S = N11(x)xf (x)dx. Если t(x) = const, то получим равномерную

0

¥

шкалу налогообложения: S = N| constxf (x)dx = constN1*. В настоящее время в России

0

ставка равна 13%, поэтому SR = 0.13 N ¡1*.

Ниже мы приводим алгоритм интерактивной компьютерной программы, позволяющей, сравнивая с указанным совокупным налогом SR, численно оценить эффективность введения построенной прогрессивной модели налогообложения доходов физических лиц, задавая параметры распределения 1, s.

В работе показано, что, освободив полностью от налога малоимущий слой населения с помощью прогрессивной шкалы, можно не только сохранить прежний уровень сбора суммы налога SR , но и увеличить его.

Оценка степени неравенства распределения доходов населения

Степень неравенства доходов оценивают коэффициентом Джини (Рейнбоу). Известна зависимость степени неравенства доходов населения и количества корыстных видов преступлений. Точнее, в работе [2] получен положительный коэффициент корреляции между коэффициентом Джини и коэффициентом корыстных видов преступности. Большое значение коэффициента Джини показывает неблагоприятное состояние социального климата и необходимость перераспределения доходов, возможно с помощью введения прогрессивной шкалы налога на доходы физических лиц. На основе статистических данных работ [1,2] вычисляем

коэффициент Джини для различных районов России. Пусть F(х) — интегральная функция распределения дохода в обществе. Решим уравнение F (х) = 0,9, т.е. найдем

величину такого дохода х *= х(0,9), не менее которого имеют 10% самых высокодоходных членов общества; затем решим уравнение F(х) = 0,1, т.е. найдем величину дохода х* = х(0,1) , менее которого имеют 10% членов общества с самыми

*

х

низкими доходами. Отношение Бп =— называется коэффициентом Джини. В

благополучных Норвегии, Дании, Швеции этот коэффициент не превышает 6, в нашей стране и в некоторых других коэффициент значительно выше, что говорит о социальном неблагополучии.

Вычислим коэффициент для логнормального распределения при различных

параметрах распределения. Уравнение F( х *) = 0.9

распределения имеет вид:

(1п и-т)2

для логнормального

1 г 1

sJlP S 0 U

exp ln U

2s1

du = 0.9.

Заменой переменной ^ = —/ ехР1 его можно свести к уравнению:

S

(in

-s/2

p

ехр

2

dt = 0.9.

а для случая 1п х* > ¡1 получаем уравнение, содержащее интегральную функцию Лапласа,

- + Ф 2

По таблице находим решение 1п

S

ехр 1

= 0.9. sx 1.28.

Аналогично для нижнего уровня состояния х* имеем равенство:

42.

Р S 0 и

ехр

(in и - m) 2s2

du = 0.1.

так как 1п х* < 1, то в силу симметрии кривой Гаусса, решение уравнения

(1п х *-!)/

1

лД

p

ехр

dt = 0.1 имеет знак минус, ln л*/ »-SX1.28.

7 exp m

x

Определяя отношение Бп = —, замечаем, что значение коэффициента не зависит

х*

от параметра 1, который характеризует средний легальный доход. Важным и главным является параметр О, который и характеризует разброс.

Мы располагаем усредненными данными параметра О по разным районам России только за 1998 год. Средняя дисперсия распределения легальных доходов России [1]: о(1998) = 1.12.

x

*

2

1

t

J

1

exp(sx 2.56) > 46.

Получаем Rn = — = exp (sx 2.56)» 17.6. Для Москвы значение дисперсии еще

x *

выше, в настоящее время оно оценивается как величина, больше 1.5.

И коэ ффициент Джини для Москвы

x *

Rn (Москва ) = — x*

Сложившееся в настоящее время в России серьезное различие в уровне благосостояния разных слоев населения недопустимо. Значение коэффициента Рейнбоу, превышающее 10 единиц, в основных развитых странах считается сигналом к возможным забастовкам и даже революционным действиям. Одним из принятых способов сгладить уровень благосостояния является введение прогрессивной шкалы налогообложения.

