Оценка параметров прямолинейного качения колесного движителя по твердой опорной поверхности Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 629.113.012.5

В. В. Ларин

ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО КАЧЕНИЯ КОЛЕСНОГО ДВИЖИТЕЛЯ ПО ТВЕРДОЙ ОПОРНОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Представлена методика оценки параметров прямолинейного качения эластичного колесного движителя по твердой опорной поверхности, учитывающая распределение нормальных и касательных напряжений по пятну контакта, перемещение оси колеса в горизонтальной и вертикальной плоскостях относительно центра контакта. Предложены модели формирования нормальных и касательных напряжений, сопротивления качению и тяги.

E-mail: larin.lvv20946@yandex.ru

Ключевые слова: колесо, опорная поверхность, сопротивление движению, тяга, тягово-экономическая характеристика.

Эластичный колесный движитель (КД) транспортного средства работает в различных режимах силового нагружения при незначительных и больших внешних сопротивлениях. При неограниченной мощности, подводимой к оси КД, преодоление внешних сопротивлений при прямолинейном движении ограничивается продольной реакцией, создаваемой в зоне контакта КД с опорной поверхностью (ОП).

Существует множество моделей, описывающих качение КД. Одни — академические, в них подробно рассматриваются физические процессы в эластичной оболочке шины и зоне контакта. Они предназначены для расчета шин в целях оптимизации их конструктивных параметров. Другие — упрощенные (прикладные), они используются для определения выходных интегральных характеристик взаимодействия эластичного КД с ОП. Такие модели необходимы для оценки параметров подвижности колесных транспортных средств (тяговой динамики, устойчивости, управляемости, плавности хода, проходимости). Прикладные модели в зависимости от решаемой задачи существенно различаются.

При оценке тяговой динамики и проходимости транспортных средств основная задача заключается в определении потерь энергии (на деформацию эластичной оболочки КД и скольжение КД по ОП) и допустимой продольной реакции Rx в области контакта КД с ОП.

Изменение основных параметров КД (нормальной деформации hz, радиуса гк.в и коэффициента сопротивления качению /ш.в в ведомом режиме, коэффициента тангенциальной эластичности AM) в зависимости от эксплуатационных параметров (нормальной нагрузки Pz, внутреннего давления воздуха pw, крутящего момента Мк, скорости vKX) описывается достаточно точными (в определенных пределах) и приемлемыми зависимостями.

Изменение продольной реакции Rx и радиуса качения гк (коэффициента непосредственного продольного скольжения s6j ) в зависимости от параметров микропрофиля и трения шины КД по ОП изучено и описано в меньшей степени.

В классической постановке уравнения прямолинейного движения КД (рис. 1) имеют вид [1]

Rz = Pz + Paz ; Rx = PX = Px + Pax ]

Mk = Rz аш + PX Гд + Mjk ,

(1)

где Ri — реакции в пятне контакта; Pi и Мк — внешние силы и крутящий момент, приложенные к оси

КД; Paz = ткакх, Pax = ткакх и Mjk = JkSk — инерционные силы и

Рис. 1. Расчетная схема прямолинейного качения колеса по твердой ОП

масса и

момент (aKZ = d2 z/dt2, акх = d2 x/dt2, гк = duK /dt, тк и JK момент инерции КД); аш — продольное смещение точки приложения вертикальной реакции Rz относительно центра контакта — точки Ош.

Основная проблема заключается в определении параметров аш и гд, зависящих от режима нагружения и скорости движения.

Примем допущение о независимости момента сопротивления качению (М/шPz = RzаШ), обусловленного нормальной нагрузкой Pz, от продольной силы Px. Продольное смещение нормальной реакции, обусловленное различными значениями нормальных элементарных реакций в зонах нагрузки dRZн и разгрузки dRZр, является постоянным (аШ = const), не зависит от Px и отсчитывается от проекции на ось X центра КД (точка ОК), а не от центра контакта (точка ОШ).

