CC BY
15
УДК 629.113
Дворников В.И., д.т.н, профессор (ДНТУ) Савенко Э.С., ассистент (ДонНАСА) ГрицукИ.В., к.тн., доцент (ДонНАСА)
ОСОБЕННОСТИ КИНЕМАТИКИ УПРУГОГО КОЛЕСА МОБИЛЬНОГО ТРАНСПОРТНОГО СРЕДСТВА В ЗАДАЧАХ
УСТОЙЧИВОСТИ
На рисунке 1 схематически изображен движитель (тележка), колеса которого снабжены упругими шинами (к примеру, пневмо баллонами) и жестко посажены на общую ось СХС2, вместе с которой свободно вращаются в опорных подшипниках ВС с угловой скоростью ф и перекатываются по плоскости.
Рисунок 1 - Колесный скат с упругими шинами
Точка В, в результате действия на нее силы тяги, движется с заданной скоростью Ув прямолинейно и находится от горизонтальной плоскости на постоянном расстоянии к от опорной поверхности. Учитывая эластичность шин, ось колеса поворачивается относительно продольной оси, совпадающей с направлением оси силы тяги £>С, на угол а и поворачивается на угол ¡3 вокруг оси упругого колеса, что в свою очередь вынуждает колесо поворачиваться в целом вокруг вертикальной оси на угол у.
Задача работы состоит в том, чтобы установить связь угловых скоростей а, ¡3, у, ф со скоростью точки I) приложения силы тяги Уп при заданных значениях параметров г, 6, /, к и при условии отсутствия тангенциальных скольжений колес. Такого рода задачи возникают при изучении динамики различных транспортных средств, без учета действия элементов подвески, которые широко используются в настоящее время при рассмотрении задач устойчивости при перевозке грузозов.
Рассматривая тележку вместе с упругим колесом как единое твердое тело, отвлекаясь условно от того обстоятельства, что фактически данная система представляет собой композицию двух взаимно подвижных тел, введем систему углов Крылова: а - крен, (3 - тангаж, у - рысканье , для рассмотрения данной задачи.
На представленном рисунке эти углы изображены в их проекциях на соответствующие координатные плоскости подвижной системы х'у'г'. Начало этой системы совместим с точкой С приложения силы тяги, являющейся также общей и для оси тележки. Подвижную ось л-' направим вдоль тяги БС, ось у' - вдоль оси колеса (тележки), - перпендикулярно тяге £>С, чтобы система х'у'г' являлась направленной в право. На рис. 1, а, где изображена тележка в исходном, невозмущенном состоянии, показаны также две оси неподвижной системы координат х и у (ось 2 направлена перпендикулярно плоскости рисунка). Начало координат находится в плоскости качения.
В данном состоянии неподвижные оси х, у параллельны соответствующим осям х',у', а ось 2 совпадает с г'. Ъ силу принятых оговорок, точка Б приложения силы тяги движется прямолинейно вдоль оси х, то есть расстояние от этой точки до плоскости сохраняется постоянным, равным к.
Таким образом, в неподвижной системе точка Б имеет координаты хп (/) Д к (здесь хп (/) - некоторая функция от времени и в данной задаче не играет существенной роли).
Введем в рассмотрение радиус-векторы гСк (к = 1,2), направленные от
точки С к точкам Ск, и радиус-вектор гв, направленный из точки С в точку Б. Очевидно, (см. рис. 1, а, с) в подвижной системе х'у'г' эти векторы представляются в виде
гСк=±Ь]', гв=П', (1)
где //' - орты соответствующих осей х',у'. Здесь и далее верхний знак (в данном случае «плюс») соответствует к = 1, а нижний - к = 2. Эти же векторы в проекциях на неподвижные оси представим в виде
^ = ГСкх1 + ГСку1 + Скг^> = ГИх* + ГВу1 + ■>
причем проекции гСкх,гСку,гСкг и гВх,гВу,гВг определяются с помощью известных формул преобразований и с учетом (1)
(г Л (А А А~\(оЛ (г Л (А А
Скх ЛП 12 ^13 и 'Бх ^11 12 л13
'Ску \J~Ckz
А А А
Л21 л22 л23
А А А
V 31 л32 л33 у
+6
V0;
' Оу \jDzJ
Алал
о
А А А
Л21 л22 л23
/1/1/1
V 31 л32 л33 у
(3)
Матрица направляющих косинусов А^ для углов Крылова в силу принятых на рис. 1, с1, углов имеет вид
С сое Р сое у - сое Р вт у - вт Р ^
С08С!Г8т;к - БШ ОТ БШ/? СОБ Х СОБ ОС СОБ у + БШ ОС БШ /? БШ у — БШ ОС СОБ /?