Описание примера прогрессивной шкалы

В формуле (1) с бедных людей, доход которых не превышает некоторого значения ах, налог вообще не берётся t0 = 0(социальная направленность налоговой политики). Также примем tn+1 = 0, т.е. со сверхбогатых людей налог в общепринятом

смысле тоже не берётся, поскольку, во-первых, вероятность иметь очень высокий доход пренебрежимо мала (смотри ниже), а, во-вторых, по отношению к этим людям проводится особая политика помощи государству.

Тогда формула сбора прогрессивного налога имеет вид:

k=1

Ф

ln ak+1- m -s

s

2 л

Ф

ln ak - m - s s

2

1 x

где F(x) =-j= I e v 2p 0

■x 2/2

dx — функция Лапласа.

Предложим следующую схему налогообложения:

0.13, 0.2m* <x < 5m*

0.15, 5m* < x < 10m*

t(x) = \ 0.20, 10m* < x < 20m*

0.30, 20m* < x < 50m*

0.45, 50m* < x < 90m*

n

Блок- схема алгоритма программы расчета налогов приведена на рис. 1.

ВВОД ДАННЫХ М1 - математическое ожидание 81 - среднеквадратичное отклонение

М:=Ъп(Бчг(Эчг(М1))/(Эдг(МІ)+Бдг(БІ)))/2 (Ъп (І + Бдг (БІ/МІ) ) )

ВЫВОД ПАРАМЕТРОВ М и Б нормального распределения Ы(М,8)

<2: =0 і:=1

Фі+і: =Ъар1асе [ (Ъп (Аі+і*М1) -М-Эдг (Б) ) /Б ] Ф±:=Ъар1асе [ (Ьп (А±*М1)-М-Бдг(Б) ) /Э]

Рис.1. Блок- схема алгоритма программы расчета налогов

Расчет прогрессивного подоходного налога с помощью программы

Предполагаем, что доходы X населения распределены по логнормальному зако-

*

ну. Числовые характеристики данного распределения: ^ — математическое ожидание (средний доход тыс. руб.), 5 — среднеквадратичное отклонение (разброс доходов, тыс. руб.), ^ и 5 выражаются через параметры ц и а нормального распределения. Используется следующая шкала разбиения доходов:

(0.2 /, 5 /), (5 /, 10 /), (10 /, 20 /), (20 /, 50 /), (50 /, 90 /). Процентные ставки налога соответственно равны 13%, 15%, 20%, 30%, 45%.

При х < 0.2^* налог не взимается из соображений социальной справедливости. С очень больших доходов х > 90^* (эта граница будет аналитически обоснована) налог не взимается в общепринятом смысле. Предполагается, что со сверхбогатыми людьми проводится особая политика помощи государству.

Таблица численного анализа свойств прогрессивной шкалы

т* = 15 т* = 15 т* = 20 т* = 20

* б а б а

20 0.133 1.011 0.131 0.833

40 0.151 1.447 0.142 1.269

60 0.162 1.683 0.155 1.517

80 0.167 1.839 0.162 1.683

100 0.168 1.954 0.166 1.805

120 0.167 2.043 0.167 1.9

140 0.166 2.116 0.168 1.978

160 0.165 2.178 0.167 2.043

180 0.163 2.231 0.167 2.099

200 0.161 2.277 0.166 2.148

220 0.159 2.319 0.164 2.192

Верхняя строчка предполагает неизменный средний заработок больше 15 тысяч рублей во втором и третьем столбцах и больше 20 тысяч рублей в четвертом и пятом. Вторая и четвертая колонки показывают увеличение суммы сбора налога по сравнению с равномерной шкалой, дающей результат Q=0.13. Пересчет по формулам (2) дает соответствующее значение среднеквадратичного отклонения о. Эту колонку мы сравниваем с известными статистическими данными в других статьях. Заметим, что с ростом доли Q собираемая сумма сначала увеличилась, а затем уменьшилась. Отмечен максимум возможной доли сбора.