Как показывают эксперименты, при качении КД под действием силы Px его ось смещается в продольном направлении относительно центра контакта на величину сш (см. рис. 1) и поднимается вверх на величину h'z относительно режима свободного качения Pfx = 0 (гд св) или статического положения (гст).

Продольное смещение оси пропорционально нормальной деформации сш = hz PI /Pz, а значение hfz определим как вертикальное изменение координаты точки ОК при угловом повороте отрезка а\ОК относительно точки а\ конца (или точки а начала) контакта и перемещении точки Ок по оси X на величину сш:

h'z = 0,5 |сш| Ьшх/тСТ = |сш|

1

(1 - hz /г св )2

-1.

(2)

Сила P'x совершает явную работу на перемещении сш и неявную PXh'z — на перемещении h'z, не совпадающем с направлением действия силы PX.

В результате действия сил и крутящего момента происходит искривление радиальных сечений, изменение профиля в вертикально-продольном сечении, изменение длины беговой дорожки (исходной окружности), т.е. возникает сложное нагружение элементов эластичной шины.

Работу, совершаемую на изменение длины беговой дорожки, можно выразить через условную величину |PX | h'z.

Уравнение моментов относительно центра КД (точка Ок) имеет вид

Мк = MUpz + PX Гст + PX h'z + Mjk = MUpz + PX Гд + MjK. (3)

Уравнение мощностного баланса представим как

Mk^K = Mfmpz Шк + P'X ШкГкО + P'X ШкСш + P'X Ш^ +

+ P'x IPX | /P'x + P'x шЛ.св + Mjk Шк + RxVs,

где M^k и Mf^pzшк — мощность, подведенная к КД, и мощность потерь на вертикальную деформацию оболочки шины при Px « 0 (свободный и ведомый режимы качения КД); PXшкгк0, PXшксш и PXшкЫг — тяговая мощность на создание тяговой силы Px и ускорения aKX и мощности на перемещение оси (точка Ок) в продольном направлении относительно центра контакта шины (точка Ош) и оси КД в вертикальном направлении; PXшкЫг |PX| /P'x и PXшкё,гксв — мощности на окружную деформацию (сжатие или растяжение) беговой дорожки КД соответственно вне и в зоне контакта; MJkшк — мощность на раскрутку КД; Rxvs — мощность на относительное скольжение в зоне контакта.

Скорость относительного скольжения vs = (гк0 — гк) шк = гк0шкs6j, где гк0 и гк — радиусы качения без непосредственного скольжения (чистого качения) и действительный; s6j = 1 — гк/гк0 — коэффициент непосредственного продольного скольжения.

Для упрощения записи последующих уравнений рассмотрим равномерное движение КД (aKz = aKX = £к = 0) при отсутствии непосредственного скольжения (s6j = 0). Эти допущения не оказывают кардинального влияния на дальнейшие преобразования.

Отличие радиуса качения в свободном режиме гксв (при P'x = 0) от статического радиуса гст выразим как ё,гксв = гст — гксв.

Уравнение мощностного баланса при отсутствии непосредственного скольжения КД по ОП примет вид

M^k = MfmPzШк + P3^k (гк0 + ^к.св + Сш + hz + hz |Px I /Px) . (4)

Во всех последующих уравнениях отношение |PX| /Px введено для определения знака составляющих.

Рис.2. Характеристики качения шины 3,5-5 дюйма модели В-25 на твердой ОП при Pz=1 кН и давлении воздуха в шине pw =0,1 МПа (а) и pw =var (б и в): кривые — расчет, точки — эксперимент

Решая совместно уравнения (3) и (4), получим выражение для радиуса чистого качения, обусловленного окружной деформацией беговой дорожки КД:

гк0 = гк.св — сш — hz \РХ \ / Рх. (5)

Анализ расчетных и экспериментальных данных (рис. 2), полученных на стенде кафедры СМ-10 МГТУ им. Н.Э. Баумана для малогабаритной диагональной шины 3,5-5 дюйма модели В-25, показывает достаточно высокую точность представленной модели (до 4%) по основным интегральным параметрам качения КД — Мк, Рх, Гк0, Гд, kаг = Рх/Pz, fNf = (Nfm + Ns) / (PzVkx) .