вш ос вш у + сое ос вш Р сое у вш ос сое у — сое ос вш Р вш у сое а сое/?
(4)
где индекс / нумерует строки, а у - столбцы приведенной матрицы. Несложные вычисления согласно (3) с учетом (4) приводят к выражениям
ГСкх = ±ЬА12 > ГСку = ±ЬА22 , ГСкг = ±ЬАЪ2 , 1 ф
Определим также координаты всех поименованных точек, используя формулы преобразования проекций векторов, которые с учетом (5) записываются в виде
Гг Л Гг„л Гг л
Ув
Ус
Кгс у
'Их
'Цу
\JDZJ
(х л
Ск
Уск
\2ск у
Ус
\2с У
Гг Л
Скх ГСку \Jckz )
Как было оговорено выше, хв = хв (7), ув = О, гв = И, и поэтому с помощью полученных соотношений будем иметь
(х > Ск (х > лв (г 'Скх -Г Л 'Эх
Уск = 0 + ГСку ~ ГИу
\2Ск V Ь У УСкг ~ ГИг ^
(6)
Из этих выражений особый интерес представляет гСк, так как это есть фактически расстояния от точек Ск до плоскости качения. Следовательно, как видно из рис 1, Ь,
гСк = Гк С08 а :
где гк - радиус качения к-то колеса. Отсюда находим с учетом (5) и (6)
гк ='
Ъ±ЬАЪ1 - 1АЪХ
со ъа
(V)
Скорости точек Ск и Б в проекциях на неподвижные оси по формуле V = УГ + Ох г', в которой вектор г' по сути дела является вектором гСк или гв, которые представлены своими проекциями на подвижные (1) и неподвижные (2) оси координат. Если использовать их проекции на неподвижные оси, то есть (5), то и вектор О нужно представлять в проекциях на эти же оси. Поэтому воспользуемся для записи вектора О. выражениями:
Qx =á-yún/?, Q.y = -y^coscc-7sincccosД Qz = -/?sincc + 7coscccos/?. (8) Тогда в матричной форме получим
(V Л
Г ги-
Скх
Vcky \Yckz У
(угл ( о -а а, YO
Сх VCy
Л у
Qz О
у О
'Ску \Jckz J
(V Л
' (V
Dx
vDy
\YdzJ
(УгЛ ( о -а а, Yo
Сх VCy
yVczj
-Q
V J'
0
.y
-а
o
' Dy \rDzJ
Во втором из этих матричных равенств учтем, что согласно с условиями задачи
VDx=Vd, VDy=0, VDz = 0,
и поэтому
(V > v Скх ГО
^Ску = 0 +
VCkz )
Г о
«Z
-Q
v у
о
О,
Q„ Y
У
-Q
о
ГСкх ~ rDx ГСку ~rDy \rCkz ~rDz у
(9)
Теперь рассмотрим вращение колес тележки в подвижной системе координат х'у'г'. Очевидно, в этой системе колеса имеют лишь одну степень свободы - поворот вокруг оси у' на угол ср. То есть в данном случае имеем чистое вращение тела в неинерциальной системе координат.
Абсолютная скорость точек этого тела (скорость в проекциях на неподвижные оси) определяется формулой
у=Ус+(П + ]'ф)хГ, (10)
где Г - радиус-вектор произвольной точки вращающихся колес.