Исследуем теоретически это необычное явление. Оно связано с возможностью логнормального распределения.

Особенности логнормального распределения и косвенное определение возможности появления нетрудовых доходов

Существует мнение, что эффективность введения прогрессивной шкалы подоходного налога зависит от представительности среднего класса в стране. Говоря точным языком, нужен анализ изменения суммы сбора налога в зависимости от параметра, характеризующего разброс значений доходов населения, — о. Анализ таблицы показывает, что сумма доли дохода, собираемого по нашему примеру, сначала растет, а затем убывает с увеличением параметра, характеризующего разброс легальных доходов. Бесспорно, что увеличение математического ожидания доходов пропорционально по-

влечет увеличение суммы сбора налога. Зависимость от величины s более сложная (2). Для определения границ изменения суммы сбора налога в зависимости от параметра, определяющего разброс, воспользуемся правилом «трех сигм» для ln х. Имеем неравенство ln х <m+ 3s, или х < exp (m+ 3s). В относительном измерении к среднему

доходу по формуле (2) получаем /^т* < ^Р (s(3 _^2)). Максимум параболы

s(3 - ^) достигается в точке s = 3 и равен 4.5 . Граница относительного роста:

Ут* <exp(s(3-?/))< exp(4.5)» 90. (3)

Для легальных доходов, распределенных по логнормальному закону, сумма дохода не должна превосходить среднюю величину дохода в 90 раз. Вернее, вероятность такого события почти равна единице. Так как согласно работам [1,2] именно логнормальное распределение характеризует легальные доходы российского населения в настоящее время, то превышение этой границы можно считать косвенным указанием на возможные нетрудовые доходы рассматриваемого физического лица.

Графическая иллюстрация эффективности модели

Проиллюстрируем некоторые значения таблицы, сопоставляя их с известными статистическими данными [2].

□ Воронежская обл.2002

□ РФ 1998

□ Москва 2006

□ гипотеза по Москве 2011

1 кв 2 кв 3 кв 4 кв

Рис. 2. Диаграмма изменения доли собираемого налога в зависимости от параметра а

Высота показателей диаграммы рис. 2 соответствует доле собираемого налога. Значения параметра о соответствуют статистическим данным работ [1,2]. Разброс по данным 2002 г. по Воронежской области о» 0,8; согласно таблице, доля налога составляет Q » 0,131. Это чуть больше, чем при равномерной шкале. Средний разброс по РФ на 1998 г. о» 1,3, доля налога Q » 0,142. Параметр, характеризующий разброс в доходах на 2006 г. по Москве о» 1,5; доля налога Q » 0,162. Прогноз на 2011 г. по Москве о » 2 ; доля налога Q » 0,168. Это максимально возможное значение для шкалы, рассматриваемой в работе.

Выводы

Введение прогрессивной шкалы существенно не увеличит сбор налога для страны, в которой легальные доходы распределены по логнормальному закону. По-видимому, в таких малых странах, как Дания, закон распределения доходов не является

180-

160-

140-

120-

100-

80-

60-

40-

20-

п.

логнормальным, а скорее приближается к равномерному закону, о чем свидетельствует и малое для этой страны значение коэффициента Рейнбоу. Тем не менее, введение предлагаемой прогрессивной шкалы позволит полностью освободить малоимущее население от налога, снизив социальное напряжение, и при этом доля сбора налога даже увеличится.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Скрыль С.В., Тростянский С.Н. Безопасность социоинформационных процессов: теория синтеза прогностических моделей: монография. — Воронеж: ВИ МВД

России, 2008. —154 с.

2. Колмаков И.Б. Прогнозирование показателей дифференциации денежных доходов населения // Проблемы прогнозирования. — 2006. — №1. — С.136—162.