Предлагаемый подход позволяет приближенно определять и коэффициент тангенциальной эластичности AM при известных значениях нормальной деформации hz и коэффициента сопротивления качению в ведомом режиме fmB. Принимая линейный закон изменения гк0 в зоне Рх < 0,3Pz, MfmPz = fш.вPzГст и Мк = MfmPz +

Рх гст + Рх hz,

после преобразований получаем выражение для AM:

Am = 1000 (сш + h'z) /Мк. (6)

Представленные уравнения справедливы при отсутствии непосредственного скольжения s6j = 0 (приблизительно при Rx < 0,6Rmax) и характеризуют только КД.

В зависимости от скорости скольжения (коэффициента s6j) в зонах положительного и отрицательного нарастания s6j от нуля до полного буксования (s6j = 1) или юза (s6j = —то) реакция Rx изменяется нелинейно, может достигать максимума Rmax при определенных значениях sj и затем уменьшаться.

Для определения продольной реакции Rx или коэффициента продольной реакции kRx = Rx/Rz необходимо знать распределение нормальных (pzi) и касательных (rxi) напряжений по длине контакта.

В большинстве расчетных моделей напряжение или давление pzi определяется радиальной деформацией элементарного кругового сектора da, имеющего упругость и рассеяние в радиальном направлении p'Zi = Ьшу hri ki, где Ьшу — ширина контакта, hri — радиальная деформация i-го сектора, ki — коэффициент пропорциональности при на-гружении или разгрузке. При таких моделях эпюра pzi представляется параболой (рис.3,б, при кизг-сж = 0), что не соответствует экспериментальным данным [2, 3] (см. рис. 3, б, эксперимент).

На pzi очевидно влияет не только радиальная деформация элементарных секторов hri, но и относительное перемещение внешних поверхностей ближайших элементарных секторов (в дальнейшем — изгиб протектора) при расстилании протектора по ОП, который не учитывается.

Рассмотрим упрощенную модель, в которой напряжение pzi определяется деформациями изгиба h1A3ri и сжатия h^ = hri элементарного сектора КД. Примем допущение, что условные деформации изгиба h^ri зависят от разницы углов наклона в продольно-вертикальной плоскости линий, касательных к профилю недеформированной a0 и деформированной шины ак в одном и том же вертикально-поперечном сечении контакта, и описываются уравнением

h^ri = гсв [1 — cos (a0 — ак)].

0 10 20 Pz, кН -0,6-0,3 0 0,3 0,6 xt 0 0,5 1,0 1,5 к, а б в

Рис.3. Изменение относительных деформаций = /гсв при

кизг-сж = ксж = 0,4 (а), при Нгк = 0,15 относительных давлений р^ = р^/рг при ксж = 0,4 по относительной координате длины контакта X* = 0,5х^/ха (б) и /ш.в (в) для колеса гсв = 0,5 м, Ьшу = 0,4 м, Рг = 30 кН

Нормальные удельные давления в зонах нагружения (р,н) и разгрузки (р;Р) выразим уравнениями

Рит ^сж.н (^сжг + ^изг-сж^изгг) ;

Pzpi hсж^

1 -

^ — ксж^ \ Хг \

Ха

+

+ кизг—сж^"изгг

1

^ — кизг^ \ Хг \

(7)

Хп

где &сж.н и &сж = &сж.р/&сж.н — коэффициент сжатия в зоне нагружения и относительный соответственно; &сжр — коэффициент сжатия в зоне разгрузки; ^изг-сж = &изг.н/&сж.н — коэффициент изгиба-сжатия в зоне нагружения (для обеих зон принят одинаковым); &изг = &изг.р/&изг.н — относительный коэффициент изгиба; &изгн и &изгр — коэффициенты изгиба в зоне нагружения и разгрузки; ха = 0,56шж — половина длины

зоны контакта.