С помощью формулы (10) запишем выражения для абсолютных скоростей точек контакта колес с плоскостью качения (точки Рк на рис. 1,
Ь), подставив сюда вместо К - вектор УСк, проекции которого определены соотношением (9), а вместо г' - вектор гРк, направленный из точки Ск в точку Рк. Но для этого вначале учтем, что
j' = AuI + A22j + A32k, (11)
а радиус-вектор г' = гРк в неподвижных координатах представляется в записи
Урк = ГРкх* + ГРку J + rPkz^ 5 (12)
где обозначено:
= ~rk sin « sin Г, грку = гк sin a cos у, rPkz = -rk cos а
Подставляя (12), (11) и (9) в (10), получим
(13)
(v > y Ркх
Vpky = 0 +
J^Pkz J
Q
V У
Z J
0 -С1Х о
rCfcc ~~ rDx + ГРкх ГСку ~ VDy + ГРку \rCkz ~ rDz + rPkz J
\ ( О -А А \( г \
^^ 'Ркх
<р
х32
32 22
о -л.
12
V ^22 Á 2
о
Рку \ГРкг У
,(14)
Так как достоверно известно, что проекция скорости точки Рк на вертикальную ось 2 тождественно равна нулю (плоскость качения считается не деформируемой), то из (14) следуют два равенства
^х(ГСку rDy+rPky) Qy(rCkx rDx+rPkx)~ = Ф(А22ГРкх ~ АПГРку ) (k =
(15)
Далее, представим компоненты скорости точек контакта ¥Ркх и Угку в
форме разложений по двум направлениям - параллельно плоскости соответствующего колеса и в перпендикулярном направлении. Обозначим эти составляющие соответственно символами ¥{к (тангенциальная
скорость) и У1к (боковая или латеральная скорость). Из рис. 1 легко установить, что
Vtk = VPkx cos у + VPky sin у, Vlk = -VPkx sin у + VPky cos у
(16)
(здесь положительные направления У(к и У/к совпадают с направлениями соответственно осей д;' и у'). Подставляя У,,кх помощью (15), в (16), получим
и Урку, вычисленные с
Кк = + (гСкг -гВ2+гРкг)-П2 (гСку - гПу +гРку) + + Ф(А22гРк2 - А32гРку )] сое у +
ГИх + ГРкх ) ^ х (ГСкг ГЕ>г + ГРкг ) + Ф(А32 ГРкх
(17)
Утк = -\УВ + -а.г (Гсь - гПг + гРкг ) - П__ (гСку - гПу +гРку) + + Ф(А22ГРкг - А32ГРку )] вт г + ГОх+ГРкх) ^х(ГСкг ГОг + ГРкг ) + Ф(А32ГРкх А\2ГРкг )] С08 У-
(18)
Для отсутствия тангенциального скольжения колес необходимо и достаточно равенство нулю тангенциальной скорости, то есть У1к = О. Это означает, что через точки Рк проходит мгновенная ось вращения тележки (колеса). Итак, два уравнения, полученные с помощью (17),
у(ГСкг ГОг +ГРкг )~^ЛГску ~ГОу +ГРку) +
+ Ф(А22гРкг - А32гРку)] сое у + + (гскх -гох +гРкх)~(гСкг -гВг + гРк2) + ф(АЪ2гРкх - АпгРкг)]зту = О
(19)
совместно с двумя уравнениями (15) дают возможность однозначного представления четырех переменных а, р,у,ф в форме линейной зависимости от скорости Уп. В этом случае латеральные (боковые) скорости Уп и У¡2, вычисляемые по формулам (18), оказываются одинаковыми (Уп=У!2) и не равными нулю. Это означает, что при отсутствии тангенциальных скольжений колесо неизбежно испытывает боковое скольжение.
Вывод. Полученные соотношения (17), (18) и (19) используются при записи уравнений динамики рассматриваемой системы в форме уравнений Лагранжа или Эйлера для решения практических задач устойчивости движения транспортного средства без учета влияния элементов подвески.