Множители

1

1 — кЛ \xi\ 1

в зоне разгрузки, сглаживают кри-

вую разгрузки, устраняя скачок в середине контакта.

Значения коэффициентов &сж.н, ^изг-сж, &сж, &изг определяют при качении колеса по твердой ОП (при известных Рг, , Нг, /шв), когда для элементарных деформаций сжатия и изгиба справедливы соотно-

шения

— r _ / I х2 • r — r _ л / r' _ x

сжг ' св \ ' д Т j ' изгг ' св д/ ' св ^

.2

св

Интегрируя по длине контакта с постоянной шириной Ьшу, получаем выражения для нормальной силы Pz при качении КД, сил Ргн и Ргр при нагружении и разгрузке неподвижного колеса, а также момента М/ш сопротивления качению:

Рг Ьшу ^сж.н{ А1н + ^изг-сж А2н 0,5Ар[(1 ^сж) + ^изг-сж (1 + ^изг)] /ха}; Pzн Ьшу ^сж.н (А1н + ^изг-сжА2н); (8)

Pzр Ьшу ^сж.н{ А1н + ^изг-сж А2н Ар[(1 ^сж) + ^изг-сж (! + ^изг)]/ха}; М/ш = Ьшу ^сж.н(1 — &сж)(А1/ + &изг-сжА2/)ха.

Здесь

AlH — Хп Гсв r' ln

x

2 i Ха + Гсв

1н — хагсв — гд ln ; А2н — 2Ха' св — ' св arcsin — ха' д

; A2H — 2ХпГсв — г'в arcsln — — ХаТд;

гсв

Х

2

д

2(r3 _r3 )

л _r x2 _ у св 'д/; A _ 1 свxa xa' св , ' Д' св^a , '_Д i xa i ' св

-Гсв Ха ; A1f--л + ъ + ^ 1П

1f _

rv* лр3 т /у3 r2 r X r4 т I rr-I св xa xa' св , Д св^ а 'д^ xa + 'с ----1--_i_ —

3 4 8 8

Гд

3

A2f - ^ +

Xa гД

2

/у»" /у» гр

св Д a

гсв • xa

— arcsin —

8 Гсв

x

a _ л/г2в - (гсв - hz)2; Гд - rCB -hz,

Решая совместно уравнения (8) и принимая &изг = &сж, находим

k-^изг—сж

_ АрМш - Alf (Pzн - Pzp).

ксжн _ __?н_

Ьшу (А1н + кизг-сжА2н)

A2f (Pzн - Pzр) - АрМш

Ьшу ксж . н А1н + кизг-сж А2н Pz р

к _ 1 -

сж

Ар (1 + кИЗГ —сж)/xa

Расчетные кривые, представленные на рис. 3 и 4, близки к экспериментальным данным, что подтверждает правомочность предлагаемого метода.

Значения продольного сдвига ]х (относительного продольного перемещения) ъ-й точки беговой дорожки КД относительно ОП, положение которой характеризуется углом а относительно вертикальной оси ^, при качении можно определить, рассматривая поворот КД относительно мгновенного центра поворота точки О, расположенного по оси Z на расстоянии гк от точки 0к, на угол ¿а (см. рис. 1).

Для ъ-й точки приращение продольного перемещения с^х и перемещение (сдвиг) ]х описываются выражениями

djx _

гсв hz

cos2 а

- Гк ^ ¿а; ]х = (Гсв - Нг) ^ аа - tg а) - г к (аа - а);

(9)

аа = arccos (Гд/гСв); аа1 = -аа; а = arctg (х/гд). Относительные сдвиги ух = ]х/гсв с изменением относительного

Рис. 4. Изменение характеристик деформирования (а) и качения (б и в) шины 1300x530-533 модели ВИ-3:

кривые — расчет, точки — эксперимент

4

8

радиуса качения гк = гк/гсв достигают больших значений, однако скорости скольжения ь3 = ф'х/^£ при постоянном гк в пределах длины контакта изменяются незначительно.

Общепринято, что касательные напряжения тх определяются выражением тх = рггде ^ — коэффициент трения, зависящий от многих параметров и в первую очередь от свойств контактирующих тел, а также от скорости их относительного перемещения, температуры, нормальных средних давлений. Выделяют коэффициенты трения покоя (^пок) и скольжения (^ск), которые зависят от указанных параметров. Существуют различные подходы к описанию изменения Одни авторы за базовый коэффициент принимают ^п(ж, а ^ск описывают какой-либо функцией, другие — за базовый принимают ^ск. В большинстве случаев в качестве аргумента используются скорость скольжения, коэффициент проскальзывания, продольный сдвиг.

Изменение касательных напряжений от сдвига представим в виде суммы двух кривых, характеризующихся изменением трения скольжения и связанности [1]:

Ш |- ¿т)2"

т = Гус^ 1 - exp ( - — ) ) + Сш-г exp

at

(10)

где туст рг ^ск; ¿0 ^г'ош—¿т; ^'ош—г ~ 0Д; ¿т ^сж.ш-г^шх)

сш—г рг(^пок ^ск); а ка(Ш-г^т/^ск; ка(ш—г ~ 0,05.

Коэффициент &сж.ш—г характеризует сжатие системы шина-грунт в горизонтальном направлении и для твердых ОП в зависимости от их состояния находится в диапазоне 0,01 < &сж.ш—г < 0,1.

Считаем, что коэффициент трения скольжения ^ск и связанность сш—г материала протектора шины с грунтом постоянны и не зависят от нормального давления р^, а коэффициент трения покоя = ^ск + + сш—г/ргг, причем связанность определяется при базовых значениях давления и коэффициента трения покоя:

сш—г рг (^пок ^ск).

С точки зрения тяговой динамики, наибольший интерес представляет не распределение тх, а зависимость изменения коэффициента продольной реакции от коэффициента продольного скольжения кях (^). Для определения продольной реакции Дх необходимо проинтегрировать тх по длине контакта.

Параметры качения определяются по уравнениям движения КД, интегрированием элементарных нормальных и касательных сил и моментов по площади контакта с учетом вертикального Ыг и продольного сш смещений оси КД относительно середины контакта.

Площадь контакта для современных шин с увеличенным радиусом поперечного сечения беговой дорожки отличается от эллипса (в

Рис. 5. Изменение параметров качения при ксж = 0,6, кизг-сж = 1, дск = 0,75, сш-г = const в зависимости от hzк при jm = 0,03 (а) и jm при hZK = 0,1 (б) для колеса с параметрами, представленными на рис. 3

зависимости от hzш = hz/Нш она больше на 15... 24%), поэтому при hzш > 0,06 для определения параметров контакта необходимо рассматривать горизонтальное сечение беговой дорожки.

На рис. 5 представлено изменение параметров качения колеса для которого в качестве базовых параметров приняты: дПОК = 1 и pj^3 при hzк = 0,15. Максимальные значения при уменьшении pz (увеличении hzK) существенно возрастают, уменьшается оптимальное sjт, соответствующее kmf (см. рис. 5, а). С увеличением jm снижается и значительно возрастает s§jт (см. рис.5,б). Эти графики качественно близки к экспериментальным данным, поэтому можно считать, что предложенный подход к определению kRx (s6j) правомочен.

Для упрощения расчетов зависимости kRx (s6j) в ряде случаев предлагается определять ее при допущении о равномерном распределении нормальных (pz) и тангенциальных (fx) напряжений по длине контакта. Среднее касательное напряжение определяется при среднем значении сдвига fx (jx). Анализ расчетных данных показывает, что значения kRx при таком подходе завышены:

— относительная ошибка в области km^ возрастает с увеличением

jm, k^r—сж и hzk ;

— при jm = 0,01 м ошибка не превышает 0,5 %, а при jm = 0,1 м возрастает до 15... 17 %;

— с увеличением от 0 до 2 ошибка возрастает в 3 раза;

— с увеличением hzK от 0,05 до 0,15 ошибка возрастает на 2 %;

— значения kj^ при постоянных ксж, и hzK не зависят от jm, возрастает лишь s§jт.

Следовательно, упрощение может быть применимо при достаточно малых значениях jm < 0,03 м, что характерно для движения КД по твердым ОП, при jm > 0,03 м относительная ошибка значительно возрастает (10 % и более).

При точном расчете наглядно прослеживается влияние эпюры нормальных напряжений на kRx (s6j). Так, с увеличением нормальных да-

влений в передней зоне контакта, т.е. с увеличением кизг-сж, значения к#х снижаются, причем в наибольшей мере при малой относительной деформации кгк. Возрастание нормальных давлений в передней части контакта и снижение к#х связаны с ростом скорости укх [2]. Для повышения точности расчета зависимости к^х (в^) необходимо учитывать наибольшее число параметров: ксж, кизг-сж, Кгк, ]т, ^ск, сш-г.

В качестве примера на рис. 6 приведены результаты расчета параметров качения КД, в которых вб£ = 1 — гк/гсв, = N/ (Рхукх). Они качественно и количественно совпадают с экспериментальными данными.

Представленная оценка параметров прямолинейного качения эластичного КД по твердой ОП имеет следующие достоинства по сравнению с известными оценками.

Рис.6. Изменение параметров качения КД с шиной 1600x600-685 при

Рг = 70 кН, = 1, Мск = 0,75, кСж = кизг = 0,6, кИЗг=сж = 1, при = 0,05 и 0,2

В зоне малых и средних продольных нагрузок Рх при отсутствии непосредственного скольжения (в^ = 0), применимы уравнения (2)-(5) с заданием только трех параметров: нормальной деформации КД Нг, параметров ведомого (свободного) режима качения Рг (/ш.в) и гк в. В известных моделях необходимо иметь дополнительно, как минимум, значение коэффициента тангенциальной эластичности Ам.

При непосредственном скольжении изменение относительной продольной реакции к#х (вб<7) в большинстве случаев описывается эмпирическими функциями, полученными на основе обработки экспериментальных данных для узкого диапазона конструкций КД и опорных поверхностей. Предлагаемая методика с учетом распределения нормальных и касательных напряжений по длине контакта позволяет проводить расчет и анализ интегральных параметров качения КД (Мк, Рх, к#х (в), /н (ктяг), (ктяг)) в широком диапазоне изменения конструктивных и эксплуатационных параметров КД (геометрических оболочки и протектора, давления воздуха, нормальной нагрузки и режима силового нагружения) и опорной поверхности (параметров трения и связанности резины протектора с материалом ОП).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ларин В. В. Теория движения полноприводных колесных машин: Учебник. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010. - 391 с.

2. Работа автомобильной шины / В.И. Кнороз, Е.Б. Кленников, И.П. Петров и др. - М.: Транспорт, 1976. - 238 с.

3. Третьяков О. Б., Арутюнян Г. В. Механизм взаимодействия шины с дорогой и пути повышения износостойкости шин. - М.: ЦНИИТЭнефтехим, 1979. - 59 с.

Статья поступила в редакцию 28.11.2011

Василий Васильевич Ларин родился в 1946 г., окончил в 1970 г. МВТУ им. Н.Э. Баумана. Д-р техн. наук, профессор кафедры "Колесные машины" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор 38 научных работ, учебника и монографии в области проходимости колесных машин.

V.V. Larin (b. 1946) graduated from the Bauman Moscow Higher Technical School in 1970. D. Sc. (Eng.), professor of "Wheeled Vehicles" department of the Bauman Moscow State Technical University. Author of 38 publications, a textbook and a monograph in the field of cross-country ability of wheeled vehicles.